第10讲 平方差公式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第10讲 平方差公式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【例1】（2022秋•静安区期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•闵行区期中）用乘法公式计算： 【变式2】（2022秋•长宁区校级期中）计算：　　． 【变式3】（2022秋•长宁区校级月考）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【变式4】（2022秋•浦东新区校级期中）已知，那么　　． 知识点2．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【例2】（2024•南岗区校级开学）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形．剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021春•云岩区校级期中）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•松江区月考）在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图（1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是　或　．（用字母表示） 【变式3】（2022秋•长宁区校级期中）从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 　　平方米． 【变式4】（2022秋•闵行区期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积． 经典题型汇编 题型一.运用平方差公式进行运算 1．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）（ )． 2．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 题型二.平方差公式与几何图形 4．（20-21七年级上·上海·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·上海·期中）从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 平方米． 6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    试题练习 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海松江·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，则称这个数为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（    ）． A．270 B．308 C．330 D．360 2．（七年级上·上海·期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式为（  ）    A． B． C． D． 3．（19-20七年级上·上海青浦·阶段练习）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2 4．（21-22七年级上·上海金山·期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（     ） A． B． C． D．． 5．（19-20七年级上·上海长宁·期中）如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（      ） A． B． C． D． 6．（20-21·全国·课后作业）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）    A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 二、填空题 7．（20-21七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 8．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 9．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）计算： . 10．（22-23七年级上·上海闵行·期中）若，则= ． 11．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，那么 ． 13．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）若，，，则、、的大小关系是 （用“>”连接）． 14．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算 ． 15．（21-22七年级上·上海·期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于 ． 16．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么 ． 17．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）若，则的值为 ． 18．（22-23七年级上·上海长宁·期中）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 三、解答题 19．（22-23七年级上·上海虹口·期中）用乘法公式计算： 20．（23-24七年级上·上海长宁·期中）用乘法公式计算： 21．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：． 22．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积． 23．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）（简便方法计算） 24．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 25．（19-20七年级上·上海杨浦·期中）小明将一根长为20厘米的铁丝剪成两段，然后分别围成两个正方形．设其中一段铁丝长为x厘米． （1）设较长的一段铁丝长为xcm，请计算出这两个正方形的面积之差； （2）是否存在合适的x的值，使两个正方形的面积刚好相差5cm2？请说明理由. 26．（21-22七年级上·上海·期末）观察以下平方数：，，，，，，，，，…我们发现在附近的两个平方数存在以下规律：①；②；③：④，… (1)请利用以上规律，写出一个具体等式：　 　． (2)请用含的等式表示以上规律：　 　． (3)请用所学知识证明(2)中等式成立． 27．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）阅读以下材料，并解答问题． 阅读一：画与三角形面积相等的长方形． (1)如图1，已知，①画边上的高；②取线段的中点E；③以为边画长方形，使得那么长方形的面积等于的面积． 根据“阅读一”，如果，那么长方形的面积=______． 阅读二：画与长方形面积相等的正方形． 如图2，已知长方形，①延长，截取； ②以的中点O为圆心，为半径作半圆； ③过点F画 的垂线，交半圆于点I；④以为边画正方形那么正方形的面积等于长方形的面积． (2)根据“阅读二”，设，如果等面积的正方形边长为5，请猜想a、b的数量关系并加以说明； (3)根据“阅读一”由画出它的等面积长方形，在长方形的基础上，再根据“阅读二”画出等面积正方形FIJK，设，当H为的中点时，m、n的数量关系为：______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 平方差公式 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 【例1】（2022秋•静安区期中）如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是　　 A． B． C． D． 【分析】由面积的和差关系可求解即可． 【解答】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为，第二个图形阴影部分的面积为， 即， 故选：． 【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出是解题关键． 【变式1】（2023秋•闵行区期中）用乘法公式计算： 【分析】根据添括号法则把原式变形，再根据完全平方公式、平方差公式计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 【变式2】（2022秋•长宁区校级期中）计算：　　． 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，，据此计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键． 【变式3】（2022秋•长宁区校级月考）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】用平方差公式进行计算时，公式的特点是：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，符合这个特点就能用公式进行计算，根据以上内容判断即可． 【解答】解：、能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； 、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，能理解公式的特点是解此题的关键，此题是一道基础题，难度不是很大． 【变式4】（2022秋•浦东新区校级期中）已知，那么　17　． 【分析】对已知等式变形，然后利用平方差公式计算即可． 【解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：17． 【点评】本题考查了平方差公式的应用，掌握是解题的关键． 知识点2．平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 【例2】（2024•南岗区校级开学）如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形．剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）则矩形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意平方差公式的运用． 【解答】解：长方形的面积为： ． 答：矩形的面积是． 故选：． 【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用平方差公式进行计算，要熟记公式． 【变式1】（2021春•云岩区校级期中）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键． 【变式2】（2023秋•松江区月考）在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形（如图（1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图（2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是　或　．（用字母表示） 【分析】分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果． 【解答】解：在图1中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为， 在图2中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为， 由于两个阴影部分面积相等，所以有成立． 故本题答案为：或． 【点评】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化． 【变式3】（2022秋•长宁区校级期中）从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 　9　平方米． 【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可． 【解答】解：原来正方形土地的面积是平方米， 现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，平方米，张老汉租用的土地面积比之前少了9平方米， 故答案为：9． 【点评】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算． 【变式4】（2022秋•闵行区期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积． 【分析】设正方形与正方形的边长分别为和，由题意得．再根据图形写出的表达式，将整体代入计算即可． 【解答】解：设正方形与正方形的边长分别为和，由题意得： ． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 【点评】本题考查了整式的乘法在几何图形面积计算中的应用，根据图形正确列出算式是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.运用平方差公式进行运算 1．（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）（ )． 【答案】 【分析】本题考查的是平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．利用完全平方差公式进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，用平方差公式进行计算时，公式的特点是：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项互为相反数，符合这个特点就能用公式进行计算，根据以上内容判断即可，能理解公式的特点是解此题的关键． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据平方差公式展开，再计算多项式乘多项式，然后合并同类项即可． 【详解】解： 题型二.平方差公式与几何图形 4．（20-21七年级上·上海·期中）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案． 【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为； 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的长方形面积，即为； ∵图甲和图乙中阴影部分面积相等， ∴， 故选：C． 5．（22-23七年级上·上海·期中）从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉栽种．过了一年，他对张老汉说：“我把你这块地的一边减少3米，另一边增加3米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何?”张老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道张老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下张老汉租用的土地面积比之前少了 平方米． 【答案】9 【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可． 【详解】解：原来正方形土地的边长为x米，面积是平方米， 现在这块地的一边减少3米，另一边增加3米后的面积是平方米， 平方米， 张老汉租用的土地面积比之前少了9平方米， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算． 6．（23-24七年级上·上海青浦·期中）（1）如图①，在边长为的大正方形纸片上减去一个边长为的小正方形，通过不同的方法计算图中的阴影部分的面积，方法①___________；方法②_________________； 由此可以验证的乘法公式为_________________________． （2）类似地，在棱长为的大正方体上割去一个棱长为的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中余下几何体的体积，方法①___________________方法②___________________，由此可得某个多项式因式分解的等式为_______________________．并用所学过的知识说明这个等式成立． （3）利用（2）得到的等式分解式：．    【答案】（1）；；证明见解析；（2）；；，证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，弄清楚图中阴影部分面积的求法是解题的关键． （1）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （2）阴影部分的面积可以直接求，也可以间接求，由此验证平方差公式即可； （3）仿照（2）中方法计算结果，利用多项式乘多项式法则验证即可． 【详解】（1）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：右边左边 ； （2）方法①： 方法②： 可以验证的乘法公式为： 证明：等式右边 左边 ； （3）由（2）可得 试题练习 一、单选题 1．（23-24七年级上·上海松江·期中）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，则称这个数为“幸福数”，下列数中为“幸福数”的是（    ）． A．270 B．308 C．330 D．360 【答案】D 【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为x，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案． 【详解】解：设两个连续奇数中的一个奇数为x，则另一个奇数为， 由这两个奇数得到的“幸福数”为， 观察四个选项可知，只有选项B、D中的数能够整除4， 当时， 解得：，不是奇数不合题意舍去， 即故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键． 2．（七年级上·上海·期中）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其截成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的式为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把大正方形的面积与小正方形的面积用字母表示出来，再用大正方形的面积减去小正方形的面积得到平行四边形的面积. 【详解】大正方形的面积为： 小正方形的面积为： 则平行四边形的面积= 故答案为C. 【点睛】本题解题关键在于，用大正方形的面积减去小正方形的面积表示出平行四边形的面积，此时为一个平方差公式与面积的结合. 3．（19-20七年级上·上海青浦·阶段练习）观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为（　　） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2+2ab+b2＝（a+b）2 【答案】A 【分析】根据边长为的正方形剪掉边长为的正方形的面积和长方形的面积相等，进行判断即可． 【详解】解：图1：长方形的面积为：（a+b）（a-b）， 图2：剪掉边长为b的正方形的面积为：a2-b2， 所以从图1到图2可用式子表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据剪拼前后图形的面积相等求解是解题的关键． 4．（21-22七年级上·上海金山·期中）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（     ） A． B． C． D．． 【答案】C 【分析】根据拼图中各个部分面积之间的关系可得答案． 【详解】解：如图，由于S长方形B=S长方形C， 因此有S长方形A+S长方形B=S长方形A+S长方形C， 而S长方形A+S长方形B=（a+b）（a-b）， S长方形A+S长方形C=S长方形A+S长方形C+S长方形D-S长方形D， =a2-b2， ∴有（a+b）（a-b）=a2-b2， 故选：C． 【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，掌握拼图中各个部分面积之间的关系是解决问题的关键． 5．（19-20七年级上·上海长宁·期中）如图，边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别用面积公式表示出阴影部分图形的面积和梯形面积即可得出答案. 【详解】∵左边阴影面积为 右边梯形面积为 ∴ 故答案选择A. 【点睛】本题考查的是平方差公式的几何意义：. 6．（20-21·全国·课后作业）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）    A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab 【答案】A 【分析】根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可． 【详解】根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为(a+b)(a﹣b)， 即a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，利用图形面积得出是解题关键． 二、填空题 7．（20-21七年级上·上海闵行·期中）计算： ． 【答案】 【分析】利用平方差公式，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式计算，熟练掌握平方差公式 是解题的关键． 8．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查利用平方差公式进行计算．平方差公式为，解题的关键是把看作公式里的“a”，把看作公式里的“b”，再运用平方差公式进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·上海杨浦·期末）计算： . 【答案】 【分析】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握公式的运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（22-23七年级上·上海闵行·期中）若，则= ． 【答案】 【分析】根据题意得，，整体代入解题． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质和用平方差公式分解因式，如果几个非负数的和为零，那么这几个非负数都等于零，一个数或式子的偶数次方是非负数；一个数或式子的绝对值是非负数，注意整体代入的思想的运用. 11．（22-23七年级上·上海青浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 12．（23-24七年级上·上海青浦·期中）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握是解题的关键．把条件式化为，再利用平方差公式计算即可得到答案． 【详解】解：解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：17． 13．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）若，，，则、、的大小关系是 （用“>”连接）． 【答案】 【分析】根据有理数的乘方，平方差公式以及积的乘方进行计算求得、、的值，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，平方差公式以及积的乘方，有理数的大小比较，掌握以上知识是解题的关键． 14．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算 ． 【答案】/ 【分析】直接运用平方差公式计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构是解答本题的关键． 15．（21-22七年级上·上海·期末）如图，点D、C、H、G分别在长方形ABJI的边上，点E、F在CD上，若正方形ABCD的面积等于15，图中阴影部分的面积总和为6，则正方形EFGH的面积等于 ． 【答案】3 【分析】设大、小正方形边长为a、b，则a2=15，然后利用图中阴影部分的面积总和为6，进而可得正方形EFGH的面积． 【详解】解：设大、小正方形边长为a、b， 则有a2=15，阴影部分面积 ， 即a2-b2=12， 可得b2=3， 即所求面积是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方差公式与图形的面积，解决本题的关键是找准图形间的面积关系． 16．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）已知，那么 ． 【答案】17 【分析】对已知等式变形，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，掌握是解题的关键． 17．（22-23七年级上·上海浦东新·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据平方差公式进行分解，再计算能约分的直接约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式的应用，有理数的混合运算，解题关键是巧用平方差公式达到简化计算的目的． 18．（22-23七年级上·上海长宁·期中）计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 【分析】根据积的乘方和幂的乘方即可求解． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）． 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题考查了平方差公式、同底数幂相乘、积的乘方和幂的乘方运算，准确的计算是解决问题的关键． 三、解答题 19．（22-23七年级上·上海虹口·期中）用乘法公式计算： 【答案】 【分析】利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差公式是解题的关键． 20．（23-24七年级上·上海长宁·期中）用乘法公式计算： 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 21．（23-24七年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式的方法，以及平方差公式的应用．根据多项式乘多项式的方法，以及平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 22．（22-23七年级上·上海闵行·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为3 【分析】设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 【点睛】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积． 23．（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）（简便方法计算） 【答案】 【分析】根据平方差公式进行简便计算． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查简便计算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 24．（22-23七年级上·上海长宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】首先利用平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行运算，然后合并同类项完成化简，再将，代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 25．（19-20七年级上·上海杨浦·期中）小明将一根长为20厘米的铁丝剪成两段，然后分别围成两个正方形．设其中一段铁丝长为x厘米． （1）设较长的一段铁丝长为xcm，请计算出这两个正方形的面积之差； （2）是否存在合适的x的值，使两个正方形的面积刚好相差5cm2？请说明理由. 【答案】（1）x-25；（2）即当x=12时，这两个正方形的面积刚好相差5cm2． 【分析】（1）根据正方形的周长公式得到其边长，然后计算其面积即可； （2）假设存在这样的x值，根据面积相差5cm2，列出关于x的方程，然后解方程． 【详解】（1）依题意得，x-25． 即这两个正方形的面积之差为：x-25． （2）假设存在这样的x值，使两个正方形的面积刚好相差5cm2．则 x-25=5， 解得x=12．符合题意． 即当x=12时，这两个正方形的面积刚好相差5cm2． 【点睛】此题考查平方差公式．解题的关键是熟悉正方形的周长、面积公式． 26．（21-22七年级上·上海·期末）观察以下平方数：，，，，，，，，，…我们发现在附近的两个平方数存在以下规律：①；②；③：④，… (1)请利用以上规律，写出一个具体等式：　 　． (2)请用含的等式表示以上规律：　 　． (3)请用所学知识证明(2)中等式成立． 【答案】(1)(答案不唯一) (2) (3)见解析 【分析】（1）由题意可写出一个具体的等式； （2）由题意可归纳出用含n的等式来表示的以上规律； （3）运用平方差公式进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意和平方差公式可得， (答案不唯一)， 故答案为： (答案不唯一)； （2）根据题意可归纳结论为，（且为正整数）， 故答案为：（为正整数）； （3）证明，∵ ， ∴． 【点睛】此题考查了平方差公式，算式规律的归纳能力，关键是能准确理解题意，并通过观察、计算、归纳进行求解． 27．（22-23七年级上·上海奉贤·期中）阅读以下材料，并解答问题． 阅读一：画与三角形面积相等的长方形． (1)如图1，已知，①画边上的高；②取线段的中点E；③以为边画长方形，使得那么长方形的面积等于的面积． 根据“阅读一”，如果，那么长方形的面积=______． 阅读二：画与长方形面积相等的正方形． 如图2，已知长方形，①延长，截取； ②以的中点O为圆心，为半径作半圆； ③过点F画 的垂线，交半圆于点I；④以为边画正方形那么正方形的面积等于长方形的面积． (2)根据“阅读二”，设，如果等面积的正方形边长为5，请猜想a、b的数量关系并加以说明； (3)根据“阅读一”由画出它的等面积长方形，在长方形的基础上，再根据“阅读二”画出等面积正方形FIJK，设，当H为的中点时，m、n的数量关系为：______． 【答案】(1)16 (2)；证明见解析 (3) 【分析】（1）由长方形的面积等于的面积可得答案； （2）根据，得，，而等面积的正方形边长为5，有，故； （3）求出，由H为的中点，得，而，即得，从而． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵长方形的面积等于的面积， ∴， 故答案为：16； （2）解：； 证明：∵， ∴，， ∵等面积的正方形边长为5， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵长方形的面积等于的面积， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的运算，涉及三角形，长方形，正方形的面积，解题的关键是读懂题意，利用等面积列出所需等式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$