2.2 基本不等式（九大常考题型）-2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

2.2基本不等式 考点一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 考点二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 题型一 对基本不等式的理解 1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 2．不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 3．设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 题型二 配凑法求最值 7．已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 8．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 9．已知，则的最小值为 ． 10．已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 11．若，则的最小值是 . 12．函数（）的最小值为 ． 13．已知，则的最小值为 . 题型三 “和定求积”型及“积定求和”型 14．若，则有最大值为 ． 15．若，且，则的最大值为 . 16．若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 17．若，则的最 值是 ，此时 ， . 18．已知，的最小值为 ． 19．已知，，且，则的最小值是 20．设、为正数，且，比较的值与的大小． 题型四 商式型 21．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 22．当时，函数的最小值为 . 23．的最大值为 . 24．函数的最小值是 . 25．当时，函数的最小值是 ． 26．求函数的最小值. 题型五 “1”的妙用 27．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 28．已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 29．已知均为正数，且，则的最小值为 . 30．设，则的最小值为 ． 31．已知，且，则的最小值是 32．若正实数满足，则最小值为 33．已知且，则的最小值为 . 题型六 “有和有积”型 34．已知，则的最大值为 ． 35．已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 36．已知实数，满足，则的最大值为 37．已知正数，满足，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 38．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 39．（多选）已知正实数满足，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为25 B．的最大值为20 C．的最小值为11 D．的最小值为1 题型七 消元法求最值 40．已知，，且，则的最小值是 41．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42．若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 43．已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是（    ） A． B． C．2 D．3 44．负实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型八 恒成立问题 45．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 46．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．16 B．2 C．8 D．1 48．已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 49．对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 50．若，，则实数的取值范围是 . 51．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是 . 题型九 实际问题 52．小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 53．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 54．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 55．某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 56．某地欲修建一个的长方形休闲广场，如图所示，场地上､下两边要留空白，左､右两侧要留空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？    57．小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2基本不等式 考点一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 考点二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 题型一 对基本不等式的理解 1．判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 【答案】 错误 正确 正确 错误 【详解】对于（1），不等式成立的条件是；不等式成立的条件是，错误； 对于（2），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（3），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（4），当时，是负数，错误； 故答案为：（1）错误  （2）正确  （3）正确  （4）错误. 2．不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由基本不等式可知，当且仅当， 即时等号成立， 故选：. 3．设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立， 若时，，则， 即“”是“”的必要不充分条件， 而无法推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 4．（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】解：对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误； 对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确； 对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确； 对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D错误； 故选：BC. 5．（多选）已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，当为负数时不成立，故A错误， 对于B，，则，故B正确， 对于C，，则都为正数，， 当且仅当，即时等号成立，故C正确， 对于D，， 当且仅当和同时成立，即时等号成立，故D正确， 故选：BCD 6．（多选）下列推导过程，其中正确的是（    ） A．因为为正实数，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以，当且仅当时，等号成立 【答案】ABD 【详解】对于A，为正实数，有，且，又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，A正确； 对于B，，当时，，且，显然不存在大于3的正数a使成立，所以，B正确； 对于C，因为，则，不符合均值不等式成立的条件，C错误； 对于D，，则，且， 又当且仅当时，成立，满足均值不等式的条件，D正确. 故选：ABD 题型二 配凑法求最值 7．已知实数，则的（    ） A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【详解】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为， 故选：D. 8．已知，则的最大值是（ ） A． B．3 C．1 D．6 【答案】B 【详解】，当且仅当，即取得等号，满足题意. 故选：B. 9．已知，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：5 10．已知，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知， 则 . 当且仅当，即等号成立. 故的最大值是. 故选：A 11．若，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】 因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 12．函数（）的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 13．已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 题型三 “和定求积”型及“积定求和”型 14．若，则有最大值为 ． 【答案】/0.25 【详解】因为，显然当时，取得最大值，所以， 当且仅当时等号成立，所以， 所以有最大值为. 故答案为：. 15．若，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：1 16．若正实数满足，则的最大值为 （用表示）． 【答案】 【详解】因为是正实数，，所以， 当且仅当时取等号，于是， 所以的最大值为. 故答案为： 17．若，则的最 值是 ，此时 ， . 【答案】 大 81 9 9 【详解】因x>0，y>0，且x+y=18，由可得，当且仅当时取等号，即xy的最大值是81，此时. 故答案为：大；81；9；9. 18．已知，的最小值为 ． 【答案】12 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 19．已知，，且，则的最小值是 【答案】 【详解】由于，所以． 当且仅当，即时等号成立. 即当且仅当时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 20．设、为正数，且，比较的值与的大小． 【答案】 【详解】因为 所以 所以 当且仅当且，即且时，取等号， 所以． 题型四 商式型 21．函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 22．当时，函数的最小值为 . 【答案】 【解析】根据题中条件，将函数化为，再由基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 23．的最大值为 . 【答案】 【详解】令，则，， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式. 24．函数的最小值是 . 【答案】 【详解】 ，，， 当时，即时等号成立， 所以 所以函数的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查基本不等式的简单应用，属于基础题型，基本不等式再使用时，注意“一正，二定，三相等”的条件. 25．当时，函数的最小值是 ． 【答案】 【详解】， ，当且仅当，即时取等号． 函数的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 26．求函数的最小值. 【答案】最小值为2. 【解析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】函数的定义域为，. ， 当且仅当，即时取到“”. 所以当时，函数的最小值为2. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 题型五 “1”的妙用 27．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 28．已知正数满足，则当取得最小值时， ， ． 【答案】 / / 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值16. 故答案为：①，②. 29．已知均为正数，且，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】因为均为正数，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8 30．设，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，结合已知条件解得，时取等号. 故答案为： 31．已知，且，则的最小值是 【答案】 【详解】由可得，，因, 则 ，当且仅当时等式成立， 即时，的最小值是. 故答案为：. 32．若正实数满足，则最小值为 【答案】 【详解】由于都为正数，且． 由 ，当且仅当，时， 即时，等号成立.所以有最小值． 故答案为：． 33．已知且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型六 “有和有积”型 34．已知，则的最大值为 ． 【答案】2 【详解】由，得，当且仅当时取等号， 即，解得， 所以的最大值为2. 故答案为：2 35．已知正实数x，y满足，则xy的最大值为 ． 【答案】/0.5 【详解】正实数x，y满足，所以，解得. 当且仅当，即时取等号，所以最大值为． 故答案为：． 36．已知实数，满足，则的最大值为 【答案】/ 【详解】， 则，当且仅当或时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 37．已知正数，满足，则当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，平方得， 当且仅当，即，时取得等号， 故取得最小值时，. 故选：A. 38．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】，，， ，即，， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8. 故选：D. 39．（多选）已知正实数满足，下列说法正确的是（   ） A．的最小值为25 B．的最大值为20 C．的最小值为11 D．的最小值为1 【答案】AC 【详解】正实数满足， 则有，即，解得， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为25，A选项正确； ，即， 解得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为20，B选项错误； 由，得，为正实数，则， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为11，C选项正确； 由，得，， ， 当且仅当，即时等号成立，的最小值为，D选项错误. 故选：AC. 题型七 消元法求最值 40．已知，，且，则的最小值是 【答案】7 【详解】方法一：因为，故，解得， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 方法二：因为，则，且，故， 故， 当且仅当 ，即，时等号成立． 故答案为：． 41．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 42．若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 故选：A. 43．已知实数a，b满足，则下列数中不可能是的值的是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为．所以，，． 当时，，，当且仅当，时等号成立， 当时，，，当且仅当，时等号成立． 故的取值范围为，只有不在此范围内． 故选：B． 44．负实数、满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 故选：A. 题型八 恒成立问题 45．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以有最小值为， 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，所以的最小值为4， 故选:C. 46．已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】易知 ， 所以可得； 当且仅当，即时，等号成立； 依题意需满足，所以. 故选：D 47．设，若恒成立，则的最大值为（    ） A．16 B．2 C．8 D．1 【答案】C 【详解】因为，故， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 由于恒成立，故， 即的最大值为8， 故选：C 48．已知，若恒成立，写出符合条件的正整数 ．（写出一个即可） 【答案】1或2 【详解】当时，，当且仅当时，取得等号； ，若恒成立，即，又为正整数，故或. 故答案为：或. 49．对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】不等式恒成立，即， 因为正实数满足，所以 ， 当且仅当即，时等号成立， 则实数的取值范围. 故答案为：. 50．若，，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 于是， 当且仅当，即时取等号，所以. 故答案为：. 51．已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是 . 【答案】 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，显然； 综上，，所以，即实数的最小值为. 故答案为：. 题型九 实际问题 52．小王准备用的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，小王需要合理安排矩形的长､宽才能使菜园的面积最大，则菜园面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设矩形菜园中平行于墙的边长度为，垂直于墙的边长度为，菜园面积， 则，当且仅当时取等号. 故选：A. 53．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 54．中国建设新的芯片工厂的速度处于世界前列，这是朝着提高半导体自给率目标迈出的重要一步.根据国际半导体产业协会(SEMI)的数据，在截至2024年的4年里，中国计划建设31家大型半导体工厂.某公司打算在2023年度建设某型芯片的生产线，建设该生产线的成本为300万元，若该型芯片生产线在2024年产出万枚芯片，还需要投入物料及人工等成本（单位：万元），已知当时，；当时，；当时，，已知生产的该型芯片都能以每枚80元的价格售出. (1)已知2024年该型芯片生产线的利润为（单位：万元），试求出的函数解析式. (2)请你为该型芯片的生产线的产量做一个计划，使得2024年该型芯片的生产线所获利润最大，并预测最大利润. 【答案】(1)； (2)当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 【详解】（1）（1）由题意可得，， 所以， 即. （2）当时，； 当时，，对称轴，； 当时，由基本不等式知， 当且仅当，即时等号成立，故， 综上，当2024年该型芯片产量为40万枚时利润最大，最大利润为220万元． 55．某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当侧面的长度为4米时，总造价最低．最低总造价是13000元 【详解】由题可知 因为，当且仅当，即时取等号， 所以在时取最小值， 于是当侧面的长度为米时，总造价最低．最低总造价是元． 56．某地欲修建一个的长方形休闲广场，如图所示，场地上､下两边要留空白，左､右两侧要留空白，为节约用地，应选用怎样尺寸的长方形用地？    【答案】长为，宽为 【详解】设休闲广场用地的宽为，则长为，所以长方形用地的宽为，长为， 则长方形用地的面积为， 当且仅当，即时，等号成立，此时的长方形用地的长为，宽为. 所以应选择的长方形用地满足长为，宽为. 57．小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片其中的周长为他把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点他在思索一个问题：如果改变AB的长度周长保持不变，的面积是否存在最大值?请帮他确定的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度；若不存在，试说明理由? 【答案】存在，时，取最大面积 【详解】由题意可知，矩形的周长为， 设，则 设，则，，而为直角三角形， ， 当且仅当，即时取等，此时，满足， 故时，取最大面积 2 学科网（北京）股份有限公司 $$