预习12奇偶性（八大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习12奇偶性 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 二、奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 考点01 函数奇偶性的判断 【方法点拨】①先求定义域，看是否关于原点对称，若是，则进行第二步；若否，则为非奇非偶函数； ②化简和，若有，则为偶函数；若有，则为奇函数，否则为非奇非偶函数 【例1】下列函数为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【例2】判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B． 是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【变式1-2】函数是 （填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数. 【变式1-3】判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由． (1)． (2)． (3) 考点02 奇函数、偶函数的图象 【方法点拨】根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题． 【例3】（多选）定义在上的偶函数在上的图象如下图，下列说法不正确的是（    ）.    A．仅有一个单调减区间 B．有两个单调减区间 C．在其定义域内的最大值是5 D．在其定义域内的最小值是 【例4】已知        (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)在下面坐标系中画出函数图象，并写出单调区间（无需证明）. 【变式2-1】如图是偶函数在y轴右侧部分的图象，试画出函数在y轴左侧部分的图象． 【变式2-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)在给出的直角坐标系中画出函数的图象并写出的单调区间． 【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，且当时，.    (1)求的解析式； (2)现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出函数的完整图象，并根据图象直接写出函数的单调区间及值域． 考点03 利用函数的奇偶性求函数值 【方法点拨】判断函数的奇偶或者构造奇、偶函数，利用自变量相反函数值的关系求值 【例5】定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 . 【例6】已知函数，且，则 ． 【变式3-1】已知函数为上的奇函数，，则 . 【变式3-2】已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．4 D．12 【变式3-3】已知函数为奇函数，当时，，则 . 考点04 利用函数的奇偶性求参数 【方法点拨】利用奇偶性求参数的2种类型: （1）定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． （2）解析式含参数：根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 【例7】若函数为偶函数，则实数 ． 【例8】若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】设是定义在上的奇函数，则 【变式4-2】若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．2 【变式4-3】若函数是奇函数，则 . 考点05 利用函数的奇偶性求解析式 【方法点拨】利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤： ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出． 【例9】如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【例10】函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 . 【变式5-2】已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 【变式5-3】设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ． 考点06 利用奇偶性和单调性比较大小 【方法点拨】比较大小：看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【例11】设函数为上的偶函数，且在上为单调递减函数，则，，的大小顺序为 .（用“”连接） 【例12】已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）． A． B． C． D． 【变式6-1】图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 【变式6-2】已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则的从小到大的顺序为 . 【变式6-3】已知奇函数的定义域为，且对任意两个不相等的正实数，都有，在下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 考点07 利用奇偶性和单调性解不等式 【方法点拨】①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 【例13】已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【变式7-1】定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为 ． 考点08 抽象函数的奇偶性 【例15】定义域均为R的函数，满足，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【例16】已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【变式8-1】（多选）设为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（多选）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【变式8-3】设函数（，且）对任意非零实数，，恒有． （1）求及的值； （2）判断函数的奇偶性． 一、单选题 1．已知函数是奇函数，且，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 2．下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为，则“曲线过原点”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．定义在上的奇函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 三、填空题 8． 且，则等于 ． 9．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则f(2)，f(3)的大小关系为 ． 四、解答题 10．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象，并写出的单调区间； (2)求出的解析式. 12．已知函数. (1)若，求实数的值，并求此时函数的最小值； (2)若为偶函数，求实数的值； (3)若在上是减函数，求实数的取值范围. 13．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 14．已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习12奇偶性 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 二、奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 考点01 函数奇偶性的判断 【方法点拨】①先求定义域，看是否关于原点对称，若是，则进行第二步；若否，则为非奇非偶函数； ②化简和，若有，则为偶函数；若有，则为奇函数，否则为非奇非偶函数 【例1】下列函数为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于选项A：因为的定义域为关于原点对称，但， 所以函数不是偶函数，故选项A错误； 对于选项B：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以函数为偶函数，故选项B正确； 对于选项C：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以函数为奇函数，故选项C错误； 对于选项D：因为的定义域为关于原点对称，且， 所以函数为奇函数，故选项D错误； 故选：B 【例2】判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)非奇非偶函数 【详解】（1）定义域为，关于原点对称， 又，故为奇函数； （2），定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数； （3）定义域为，关于原点对称， 又，故为偶函数； （4）定义域为，关于原点对称， 由，可知，为非奇非偶函数. 【变式1-1】（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（    ） A．是偶函数 B． 是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】AD 【详解】对于A，，定义域为R，且， 故为偶函数，A正确， 对于B, ，定义域为R，且， 无法确定其与的关系，故无法确定的奇偶性，B错误， 对于C，，定义域为R，且， 故为奇函数，C错误， 对于D，，定义域为R，且， 故为偶函数，D正确， 故选：AD 【变式1-2】函数是 （填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数. 【答案】偶 【详解】函数的定义域为，， 所以是偶函数. 故答案为：偶 【变式1-3】判断下列函数是否具有奇偶性，并说明理由． (1)． (2)． (3) 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析 (3)偶函数，理由见解析 【详解】（1）由题意得的定义域为． 因为，都有， 且， 所以是奇函数． （2）的定义域为，当时，， 所以既不是奇函数也不是偶函数． （3）当时，， 则， 当时，， 则， 所以是偶函数． 考点02 奇函数、偶函数的图象 【方法点拨】根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题． 【例3】（多选）定义在上的偶函数在上的图象如下图，下列说法不正确的是（    ）.    A．仅有一个单调减区间 B．有两个单调减区间 C．在其定义域内的最大值是5 D．在其定义域内的最小值是 【答案】ABD 【详解】将的图象补充完整如下图所示：    由图象可知在，，上单调递减，故AB错误； 由图象可知在定义域内的最大值为，最小值未知，故C正确，D错误； 故选：ABD. 【例4】已知        (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)在下面坐标系中画出函数图象，并写出单调区间（无需证明）. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)作图见解析，单调递增区间为：，单调递减区间为：，. 【详解】（1）奇函数，证明如下： 函数的定义域为R， 当时，， ，又， ， 当时，， ，又， ， 且，故对任意，成立，所以函数是奇函数. （2）的图象为：    单调递增区间为：， 单调递减区间为：，. 【变式2-1】如图是偶函数在y轴右侧部分的图象，试画出函数在y轴左侧部分的图象． 【答案】答案见解析 【详解】利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数在y轴左侧部分的图象．如图所示． 【变式2-2】已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)在给出的直角坐标系中画出函数的图象并写出的单调区间． 【答案】(1) (2)的递增区间为，单调递减区间为， 【详解】（1）当时，， ； 又函数是上的奇函数， 的解析式为：； （2）函数的图象如图所示， 根据的图象可知，的递增区间为，单调递减区间为， 【变式2-3】已知是定义在上的奇函数，且当时，.    (1)求的解析式； (2)现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出函数的完整图象，并根据图象直接写出函数的单调区间及值域． 【答案】(1) (2)答案见解析． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，则， 又当时，， 所以当时，，， 所以． （2）作出函数图象，如图，    由图象知的单调递增区间是，单调递减区间是，，值域为. 考点03 利用函数的奇偶性求函数值 【方法点拨】判断函数的奇偶或者构造奇、偶函数，利用自变量相反函数值的关系求值 【例5】定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 . 【答案】1 【详解】由题意. 故答案为：1. 【例6】已知函数，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，， 所以当时，， 又，所以. 故答案为：. 【变式3-1】已知函数为上的奇函数，，则 . 【答案】-1 【详解】由题意知函数为上的奇函数，， 故，即， 故答案为：-1 【变式3-2】已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．4 D．12 【答案】C 【详解】由题意是定义域为的奇函数，当时，， 所以. 故选：C. 【变式3-3】已知函数为奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】因为函数为奇函数， 所以，解得， 所以当时，， 所以， 所以. 故答案为：. 考点04 利用函数的奇偶性求参数 【方法点拨】利用奇偶性求参数的2种类型: （1）定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． （2）解析式含参数：根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 【例7】若函数为偶函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为， 该函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 可得对任意的恒成立，故，解得. 故答案为：. 【例8】若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 【变式4-1】设是定义在上的奇函数，则 【答案】-24 【详解】是定义在的奇函数， ， 即， ，且， 解得，或 当时，定义域为，不合题意，舍去； 当时，定义域为，合题意， ， . 故答案为：. 【变式4-2】若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称， 可得，所以， 由，可得，解得，所以． 故选：A 【变式4-3】若函数是奇函数，则 . 【答案】 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 考点05 利用函数的奇偶性求解析式 【方法点拨】利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤： ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出． 【例9】如果函数是奇函数，那么（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 所以， 又因为为奇函数，所以， 所以，即， 所以当时，. 故选：A. 【例10】函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，， 由可得，即， 所以，，解得，其中， 故选：A. 【变式5-1】已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式 . 【答案】 【详解】由是偶函数可得：，即， 所以当时，则， 即， 故答案为：. 【变式5-2】已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，，则 ． 【答案】27 【详解】因为，分别为定义在上的奇函数和偶函数， 而，① 所以，即，② 由①②得，所以． 故答案为：. 【变式5-3】设函数是定义在上的奇函数，且．则函数的解析式为 ． 【答案】 【详解】由奇函数的性质可知，，即， 又，得， 所以. 故答案为： 考点06 利用奇偶性和单调性比较大小 【方法点拨】比较大小：看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 【例11】设函数为上的偶函数，且在上为单调递减函数，则，，的大小顺序为 .（用“”连接） 【答案】 【详解】函数为上的偶函数，且在上为单调递减函数， 则在上为单调递增函数，所以. 故答案为：. 【例12】已知是定义在上的偶函数，对任意的，且，都有，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意的，且，都有， 所以由函数单调性的定义可知在上单调递减，所以， 又是偶函数，， 所以， 故选：A 【变式6-1】图中给出了奇函数的局部图像，已知的定义域为    (1)求的值； (2)试补全其图像； (3)并比较与的大小． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【详解】（1）为定义在上的奇函数，故； （2）图象如下：    （3）由函数图象可以看出在上单调递增， 故. 【变式6-2】已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，则的从小到大的顺序为 . 【答案】 【详解】因为函数是R上的偶函数，且在上单调递增， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】已知奇函数的定义域为，且对任意两个不相等的正实数，都有，在下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为对任意两个不相等的正实数，都有， 所以在单调递增，则， 因为是定义域为的奇函数，则， 所以，即，故A正确，B错误； 而CD，由于不连续，故无法判断的大小关系，故CD错误. 故选：A. 考点07 利用奇偶性和单调性解不等式 【方法点拨】①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 【例13】已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以， 故不等式的解集为． 故选：D 【例14】已知偶函数在区间上是增函数，则满足的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为偶函数在区间上是增函数， 所以在区间上单调递减， 不等式等价于，等价于， 即，解得，即满足的取值范围是. 故答案为： 【变式7-1】定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递增， 又为定义在上的奇函数，则， 则在上单调递增，又，所以， ①当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， ②当时，不等式等价于，等价于， 等价于，等价于，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故选：C 【变式7-2】已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为和在上均单调递增， 所以在上单调递增． 因为是定义在上的偶函数， 所以可化为， 所以，解得． 故选：D 【变式7-3】已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，故在上单调递增． 函数在处连续，又是定义域为的奇函数， 故在上单调递增． 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得． 故答案为：. 考点08 抽象函数的奇偶性 【例15】定义域均为R的函数，满足，且，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【详解】因为， 所以， 即， 所以关于直线对称， 因为， 所以关于对称，即为偶函数. 故选：D 【例16】已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】C 【详解】令，则，故，A选项错误； 令，则，故，B选项错误； 令，则，故为偶函数，C选项正确； 因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误. 故选：C 【变式8-1】（多选）设为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】， ， ， A，B，C均正确. ，D错误. 故选：ABC. 【变式8-2】（多选）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】ABC 【详解】由题意知：且， ∴，即，可得， ∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误； 由上知：，即为奇函数，C正确. 故选：ABC. 【变式8-3】设函数（，且）对任意非零实数，，恒有． （1）求及的值； （2）判断函数的奇偶性． 【答案】（1）；；（2）偶函数． 【详解】解：（1）对任意非零实数，， 恒有， ∴令，代入，得， 解得 令，代入， 得， 可得． （2）取，，代入， 得 又函数的定义域为 ∴函数是偶函数 一、单选题 1．已知函数是奇函数，且，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】C 【详解】因为函数是奇函数， 所以，即， 所以，即， 所以， 故答案为：C． 2．下列函数中，既是奇函数，又在区间上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，且当时，，即函数在上是增函数，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，B不满足要求； 对于C选项，函数为偶函数，且该函数在上为增函数，C不满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在上为减函数，D满足要求. 故选：D. 3．函数的定义域为，则“曲线过原点”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当曲线过原点时，不一定为奇函数，如：过原点，而不是奇函数，则充分性不成立； 当函数的定义域为，为奇函数时，，则曲线过原点，必要性成立. 所以“曲线过原点”是“为奇函数”的必要不充分条件. 故选：B. 4．定义在上的奇函数满足对任意的，有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意的，， 可知在上单调递增， 且为定义在上的奇函数，则在上单调递增， 又因为，且，则有： 当时，，可得，解得； 当时，，可得，解得； 当时，，符合题意； 综上所述：不等式的解集为． 故选：C. 5．已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据奇函数的图象特征作出函数在上的图象，如图所示： 由得，等价于或， 所以或， 解得或或， 所以不等的解集为. 故选：C 二、多选题 6．已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对A,因为为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数， 所以， 所以，故A正确； 对B,，故B正确； 对C,，即，故C正确； 对D,，故D错误. 故选：ABC. 7．已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】CD 【详解】因为函数是奇函数， 则不等式，可变形为， 因为函数在上单调递增， 则不等式成立，则， 解得，1，2符合题意， 故选：CD. 三、填空题 8． 且，则等于 ． 【答案】－16 【详解】令， 则， 由得， 由得，所以，则 所以， 故答案为：－16． 9．若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则f(2)，f(3)的大小关系为 ． 【答案】f(2)<f(3) 【详解】 因为y＝f(x＋4)为偶函数，所以f(x＋4)＝f(－x＋4).令x＝2，得f(6)＝f(2)；令x＝1，得f(5)＝f(3).又f(x)在(4，＋∞)上为减函数，所以f(6)＜f(5)，即f(2)＜f(3). 四、解答题 10．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （3）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. 11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)画出函数的图象，并写出的单调区间； (2)求出的解析式. 【答案】(1)图象见解析；增区间为，减区间为； (2) 【详解】（1）函数是上的奇函数，其图象关于原点对称，且当时， ，则函数的图象如下图所示：    由图象知，增区间为，减区间为 （2）设，则，则. 因此，时，， 所以函数在上的解析式为. 12．已知函数. (1)若，求实数的值，并求此时函数的最小值； (2)若为偶函数，求实数的值； (3)若在上是减函数，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题可知，，即， 此时函数， 故当时，函数. （2）若为偶函数，则有对任意， 都有， 即，故. （3）函数的单调减区间是， 而在上是减函数， ，即， 故实数的取值范围为. 13．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并用定义法证明在上的单调性； (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）由题意可得， 即，即，故，， 又，故，即； （2）在上单调递增，证明如下： 设， 则 ， 由，则，，， 故， 故在上单调递增； （3）由函数为奇函数，故， 又函数在上单调递增，故有， 解得. 所以不等式的解集为. 14．已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$