第4章 基本平面图形 培优突破练习【11个考点50题专练】课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第4章 基本平面图形 培优突破练习 【11个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学七年级上册 1 一．直线、射线、线段 二．直线的性质 三．线段的性质 四．两点间的距离 五．角的概念 六．方向角 七．角平分线的定义 八．角的计算 九．多边形 一十．扇形面积的计算 一十一．作图 2 一．直线、射线、线段 3 1.如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制( ____ ) 种车票． A.10 B.11 C.20 D.22 【解析】解：图中线段有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10条，单程要10种车票，往返就是20种，即5×(5-1)=20，故选：C． C 4 2.同一平面内的三条直线最多可把平面分成多少部分( ____ ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】解：任意画三条直线，相交的情况有四种可能： 1、三直线平行，将平面分成4部分； 2、三条直线相交同一点，将平面分成6部分； 3、两直线平行被第三直线所截，将平面分成6部分； 4、两直线相交得到一个交点，又被第三直线所截，将平面分成7部分； D 5 综上所述，同一平面内的三条直线最多把平面分成7个部分． 故选：D． 6 3.平面内有10个点，其中4个点在一条直线上，其余再无3点共线，过这些点中的任意两点作直线．总共可以作的直线条数为( ____ ) A.44 B.40 C.39 D.24 【解析】解：不共线的6个点共确定 =15条直线， 共线的4个点和不共线的6个点共确定4×6=24条直线， 所以总共可以作直线的条数为：15+24+1=40．故选：B． B 7 二．直线的性质 8 4.下列说法：①平方等于其本身的数有0和1；②32xy3是四次单项式；③ ÷( )=-1；④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条其中说法正确的个数有( ____ ) A.2个 B.1个 C.4个 D.3个 【解析】解：①平方等于其本身的数有0和1，说法正确； ②32xy3是四次单项式，说法正确； D 9 ③ ÷( )=-1，说法正确； ④平面内有4个点，过每两点画直线，可画6条，说法错误； 说法正确的个数有3个， 故选：D． 10 5.直线经过两个整点(横纵坐标都为整数的点)是该直线经过无数个整点的( ____ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】解：分两步，充分性， 设直线经过(x1，y1)，(x2，y2)， x1、y1、x2、y2都是整数，y-y1= (x-x1)， C 11 设：p=y1-y2，q=x1-x2， 则直线y= (x-x1)+y1， 当x-x1=nq,即x=nq+x1时，y=np+y1为整数， n=1、2、3.....所以直线经过无数个点． 必要性：∵直线经过无数个整点，∴直线必经过两个整点． 故选：C． 12 6.建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上．这样做的依据是： ____________________ ． 【解析】解：建筑工人在砌墙时，经常用细线绳在墙的两端之间拉一条参照线，使垒的每一层砖在一条直线上，沿着这条线就可以砌出直的墙，则其中的道理是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 两点确定一条直线 13 三．线段的性质 14 7.高速公路是指专供汽车高速行驶的公路．高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其中的数学原理是( ____ ) A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.平行线之间的距离最短 D.平面内经过一点有无数条直线 【解析】解：在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程， 这是因为：两点之间，线段最短．故选：A． A 15 8.如图，一只蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处，有多条爬行线路，其中沿AC爬行一定是最短路线，其依据的数学道理是 ______________________ ． 【解析】解：∵蚂蚁从长方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C处有多条爬行线路， 只有AC是直线段， ∴沿AC爬行一定是最短路线，其科学道理是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 两点之间，线段最短 16 四．两点间的距离 17 9.如图，B为线段AD上一点，且BD=2AB，C为AD的中点，已知AC=18，则BC= ____ ． ______________________________________ 【解析】解：∵C为AD的中点，已知AC=18， ∴AD=36， ∵B为线段AD上一点，且BD=2AB， ∴BD=24，AB=12， ∵BC=AC-AB， ∴BC=6， 故答案为：6． 6 18 10.如图，A，B，C，D四点在同一条直线上．若线段AD被点B，C分成了1：2：3三部分，点M，N分别是线段AB，CD的中点，且MN=8cm,则AD的长为 ______ ． 【解析】解：∵点M，N分别是线段AB，CD的中点， ∴AM=BM= AB，CN=DN= CD， ∵MN=8cm, ∴BM+BC+CN=8cm,即 (AB+CD)+BC=8cm, ∵线段AD被点B，C分成了1：2：3三部分，即AB：BC：CD=1：2：3 12cm 19 ， 设AB为x,则BC=2x,CD=3x, ∴ (x+3x)+2x=8， 解得：x=2， ∴AB=2cm,BC=4cm,CD=6cm, ∴AD=AB+BC+CD=12(cm)， 故答案为：12cm. 20 11.如图，已知线段AB=a,延长BA至点C，使 ，D为线段BC的中点，则AD的长为 　　．(用含a的代数式表示) 【解析】解：∵线段AB=a, ， ∴ ， ∴ ， ∵D为线段BC的中点， 21 ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 22 12.如图，点C，D在线段AB上，P，Q分别是AD，BC的中点，若AB=11，CQ=2，DQ=1，则PC= ____ ． 【解析】解：∵点Q是BC的中点，CQ=2， ∴BQ=CQ=2， ∵DQ=1， ∴BD=BQ-DQ=2-1=1， ∵AB=11， ∴AD=AB-BD=11-1=10， ∵点P是AD中点， 2 23 ∴ ， ∴PC=PD-CQ-DQ=5-2-1=2， 故答案为：2． 24 13.如图，M为线段AC中点，点B在线段AC上，N为直线AC上的一点，若 ，AC=10，BC=4，则线段MN的长为 　　． 【解析】解：BM=10÷2-4=1． 当点N在线段BC的中间， BN=4÷(1+2)×2= ； 当点N在线段BC的右边， BN=4÷(2-1)×2=8． 25 ∴MN=1+ 或MN=1+8， 解得MN= 或9． 故答案为： 或9． 26 14.如图，点C是线段AB上的一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，AB=12cm,AM=5cm.求MN的长． 【解析】解：∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点， ∴AM=CM= AC，BN=CN= BC， ∵AB=12cm,AM=5cm, ∴CM=5cm,BC=2cm, ∴CN=1cm, ∴MN=CN+CM=6(cm)， 答：MN的长为6cm. 27 15.如图，已知同一平面内的三点A、B、C． (1)画直线AC、射线AB和线段BC； (2)在线段BC上任取点D(不与B、C重合)，连接AD，若不添加其他字母，则整个图形中共有 ____ 条线段； (3)若BC=60，BD=BC，E、F分别是BD、DC的中点，求EF的长． 【解析】解：(1)画直线AC、射线AB和线段BC，如图1所示： 6 28 _____ (2)如图2所示： _____ 图中有线段AB，AD，AC，BD，DC，BC共6条； (3)∵BC=60，BD=BC， ∴BD=BC=60， 29 ∴当点D在点B的右侧时，点D与点C重合， 则DC=0不合题意， 当点D在点B的左侧时，如图3所示： ________ ∵E、F分别是BD、DC的中点， ∴点F与点B重合， ∴EF= BD=30． 30 16.如图，点C在线段AB上，AC=8cm,CB=6cm,点M、N分别是AC、BC的中点 (1)求线段MN的长； (2)若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB=a cm,其他条件不变，你能猜出线段MN的长度吗？并说明理由． 【解析】解：(1)∵点M，N分别是AC，BC的中点，AC=8，CB=6， ∴CM= AC= ×8=4，CN= BC= ×6=3， ∴MN=CM+CN=4+3=7cm； (2)∵点M，N分别是AC，BC的中点， 31 ∴CM= AC，CN= BC， ∴MN=CM+CN= AC+ BC= (AC+BC)= AB= a(cm)． 32 17.如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB=10cm,AD=7cm. (1)求AC的长； (2)若点E在线段AB上，且CE=2cm,求BE的长． 【解析】(1)解：∵AB=10cm,AD=7cm, ∴BD=3cm, ∵D 为 CB 的中点， ∴CB=2BD=6cm. ∴AC=4cm. (2)解：当点 E 在点 C 左侧时，BE=CB+CE=8cm；当点 E 在点 C 右侧时，BE=CB-CE=4cm. 33 五．角的概念 34 18.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为( ____ ) A.150° B.105° C.30° D.15° 【解析】解：放大镜看一个15°的角，角的两边的张开程度没变，即角的度数不变， 故选：D． D 35 六．方向角 36 19.如图，一艘轮船向正北方向航行，下面说法正确的是( ____ ) A.灯塔1在轮船的北偏西50°方向50千米处 B.灯塔2在轮船的北偏东40°方向30千米处 C.灯塔1在轮船的北偏西40°方向50千米处 D.灯塔2在轮船的北偏东40°方向40千米处 【解析】解：A、灯塔1在轮船的北偏西50°方向40千米处，故原说法错误，不符合题意； B、灯塔2在轮船的北偏东40°方向30千米处，故原说法正确，符合题意； B 37 C、灯塔1在轮船的北偏西50°方向40千米处，故原说法错误，不符合题意； D、灯塔2在轮船的北偏东40°方向30千米处，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 38 20.一架飞机从某机场向南偏东40°方向飞行了1200千米，沿途返回时飞机要向( ____ ) A.南偏东40°方向飞行了1200千米 B.北偏东40°方向飞行了1200千米 C.南偏西40°方向飞行了1200千米 D.北偏西40°方向飞行了1200千米 【解析】解：根据方向角的概念，去程为南偏东40°方向，返程即为北偏西40°方向． 故选：D． D 39 七．角平分线的定义 40 21.将一副三角尺按如图所示的方式放置，30°角，45°角共顶点，若CM平分∠ACD，CN平分∠ACE，则∠MCN的度数是( ____ ) A.15° B.22.5° C.30° D.无法确定 【解析】解：设∠ACM=α， ∵CM平分∠ACD， ∴∠DCM=∠ACM=α，∠ACD=∠DCM+∠ACM=2α， B 41 ∵∠ECD=45°， ∴∠ACE=∠ECD+∠ACD=45°+2α， ∵CN平分∠ACE， ∴∠ACN= ∠ACE= (45°+2α)=22.5°+α， ∴∠MCN=∠ACN-∠ACM=22.5°+α-α=22.5°． 故选：B． 42 22.点O在直线AB上，过点O任意作射线OC．将一块直角三角尺置于平面内，且直角顶点与点O重合． (1)如图1，当OE平分∠AOC时，请问：OF平分∠BOC吗？请说明理由． (2)将三角尺绕点O顺时针旋转，当OE平分∠BOC时，如图2，猜想∠AOC与∠BOF有何数量关系，写出它们的关系等式，并说明理由． (3)三角尺在旋转过程中，当OE在∠BOC内部，且∠BOC=60°时，如图3，猜想∠BOF与∠COE有何数量关系，并求出它们的等量关系式． (4)三角尺在旋转过程中，当OE在射线OB上时，作OD平分∠BOC，OG平分∠COF．求∠DOG的度数． 43 _________ 【解析】解：(1)OF平分∠BOC， 理由：∵∠EOF=90°， ∴∠COE+∠COF=90°，∠AOE+∠BOF=90°， ∵∠COE=∠AOE， ∴∠COF=∠BOF， ∴OF平分∠BOC． 44 (2)∠AOC=2∠BOF， 理由：延长FO至H， __ ∵∠EOF=90°， ∴∠EOH=90°， ∵OE平分∠BOC， 由上题可得OH平分∠AOC，∠BOF=∠AOH， ∴∠AOC=2∠AOH， 45 ∴∠AOC=2∠BOF． (3)∠BOF-∠COE=30°， 理由：设∠BOE=α， ∴∠COE=60°-α，∠BOF=90°-α， ∴∠BOF-∠COE=(90°-α)-(60°-α)=30°， 即∠BOF-∠COE=30°． (4)设∠BOC=α， ∴∠COD= ，∠COG= ， ∴∠DOG=∠COG-∠COD= - =45°． 46 八．角的计算 47 23.借助一副三角尺不能画出的角是( ____ ) A.95° B.105° C.120° D.135° 【解析】解：∵一副三角板的度数分别是：30°，60°，90°和45°，45°，90°， ∴60°+45°=105°，30°+90°=120°，45°+90=135°， 因此可以拼出105°，120°，135°的角， 故选：A． A 48 24.通过下面几个图形说明“锐角α，锐角β的和是锐角”，其中错误的例证图是( ____ ) A.___ B._________ C.___ D.___ C 49 【解析】解：找出两个锐角的和是锐角，在什么情况下不成立，故只有C满足∠a+∠B＞90°，所以锐角a,锐角β的和是锐角是假命题． 故选：C． 50 25.借助一副三角尺，不能画出的角是( ____ ) A.15° B.75° C.105° D.125° 【解析】解：∵一副三角板的度数分别是：30°，60°，90°和45°，45°，90°， ∴60°+45°=105°，45°-30°=15°，45°+30°=75°， 因此可以拼出105°，15°，75°的角， 故选：D． D 51 26.如图，点O在直线AB上，∠COD=75°，若∠BOD=30°，则∠AOC的度数为( ____ ) A.115° B.120° C.135° D.145° 【解析】解：∵∠COD=75°，∠BOD=30°， ∴∠BOC=∠COD-∠BOD=75°-30°=45°， ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-45°=135°．故选：C． C 52 27.如图，三角尺①固定不动，将三角尺②的直角顶点O与三角尺①的顶点A重合．若三角尺②的一条直角边与AC边的夹角为40°，则三角尺②的另一条直角边与AB边的夹角不可能是( ____ ) A.20° B.80° C.100° D.150° 【解析】解：(1)当OD与AC边的夹角为40°时， D 53 ①当OD在AC下方时， ∵∠CAD=40°，∠DAE=90°， ∴∠CAE=90°-40°=50°； ∵∠BAC=30°， ∴∠BAE=30°+50°=80°， ____ ②当OD在AC上方时， ∵∠CAD=40°，∠DAE=90°，∠BAC=30°， 54 ∴∠BAE=30°+40°+90°=160°； ______ (2)当OE与AC边的夹角为40°时， ①当OE在AC下方时， ∵∠CAE=40°，∠BAC=30°， ∴∠BAE=40°-30°=10°， ∴∠BAD=10°+90°=100°， 55 ___ ②当OE在AC上方时， ∵∠CAE=40°，∠BAC=30°， ∴∠BAD=90°-40°-30°=20°， 56 ____ 综上：另一条直角边与AB边的夹角可能是80°，160°，20°，100°， 故选：D． 57 28.如图，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，那么∠1的度数为( ____ ) A.10° B.15° C.20° D.25° 【解析】解：∠1=(90°-30°)+(90°-40°)-90°=20°， 故选：C． C 58 29.在同一平面内，射线OC在∠AOB的内部，∠AOB=∠COD=60°，∠BOC=50°，则∠AOD的度数为 _________ 度． 【解析】解：如图， __ 50或70 59 当点D在OA下方， ∵∠AOB=60°，∠BOC=50°， ∴∠AOC=10°， ∵∠COD=60°， ∴∠AOD=50°， 当点A在OA上方， ∵∠AOB=60°，∠BOC=50°， ∴∠AOC=10°， ∵∠COD1=60°， ∴∠AOD1=70°， 故答案为：50或70． 60 30.AD是△ABC的一条高线，若∠BAD=55°，∠CAD=20°，则∠BAC= ____________ ． 【解析】解：有两种情况： ①AD在△ABC内部，如图， ____ ∵∠BAD=55°，∠CAD=20°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=55°+20°=75°； ②AD在△ABC外部，如图， 35°或75° 61 ___ ∵∠BAD=55°，∠CAD=20°， ∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=55°-20°=35°； 故答案为：35°或75°． 62 31.如图①，在长方形ABCD中，点E在AD上，并且∠BEA=62°，分别以BE，CE为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中∠A′ED′=14°，则∠DEC的度数为 _____ ． _______ 【解析】解：由折叠可知，∠A′EB=∠AEB=62°，∠DEC=∠D′EC， ∵∠AEB+∠A′EB+∠D′EC+∠DEC=180°+∠A′ED′，∠A′ED′=14°， 35° 63 ∴62°+62°+∠DEC+∠DEC=180°+14°． ∴∠DEC=35°． 故答案为：35°． 64 32.如图，将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． (1)当∠BON=60°时，求∠COM的度数； (2)若∠AOM=2∠COM，求∠COM的度数． 【解析】解：(1)根据题意，△OMN是直角三角形，∠MON=90°，∠AON=180°-∠BON=120°； ∵OC平分∠AON， ∴∠CON= ∠AON=60°， 则∠COM=∠MON-∠CON=30°； (2)∵OC平分∠AON， 65 ∴∠AOC=∠CON=∠AOM+∠COM=3∠COM， ∵∠CON+∠COM=∠MON=90°，即4∠COM=90°， ∴∠COM=22.5°． 66 33.如图，点A，O，B在同一条直线上，∠COE=75°，OD平分∠AOE． (1)若∠BOE=60°，求∠COA的度数． (2)若∠AOC比∠COD大30°，求∠COD的度数． 【解析】解：(1)根据题意，∠COA=180°-∠COE-∠BOE=180°-75°-60°=45°； (2)根据题意，∠AOC-∠COD=30°； ∵OD平分∠AOE， ∴∠AOD=∠DOE，即∠AOC+∠COD=∠COE-∠COD=75°-∠COD， 整理得∠AOC+2∠COD=75°；解得∠COD=15°． 67 34.如图，∠AOB=28°，∠BOC=42°，OD平分∠AOC，求∠BOD的度数． 【解析】解：根据题意，易得∠AOC=28°+42°=70°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠COD=∠AOD=35°； 则∠BOD=∠AOD-∠AOB=7°． 68 35.阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题： 已知∠AOB=90°，OC平分∠AOB，∠BOD=20°，OE平分∠BOD，并求∠COE的度数． 以下是小东的解答过程： 解：如图1，因为OC平分∠AOB，∠AOB=90°， 所以 = ____ °， 因为∠BOD=20°，OE平分∠BOD， 所以 = ____ °， 所以∠COE= ______ +∠BOE= ____ °． 小胜说：“我觉得这个题有两种情况，小东只考虑了∠BOD在∠ 45 10 ∠BOC 55 69 AOB外部的情况．”根据以上材料，完成下面问题： (1)请你将小东的解答过程补充完整； (2)根据小胜的想法，请你在图2中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COE的度数._____ 【解析】解：(1)如图1，因为OC平分∠AOB，∠AOB=90°， 所以 =45°， 70 因为∠BOD=20°，OE平分∠BOD， 所以 =10°， 所以∠COE=∠BOC+∠BOE=55°． 故答案为：45，10，∠BOC，55． (2)当∠BOD在∠AOB内部时，如下图所示， ___ 因为OC平分∠AOB，∠AOB=90°， 71 所以 =45°， 因为∠BOD=20°，OE平分∠BOD， 所以 =10°， 所以∠COE=∠BOC-∠BOE=35°． 72 36.从直线l上一点O在l同侧顺次引射线OA，OM，OB，ON，OC，其中点A在直线l上． (1)如图1，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC． ①当∠AOB=120°，∠BOC=30°时，求∠MON的度数； ②当∠AOB与∠BOC的大小都发生变化时，试探究∠MON与∠AOB间的数量关系，并说明理由； (2)如图2．若OM为∠AOC 的一条n等分线，且∠AOM= ∠AOC，ON为∠BOC的一条n等分线，且 ，当∠MON=90°时，此时∠AOB=135°，试直接写出n的值． 73 ________ 【解析】解：(1)①易得∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°， ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC= ∠AOC=75°，∠NOC= ∠BOC=15°， ∴∠MON=∠MOC-∠NOC=60°； ②∠MON= ∠AOB． 证明：根据题意，∠MON=∠MOC-∠NOC，∠AOB=∠AOC-∠BOC； 74 ∵∠MOC= ∠AOC，∠NOC= ∠BOC， ∴∠MON= (∠AOC-∠BOC)= ∠AOB． (2)∵∠AOM= ∠AOC， ， ∴∠MOC= ∠AOC，∠NOC= ∠BOC， 因此∠MON=∠MOC-∠NOC= (∠AOC-∠BOC)= ∠AOB， 即90°= ×135°，解得：n=3． 75 37.如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在BOC内，2∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数． 【解析】解：设∠BOE=x°， ∵∠EOC=2∠BOE， ∴∠EOC=2x°， 由∵OD是∠AOB的平分线，∠DOE=72°， ∴∠DOB=∠AOB=72°-x, ∴2(72°-x)+x+2x=180°， 解得x=36，∴∠EOC=2x=72°． 76 九．多边形 77 38.若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为( ____ ) A.14或15 B.13或14 C.13或14或15 D.14或15或16 【解析】解：如图，n边形，A1A2A3…An， 若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1， 若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形， C 78 与原来的多边形的边数相等， 若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1， 因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15， 故选：C． 79 一十．扇形面积的计算 80 39.如图，点C，点D，点E分别是以AB，AC，BC为直径的半圆弧的一个三等分点，再分别以AD，DC，CE，BE为直径向外侧作4个半圆，若图中阴影部分的面积为 ，则AB的长为( ____ ) A. B.2 C.4 D. 【解析】解：设AD=a, A 81 由题意，∠ACB=90°，∠ACD=30°，∠BCE=60°， ∴∠DCE=180°， ∴D、C、E三点共线， 点C是半径为1的半圆弧AB的一个三等分点， ∴ 对的圆心角为 =60°， ∴∠ABC=30°， 同法可得∠ACD=∠CBE=30°， ∴AC=2a,AB=4a,BC=2 a,CD= a,EC= a,BE=3a, ∵四边形ABED为直角梯形，外层4个半圆无重叠． 82 ∴S阴影=S梯形ABED+ ( AD2+ CD2+ CE2+ BE2)-S△ABC- ( AC2+ BC2)， =S△ADC+S△BCE= ， ∴ ×a× a+ × a×3a= ， 解得a= (负根已经舍去)， ∴AB=4a=2 ． 故选：A． 83 40.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB= ，分别以A、B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，若BC=2AC，且 的长度恰好是 的 倍，则图中阴影部分的面积为( ____ ) A. π B. π C. π B 84 D. π 【解析】解：如图，连接ED，作AM⊥EC于M，BN⊥CD于N． ______ ∵BC=2AC， ∴设AC=x,BC=2x, ∵∠C=90°， ∴x2+(2x)2=5， ∴x=1，2x=2， 85 AC=1，BC=2， ∵∠AMC=∠BNC=∠ACB=90°， ∴∠ACM+∠CAM=90°，∠ACM+∠BCN=90°， ∴∠BCN=∠CAM， ∵∠CBN+∠BCN=90°， ∴∠CAM+∠CBN=90°， ∵AE=AC，AM⊥EC，BC=BD，BN⊥CD， ∴∠CAE=2∠CAM，∠CBD=2∠CBN， ∴∠CAE+∠CBD=180°， ∵ 的长度恰好是 的 倍，设∠CBD=m,∠CAE=n, 86 ∴ = × ， ∴4m=5n, ∵m+n=180°， ∴m=100°，n=80°， ∴S阴= + = ， 故选：B． 87 41.如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA=4，则阴影部分的面积为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：连接OC， A 88 ____ ∵∠AOB=90°，∠B=30°，OA=4， ∴AB=2OA=8， ∵OA=OC，∠OAB=60°， ∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC=60°， ∴∠COB=30°， ∴ ， 89 ∴OC为△AOB的中线， ∴S△AOC=S△BOC， ∴阴影部分的面积为 ． 故选：A． 90 42.如图所示，扇形OAB的半径OB长为3，∠AOB=90°，再以点A为圆心，OA长为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是 　　． 【解析】解：连接AC，OC． 由题意可知AO=CO=AC=3， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠AOC=∠OAC=60°， ∴S△AOC= = ，S扇形AOC= = π，S扇形AOB= 91 = π， ∴S弓形AC=S扇形AOC-S△AOC= π- ， ∵S阴影=S扇形AOB-S弓形AC-S扇形AOC= π-( π- )- π= ． 故答案为： ． 92 43.已知扇形的圆心角为150°，扇形的面积S=5π，则这个扇形的半径r=　　． 【解析】解：根据题意得 ， 解得： 或 (舍去)， 故答案为： ． 93 44.中国书画扇面是中国传统文化艺术的重要表现形式，同时也具有极高审美的艺术价值．如图，一件扇形艺术品完全打开后，测得∠BAC=120°，AB=45cm,BD=30cm,则由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是 ______ cm2(结果保留π)． 【解析】解：∵AB=45cm,BD=30cm, ∴AD=AB-BD=15cm, ∵∠BAC=120°， ∴由线段BD，弧DE，线段EC，弧CB围成扇面的面积是 =600π(cm2)， 故答案为：600π． 600π 94 45.如图，已知四边形ABCD和四边形BEFM均为正方形，以B为圆心，以BE为半径作弧EM．若大正方形的边长为8厘米，则图中阴影部分的面积为 _______________ ．(结果保留π) 【解析】解：∵四边形ABCD和四边形EFGB是正方形，且大正方形的边长为8厘米， ∴∠ABC=∠DCM=90°，BE=BM=8，AB=BC=CD=AD， 设AB=BC=CD=AD=a, 则阴影部分的面积S=S扇形BME+S正方形ABCD+S△DMC-S△ADE 16π平方厘米 95 = +a2+ •a•(8-a)- •(8+a)•a =16π(平方厘米)， 故答案为：16π平方厘米． 96 46.如图，扇形AOB，点O为圆心，半径OB长为2，∠AOB=90°，再以点B为圆心，OB为半径作弧，交弧AB于点C，则阴影部分的面积是 　　． 【解析】解：连接CO，过点O作OD⊥BC于点D， ___ 在扇形AOB中，∠AOB=90°，BO=2，以B为圆心，OB为半径画弧，交弧AB于点C， 97 ∴BC=BO=CO=2， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠BOC=∠OBC=60°， ∵OD⊥BC， ∴DO=BOsin60°=2× = ， ∴S△BOC= = = ，S扇形BOC= = π，S扇形AOB= =π， ∴S弓形BC=S扇形BOC-S△BOC= π- ， 98 ∵S阴影=S扇形AOB-S弓形BC-S扇形BOC=π-( π- )- π= - ． 故答案为： - ． 99 一十一．作图 100 47.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D． (1)求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)证明AP=AQ． 【解析】(1)解：如图所示，BQ为所求作； _____ (2)证明：∵BQ平分∠ABC， 101 ∴∠ABQ=∠CBQ， ∵∠BAC=90° ∴∠AQP+∠ABQ=90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠CBQ+∠BPD=90°， ∵∠ABQ=∠CBQ， ∴∠AQP=∠BPD， 又∵∠BPD=∠APQ， ∴∠AQP=∠APQ， ∴AP=AQ． 102 48.如图，点A在∠O的一边OA上．按要求画图并填空： (1)过点A画直线AB⊥OA，与∠O的另一边相交于点B； (2)过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C； (3)过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D； (4)∠CDB= ____ °； (5)如果OA=8，AB=6，OB=10，则点A到直线OB的距离为 _____ ． 【解析】解：(1)如图； 90 4.8 103 (2)如图； (3)如图； (4)∵CD∥OA， ∴∠CDB=∠OAB=90°； (5)AC= =4.8． 104 49.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，其中点D在边BC上． (1)用圆规和直尺在图中作出角平分线AD．(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)若∠C=80°，∠B=40°，求∠ADB的度数． 【解析】解：(1)如图，射线AD即为所求； _____ (2)∵∠C=80°，∠B=40°， 105 ∴∠CAB=180°-∠B-∠C=60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB= ×60°=30°， ∴∠ADB=∠C+∠CAD=80°+30°=110°． 106 50.如图，在△ABC中， (1)实践与操作：用尺规作图法作BC边的高AD(保留作图痕迹，不用写作法)； (2)在(1)的条件下，若AD=3，∠B=30°，∠C=45°，求BC的长． 【解析】解：(1)如图所示，AD即为所求： ____ 107 (2)∵AD为BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵AD=3，∠B=30°，∠C=45°， ∴BD=3 ，DC=3， ∴BC=BD+DC=3 +3． 108 $$