第3章 整式及其加减 中档题拓展训练【9个考点50题专练】课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第3章 整式及其加减 中档题拓展训练 【9个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学七年级上册 1 一．代数式 二．列代数式 三．代数式求值 四．合并同类项 五．规律型 六．规律型 七．多项式 八．整式的加减 九．整式的加减 2 一．代数式 3 1.代数式-3x的意义可以是( ____ ) A.-3与x的和 B.-3与x的差 C.-3与x的积 D.-3与x的商 【解析】解：代数式-3x的意义是-3与x的积． 故选：C． C 4 二．列代数式 5 2.数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习醇类化学式时，甲醇化学式为CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，按此规律，当碳原子的数目为n(n为正整数)，醇类的化学式通式是( ____ ) A.CnH3nOH B.CnH2n+1OH C.CnH2nOH D.CnH2n-1OH 【解析】解：设碳原子的数目为n(n为正整数)时，氢原子的数目为an， 观察，发现规律：a1=3=2×1+1， B 6 a2=5=2×2+1， a3=7=2x×3+1，...， ∴an=2n+1． ∴碳原子的数目为n(n为正整数)时， 它的化学式为CnH2n+1OH． 故选：B． 7 3.如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm,则阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为( ____ ) A.x-y+5 B.2x+y+5 C.2x-y+5 D.x+y+5 【解析】解：∵大长方形的宽为x cm, 小长方形的长为(y-15)cm, C 8 小长方形的宽为5cm. ∴阴影A的较短边为：x-2×5=(x-10)cm； 阴影B的较短边为x-(y-15)=(x-y+15)cm, ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 x-10+x-y+15=(2x-y+5)cm, 故选：C． 9 4.某种细菌每分钟分裂成3个，一个细菌经过3分钟分裂，再继续分裂t分钟后共分裂成( ____ ) 个． A.9t B.9t C.33t D.33+t 【解析】解：∵3分钟分裂了3次， ∴再过t分钟共分裂(3+t)次， 又∵每次分裂成3个，∴共分裂成33+t个， 故选：D． D 10 5.将一个三位数 (a,b分别是百位上、十位上的数字)的中间数字去掉变为一个两位数 ．若满足 ，则a,b满足的关系为( ____ ) A.b=3a B.a=3b C.b=2a D.a=2b 【解析】解：由题意得，100a+10b+5=10a+5+40b, 化简可得 b=3a, 故选：A． A 11 6.如图所示的长方体中，棱CG的长度为x,矩形ADFE与矩形DCGF的面积如图所示，则矩形ABCD的面积为( ____ ) A.2x4+2x2y B.2x3+2xy C.2x2+2y2 D.2x2+2y 【解析】解：2x2÷x=2x, (x3+xy)÷x=x2+y, 2x×(x2+y)=2x3+2xy,故选：B． B 12 7.如图，三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目，当n=1时，三角数为1，当n=2时，三角数为3，则当n=10时，三角数为( ____ ) A.100 B.110 C.55 D.50 【解析】解：当n=1时，三角数为1， 当n=2时，三角数为1+2=3， 当n=3时，三角数为1+2+3=6， C 13 当n=4时，三角数为1+2+3+4=10， ……， 当n=10时，三角数为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55， 故选：C． 14 8.如图，图形W，X，Y，Z是形状和大小相同，能完全重合的图形，根据图中数据可计算得图形W的面积是( ____ ) A.4-π B. C. D. 【解析】解：正方形的面积是：2×2=4 D 15 圆的面积是：π×(1÷2)2= W的面积为： (4- )=1- 故选：D． 16 9.已知一个正方形的边长是a,若它的边长增加1，则这个正方形的面积增加( ____ ) A.1 B.2a+1 C.a2 D.a2+2a+1 【解析】解：(a+1)2-a2 =a2+2a+1-a2 =2a+1， 故选：B． B 17 10.数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学领域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为 CH3OH，乙醇化学式为C2H5OH，丙醇化学式为C3H7OH…，设碳原子的数目为n(n为正整数)，则醇类的化学式 　　来表示． 【解析】解：设碳原子的数目为n(n为正整数)时，碳原子的数目为Cn， 观察，发现规律：甲醇的H=2×1+1， 乙醇的H=2×2+1， 丙醇的H=3×2+1， ..． ∴碳原子的数目为n(n为正整数)时，它的化学式为CnH2n+1OH．故答案为：CnH2n+1OH． 18 11.小刚家和小丽家到学校的路程都是3km,其中小丽走的是平路，骑车速度是2v km/h.小刚需要走1km上坡路和2km的下坡路，在上坡路上的骑车速度是v km/h,在下坡路上的骑车速度是3v km/h.如果他们同时出发，那么早到的人比晚到的人少用 　　h(结果化为最简)． 【解析】解：小刚上坡路走的时间： h, 下坡路走的时间： h, 总时间为： h； 小丽花费的时间为： h. 19 h, 故答案为： ． 20 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC＜AC，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B1.若点B1刚好落在边AC上，且∠CB1E=30°，CE=m,则BC的长为 ____ .(用含m的代数式表示) 【解析】解：∵在Rt△CEB1中，∠C=90°，∠CB1E=30°， ∴B1E=2CE=2m, 又∵将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B1，点B1刚好落在边AC上， ∴BE=B1E=2m, 则BC=CE+BE=m+2m=3m.故答案为：3m. 3m 21 13.若2a=5，2b=7，2c=70，则用a,b的代数式表示c为 ___________ ． 【解析】解：∵70=5×7×2，2a=5，2b=7，2c=70， ∴2c=2a×2b×21， ∴2c=2a+b+1， ∴c=a+b+1； 故答案为：c=a+b+1． c=a+b+1 22 14.如图，已知AB//CD，BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE，若2∠E-∠F=m°，则∠CDE=　　度．(用含m的代数式表示) 【解析】解：∵AB//CD， ∴∠E=∠ABE+∠CDE； ∠F=∠ABF+∠CDF． ∵BE和DF分别平分∠ABF和∠CDE， ∴∠ABF=2∠ABE； ∠CDE=∠CDF． 又∵2∠E-∠F=m°， ∴2(∠ABE+∠CDE)-(∠ABF+∠CDF)=m°， 即：2∠ABE-∠ABF+2∠CDE-∠CDF=m°， 23 ∠CDF=m°， ∴∠CDF= m°， 故答案为： m. 24 15.某动物园利用杠杆原理G1•L1=G2•L2称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态)，将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k(N)．设大象的重量为x(N)，若铁笼固定不动，移动弹簧秤使BP扩大到原来的10倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 　　(N)(用含k的代数式表示)． 【解析】解：由G1•L1=G2•L2得，k•PB=x•PA， 设移动弹簧秤后的点B为B′，读数为k′， ∴k′•PB′=x•PA， 25 ∴k′•PB′=k•PB， ∵PB′=10PB， ∴10k′•PB=k•PB， ∴k′= ， 故答案为： ． 26 16.如图，沿MN将正方形ABCD折叠为面积比是3：5的两部分(其中四边形AMNB面积较小)，点B落在CD边上的B′处，A′B′与AD相交于点G．若四边形MGB′N面积占正方形面积的 ，设B′G=m,B′N=n,用含m,n的式子表示MG的长是 　　． 【解析】解：设正方形ABCD的面积为8a, ∵沿MN将正方形ABCD折叠为面积比是3：5的两部分， ∴四边形AMNB的面积为3a,四边形DMNC的面积为5a, ∵四边形MGB′N面积占正方形面积的 ， ∴四边形MNB′G的面积为2a, 27 ∴S△B′DG+S△B′CN=3a,S△A′MG=a, ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∵四边形MGB′A′由正方形ABCD沿MN折叠得到的， ∴∠A′=∠A=90°，∠B′=∠B=90°， ∴∠DGB′=90°-∠DB′G=∠CB′N， ∴△DGB′～△CNB′， ∴ = = ， ∴S△DGB′= ， 28 ∵∠A′=∠D，∠MGA′=∠B′GD， ∴△MGA′～△DB′G， ∴ = ，即 = ， ∴MG= = ， 故答案为： ． 29 17.在综合实践课上，小聪用m张尺寸如图①所示的长方形白纸条(单位：厘米)，按图②所示的方法粘合得到长方形ABCD，粘合部分的长度为6厘米；小明用n张同样的纸片按如图③所示的方法粘合得到长方形A1B1C1D1，粘合部分的长度为4厘米． ____________ (1)当m=5时，求AB的长． (2)请用n的代数式表示A1B1的长． (3)现有图①所示长方形白纸条20张， 30 你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗？请写出分配方案，并说明理由．(注：图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张) 【解析】解：(1)AB=30×5-4×6=126厘米． (2)根据题意得： A1B1=10n-4(n-1)=6n+4． (3)设小聪应分配到x张长方形白纸条，则小明应分配到(20-x) 张长方形白纸条，依题意有： 10[30x-6(x-1)]=30[10(20-x)-4(20-x-1)]， 解得 ， 31 ∵图①纸条不能裁剪，且每人分到的纸条不能少于2张， ∴没有合适的分配方案． 32 18.甲、乙两个长方形的边长如图所示(m为正整数)，其面积分别为S1，S2． (1)用含m的代数式表示S1，S2，并求S2-S1的值； (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求这个正方形的面积．(用含m的代数式表示) 【解析】解：(1)S1=(m+5)(m+2)=m2+2m+5m+5=m2+7m+5； S2=(m+4)(m+3)=m2+3m+4m+12=m2+7m+12； ∴S2-S1=m2+7m+12-(m2+7m+5)=7． 33 (2)甲、乙两个长方形的周长之和为： 2(m+2+m+5)+2(m+4+m+3)=8m+28， ∴正方形的边长为：(8m+28)÷4=2m+7． 该正方形的面积为： (2m+7)2=4m2+28m+49． 答：该正方形的面积为4m2+28m+49． 34 19.(1)如图1，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n,用含m、n的代数式表示△AEG的面积． (2)如图2，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n,用含m、n的代数式表示△DBF的面积． (3)如图，正方形ABCD、正方形CEFG和正方形MNHF的位置如图所示，点G在线段AN上，已知正方形CEFG的边长为6，则△AEN的面积为 ____ (请直接写出结果，不需要过程) __________ 36 35 【解析】解：(1)△AEG的面积= (n+m)m+ n2- (m+n)•m= n2； (2)△DBF的面积= (n+m)n+ m2- n(m+n)= m2； (3)连接GE，如图3， 由(1)得△AEG的面积= ×36=18， 由(2)得△GEN的面积= ×36=18， 所以△AEN的面积=18+18=36．故答案为36． 36 20.今年冬天，南方游客在哈尔滨得到了一个可爱的呢称：“南方小土豆”．萧萧是来自广东的小土豆，他们一家在哈尔滨玩了3天，就舍不得走了，在我市购买了一套房，这是萧萧画的新房建筑平面图：(单位：米) (1)求地面面积(不考虑墙体厚度)； (2)萧萧想把所有房间的地面都铺上地砖．他在A、B两个商场看到同一款地砖，零售价都为78元/平方米，A商场规定：购买面积不超过12平米， 37 按总价的90%优惠；购买面积超过12平米按总价的85%优惠；超过24平米按总价的80%优惠． B商场规定如下表： 面积范围(平方米) 0～6 6以上～18 18以上 价格(元) 此范围费用按95%收取 此范围费用按85%收取 此范围费用按75%收取 当a=5，b=3时，你能通过计算帮助他选择在哪个商场购买更优惠？ 【解析】解：(1)地面面积=6×5.5+1×a+3×b=(33+a+3b)(平方米)， 答：地面面积为(33+a+3b)平方米； 38 (2)当a=5，b=3时，地面面积=47(平方米)， A商场的花费=47×78×80%=1804.8(元)， B商场的花费=6×78×95%+12×78×85%+29×78×75%=2936.7(元)， ∵1804.8＜2936.7， ∴在A商场购买更优惠． 39 三．代数式求值 40 21.根据流程图中的运算程序，当输入数据x=-5时，输出结果y为( ____ ) ____________ A.1 B.9 C.25 D.81 【解析】解：当x=-5时，y=(-5+4)2=1＜5， 当x=1时，y=(1+4)2=25＞5，故选：C． C 41 22.如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm,下列说法中正确的有(　　) ①小长方形的较长边为(y-12)cm； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为(x-y+4)cm； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A.1个 B.2个 42 C.3个 D.4个 【解析】解：∵小长方形的较短的边长为4cm, ∴阴影A的较长边为(y-12)cm,较短边为(x-8)cm； 阴影B的较长边为12cm. ∵阴影A的较长边与小长方形的较长边相等， ∴小长方形的较长边为：(y-12)cm.小长方形的较短边为：x-(y-12)=(x+12-y)cm. ∴①正确； ∵阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为： 43 (x-8)+(x+12-y)=2x-y+4． ∴②错误； ∵阴影A和阴影B的周长和为： 2×(y-12+x-8+12+x-y+12) =2×(2x+4) =4x+8， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值． ∴③正确； ∴阴影A和阴影B的面积和为： (y-12)(x-8)+12(x+12-y) =xy-8y-12x+96+12x+144-12y 44 =xy-20y+240， ∵当x=20时， xy-20y+240=20y-20y+240=240， ∴当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值． ∴④正确． 综上，正确的结论有：①③④， 故选：C． 45 23.若a-2b+3=0，则代数式8b-4a的值是( ____ ) A.8 B.10 C.12 D.24 【解析】解：∵a-2b+3=0， ∴4a-8b+12=0， ∴8b-4a=12． 故选：C． C 46 24.已知a-b=3ab(a≠0，b≠0)，则 的值是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵a-b=3ab(a≠0，b≠0)， ∴ ， 故选：A． A 47 25.数学课上，老师给出如下运算程序 ________________ 运算规则：如果结果不大于0，就把结果作为输入的数进行第二次运算，依此运行，直到结果大于0输出结果，运算程序停止． (1)当输入的数是-3时，需要经过几次运算才能输出结果，并求出输出的结果； (2)当输入x后，经过一次运算，结果即符合要求，求出x的非正整数值． 【解析】解：(1)第一次运算：(-3)×2+4=-6+4=-2， 48 第二次运算：(-2)×2+4=-4+4=0， 第三次运算：0×2+4=0+4=4， ∴需要经过3次运算才能输出结果，输出的结果是4； (2)根据题意可得：2x+4＞0， 解得：x＞-2， ∵x为非正整数， ∴x的值为-1，0． 49 26.历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示．例如f(x)=x2+3x-5，把x等于某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如x=-1时多项式x2+3x-5的值记为f(-1)=(-1)2+3×(-1)-5． (1)已知g(x)=-2x2-3x+1，求出g(-3)的值； (2)已知h(x)=mx3+2x2-x-14， ，求m的值． 【解析】解：(1)∵g(x)=-2x2-3x+1， ∴g(-3)=-2×(-3)2-3×(-3)+1 =-2×9+9+1 =-8； 50 (2)∵h(x)=mx3+2x2-x-14， ， ∴ ， 则 ，解得m=-16． 51 四．合并同类项 52 27.阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+⋯+22020+22021的值，采用以下方法： 设S=1+2+22+⋯+22020+22021①， 则2S=2+22+⋯+22021+22022②， ②-①得，2S-S=S=22022-1． 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)5+52+53⋯+520=　　； (2) =　　； (3)求(-3)+(-3)2+(-3)3⋯+(-3)100的值．(请写出计算过程) 53 【解析】解：(1)令S=5+52+53+⋯+520，①， 则5S=52+53+⋯+521②， ②-①得，5S-S=4S=521-5， ∴S= ； 故答案为： ； (2)令S= ①， 则 S= + +⋯+ ②， 54 ②-①得， S-S=- S= -1， ∴S=2- ； 故答案为：2- ； (3)令S=(-3)+(-3)2+(-3)3⋯+(-3)100①， 则-3S=(-3)2+(-3)3+⋯+(-3)101②， ②-①得，-3S-S=-4S=(-3)101-(-3)， ∴S= ， 故(-3)+(-3)2+(-3)3⋯+(-3)100= ． 55 五．规律型 56 28.对于以下式子：A=x+y,B=x-y,C=x-2y,D=xy,下列说法正确的有(　　) (1)如果x=0，则无论y取何常数，A，B，C，D调整顺序后可组成一列数，这列数后项减去前项的差均相等； (2)代数式A⋅B-2C2-2D一定是非负数； (3)如果A为第1项，B为第2项，C为第3项，第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项，第2项与第3项的和减去第4项的结果为第5项，……，依此类推，则第2024项为x+3032y. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 57 【解析】解：(1)当x=0时，A=y,B=-y,C=-2y,D=0， 当排列为：C、B、D、A时，A-D=D-B=B-A=y, 故(1)是正确的； (2)A⋅B-2C2-2D=(x+y)-(x-y)-2(x-2y)2-2xy=2y-2(x-2y)2-2xy不一定是非负数， 故(2)是错误的； (3)这列数为：x+y,x-y,x-2y,x+2y,x-5y,x+5y,x-8y,x+8y,x-11y,x+11y,……， 两个为一组，每组中x的系数都是1，y的系数是互为相反数，且绝对值一次增加3， ∴第2024项为x+3032y, 故(3)是正确的；故选：C． 58 29.将1， ， ， ， 按右侧方式排列．若规定(m,n)表示第m排从左向右第n个数，则(7，3)所表示的数是 　　；(5，2)与(20，17)表示的两数之积是 　　． 【解析】解：(7，3)表示第7排从左向右第3个数，表示按1， ， •••排列后的第1+2+3+4+5+6+3=24个数，由24=5×4+4，得(7，3)表示按1， ， 排列后的第4个数，即 ． 故答案为： ． (5，2)表示第5排从左向右第2个数，表示按1， ， 59 •••排列后的第1+2+3+4+2=12个数，由12=5×2+2，得(5，2)表示按1， ， 排列后的第2个数，即 ．同理可得(20，17)也表示 ，故(5，2)与(20，17)标的两数之积是 =2． 故答案为：2． 60 30.根据公式(a-b)(an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1)=an-bn(其中n为正整数，且n≥2)．计算-511+510-59+58-57+…-53+52-5+ =　　． 【解析】解：由题知， (-5)12-112=(-5-1)×[(-5)11+(-5)10×1+(-5)9×12+…+(-5)×110+111]， 所以512-1=(-6)×(-511+510-59+…-5+1)， 则-511+510-59+58-57+…-53+52-5= ， 所以-511+510-59+58-57+…-53+52-5+ = ．故答案为： ． 61 31.A、B、C、D四人做传数游戏，A任报一个数给B，B把这个数减1传给C，C再把所得的数平方后传给D，D把所听到的数加2报出答案． (1)若A报的数为21，则D的答案是 _____ ； (2)设A报给B的数为x,若D报出的答案是27，求A传给B的数是多少？ 【解析】解：(1)根据题意可知， ∵A报的数为21， ∴B传给C的数为：21-1=20， ∴C传给D的数为：202=400， ∴D报出的答案为：400+2=402， 故答案为：402． 402 62 (2)根据题意可列：(x-1)2+2=27， 即：(x-1)2=25， 解得：x=6或x=-4， 答：A传给B的数是6或-4． 63 32.(1)填空： 21-20=　　=2 　　 22-21=　　=2 　　 23-22=　　=2 　　 … (2)探索(1)中的式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算20+21+22+…21000． 【解析】解：(1)21-20=2-1=2(1- ) 22-21=4-2=2(2-1) 64 23-22=8-4=2(22-2)， 故答案为：2-1；1- ；4-2；2-1；8-4；22-2； (2)第n个等式为：2n-2n-1=2(2n-1-2n-2)， 理由如下：2(2n-1-2n-2)=2×2n-1-2×2n-2=2n-2n-1； (3)20+21+22+..+21000 =2×(20+21+22+..+21000)-(20+21+22+..+21000) =21-20+22-21+23-22+…+21001-21000 =21001-1． 65 33.观察下列等式： 第1个等式： - ； 第2个等式： ； 第3个等式： ； 第4个等式： ； … 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：　　； 66 (2)写出你猜想的第n个等式：　　(用含n的等式表示)，并证明． 【解析】解：(1) ； (2) ， 证明：∵左边= ， 右边= = = ， ∴左边=右边． 故原等式成立． 67 34.观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． …… 按照以上规律，解决下列问题： 68 (1)写出第6个等式：　　； (2)写出你猜想的第n个等式：　　(用含n的等式表示)，并证明． 【解析】解：(1)∵第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． 69 …… ∴第六个等式为： + - = ， 故答案为： + - = ； (2)第n个等式为： + - = ． 故答案为： + - = ． 70 六．规律型 71 35.下列图形是按照一定规律排列的，其中第①个图形中有3个圆点，第②个图形中有9个圆点，第③个图形中有18个圆点，按此规律排列下去，第⑦个图形中的圆点的个数为( ____ ) A.80 B.82 C.84 D.86 【解析】解：第①个图形有：3=3×1个圆点； C 72 第②个图形有：9=3×(1+2)个圆点； 第③个图形有：18=3×(1+2+3)个圆点； ……， ∴可知第n个图形有： 个圆点， ∴第⑦个图形有： 个圆点． 故选：C． 73 36.如图、小红用边长为1的等边三角形做镶嵌的探究活动，第①个图案由2个等边三角形组成，第②个图案由6个等边三角形组成，第③个图案由10个等边三角形组成…按照这样的规律排列下去，则第⑥个图案中，边长为1的等边三角形的个数为( ____ ) A.17 B.22 C.27 D.32 B 74 【解析】解：由题目可知： 第①个图案由2个等边三角形组成，即2=2×1； 第②个图案由6个等边三角形组成，即6=2×2+2×1； 第③个图案由10个等边三角形组成，即10=2×3+2×2； …， 则第n个图案中所包含的等边三角形的个数为：2n+2(n-1)=4n-2， ∴第⑥个图案中，边长为1的等边三角形的个数为：4×6-2=22， 故选：B． 75 37.如图，中国结寓意着美满团圆，其中间的图案是由小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形共有小正方形14个；第2个图形共有小正方形19个；第3个图形共有小正方形24个；…；则第20个图形中小正方形的总个数为( ____ ) ___________ A.114 B.109 C.104 D.99 B 76 【解析】解：由所给图形可知， 第1个图形中小正方形的总个数为：14=1×5+9； 第2个图形中小正方形的总个数为：19=2×5+9； 第3个图形中小正方形的总个数为：24=3×5+9； …， 所以第n个图形中小正方形的总个数为(5n+9)个， 当n=20时， 5n+9=5×20+9=109(个)， 即第20个图形中小正方形的总个数为109个． 故选：B． 77 38.如图，用大小相同的黑白两种小正方形按一定规律摆放，第1个图案中白色小正方形为5个，第2个图案中白色小正方形为8个，……，则第2024个图案中白色小正方形的个数为 ______ 个． ________ 【解析】解：第1个图案中白色小正方形为5个，即5=2+1×3， 第2个图案中白色小正方形为8个，即8=2+2×3， 第3个图案中白色小正方形为11个，即11=2+3×3， 6074 78 ⋯ ∴第2024个图案中白色小正方形的个数为：2+2024×3=6074， 故答案为：6074． 79 39.如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒…若按照这样的方法拼成的第2024个图形需要 ________ 根小木棒． _____________ 【解析】解：根据所给的图形可知， 拼成1个图形需要的小木棒的根数为：6=1×8-2； 拼成2个图形需要的小木棒的根数为：14=2×8-2； 拼成3个图形需要的小木棒的根数为：22=3×8-2； …， 16190 80 所以拼成2024个图形需要的小木棒的根数为：2024×8-2=16190． 故答案为：16190． 81 40.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面： ___________ (1)观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ … 黑色瓷砖的块数 4 7 ____ … 黑白两种瓷砖的总块数 9 15 ____ … (2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为 ____________ ，黑白两种瓷砖的总块数为 ____________ (用含n的代数式表示)； (3)白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗？若能， (3n+1)块 (6n+3)块 10 21 82 求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【解析】解：(1)由所给图形可知， 第1个图形中黑色瓷砖的块数为：4=1×3+1，黑白两种瓷砖的总块数为：9=1×6+3； 第2个图形中黑色瓷砖的块数为：7=2×3+1，黑白两种瓷砖的总块数为：15=2×6+3； 第3个图形中黑色瓷砖的块数为：10=3×3+1，黑白两种瓷砖的总块数为：21=3×6+3； …， 所以第n个图形中黑色瓷砖的块数为(3n+1)块， 83 黑白两种瓷砖的总块数为(6n+3)块； 故答案为：10，21． (2)根据(1)发现的规律可知， 第n个图形中黑色瓷砖的块数为(3n+1)块，黑白两种瓷砖的总块数为(6n+3)块； 故答案为：(3n+1)块，(6n+3)块． (3)不可能． 令6n+3=2024， 解得n= ， 又因为n为正整数，所以白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数不可能是2024块． 84 七．多项式 85 41.在代数式 ，3x,2πx2y, ，-5， 中，单项式的个数是( ____ ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解析】解： ，3x,2πx2y,-5是单项式， 是多项式， 是分式， ∴单项式的个数是：4，故选：C． C 86 八．整式的加减 87 42.已知有序整式串：m-n,m,对其进行如下操作： 第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：-n,m-n,m； 第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：-m,-n,m-n,m； 依次进行操作．下列说法： ①第3次操作后得到的整式串为：-m+n,-m,-n,m-n,m； ②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等； ③第2024次操作后得到的整式串各项之和为m-2n. 其中正确的个数是( ____ ) A.0 C 88 B.1 C.2 D.3 【解析】解：第3次操作后得到的整式串为：-m+n,-m,-n,m-n,m,故①正确； 第1次操作后得到的整式为：-n, 第2次操作后得到的整式为：-m, 第3次操作后得到的整式为：-m+n, 第4次操作后得到的整式为：n, 第5次操作后得到的整式为：m, 89 第6次操作后得到的整式为：m-n, 第7次操作后得到的整式为：-n,..． ∴得到的整式每6次一循环， 11÷6=1...5，22÷6=3...4， ∴第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式不相等，故②错误； 第1次操作后得到的整式串各项之和为：2m-2n, 第2次操作后得到的整式串各项之和为：m-2n, 第3次操作后得到的整式串各项之和为：-n, 第4次操作后得到的整式串各项之和为：0， 第5次操作后得到的整式串各项之和为：m, 第6次操作后得到的整式串各项之和为：2m-n, 90 第7次操作后得到的整式串各项之和为：2m-2n,..． ∴得到的整式串各项之和每6次一循环， 2024÷6=337...2， ∴第2024次操作后得到的整式串各项之和为：m-2n,故③正确． 故选：C． 91 43.下列运算中，正确的是( ____ ) A.4a-9a=5a B.3a-3a=0 C.a3-a2=a D.-2(a+b)=-2a-b 【解析】解：A项，4a-9a=-5a,故A项不符合题意； B项，3a-3a=0，故B项符合题意； C项，a3-a2不能合并同类项，故C项不符合题意； D项，-2(a+b)=-2a-2b,故D项不符合题意， 故选：B． B 92 44.一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“等和数”．将“等和数” 的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则a+d= ____ ，在此条件下，若F(M)= 为整数，则满足条件的M的和为 ________ ． 【解析】解：∵M=1000a+100b+10c+d, N=1000c+100d+10a+b, 根据“博雅数”的定义得a+d=b+c, 9 35451 93 故N=1000c+100d+10a+b=999c+99d+9a+a+b+c+d=999c+99d+9a+2(a+d)， ∵N能被9整除， ∴2(a+d)能被9整除， ∴a+d=9． 故答案为：9． M+N =1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b =1010a+101b+1010c+101d =1014a+104d+1014c+104d-4a-3d-4c-3b =1014a+104d+1014c+104d-(4a+3d+4c+3b) 94 ∵1014a+104d能被13整除， ∴4a+3d+4c+3b能被13整除， ∵a+d=b+c=9， ∴4a+3d+4c+3b =52+2+a+c ∴2+a+c能被13整除， ∴a+c=11． 当a=3时，c=8，故b=1，d=6，故这个数是3186． 当a=4时，c=7，故b=2，d=5，故这个数是4275． 当a=5时，c=6，故b=3，d=4，故这个数是5364． 当a=6时，c=5，故b=4，d=3，故这个数是6453． 95 当a=7时，c=4，故b=5，d=2，故这个数是7542． 当a=8时，c=3，故b=6，d=1，故这个数是8631． 故这6个数的和为数是3186+4275+5364+6453+7542+8631=35451． 故答案为：35451． 96 45.若一个两位数N满足N=ab+a+b,其中a、b均为正整数，则称N为好数，那么最大的好数是 ____ ；若a、b同时还满足 或4，则称N为绝对好数，那么绝对好数的个数为 ____ ． 【解析】解：①∵N=ab+a+b, ∴N+1=ab+a+b+1=(a+1)(b+1)， ∵a≥1，b≥1， ∴(a+1)(b+1)≥4，即N+1≥4， ∴N+1是合数， 又∵10≤N≤99， 99 4 97 ∴12≤N+1≤100，且N+1是合数， ∵N+1的最大值为100， ∴N的最大值为99； ②若 ，则3a+3b=ab,整理得 (a-3)(b-3)=9． ∵a,b都是正整数， ∴ 或 或 ， ∴ 或 或 ， ∴N=64或48； 98 若 ，则4a+4b=ab,整理得 (a-4)(b-4)=16． ∵a,b都是正整数， ∴ 或 或 或 或 ， ∴ 或 或 或 或 ， ∴N=125(舍)或90或80． 综上，绝对好数分别为48，64，80，90，共4个， 故答案为：4． 99 46.关于x的整式A=2x+1，它的各项系数之和为：2+1=3(常数项系数为常数项本身)．已知B是关于x的整式，最高次项次数为2，系数为1，若B•(x+3)=C，C是一个只含两项的多项式，则B各项系数之和的最大值为 ____ ． 【解析】解：∵B•(x+3)=C，C是一个只含两项的多项式， ∴B是一个单项式， ∵B是关于x的整式，最高次项次数为2，系数为1， ∴B=x2， ∴B各项系数之和的最大值为：1． 故答案为：1． 1 100 47.如果一个四位自然数 的各数位上的数字均不为0，满足 ，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数3268，∵32+68=100，∴3268是“和百数”；又如四位数4367，∵43+67=110≠100，∴4367不是“和百数”．若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被11整除，则满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是 ______ ． 【解析】解：∵ 是“和百数”， ∴10a+b+10c+d=100， ∴ =100a+10b+c+100b+10c+d=a+99a+110b+11c+d, 6534 101 ∵一个“和百数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被11整除， ∴ +9a+10b+c 是整数， ∵各数位上的数字均不为0， ∴2≤a+d≤18， ∴a+d=11， 当a=9，d=2时，10×9+b+10c+2＞100(不符合题意，舍去)， 当a=8，d=3时，10×8+b+10c+3=100， 即b+10c=17， ∴c=1，b=7， 102 此为满足条件时最大值8713， 当a=2，d=9时，10×2+b+10c+9=100， 即b+10c=71， ∴c=7，b=1， 此为满足条件时最小值2179， ∴8713-2179=6534， 故答案为：6534． 103 48.定义：a,b,m为实数，若a+b=m,则称a与b是关于 的对称数． (1)2与4是关于 ____ 的对称数，5-x与 _____ 是关于3的对称数； (2)若a=-2x2+3x-4，b=-5x+2x2+2，且a与b是关于-1的对称数，试求出x的值． 【解析】解：(1)∵2+4=6， ， ∴2与4是关于3的对称数； 由题意得：2×3-(5-x) =6-5+x =1+x, 3 1+x 104 ∴5-x与1+x是关于3的对称数； 故答案为：3；1+x； (2)∵a=-2x2+3x-4，b=-5x+2x2+2，且a与b是关于-1的对称数， ∴a+b=-1×2， -2x2+3x-4-5x+2x2+2=-2， -2x-2=-2， x=0． 105 49.化简 (1) ； (2)3x-4y+7x+y； (3) ； (4)(5-x+2x2)-(x2-2x+3)． 【解析】解：(1) = 106 = ； (2)3x-4y+7x+y =(3x+7x)+(y-4y) =10x-3y； (3) = = ； (4)(5-x+2x2)-(x2-2x+3) 107 =5-x+2x2-x2+2x-3 =2x2-x2+2x-x+5-3 =x2+x+2． 108 九．整式的加减 109 50.先化简，再求值：3x2+5y-2(x2+3y)，其中x=-2，y=3． 【解析】解：3x2+5y-2(x2+3y) =3x2+5y-2x2-6y =x2-y, 当x=-2，y=3时，原式=(-2)2-3=1． 110 $$