第3章 整式及其加减 培优突破练习 课件 --2024--2025学年北师大版数学七年级上册

第3章 整式及其加减 培优突破练习 【6个考点50题专练】 2024−2025学年北师大版 数学七年级上册 1 一．列代数式 二．代数式求值 三．规律型 四．规律型 五．整式的加减 六．整式的加减 2 一．列代数式 3 1.曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗(b＜a)；若分给(m+10)个学生，则每个学生分3颗，还剩(b+1)颗，则a的值可能是( ____ ) A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】解：∵根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有(ma+b)颗糖， 根据分给(m+10)个学生，则每个学生分3颗，还剩(b+1)颗，可得共有[3 A 4 (m+10)+(b+1)]颗糖， ∴ma+b=3(m+10)+(b+1)， ∴a=3+ ， ∵a,m为正整数， ∴m=31或1， 当m=31时， ∴a=4， 当m=1时，a=34，没有这个选项，舍弃． 故选：A． 5 2.如图．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正方形放在一起(a＞0，b＞0)则三角形ABC的面积是 　　 【解析】解：延长FA交HB的延长线于E，则HE=a+b,=cf,EB=a,AE=b-a,____ 则AE⊥BE，由三角形的面积公式得：S△ABC=S矩形EFCH-S△AEB-S△BHC-S△AFC =(a+b)b- (b-a)a- b•b- (a+b)a, 6 = b2． 另解：连接AG，则有BC∥AG，三角形ABC面积可转换为三角形BCG面积，即可求得结果． 故答案为： b2． 7 3.现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正方形卡片( a＜b＜a)，如图1；取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图2；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成的图案如图3．则图3中阴影部分的面积为 　　(用含有a,b的代数式表示)；已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab-15，则小正方形卡片的面积是 　　． __________ 8 【解析】解：图2中阴影部分是正方形，它的边长是(2b-a)， 所以它的面积就是(2b-a)2． 图3中阴影部分可以上下拼合到一起，其边长就是(a-b)， 所以它的面积就可以表示为：(a-b)2． 又因为图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大2ab-15， 所以可得： (2b-a)2+2ab-15=(a-b)2， 4b2-4ab+a2+2ab-15=a2+b2-2ab, 3b2=15， b2=5， 故小正方形的面积是5． 9 4.在Rt△ACB中，∠ACB=90°，将Rt△ACB沿EF折叠，使得点A恰好落在BC的延长线上的点D处，DF交边AC于点G．若DF⊥AB，2AF=3BF，AF=b，∠EDC=α，则∠A的度数是 　　(用α的代数式表示)；DG的长度为 　　(用b的代数式表示)． 【解析】解：(1)由折叠可得∠A=∠EDF， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵DF⊥AB， ∴∠DFE=90°， 10 ∴∠BDF+∠B=90°， ∴∠A=∠BDF， ∴∠A= = ， (2)∵2AF=3BF，AF=b， ∴BF= b, ∵∠BFD=∠GFA，DF=AF，∠A=∠BDF， ∴△BDF≌△GAF， ∴BF=GF= b, 11 ∴DG=b- b= ． 故答案为： ， ． 12 5.如图是某住宅的平面结构示意图(单位：米)，图中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含x,y的代数式分别表示客厅和卧室(含卧室A和B)的面积； (2)若x-y=3，xy=6，求卧室(含卧室A和B)比客厅大多少平方米． 【解析】解：(1)客厅的长为(x+y)，宽为x, 因此面积为：x(x+y)=(x2+xy)平方米， 卧室是长为(2x+y)米，宽为：[2x-(x-y)]=(x+y)米的长方形， 因此卧室的面积为：(2x+y)(x+y)=(2x2+3xy+y2)平方米； 13 (2)卧室比客厅大的面积为： (2x2+3xy+y2)-(x2+xy) =2x2+3xy+y2-x2-xy =x2+2xy+y2=(x+y)2 =(x-y)2+4xy, 当x-y=3，xy=6时， 原式=9+24=33(平方米)， 答：卧室比客厅大33平方米． 14 6.2024年2月17日，第十四届全国冬季运动会在内蒙古举行，本届比赛首次设置了群众组比赛．如图所示，某比赛场馆的平面示意图是长方形，中间为比赛区，四周为宽度均为5米的观众区，请你计算这一场馆总的占地面积是多少平方米？(用含x的代数式表示) 【解析】解：场馆的长为(5+x+5)=(10+x)米， 宽为(5+ x+5)=(10+ x)米，∴面积是(10+x)(10+ x)=( x2+16x+100)平方米． 15 7.某中学新建了一个音乐喷泉(图1)，如图2，喷泉的水从出水管喷出形成漂亮的水柱，当出水量达到最大时，喷泉会响起优美的音乐，此时水柱的高度比出水管的高度的2倍还高10cm,设出水管的高度为x cm. (1)直接用含x的代数式表示水柱的高度为 ___________ cm. (2x+10) 16 (2)当喷泉响起优美的音乐时，出水管和水柱的总高度为130cm,求出水管的高度． 【解析】解：(1)因为水柱的高度比出水管的高度的2倍还高10cm,且出水管的高度为x cm, 所以水柱的高度可表示为：(2x+10)cm. 故答案为：(2x+10)． (2)由题知， x+(2x+10)=130， 解得x=40， 答：出水管的高度为40cm. 17 8.中国书法是中华文化瑰宝，是基础教育的重要内容．东东同学写了一幅五尺单条(长为153cm,宽为42cm)书法作品，如图所示进行装裱，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，装裱后的长是装裱后的宽的4倍．已知天头和地头的长之比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 ，若设边的宽为x厘米． (1)请用含x的代数式表示装裱后的长． (2)求边宽和天头长． 【解析】解：(1)设边的宽为x厘米， 18 ∵天头和地头的长之比是6：4， 设天头为6a cm,则地头为4a cm, ∴左右边的宽为： ， ∴装裱后的长为：153+6x+4x=(153+10x)(cm)． (2)由(1)得：宽为：(42+2x)cm, ∴153+10x=4(42+2x)， 整理得，2x=15， ∴x=7.5， ∴边的宽为7.5cm,天头的长为6x=6×7.5=45cm. 19 9.仔细阅读如图对话，解决下列问题． _____ (1)若小朋友买x份凤爪，则买了凤爪和泡面后剩余多少钱？(用关于x的代数式表示) (2)小朋友至多买多少份凤爪？ 20 【解析】解：(1)100-8x-5(15-x) =25-3x, (2)25-3x≥0或8x+5(15-x)≤100， ∴ ， ∵x为整数， ∴x=8， 即小朋友至多买8份凤爪． 21 二．代数式求值 22 10.若a＜b＜c,x＜y＜z,则下面四个代数式的值最大的是( ____ ) A.ax+by+cz B.ax+cy+bz C.bx+ay+cz D.bx+cy+az 【解析】解：∵b＜c,y＜z, ∴b-c＜0，y-z＜0， ∴(ax+by+cz)-(ax+bz+cy)=by+cz-bz-cy=b(y-z)-c(y-z)=(y-z)(b-c)＞0， ∴ax+by+cz＞ax+bz+cy,即A＞B． 同理：A＞C，B＞D，∴A式最大． 故选：A． A 23 三．规律型 24 11.从正整数里取出k个不同的数，使得这k个数中任意两个数之差的绝对值是质数，则k的最大值是( ____ ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】解：显然4个数1，3，6，8满足题目要求，故所求k的最大值≥4， 若k≥5，记第n个数为an(n为正整数)，不妨设a1＜a2＜…＜an， 分情形讨论如下： B 25 (1)若a1为奇数，a2为奇数，于是|a1-a2|=a2-a1为偶数， 又a2-a1为质数， 故a2-a1=2，即a2=a1+2； 若a3为奇数，又a3≠a2， 故a3-a1为不等于2的偶数， 即a3-a1为不小于4的偶数， 即a3-a1为合数，矛盾． 故a3为偶数，a4也只能为偶数， 那么，若a5为奇数， 则a5-a1＞a3-a1≥2为偶数， 即a5-a1为不小于4的偶数， 26 从而a5-a1为合数，矛盾； 若a5为偶数，则a5-a3＞a4-a3≥2为偶数， 从而a5-a3为合数，矛盾； (2)a1为奇数，a2为偶数， 于是a2-a1为奇数，即a2-a1≥3， 若a3为奇数，则a3-a1＞a2-a1≥3为偶数， 故a3-a1为合数，矛盾， 所以a3为偶数，且a3＞a2， 若a4为奇数，则a4-a1＞a3-a1＞3为不小于4的偶数，即a4-a1为合数，矛盾； 若a4为偶数，则a4-a2＞a3-a2＞2为不小于4的偶数，即a4-a2为合数， 27 矛盾； (3)a1为偶数，a2为奇数或偶数，都类似于(1)，(2)可导致矛盾， 综上，所求k的最大值是4， 故选：B． 28 12.有n个依次排列的整式：第一项是x2；第二项是x2-2x+1；用第二项减去第一项，所得之差记为m1，将m1加2记为m2，将第二项与m2相加作为第三项；将m3加2记为m3，将第三项与m3相加作为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将到4个结论：①m5=-2x+9；②当x=3时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则x=-4；④第2022项为(x-2023)2； ⑤当n=100时，m1+m2+…+m100=104-200x；以上结论正确的是( ____ ) A.①②④ B.②④⑤ C.①②⑤ D.①③⑤ D 29 【解析】解：由题意可知，第一项为(x-0)2，第二项为(x-1)2， ∴m1=x2-2x+1-x2=-2x+1=-2x+2×1-1， ∴m2=-2x+3=-2x+2×2-1， ∴m3=-2x+3+2=-2x+5=-2x+2×3-1， ∴m5=m4+2=m3+2+2=-2x+5+2+2=-2x+9=-2x+2×5-1， ....． ∴mn=-2x+2n-1， 故①正确； ∵将第二项与m2相加作为第三项， ∴第三项为x2-2x+1+(-2x+3)=x2-2x+1-2x+3=x2-4x+4=(x-2)2， 当x=3时，(x-2)2=1， 30 故②错误； ∵将第3项与m3相加作为第四项， ∴第4项为x2-4x+4+(-2x+5)=x2-4x+4-2x+5=x2-6x+9=(x-3)2， 以此类推，第n项为[x-(n-1)]2， ∴第4项为(x-4)2， ∵第5项与第4项之差为15， ∴(x-4)2-(x-3)2=15， 解得x=-4， 故③正确； ∵第n项为[x-(n-1)]2， ∴第2022项为(x-2021)2， 31 故④错误； ∵mn=-2x+(2n-1)， ∴m1+m2+…+m100 =(-2x+2×1-1)+(-2x+2×2-1)+(-2x+2×3-1)+...+(-2x+2×100-1) =100×(-2x)+2(1+2+3+...+100)-100 =-200x+2×50×101-100 =-200x+10000， 故⑤正确． 故选：D． 32 13.有一组非负整数：a1，a2，…，a2022．从a3开始，满足a3=|a2-a1|，a4=|a3-a2|，a5=|a4-a3|，…，a2022=|a2021-a2020|，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论：①当a1=0，a2=1时，a7=0；②当a1=2，a2=5时，a1+a2+a3+…+a2022=1346；③当a1=x,a2=x-3，a5=0时，x=3或9；④当a1=k+1，a2=k(k为正整数)时，an=1(n≥1，n为整数)．其中正确的结论个数有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 33 【解析】解：根据题意有， ①当a1=0，a2=1时，a3=1，a4=0，a5=1，a6=1，a7=0， 故①结论正确； ②当a1=2，a2=5时，a3=3，a4=2，a5=1，a6=1，a7=0，a8=1，a9=1，a10=0，a11=1，a12=1，a13=0，…， 2022-4=2018，2018÷3=672……2， ∴a2020=0，a2021=1，a2022=1， a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13+…+a2020+a2021+a2022， =2+5+3+2+(1+1+0)+(1+1+0)+(1+1+0)+…+1+1 =12+2×672+2 =1358， 34 故②结论错误； ③当a1=x,a2=x-3时，a3=|x-3-x|=3，a4=|3-(x-3)|=|6-x|，a5=||6-x|-3|， ∵a5=0， ∴||6-x|-3|=0， ∴|6-x|-3=0，解得x=3或x=9， 故③结论正确； ④特殊值法求解，令k=1， 则a1=k+1=2，a2=1，a3=1，a4=0，a5=1，a6=1，a7=0，…， 显然an不一定等于1，也可能an=0， 故④结论错误； 综上所述，正确的结论个数为2个．故选：B． 35 14.如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的x的值为81，我们看到第一次输出的结果为27，第二次输出的结果为9…第2024次输出的结果为( ____ ) ______ A.1 B.3 C.9 A 36 D.27 【解析】解：将x=81输入程序中计算， 第1次计算结果： ×81=27， 第2次计算结果： ×27=9， 第3次计算结果： ×9=3， 第4次计算结果： ×3=1， 第5次计算结果：1+2=3， 37 第6次计算结果： ×3=1， 第7次计算结果：1+2=3， ⋯ 由此可得：从第3次开始，每两次是一个循环，为3，1， ∵ =1011， ∴第2024次输出的结果为：1， 故选：A． 38 15.观察一列单项式：x,-3x3，7x5，-15x7，31x9，⋯．则第n个单项式是( ____ ) A.(-1)n+1(2n-1)x2n-1 B.(-1)n(2n-1)x2n+1 C.(-1)n+1(2n-1)x2n-1 D.(-1)n(2n+1)x2n-1 【解析】解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负， ∴可以用(-1)n-1或(-1)n+1来表示，其中n为大于1的正整数， ∵数字系数(不含正负)为：1，3，7，15，31，⋯， ∴第n个单项式的数字系数(不含正反)为：2n-1， C 39 ∵指数是从1开始的连续奇数， ∴第n个单项式的指数为：2n-1， 因此，第n个单项式为：(-1)n-1(2n-1)x2n-1或(-1)n+1(2n-1)x2n-1， 故选：C． 40 16.10个人围成一圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是3的人心里想的数是( ____ ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 B 41 【解析】解：设报3的人心里想的数是x,则报5的人心里想的数应是8-x,于是报7的人心里想的数是12-(8-x)=4+x,报9的人心里想的数是16-(4+x)=12-x,报1的人心里想的数是20-(12-x)=8+x,报3的人心里想的数是4-(8+x)=-4-x,所以得x=-4-x,解得x=-2． 故选：B． 42 17.观察以下一列数的特点：0，-1，4，-9，16，-25，则第21个数是( ____ ) A.441 B.-441 C.-400 D.400 【解析】解：0，-1，4，-9，16，-25，..． 数字的通式可写为(-1)n-1(n-1)2， ∴第21个数是(-1)20(21-1)2=202=400． 故选：D． D 43 18.下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中x的值是( ____ ) ______________ A.135 B.170 C.209 D.252 【解析】解：根据表格可得规律： 第n个表格中， 左上数字为n, C 44 左下数字为n+1， 右上数字为2(n+1)， 右下数字为2(n+1)(n+1)+n, ∴20=2(n+1)， 解得n=9， ∴a=9，b=10，x=10×20+9=209． 故选：C． 45 19.按一定规律排列的一组多项式：a+b2，3a-b3，5a+b4，7a-b5，9a+b6，…，它的第2024个多项式是( ____ ) A.4047a+b2025 B.4047a-b2025 C.4049a+b2025 D.4049a-b2025 【解析】解：按一定规律排列的一组多项式：a+b2，3a-b3，5a+b4，7a-b5，9a+b6，…， ∴第n个多项式：(2n-1)a+(-b)n+1， ∴第2024个多项式是：(2×2024-1)a+(-b)2024+1=4047a-b2025，故选：B． B 46 20.定义一种关于整数n的“F”运算： (1)当n是奇数时，结果为3n+5； (2)当n是偶数时，结果是 (其中k是使 是奇数的正整数)，并且运算重复进行．例如：取n=58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，…；若n=9，则第2020次运算结果是( ____ ) A.1 B.2 C.7 D.8 A 47 【解析】解：由题意n=9时，第一次经F运算是3×9+5=32，第二次经F运算是 =1，第三次经F运算是3×1+5=8，第四次经F运算是 =1… 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， ∴第2020次运算结果1， 故选：A． 48 21.有依次排列的两个不为零的代数式x、 ，用后一项与前一项作和，可以得到代数式 x,记作第1次操作，并得到代数式串为x、 ；用第1次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作差，得到代数式a2=x,记作第2次操作，并得到代数式串为x、 、 、x；用第2次操作得到的代数式串的最后一项与前一项作和，得到代数式 ，记作第3次操作，并得到代数式串为x、 、 、x、 ；…；循环操作下去． 49 下列说法： ①第6次操作后得到的代数式串为x、 、 、x、 、 、 、 ；②a2022=a2025；③ ；④a2023=a2015+2a2017+a2019． 其中，正确的个数是( ____ ) A.0 B.1 C.2 D.3 D 50 【解析】解：由题中规律可得，a4= ，a5= ，a6= ，..． 故6次操作后代数式串为x、 、 、x、 、 、 、 ，故①正确； 由规律得，a2n-1=a2n+2， ∵a2022中2022为偶数，故②不正确； 依规律推算得， ，故③正确， 由规律得，a2n-1+a2n+1=a2n+3， 51 即a2015+a2017=a2019，a2017+a2019，=a2021， ∴a2015+a2017+a2017+a2019=a2019+a2021=a2023， ∴a2023=a2015+2a2017+a2019．故④正确； 故选：D． 52 22.如图，在2022个“〇”中依次填入一列数m1，m2，m3，⋯，m2022，使得其中任意四个相邻“〇”中，所填之数的和都等于21，已知m19=2x+1，m2022=-5x,则m1的值为( ____ ) A.-1 B.1 C.-19 D.19 D 53 【解析】解：∵任意四个相邻“〇”中，所填数字之和都等于21， ∴m1+m2+m3+m4=m2+m3+m4+m5，m2+m3+m4+m5=m3+m4+m5+m6，m3+m4+m5+m6=m4+m5+m6+m7，m4+m5+m6+m7=m5+m6+m7+m8， ∴m1=m5，m2=m6，m3=m7，m4=m8， 同理可得，m1=m5=m9=…，m2=m6=m10=…，m3=m7=m11=…，m4=m8=m12=…， ∵19÷4=4…3，2022÷4=505…2， ∴m19=m3，m2022=m2， ∵m2=5，m4=-2，m19=2x+1，m2022=-5x, ∴-5x=5， ∴x=-1， 54 ∴m19=m3=2x+1=-1， ∵m1+m2+m3+m4=21， ∴m1=19． 故选：D． 55 23.已知一列数a1，a2，a3，…，具有如下规律：a2n+1=an+an+1，a2n=an(n是正整数)．若a1=1，则a37的值为( ____ ) A.1 B.5 C.7 D.11 【解析】解：由a2n+1=an+an+1，a2n=an(n是正整数)可得： a37=a18+a19=2a9+a10=2(a4+a5)+a5=2a4+3a5=2a2+3a5=2a2+3(a2+a3)=5a2+3a3=8a1+3a2=11a1=11． 故选：D． D 56 24.当x分别取-2014、-2013、2012、…、-2、-1、0、1、 、 、…、 、 、 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于 ____ ．(温馨提示：注意寻找计算的突破口) 【解析】解：设a为负整数． ∵当x=a时，分式的值= ，当x=- 时，分式的值= = -1 57 ， ∴当x=a时与当x=- 时，两分式的和= + =0． ∴当x的值互为负倒数时，两分式的和为0． ∴所得结果的和= =-1， 故答案为：-1． 58 25.如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是　 　． ___________ 【解析】解：∵观察可知：各三角形中左边第一个数的数字规律为：1，2，…，n, 右边第二个数的数字规律为：2，22，…，2n， 下边第三个数的数字规律为：1+2，2+22，…，n+2n， ∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是y=2n+n. 故答案为y=2n+n. 59 26.观察下面的每列数，按其规律在横线上填写适当的数，并说明理由． (1)-23，-18，-13，　　，　　． (2) ，- ， ，- ，　　，　　． 【解析】解：(1)-23，-18，-13，-8，-3． 故答案为：-8，-3； (2)由已知发现分母依次为：23，24，25，26，27； 分子为：2，3，4，5，6，7； 所以两个数依次为： ，- ，故答案为： ， ． 60 27.如果记f(x)= ．如f( )= = ，f(2)= = ，那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)+f( )+f( )+f( )+…+f( )= _________ ． 【解析】解：方法一(特殊到一般) 根据法则，可以进一步得到 ， 2017.5 61 ，得到 ； 同样 ， ，得到 ；… ． 所以原式= = ． 62 方法二(规律) ， 所以原式= = ． 故答案为：2017.5 63 28.观察算式：1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52，…，根据以上规律：1+3+5+7+…+99=　 　． 【解析】解：∵1=12； 1+3=4=22； 1+3+5=9=32； 1+3+5+7=16=42； 1+3+5+7+9=25=52， …， ∴1+3+5+…+99=502． 故答案为：502． 64 29.观察数串的规律： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…，则第100个位置上排的数是　　． 【解析】解：∵14×13÷2=91，100-91=9， ∴第100个位置上排的数的分母为：14+1=15，分子为：9． 故第100个位置上排的数是 ． 故答案为： ． 65 30.观察以下等式： 第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． …… 按照以上规律，解决下列问题： 66 (1)写出第6个等式：　　； (2)写出你猜想的第n个等式：　　(用含n的等式表示)，并证明． 【解析】解：(1)∵第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． 67 …… ∴第六个等式为： + - = ， 故答案为： + - = ； (2)第n个等式为： + - = ． 故答案为： + - = ． 68 31.观察下列算式，探究并说明其中的规律： 16×14=224，23×27=621，31×39=1209，45×45=2025，… (1)请你写出一个具有类似结构的算式 ______________ ； (2)设满足上述规律的两个因数分别为10n+a,10n+b(1≤n≤9，1≤a≤9，1≤b≤9，且n,a,b都是正整数)． ①正整数a,b满足的条件为 _________ ； ②用所学的整式乘法说明上述规律中方法的正确性； (3)请你用文字语言表达规律： __________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ． 13×17=221 a+b=10 十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和 69 【解析】解：(1)观察已知算式：十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和， 13×17=221， 故答案为：13×17=221． (2)①按照(1)中的规律可知a+b=10． 故答案为：aa+b=10． ②(10n+a)(10n+b)=(10n)2+(a+b)•10n+ab=100n2+100n+ab=100n(n+1)+ab. (3)十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和． 70 四．规律型 71 32.将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，…，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是( ____ ) A.52 B.67 C.84 D.101 【解析】解：第①个图形中，棋子数量为4=2×2+02； C 72 第②个图形中，棋子数量为7=2×3+12； 第③个图形中，棋子数量为12=2×4+22； 以此类推， 第n个图形中，棋子数量为2(n+1)+(n-1)2=n2+3； ∴第⑨个图形中共有棋子的颗数是2×10+82=84， 故选：C． 73 33.汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则，图⑧中共有圆点的个数是( ____ ) ___________ A.63 B.75 C.88 B 74 D.102 【解析】解：在图①中，圆点个数为y1=12个． 在图②中，圆点个数为y2=y1+2+4=18个． 在图③中，圆点个数为y3=y2+2+5=25个． 在图④中，圆点个数为y4=y3+2+6=33个． ..． 以次类推，在图⑧中，圆点个数为y8=y7+(2+10)=y6+(2+9)+12 =y5+(2+8)+11+12 =y4+(2+7)+10+11+12 =33+9+10+11+12=75． 故选：B． 75 34.如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分[如图(1)]，画2条直线，最多能把白纸分成4部分[如图(2)]，画3条直线，最多能把白纸分成7部分[如图(3)]，当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成( ____ ) 部分． ________ A.190 B.191 D 76 C.210 D.211 【解析】解：根据题意得： n=1，a1=1+1；n=2，a2=a1+2；n=3，a3=a2+3…；n=n,an=an-1+n, 以上式子相加整理得， ． ∴20条直线最多能把白纸分为： 部分． 故选：D． 77 35.如图，在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1，An+3是AnAn+1(n=1、2、3…)的中点，则△A2019A2020A2021中最短边的长度为( ____ ) A. B. C. D. A 78 【解析】解：在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1，An+3是AnAn+1(n=1、2、3…)的中点，可知： △A1A2A3中最短边的长度为A1A3=1= ， △A3A4A5中最短边的长度为A4A5= = ， △A5A6A7中最短边的长度为A5A7= = ， … 所以△AnAn+1An+2中最短边的长度为 ， 79 所以 (2019-1)=1009， 则△A2019A2020A2021中最短边的长度为 ． 故选：A． 80 36.如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，都在x轴正半轴上，点B1，B2，B3，…，都在直线y=kx上，∠B1OA1=30°，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，都是等边三角形，且OA1=1，则点B6的横坐标是 ____ ． 【解析】解：过B1作B1C⊥x轴于C，过B2作B2D⊥x轴于D，过B3作B3E⊥x轴于E，如图所示： 48 81 ____ 设△BnAnAn+1的边长为an， 则A1C=A2C= A1A2= ， ∴OC=1+ = ， ∵A2D=A3D= A2A3=1， 82 ∴OD=2+1=3， …， ∴A1C= a1，B2D= a2，B3E= a3，…， ∴B1( ， )，B2(3， )， ∵点B1，B2，B3，…是直线y=kx上的第一象限内的点， ∴k= ， ∵∠AnOBn=30°， 又∵△AnBnAn+1为等边三角形， 83 ∴∠BnAnAn+1=60°， ∴∠OBnAn=30°，∠OBnAn+1=90°， ∴BnBn+1=OBn= an， ∵OA1=1， ∴点A1的坐标为(1，0)， ∴a1=1，a2=1+1=2，a3=1+a1+a2=4，a4=1+a1+a2+a3=8，…， ∴an=2n-1， ∴a6=32， ∴点B6的横坐标为 a6= ×32=48， 故答案为：48． 84 37.用同样大小的黑色棋子按如图表示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第100个图形需棋子 _____ 枚． 【解析】解：第一个图，点数4， 第二个图，点数4+3， 第三个图，点数4+6， 猜想 第四个图，点数4+9， 第五个图，点数4+12， .....． 301 85 第n个图，点数4+3(n-1)， ∴第100个图形需棋子：4+3×(100-1)=301(枚)， 故答案为：301． 86 38.根据如图所示的(1)，(2)，(3)三个图所表示的规律，依次下去第30个图中平行四边形的个数是 ______ ． ____________ 【解析】解：第一个图中平行四边形的个数是1+2+3=6个， 第二个图中平行四边形的个数是(1+2+3)(1+2)， 第三个图中平行四边形的个数是(1+2+3)(1+2+3)， … 第n个图中平行四边形的个数是(1+2+3)(1+2+3+…+n)=3n(n+1)， 因此第30个图中平行四边形的个数是3×30×(30+1)=2790个；故答案为：2790． 2790 87 39.现有一块圆形蛋糕，用刀把它竖着切开．用f(n)表示n刀切下去出现的最多的蛋糕块数(n=1，2，3，4…)．显然，1刀切下去蛋糕分为两块，记为f(1)=2；2刀切下去蛋糕最多被分为4块，记为f(2)=4；那么f(3)=　　；f(n+1)与f(n)的等量关系为 　　；f(n)=　　(用含n的式子表示)． 【解析】解：当切1刀时，块数为1+1=2； 当切2刀时，块数为1+1+2=4； 当切3刀时，块数为1+1+2+3=7； 当切4刀时，块数为1+1+2+3+4=11； 当切5刀时，块数为1+1+2+3+4+5=16； … 88 当切n刀时，块数=1+(1+2+3…+n)=1+ = ． 当切(n+1)刀时，块数=1+(1+2+3…+n+1)=f(n)+n+1． 故答案为：7；f(n+1)=f(n)+n+1； ． 89 40.用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第2015个图形需 ________ 根火柴棒． _______________ 【解析】解：∵搭第1个图形需12根火柴； 搭第2个图形需12+6×1=18根； 搭第3个图形需12+6×2=24根； … ∴搭第n个图形需12+6(n-1)=6n+6根； ∴搭第2015个图形需2015×6+6=12096根火柴棒．故答案为：12096． 12096 90 41.用棋子摆成的“T”字形图案，如图所示： ________ (1)填写下表： 图案序号 1 2 3 4 … n 每个图案中棋子的个数 5 8 … (2)若某个“T”字形图案的棋子的个数为2024个，求该“T”字形图案的序号； (3)直接写出第20个“T”字形图案共有棋子个数 ______ 62个 91 .并计算前20个“T”字形图案中棋子的总个数． 【解析】解：(1)首先观察图形，得到前面三个图形的具体个数， 因为第①个图案有5枚棋子， 第②个图案有(5+3×1)枚棋子， 第③个图案有(5+3×2)枚棋子， 依此规律可得第n个图案需5+3×(n-1)=5+3n-3=(3n+2)枚棋子． ∴3n+2=2024， 解得：n=674， ∴该“T”字形图案的序号为674； (2)第20个“T”字形图案共有棋子3×20+2=62(个)． 92 前20个“T”字形图案中棋子的总个数为： 5+8+11+14+17+…+53+56+59+62 =(5+62)+(8+59)+(11+56)+…+(32+35) =67×10 =670(个)． 故答案为：62个． 93 42.春节期间，某单位在小广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆；第②层需要4盆；第③层需要7盆；第④层需要10盆；以此类推．按照以上规律，解决下列问题： (1)第⑤层需要花卉 ____ 盆，五层共需要花卉 ____ 盆； (2)第n层需要花卉 _________ 盆；(用含n的代数式表示) (3) 13 35 (3n-2) 94 若将按此规律排列的图案中的4条射线OA，OB，OC，OD上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？ 【解析】解：(1)第①层需要1盆； 第②层需要3+1=4盆； 第③层需要3×2+1=7盆； 第④层需要3×3+1=10盆； 第⑤层需要花卉3×4+1=13盆， 五层共需要花卉1+4+7+10+13=35(盆)； 故答案为：13；35． 95 (2)第①层需要1盆； 第②层需要3+1=4盆； 第③层需要3×2+1=7盆； 第④层需要3×3+1=10盆； 第⑤层需要花卉3×4+1=13盆， …， 第n层需要花卉3(n-1)+1=(3n-2)盆． 故答案为：(3n-2)． (3)设当盆景共用去205盆时，该图案共有x层，此时共需盆景4(x-1)+1(盆)， 由题意得：4(x-1)+1=205， 96 解得：x=52． ∴当盆景共用去205盆时，该图案共有52层，3×52-2-4=150(盆)， 答：当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉． 97 五．整式的加减 98 43.如图，在一个大长方形中放入三个边长不等的小正方形①、②、③，若要求出两个阴影部分周长的差，只要知道下列哪个图形的面积( ____ ) A.正方形① B.正方形② C.正方形③ D.大长方形 【解析】解：如图， B 99 ____ 设HI=x,HN=y,正方形①的边长为a,正方形②的边长为b,正方形③的边长为c, ∴ON=a-x,NE=b-y,PD=c+b-x,PI=a-y,IG=b-x,GR=b-c,RS=c,DS=a+b-y-c, ∴C六边形PIGRSD=PI+IG+GR+RS+DS+PD=a-y+b-x+b-c+c+a+b-y-c+b+c-x=2a-2y+4b-2x, C四边形OBEN=ON+OB+BE+NE=a-x+b-y+a-x+b-y=2a-2x+2b-2y, 100 ∴C六边形PIGRSD-C四边形OBEN=2b, ∴只要知道正方形②的边长b,就可以求出两个阴影部分周长的差． ∴只要知道正方形②的面积，就可求出两个阴影部分周长的差． 故选：B． 101 44.一个三位正整数M，当M的百位数字减去6等于十位数字减去个位数字时，我们称这个三位数是“吉利数”．记M的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z,并规定：F(M)=3x-z.若M是最小的“吉利数”，则F(M)= ____ ；若有两个“吉利数”M1= ，M2= ，其中a≠m,c≠n,且4F(M1)-5F(M2)=4，则M1+M2的最大值为 ______ ． 【解析】解：∵M是最小的“吉利数”，M的百位数字为x,十位数字为y,个位数字为z, ∴x-6=y-z, 当x=1，y=0时，z=5， 即M的最小值为105， -2 1431 102 ∴F(M)=3×1-5=-2； ∵有两个“吉利数”M1= ，M2= ，其中a≠m,c≠n,且4F(M1)-5F(M2)=4， ∴a-6=b-c①；m-6=b-n②；4(3a-c)-5(3m-n)=4③， 由①②③可得， ， ∴M1+M2=100a+10b+c+100m+10b+n 103 =100( m- n+ )+20(m+n-6)- m+ n- +100m+n = m+ n- =238m+15n-95+ m+ n- ； ∵1≤m≤9，0≤n≤9， 分别将m,n代入上式，可得当m=6，n=6时，M1+M2的值为整数， 当m=7，n=9时，M1+M2的值为整数，此时b=10，舍； ∴M1+M2的最大值为1431； 故答案为：-2；1431． 104 45.某同学做一道题，已知两个多项式A、B，求A-B的值．他误将“A-B”看成“A+B”，经过正确计算得到的结果是x2+14x-6，其中A=-2x2+5x-1． (1)请你帮助这位同学求出正确的结果； (2)若x是最大的负整数，求A-2B的值． 【解析】解：(1)∵A+B=x2+14x-6，A=-2x2+5x-1， ∴B=x2+14x-6-(-2x2+5x-1)=3x2+9x-5， ∴A-B=-2x2+5x-1-(3x2+9x-5)=-5x2-4x+4． (2)∵A=-2x2+5x-1，B=3x2+9x-5， ∴A-2B=-2x2+5x-1-2(3x2+9x-5)=-8x2-13x+9， ∵x是最大的负整数，∴x=-1， ∴A-2B=-8x2-13x+9=-8+13+9=14． 105 46.已知8张长为a,宽为b(a＞b)的小长方形纸片，按如图方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形CTNGMK，左上角阴影为长方形EFGH．设六边形CTNGMK与长方形EFGH面积的差为S，设BC=t. (1)用a、b、t的代数式表示S； (2)当BC的长度变化时，如果S始终保持不变，则a、b应满足的关系是什么？ (3)在(2)的结论成立的情况下，用10张长为a,宽为b的矩形纸片，再加上x张边长为a的正方形纸片，6x张边长为b的正方形纸片(x是正整数)， 106 拼成一个大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少(用含b的代数式表示)？并求出此时的x的值． 【解析】解：(1)记长方形EFGH的面积为S1，六边形CTNGMK的面积为S2， 则EH=t-a-3b,EF=a,KC=t-a,CT=(a+2b)-3b=a-b, NG=a-3b,MG=t-2a, ∴S1=a(t-a-3b)=at-a2-3ab, S2=(t-a)(a-b)-(a-3b)(t-2a) =ta-tb-a2+ab-(at-2a2-3bt+6ab) 107 =ta-tb-a2+ab-at+2a2+3bt-6ab =a2+2bt-5ab, ∴S=S2-S1 =(a2+2bt-5ab)-(at-a2-3ab) =a2+2bt-5ab-at+a2+3ab =2a2+2bt-at-2ab, 即：S=2a2+2bt-at-2ab； (2)由(1)可知，S=2a2+2bt-at-2ab=2a2+(2b-a)t-2ab, 当BC=t的长度变化时，要使得S始终保持不变，即上面代数式的值与t无关， ∴2b-a=0，即a、b满足的关系是：a=2b. 108 (3)拼成的大正方形的面积为：10张边长为a,宽为b的矩形的面积+x张边长为a的正方形的面积+6x张边长为b的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：10ab+xa2+6xb2， ∵a=2b, ∴10ab+xa2+6xb2=20b2+4xb2+6xb2=b2(20+10x)， ∵b2(20+10x)是边长的平方， ∴20+10x=10(2+x)是完全平方数，而x为正整数， 当20+10x=100时，x=8， 当20+10x取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故x=8时，大正方形面积最小，此时面积为100b2，则边长为10b. 109 47.定义：a,b,m为实数，若a+b=m,则称a与b是关于 的对称数． (1)2与4是关于 ____ 的对称数，5-x与 _____ 是关于3的对称数； (2)若a=-2x2+3x-4，b=-5x+2x2+2，且a与b是关于-1的对称数，试求出x的值． 【解析】解：(1)∵2+4=6， ， ∴2与4是关于3的对称数； 由题意得：2×3-(5-x) =6-5+x =1+x, 3 1+x 110 ∴5-x与1+x是关于3的对称数； 故答案为：3；1+x； (2)∵a=-2x2+3x-4，b=-5x+2x2+2，且a与b是关于-1的对称数， ∴a+b=-1×2， -2x2+3x-4-5x+2x2+2=-2， -2x-2=-2， x=0． 111 六．整式的加减 112 48.先化简，再求值：3x2+5y-2(x2+3y)，其中x=-2，y=3． 【解析】解：3x2+5y-2(x2+3y) =3x2+5y-2x2-6y =x2-y, 当x=-2，y=3时，原式=(-2)2-3=1． 113 49.我们定义：对于数对(a,b)，若a+b=ab,则(a,b)称为“和积等数对”．如：因为2+2=2×2，-3+ =-3× ，所以(2，2)，(-3， )都是“和积等数对”． (1)下列数对中，是“和积等数对”的是　 ____ ；(填序号) ①(3，1.5)； ②( ，1)； ③(- ， )． (2)若(-5，x)是“和积等数对”，求x的值； (3)若(m,n)是“和积等数对”，求代数式4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m2-2n)+6m2 ①③ 114 的值． 【解析】解：(1)∵3+1.5=3×1.5=4.5， ∴数对(3，1.5)是“和积等数对”， ∵ +1≠ ×1， ∴( ，1)不是“和积等数对”， ∵- + =- × =- ， ∴数对(- ， )是“和积等数对”， 故答案为：①③； 115 (2)∵(-5，x)是“和积等数对”， ∴-5+x=-5x, 解得：x= ； (3)4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m2-2n)+6m2 =4mn+4m-8(mn-3)-6m2+4n+6m2 =4mn+4m-8mn+24-6m2+4n+6m2 =-4mn+4m+4n+24， ∵(m,n)是“和积等数对” ∴m+n=mn, ∴原式=-4mn+4(m+n)+24=-4mn+4mn+24 =24． 116 50.先化简，再求值；2x2-2(3x-1+x2)，其中x=2． 【解析】解：2x2-2(3x-1+x2)=2x2-6x+2-2x2=-6x+2， 当x=2时，原式=-6×2+2=-10． 117 $$