第2章 有理数及其运算 中档题拓展训练课件 -2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第2章 有理数及其运算 中档题拓展训练 【13个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学七年级上册 1 一．正数和负数 二．数轴 三．相反数 四．绝对值 五．非负数的性质 六．有理数大小比较 七．有理数的加法 八．有理数的加减混合运算 九．有理数的乘法 一十．非负数的性质 一十一 一十二 一十三．科学记数法 2 一．正数和负数 3 1.下列各数中，是负数的是( ____ ) A.-(-1) B.|-1| C.+(-1) D.(-1)2 【解析】解：A．-(-1)=1＞0，是正数； B．|-1|=1＞0，是正数； C．+(-1)=-1＜0，是负数； D．(-1)2=1＞0，是正数． 故选：C． C 4 2.下列说法不正确的是( ____ ) A.0既不是正数也不是负数 B.任何有理数都有倒数 C.任何有理数都有相反数 D.负数的绝对值是它的相反数 【解析】解：A．0既不是正数也不是负数，故A不符合题意； B．0没有倒数，故B符合题意； C．任何有理数都有相反数，故C不符合题意； D．负数的绝对值是它的相反数，故D不符合题意； 故选：B． B 5 3.中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作+50元，那么亏损30元，记作( ____ ) A.+30元 B.-20元 C.-30元 D.+20元 【解析】解：∵盈利50元，记作：+50元， ∴亏损30元，记作：-30元． 故选：C． C 6 4.若李明家里去年收入3万元，记作+3万元，则去年支出2万元，记作 ____ 万元． 【解析】解：“正”和“负”相对，所以，若李明家里去年收入3万元，记作+3万元，则去年支出2万元，记作-2万元． 故答案为：-2 -2 7 5.佛手是金华市一大特产，现有10筐佛手，以每筐10千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如表： 与标准质量的差值(单位：千克) -0.2 -0.15 0 0.3 筐数 1 2 4 3 (1)这10筐佛手中，与标准质量差值为0.15千克的有 ____ 筐，最重的一筐重 ______ 千克． (2)若佛手每千克售价45元，则出售这10筐佛手总收入多少元？ 2 10.3 8 【解析】解：(1)这10筐佛手中，与标准质量差值为0.15千克的有2筐，最重的一筐重10+0.3=10.3千克， 故答案为：2，10.3； (2)45×[-0.2+2×(-0.15)+4×0+3×0.3+10×10] =45×100.4 =4518(元)； 答：共收入4518元． 9 二．数轴 10 6.如图，比数轴上点A表示的数大2的数是( ____ ) ___________ A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】解：由数轴可知点A表示的数是-1，所以比-1大2的数是-1+2=1； 故选：C． C 11 7.如图，与数轴上点M表示的数相加，和为零的数是( ____ ) A.-2 B.0 C.1 D.2 【解析】解：由题给数轴可知，点M表示的数是-2，互为相反数的两个数之和为零，因此，与数轴上点M表示的数相加，和为零的数是2， 故选：D． D 12 8.如图，直径为1的圆上有一点A，且点A与数轴上表示-1的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点A再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是( ____ ) A.3与4之间 B.6与7之间 C.-7与-6之间 D.-5与-4之间 【解析】解：该圆在数轴上无滑动的滚动，滚动一周行进的距离为圆的周长(前进或者后退的距离)，该圆的直径为1，周长为πd=π×1=π， D 13 所以点A再次与数轴上的点重合，可能是-1+π或-1-π，分别为2.14或-4.14 (π取3、14)，位于2和3 或-5和-4之间， 故选：D． 14 9.如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A，B，C．若C，B两点表示的数互为相反数，则图中点A表示的数是( ____ ) A.2 B.1 C.-2 D.-4 【解析】解：∵B，C两点表示的数互为相反数，且B，C两点之间的距离为4，C点在B点的左侧， D 15 ∴C点表示的为-2， 又∵A在C的左侧两个单位， ∴A点表示的数为-2-2=-4． 故选：D． 16 10.如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是( ____ ) A.π B.-1+π C.2π-1 D.-π 【解析】解：∵直径为单位1的圆的周长为π，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点， D 17 ∴A点表示的数是-π． 故选：D． 18 11.若点A在数轴上表示的数是3，将点A向左平移7个单位长度，正好与点B重合，则点B表示的数是 ____ ． 【解析】解：将点A向左平移7个单位长度，如图所示， ________________， ∴点B表示的数是-4， 故答案为：-4． -4 19 12.数轴上两个点之间的距离是5，其中一个点表示的数为3，则另一个点表示的数为 _______ ． 【解析】解：设另一个点表示的数为x. 由题意得|x-3|=5． x-3=±5． ∴x=8或-2． 故答案为：8或-2． 8或-2 20 13.数a在数轴上的位置如图，则|a-2|= _____ ． ________________________ 【解析】解：∵a＜2， ∴a-2＜0， ∴|a-2| =-(a-2) =2-a. 故答案为：2-a. 2-a 21 14.在数轴上表示1，-x+2的两个点的位置如图所示，请写出一个符合条件的x的值 ____ ． 【解析】解：∵-x+2在1的右边， ∴-x+2＞1， ∴x＜1， 故答案可以为：0(答案不唯一，只需x＜1即可)． 0 22 15.数轴上三点A，B，C分别表示-4，+2，+3，若点P在数轴上，且PA=PB+PC，满足条件的点P表示的数是 　　． 【解析】解：设点P表示的数为x, 则PA=|x+4|，PB=|x-2|，PC=|x-3|， 由PA=PB+PC，得|x+4|=|x-2|+|x-3|， ①当x＜-4时， 则-(x+4)=-(x-2)-(x-3)， 解得：x=9(舍去)； ②当-1＜x＜2时， 则x+4=-(x-2)-(x-3)， 23 解得：x= ； ③当2＜x＜3时， 则x+4=x-2-(x-3)， 解得：x=-3(舍去)； ④当x＞3时， 则x+4=x-2+x-3， 解得：x=9． 综上，x= 或9，即点P表示的数是 或9． 故答案为： 或9． 24 16.如图，数轴上点A所表示的数的倒数为 　　． 【解析】解：如图，数轴上点A所表示的数为-2， ∴数轴上点A所表示的数的倒数为- ， 故答案为：- ． 25 17.数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB=4，且OB=3OA．点A、B对应的数分别是a、b,点P为数轴上的一动点，其对应的数为x. __________________________ (1)a= ____ ，b= ____ ； (2)若PA=2PB，求x的值； (3)若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请间在运动过程中，3PB-PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． -1 3 26 【解析】(1)∵OB=3OA，且AB=4， ∴OA=1，OB=3， ∴a=-1，b=3， 故答案为：-1，3； (2)①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去． ②当P点位于A、B两点之间时， 因为PA=2PB， 所以 x+1=2(3-x)， 所以 ． ③当P点位于B点右侧时， 27 因为 PA=2PB， 所以 x+1=2(x-3)， 所以 x=7． 故x的值为 或7． (3)t秒后，A点的值为(-1-t)，P点的值为 2t,B点的值为(3+3t)， 所以3PB-PA =3(3+3t-2t)-[2t-(-1-t)] =9+3t-(2t+1+t) =9+3t-3t-1 =8． 所以3PB-PA的值为定值，不随时间变化而变化． 28 18.已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为-1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x.点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． (1)若AP=BP，则x= ____ ； (2)若AP+BP=8，求x的值； 1 29 (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP-AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【解析】解：(1)由数轴可得：若AP=BP，则x=1； 故答案为：1； (2)∵AP+BP=8， ∴若点P在点A左侧，则-1-x+3-x=8， ∴x=-3， 若点P在点A右侧，则x+1+x-3=8， 30 ∴x=5， ∴x的值为-3或5． (3)BP=5+3t-(3+2t)=t+2， AP=t+6+3t=4t+6， ∴4BP-AP=4(t+2)-(4t+6)=2， ∴4BP-AP的值不会随着t的变化而变化． 31 19.一年一度的“双十一”全球购物节完美收官，来自全国各地的包裹陆续发到本地快递公司．一快递小哥骑三轮摩托车从公司P出发，在一条东西走向的大街上来回投递包裹，现在他一天中七次连续行驶的记录如表(我们约定向东为正，向西为负，单位：千米) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -2 +7 -9 +10 +4 -5 -8 (1)快递小哥最后一次投递包裹结束时他在公司P的哪个方向上？距离公司P多少千米？ (2)在第 ____ 次记录时快递小哥距公司P地最远； (3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元， 五 32 那么快递小哥投递完所有包裹需要花汽油费多少元？ 【解析】解：(1)-2+7-9+10+4-5-8=-3(千米)， 答：最后一次投递包裹结束时快递小哥在公司P的西边，距离公司3千米； (2)|-2|=2(千米)|-2+7|=5(千米)，|-2+7-9|=4(千米)，|-2+7-9+10|=6(千米)，|-2+7-9+10+4|=10(千米)，|-2+7-9+10+4-5|=5(千米)，|-2+7-9+10+4-5-8|=3(千米)， ∴第五次快递小哥距公司P最远． 故答案为：五； (3)|-2|+|+7|+|-9|+|+10|+|+4|+|-5|+|-8|=45(千米)，∴0.08×45=3.6(升)， 33 7.2×3.6=25.92(元)， 答：快递小哥工作一天需要花汽油费25.92元． 34 三．相反数 35 20. 的相反数是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解： 的相反数是− ； 故选：B． B 36 21.-(-2024)=( ____ ) A.-2024 B.2024 C. D. 【解析】解：-(-2024)=2024， 故选：B． B 37 四．绝对值 38 22.-2024的绝对值是( ____ ) A.— B.-2024 C. D.2024 【解析】解：-2024的绝对值是2024， 故选：D． D 39 23.有理数a、b、c在数轴上的位置如图，则|a+b|-|b-c|+|c-a|的化简结果为 _____ ． 【解析】解：由数轴可得， b＜c＜0＜a,|b|＞|c|＞|a|， ∴a+b＜0，b-c＜0，c-a＜0， ∴|a+b|-|b-c|+|c-a| =-(a+b)-(c-b)+[-(c-a)] =-a-b-c+b-c+a =-2c. 故答案为：-2c. -2c 40 五．非负数的性质 41 24.已知|x-3|+|y+5|=0，求|x+y|的值． 【解析】解：∵|x-3|+|y+5|=0， ∴x-3=0，y+5=0， ∴x=3，y=-5， ∴|x+y|=2， 故答案为：2． 42 六．有理数大小比较 43 25.下列各数中，最大的数是( ____ ) A.-2 B.0 C.2 D.4 【解析】解：∵负数小于零，正数大于零，正数大于负数，-2＜0＜2＜4， ∴4最大， 故选：D． D 44 26.有理数m、n在数轴上的位置如图所示，则m+n ____ 0(填“＞”或“＜”或“=”)． 【解析】解：由数轴可知，n＜0＜m且|m|＜|n|， ∴m+n＜0， 故答案为：＜． ＜ 45 27.如图所示数轴，则数a,b,-a,-b中最小的是 ____ ． 【解析】解：由图可知a＜0＜b,且|b|＞|a|， ∴-b＜a＜-a＜b, ∴最小的是-b, 故答案为：-b. -b 46 28.比较下列两数的大小：- ____ - ．(填“＜”、“=”或“＞”) 【解析】解：因为 ＞ ， 所以- ＜- ． 故答案为：＜． ＜ 47 七．有理数的加法 48 29.若|a|=2，|b|=1，且a＞b,那么a+b的值是 ______ ． 【解析】解：∵|a|=2，|b|=1， ∴a=±2，b=±1， ∵a＞b, ∴a=2，b=±1， ∴当a=2，b=1时，a+b=2+1=3； 当a=2，b=-1时，a+b=2+(-1)=1； ∴a+b的值为3或1， 故答案为：3或1． 3或1 49 30.“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若F到A的距离刚好是3，则F点叫做A的“幸福点”；若F到A、B的距离之和为6，则F叫做A和B的“幸福中心”． (1)若点A表示的数为-2，则A的幸福点F所表示的数应该是 _______ ； (2)如图，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中，整数之和是多少？ ____________________________ 【解析】解：(1)根据幸福点的定义可知：A的幸福点F所表示的数应该是：-5和1； -5或1 50 故答案为：-5和1． (2)设点F表示的数为m,由题意得：丨m-4丨+丨m-(-2)丨=6， ∴丨m-4丨+丨m+2丨=6， 当m＜-2时，丨m-4丨+丨m+2丨=4-m-m-2=2-2m＞6，不符合题意； 当-2≤m≤4时，丨m-4丨+丨m+2丨=4-m+m+2=6，符合题意； 当m＞4时，丨m-4丨+丨m+2丨=m-4+m+2=2m-2＞6，不符合题意； ∴当-2≤m≤4时，丨m-4丨+丨m+2丨=6，若点F就是M和N的幸福中心，则F所表示的所有数中整数有：-2，-1，0，1，2，3，4． ∴满足条件的整数m之和为：-2-1+0+1+2+3+4=7． 51 八．有理数的加减混合运算 52 31.如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴上表示-1的点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点B的位置，则线段AB的中点表示的数是( ____ ) _________ A.-2π B. C.-1-π D. C 53 【解析】解：圆的周长为2π，即AB=2π， ∴AB中点表示的数为：-1-π． 故选：C． 54 32.小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高6分，第三次比第二次低10分，第四次又比第三次高12分．那么这四次测验的平均成绩是( ____ ) A.90分 B.85分 C.87.5分 D.81分 【解析】解：第一次8(5分)， 第二次85+6=91(分)， 第三次91-10=81(分)， C 55 第四次81+12=93(分)， 这四次测验的平均成绩是 (分)． 故选：C． 56 33.某仓库5月份前6天，每天粮食相对于前一天(单位：袋)变化如图，增加粮食记作“+”，减少粮食记作“-”． ____________ (1)通过计算说明前6天，仓库粮食总共的变化情况； (2)在1～7号中，如果前四天的仓库粮食变化情况是后三天变化精况的一半，求7号这天仓库粮食变化情况． 【解析】解：(1)-4+2-6+5+3-7=-7 答：前6天，仓库粮食减少7袋； 57 (2)设7号粮食变化x袋，由题意得， ， 解得：x=-2 答：7号粮食减少2袋． 58 九．有理数的乘法 59 34.计算 的结果是( ____ ) A.-2 B.2 C. D. 【解析】解： =-(2× )=- ． 故选：C． C 60 一十．非负数的性质 61 35.若|x-2|+(y+3)2=0，则yx= ____ ． 【解析】解：∵x、y满足|x-2|+(y+3)2=0，∴x-2=0，x=2；y+3=0，y=-3；则yx=(-3)2=9． 故答案为：9． 9 62 一十一 63 36.在应用有理数减法法则计算-2-(-3)时，其中需要把“-”变成“+”的是( ____ ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【解析】解：-2-(-3)=-2+(+3)， ∴需要把“-”变成“+”的号的是②③． 故选：C． C 64 37.已知算式4□(-4)的值为0，则“□”内应填入的运算符号为( ____ ) A.+ B.- C.× D.÷ 【解析】解：A、4+(-4)=0，符合题意； B、4-(-4)=4+4=8，不符合题意； C、4×(-4)=-16，不符合题意； D、4÷(-4)=-1，不符合题意； 故选：A． A 65 38.对于整数a,b,定义一种新的运算“⊙”：当a+b为偶数时，规定a⊙b=2|a+b|+|a-b|；当a+b为奇数时，规定a⊙b=2|a+b|-|a-b|．已知(a⊙a)⊙a=180-5a,其中a是负数，则a=( ____ ) A.-45 B.-15 C.-30 D.-10 【解析】解：∵a+a=2a一定为偶数， ∴a⊙a=2|a+a|+|a-a|=4|a|是偶数， ①当a为奇数时， C 66 (a⊙a)⊙a =4|a|⊙a =2|4|a|+a|-|4|a|-a|， ∵a是负数， ∴a为负奇数， ∴2|-4a+a|-|-4a-a|=-6a+5a=-a, ∴-a=180-5a, 解得a=45＞0，舍去； ②当a为偶数时， (a⊙a)⊙a =4|a|⊙a 67 =2|4|a|+a|+|4|a|-a|， ∵a是负数， ∴a为负偶数， ∴2|-4a+a|+|-4a-a| =2×(-3a)+(-5a) =-11a, ∴-11a=180-5a, 解得a=-30＜0，符合题意． ∴a的值为-30． 故选：C． 68 39.定义一种新的运算：如果x≠0，则有x▲y=x+xy+|y|，那么2▲(-4)的值是 ____ ． 【解析】解：∵x▲y=x+xy+|y|， ∴2▲(-4)=2+2×(-4)+|-4|=2-8+4=-2， 故答案为：-2． -2 69 40.计算： (1) ； (2) ． 【解析】解：(1) = = =3+3 70 =6； (2) = =9-(-33+10) =32． 71 41.计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【解析】解：(1) =-1- 72 =-1-(16-18+4) =-1-2 =-3； (2) = =9-2-5 =2； (3) 73 = = =-27； (4) = = -1 =7-21-1 =-15． 74 42.计算 (1)23+(-17)+6； (2) ； (3) ； (4) ． 【解析】解：(1)原式=23-17+6=12； (2)原式= = 75 =-7+(-1) =-8； (3)原式= = ； (4)原式= ． 76 43.计算： (1)3×(-1)+22+|-4|； (2)-14-[2-(-3)2]÷6． 【解析】解：(1)3×(-1)+22+|-4| =3×(-1)+4+4 =-3+4+4 =5； (2)-14-[2-(-3)2]÷6 =-1-(2-9)÷6 =-1+7× = ． 77 44.在数轴上，把原点记作点O，表示数a的点记作点A．对于数轴上任意一点P(不与点O、点A重合)，将线段PO与线段PA的长度之比定义为点P关于点A的K值，记作k(P，a)，即k(P，a)=PO÷PA=1÷2，例如：点P表示的数为1，点A表示的数为3，因为PO=1，PA=2，所以k(P， = = ． (1)当点P是线段OA的中点时，点P关于点A的K值k(P，a)= ____ ； (2)若点P表示的数为p,点A表示的数为a,OA=4OP，求点P关于点A的K值K(P，a)； (3)点P1、点P2为数轴上两个不同的点，并且点P1与P2所表示的数互为相反数，点P1表示的数为p,点A、点B分别表示数a、-2，若k(P1，a)=k(P2， 1 78 -2)，请直接写出a、p需满足条件： __________________ ． 【解析】解：(1)∵点P是线段OA的中点， ∴P表示的数为 (a+0)= a, ∴P关于点A的K值k(P，a)= = =1． 故答案为：1． (2)①当点P、A在点O的同侧时， 由题意得OP= ，OA=4 ， a=2或a=-2p-2 79 ∴PA=4 ， ∴k (P，a)= ． ②当点P、A在点 O的异侧时， 由题意得OP= ，OA=4 ， ∴PA=5 ， ∴k (P．a)= ． 答：点P关于点A的K值K(P，a)= 或 ． (3)∵点P1与P2所表示的数互为相反数， ∴OP1=OP2= ， 80 ∴P1A= ，P2B= ， ∴k(P1，a)= = ， k(P2，-2)= = ， 要使k(P1，a)=k(P2，-2)， 则 = ， ∴a-p=±(-2+p)， ∴a=-2p-2，a=2， 故答案为：a=2或a=-2p-2． 81 45.计算题： (1)(-20)+(+3)-(-5)-(+7)； (2) ； (3) ； (4)(-7)×(-5)-90÷(-15)． 【解析】解：(1)(-20)+(+3)-(-5)-(+7) =-20+3+5-7 =-17+5-7 =-12-7 82 =-19； (2) =(-5)× × =4× ×6 =1×6 =6； (3) =-8×( ) 83 =-8×1 =-8； (4)(-7)×(-5)-90÷(-15) =35-(-6) =41． 84 46.定义一种新运算“★”： 1★3=1×5-3=2； 3★(-1)=3×5-(-1)=15+1=16； 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)请按照以上新运算“★”的运算方法，写出a★b的运算表达式； (2)若(y+2)★(1-3y)=1，求y的值． 【解析】解：(1)由题目中的式子可得， a★b=5a-b； (2)∵(y+2)★(1-3y)=1， ∴5(y+2)-(1-3y)=1，解得y=-1． 85 47.计算： 【解析】解： =-16×( ) =-8+4+6 =2． 86 一十二 87 48.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为{x}，即：当n为非负整数时，如果 ，则{x}=n.如：{0.48}=0，{3.5}=4． (1)如果{2x+1}=3，则x的取值范围为 　　； (2)如果 ，则x=　　． 【解析】解：(1)∵{2x+1}=3， ∴3- ＜2x+1＜3+ ， 解得 ＜x＜ ， 88 故答案为： ＜x＜ ； (2)∵ ， ∴ x- ＜x＜ x+ ，且 x为非负整数， 解得x=0， 故答案为：0． 89 一十三．科学记数法 90 49.常州作为新崛起的新能源之都，澎湃起势.2023年常州新能源产业产值超7600亿元，整车产量近68万辆，投资热度全国第一．数字7600用科学记数法表示为( ____ ) A.7.6×103 B.7.6×104 C.0.76×104 D.7.6×1011 【解析】解：7600=7.6×103， 故选：A． A 91 50.辽宁地处松辽平原，在北纬38度到43度的黄金农业纬度带上，是全国13个粮食主产省之一．去年的粮食总产量达到51270000000斤，创历史新高．将数据51270000000用科学记数法表示为( ____ ) A.5.127×1011 B.0.5127×1011 C.5.127×1010 D.5.127×107 【解析】解：51270000000=5.127×1010， 故选：C． C 92 $$