第1章 丰富的图形世界 培优突破练习 课件 2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第1章 丰富的图形世界 培优突破练习 【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学七年级上册 1 一．认识立体图形 二．点、线、面、体 三．几何体的表面积 四．几何体的展开图 五．展开图折叠成几何体 六．专题 七．截一个几何体 八．简单几何体的三视图 九．简单组合体的三视图 一十．由三视图判断几何体 2 一．认识立体图形 3 1.有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图①，测得其底面半径为a,高为h,其内装蓝色液体若干．若如图②放置时，测得液面高为 h；若如图3放置时，测得液面高为 h.则该玻璃密封容器的容积(圆柱体容积=底面积×高)是( ____ ) A. B. A C. D. ah 【解析】解：设该玻璃密封容器的容积为V， 则π×a2× h=V-π×a2×(h- h)， 解得V= ， 故选：A． 4 2.一个棱长为6厘米的立方体，把它切成49个小立方体．小立方体的大小不必都相同，而小立方体的棱长以厘米作单位必须是整数，则棱长为1厘米的小立方体的个数为( ____ ) A.25 B.33 C.36 D.44 【解析】解：若最大的立方体是一个棱长为5cm的立方体， 则5cm的立方体只有1个，那么有91个棱长为1cm的立方体，不可能； 若最大的立方体是一个棱长为4cm的立方体， C 5 则4cm的立方体只有1个，y个棱长为2cm的立方体，z个棱长为1cm, 可得：1+y+z=49，64+8y+z=216，(解不为整数)， 若最大的立方体是一个棱长为3cm的立方体， 设有x个棱长为3cm的立方体，y个棱长为2cm的立方体，z个棱长为1cm的立方体， 则 x+y+z=49，(33)x+(23)y+(13)z=(63)， 由x,y,z为整数，x=4，y=9，z=36， 故选：C． 6 3.如图所示立方体中，过棱BB1和平面CD1垂直的平面有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 【解析】解：过棱BB1和平面CD1垂直的平面有CBB1C1，所以只有1个． 故选：A． A 7 4.数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面．下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是( ____ ) A.___ B.___ C.___ B D.___ 【解析】解：直观可能是B，B中设小圆半径为r,则大圆半径为2r,得小圆周长为2πr,扇形弧长 •2π(2r)=2πr,故小圆周长=扇形弧长，故恰好能构成一个圆锥． 故选：B． 8 5.有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图1，测得其底面半径为a,高为h,其内装蓝色液体若干．若如图2放置时，测得液面高为 ；若如图3放置时，测得液面高为 ．则该玻璃密封容器的容积(圆柱体容积=底面积×高)是 　　．(结果保留π) _______ 【解析】解：设该玻璃密封容器的容积为V，依题意有： 9 π×a2× h=V-π×a2×(h- h)， 解得V= ． 故答案为： ． 10 6.十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(v)，面数(f)，棱数(e)之间存在一个有趣的数量关系：v+f-e=2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y,则x+y= ____ ． 【解析】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有24×3÷2=36条棱， 那么24+f-36=2，解得f=14， ∴x+y=14． 14 故答案为：14． 11 7.如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成的，现想用毛毡搭建底面积为9πm3，高为6m,外围高为2m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡？(结果保留π) 【解析】解：∵蒙古包底面积为9πm2，高为6m,外围(圆柱)高2m, ∴底面半径=3米， 圆锥高为：6-2=4(m)， ∴圆锥的母线长= =5(m)， ∴圆锥的侧面积=π×3×5=15π(平方米)； 圆锥的周长为：2π×3=6π(m)， 圆柱的侧面积=6π×2=12π(平方米)． 12 ∴故需要毛毡：(15π+12π)=27π(平方米)． 13 8.如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，填写下面的空． (1)四棱柱有 ____ 个面， ____ 条棱， ____ 个顶点； (2)六棱柱有 ____ 个面， ____ 条棱， ____ 个顶点； (3)由此猜想n棱柱有 ________ 个面， ____ 条棱， ____ 个顶点． 【解析】解：(1)四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； 6 12 8 8 18 12 (n+2) 3n 2n 14 (2)六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点； (3)由此猜想n棱柱有(n+2)个面，3n条棱，2n个顶点． 故答案为：(1)6，12，8；(2)8，18，12；(3)(n+2)，3n,2n. 15 9.将一个正方体的表面全涂上颜色． (1)如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a个，则a=　　； (2)如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体．设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a个，各个面都没有涂色的有b个，则a+b=　　； (3)如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=　　； (4)如果把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到　　个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个， 16 各个面都没有涂色的有b个，则c+b=　　． ________ 【解析】解：(1)三面被涂色的有8个，故a=8； (2)三面被涂色的有8个，各面都没有涂色的1个，a+b=8+1=9； (3)两面被涂色有24个，各面都没有涂色的8个，b+c=24+8=32； (4)由以上可发现规律：能够得到n3个小正方体，两面涂色c=12(n-2)个，各面均不涂色(n-2)3个，b+c=12(n-2)+(n-2)3． 故答案为：8，9，32，n3，12(n-2)+(n-2)3． 17 18 二．点、线、面、体 19 10.下列图形绕虚线旋转一周，便能形成圆锥体的是( ____ ) A._ B._ C._ D._ C 20 【解析】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥． 故选：C． 21 11.“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中，雨“像细丝”说明( ____ ) A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.无法确定 【解析】解：“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中， 雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． A 22 12.某款台灯灯罩如图所示，该款灯罩可以看成由如下图形( ____ ) 沿虚线旋转一周得到的． A.__ B._ C._ A D._ 【解析】解：某款台灯灯罩如图所示， 该款灯罩可以看成由如下图形选项A中的直角梯形 沿虚线旋转一周得到的． 故选：A． 23 24 13.如图所示图形绕图示的虚线旋转一周，(1)能形成 _____ ，(2)能形成 _____ ，(3)能形成 ____ ． ____ 【解析】解：长方形绕它的一边旋转一周可形成圆柱； 直角三角形绕它的直角边边旋转一周可形成圆锥； 半圆绕它的直径旋转一周可形成球． 故答案为圆柱；圆锥；球． 圆柱 圆锥 球 25 三．几何体的表面积 26 14.如图所示，小王用几个棱长2cm的正方体积木塔了一个几何体(没有视线看不见的正方体)，则这个几何体的体积是 ____ cm3，表面积是 _____ cm2． 【解析】解：搭建这个几何体共用9个棱长为2cm的小正方体，因此体积为：2×2×2×9=72 cm3， 搭建这个几何体的三视图如图所示， 72 128 27 ___ 因此表面积为：(2×2)[(5+5+6)×2]=128 cm2， 故答案为：72，128． 28 15.值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体(棱长为1)叠放在一起，形成一个长方体(或正方体)，这样的长方体(或正方体)表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体(如图①)，由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2． 第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体(如图②)，该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体 29 (如图③)，该正方体的长、宽、高分别为2，2，2． 这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为6×2×2=24． ______ 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： 30 (1)如图④，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积．提示：长方体的表面积=2×(长×宽+宽×高+长×高) (2)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (3)取四个长、宽、高分别为2，3，c的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求c的取值范围． 【解析】解：(1)由长方体的表面积=2×(长×宽+宽×高+长×高)，得长方体的表面积=2×(2×3+2×1+1×3)=22． (2)新的长方体的表面积最小长是4，宽是3，高是2， 由长方体的表面积=2×(长×宽+宽×高+长×高)，得长方体的表面积=2× 31 (4×3+3×2+4×2)=52． (3)由叠放可知1≤c≤3． 32 四．几何体的展开图 33 16.如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的( ____ ) A.___ B.__ B C.__ D.__ 【解析】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符， 只有B折叠后符合，故选：B． 34 17.下列图形中，不是正方体展开图的是( ____ ) A.____ B.___ C.____ D.____ 【解析】解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，C，D选项可以拼成一个正方体，而B选项，上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．故选：B． B 35 18.有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，现在把三个骰子放在桌子上(如图2)，凡是能看得到的点数之和最大是 ____ ，最小是 ____ ． 【解析】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6=51， 最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4=26， 故答案为：51，26． 51 26 36 19.下图是一个长方体纸盒的展开图，请把-5，3，5，-1，-3，1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数． 【解析】解：如图所示： ____ 37 20.某工厂加工一种包装盒，如图所示是包装盒的表面展开图． (1)这是一种怎样的包装盒？请说出其几何体名称． (2)若已知图中长方形纸片的长为10π，宽15cm,那么再配半径为多大的圆形软纸片时，可以做成工厂加工一样形状的包装盒． 【解析】解：(1)这是一种无盖圆柱形的包装盒． (2)10π÷π÷2=5(cm)． 答：再配半径为5cm大的圆形软纸片时，可以做成工厂加工一样形状的包装盒． 38 21.如图是由6个相同的正方形拼成的图形，请你将其中一个正方形移动到合适的位置，使它与另5个正方形能拼成一个正方体的表面展开图．(请在图中将要移动的那个正方形涂黑，并画出移动后的正方形)． 【解析】解：答案如下： ____ 或___ 或____等． 39 22.如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示，已知展开图中每个正方形的边长为1， (1)求线段A′C′的长度； (2)试比较立体图中∠BAC与展开图中∠B′A′C′的大小关系？并写出过程． _____ 【解析】解：(1)如图(2)中的A′C′，在Rt△A′C′D′中， 40 ∵C′D′=1，A′D′=3， 由勾股定理得，A'C'= (2)∵立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角， ∴∠BAC=45°． 在平面展开图中，连接线段B′C′，由勾股定理可得：A'B'= ，B'C'= ． 又∵A′B′2+B′C′2=A′C′2， 由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形． 又∵A′B′=B′C′， ∴△A′B′C′为等腰直角三角形． 41 ∴∠B′A′C′=45°． ∴∠BAC与∠B′A′C′相等． 42 五．展开图折叠成几何体 43 23.如图，在边长为20的大正方形中，剪去四个小正方形，可以折成一个无盖的长方体盒子．如果剪去的小正方形边长按整数值依次变化，即分别取1、2、3、…、9、10时，则小正方形边长为 ____ 时，所得到的无盖的长方体盒子容积最大． 【解析】解：四个角都剪去一个边长为acm的小正方形，则V=a(20-2a)2； 填表如下： a(cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 44 V(cm3) 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 由表格可知，当a=3时，即小正方形边长为3时，所得到的无盖的长方体盒子容积最大． 故答案为：3． 45 24.张明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子． (1)共有 ____ 种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图(在图中补充)； (3)在你帮忙设计成功的图中，要把-8，10，-12，8，-10，12这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．(直接在图中填上) 【解析】解：(1)共有4种弥补方法， 故答案为：4； 4 46 (2)如图所示： ____； (3)如图所示： ____． 47 六．专题 48 25.一个正方体的表面展开图如图所示，把它折成正方体后，与“要”字相对的字是( ____ ) A.“细” B.“心” C.“检” D.“查” 【解析】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中与“要”字相对的字是“查”． 故选：D． D 49 26.如图，正方体的六个面上标着六个连续的整数，若相对的两个面上所标之数的和相等，则这6个数的和为 ____ ． 【解析】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数， 故六个整数可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15； 且每个相对面上的两个数之和相等， 11+16=27， 10+15=25， 故可能为11，12，13，14，15，16或10，11，12，13，14，15，其和为81和75(11和14必须为对面，在本体图片中，11和14为邻面，故不合题意，应舍去)故答案为：81． 81 50 51 27.如果把骰子看作是一个正方体，点数1的对面是6，点数5的对面是2，点数4的对面是3，则与点数是3的面垂直的所有的面的点数和是 ____ ． 【解析】解：与点数是3的面垂直的所有的面的点数和是1+6+5+2=14．故填14． 14 52 28.如图是一个正方体的表面展开图，则图中“加”字所在面的对面所标的字是 ____ ． 【解析】解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“加”字相对的字是“京”． 京 53 七．截一个几何体 54 29.用一个平面去截长方体，截面 _____ 是正五边形(填“可能”或“不可能”)． 【解析】解：用一个平面去截长方体，截面可能是正五边形． 故答案为：可能． 可能 55 30.如图所示，说出下列几何体截面(阴影部分)的形状． ________ 【解析】解：(1)得到的截面的形状是三角形． (2)沿圆锥的高线切割，得到等腰三角形截面． (3)沿正方体的对角线切割，得到长方形截面． (4)截面与两个底面平行，可以得到圆形截面． 56 八．简单几何体的三视图 57 31.下面的四个几何体中，主视图与俯视图相同的是( ____ ) A.___ B.____ C.___ D.___ 【解析】解：A、主视图与俯视图相同，故本选项符合题意； B、主视图与俯视图不相同，故本选项不符合题意； A 58 C、主视图与俯视图不相同，故本选项不符合题意； D、主视图与俯视图不相同，故本选项不符合题意； 故选：A． 59 32.在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是( ____ ) A.___ B.__ C.___ D.__ C 60 【解析】解：如图，球体的三视图都相同，都是圆形， 故选：C． 61 33.如图是某个装饰品的示意图，则它的俯视图是( ____ ) A.__ B.__ C.___ D 62 D.___ 【解析】解：俯视图即从上面往下看得到的图形．该装饰品从上面看，可得选项D的图形． 故选：D． 63 34.三棱柱和四棱柱的三种视图中都会有的图形是 _____ ． 【解析】解：三棱柱的主视图是矩形，左视图是有中间线的矩形、俯视图是三角形；四棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是正方形，则三棱柱和四棱柱的三种视图中都会有的图形是矩形． 故答案为：矩形． 矩形 64 35.如图，水平放置的长方体的底面是边长为2cm和4cm的矩形，它的左视图的面积为6cm2，则长方体的体积是多少？ 【解析】解：根据题意，得：6×4=24(cm3)， 因此，长方体的体积是24cm3． 65 九．简单组合体的三视图 66 36.由5个大小相同的小正方体组成的几何体如图所示，若添加一个相同的小正方体，使组成的新几何体的主视图和左视图完全一样，则添加的小正方体应放在哪个位置上( ____ ) A.① B.② C.③ D.④ 【解析】解：在②的位置上再摆放一个小正方体，新组合体的主视图与左视图相同，如下图： B 67 ______ 故选：B． 68 37.六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面看该几何体得到的图形是( ____ ) A.____ B.___ C.____ D.___ 【解析】解：从左面看题中几何体得到的图形如图， D 69 ___ 故选：D． 70 38.生活中充满了各式各样的立体图形．如图，一块底面是等边三角形的蛋糕，可以近似看作是一个直三棱柱，则其主视图是( ____ ) A._______ B._______ C._______ D.___ 【解析】解：如图，一块底面是等边三角形的蛋糕，可以近似看作是一个直三棱柱，则其主视图是 C 71 _______． 故选：C． 72 39.如图所示，该几何体的俯视图是( ____ ) ___ A.______ B.____ C._____ D._____ C 73 【解析】解：由图可知俯视图应是一个长方形中间有一个圆形，故C正确， 故选：C． 74 一十．由三视图判断几何体 75 40.若干个桶装方便面摆放在桌子上，小明从三个不同方向看到的图形如图所示，则这一堆方便面共有( ____ ) A.5桶 B.6桶 C.9桶 D.12桶 【解析】解：根据三视图的形状，可得到，俯视图上每个位置上放置的个数，进而得出总数量， 俯视图中的数，表示该位置放的数量，因此2+2+1=5 A 76 ， 故选：A． 77 41.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( ____ ) A.__ B.__ D 78 C.__ D.__ 【解析】解：根据主视图和左视图为矩形可判断出该几何体是柱体， 根据俯视图是两个矩形可判断出该几何体为 79 __． 故选：D． 80 42.如图①是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个小正方体后，余下几何体的左视图如图②所示，则移走的小正方体是( ____ ) A.① B.② C.③ D.④ 【解析】解：单独移开④， 从左边看得到的图形可得： D 81 故选：D． 82 43.一个直四棱柱的三视图及有关数据如图所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为 ____ cm2． 【解析】解：∵两条对角线长分别为3，4， ∴菱形的边长为2.5， ∴直四棱柱的侧面积为2.5×4×8=80cm2， 故答案为80． 80 83 44.一个物体的主视图和左视图是全等的正方形，俯视图为圆、若正方形的边长为4厘米，则该物体的表面积为 _____ cm2． 【解析】解：根据三视图的知识，主视图是全等的正方形，俯视图是圆，故可判断该几何体是圆柱．已知半径和高可求出表面积：4π×4+π×2×2×2=24πcm2． 24π 84 45.一根钢管的主视图是环形，其面积为3π平方米，长为15米，则它的体积为 _____ 立方米． 【解析】解：由题意可知它的体积=3π×15=45π立方米． 45π 85 46.如图是由一些完全相同的小正方体组成的几何体的主视图、俯视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ____ 个． 【解析】解：在俯视图上标出该位置摆放的小立方体的个数，如图所示： ________ 因此，组成这个几何体的小正方体的个数是4个． 故答案为：4． 4 86 47.已知某几何体从正面和左面看都是大小相同的长方形，从上面看是一个等边三角形，如图所示． (1)任意画出这个几何体的一种表面展开图； (2)若长方形的高为8厘米，三角形的边长为5厘米，求这个几何体的侧面积． 【解析】解：(1)展开图如下： __ (2)这个几何体的侧面积为5×8×3=120(平方厘米)． 87 48.如图，已知一个由小正方体组成的几何体的左视图和俯视图． (1)该几何体最少需要几块小正方体？ (2)最多可以有几块小正方体？ 【解析】解：俯视图中有4个正方形，那么组合几何体的最底层有4个正方体， (1)由左视图第二层有1个正方形可得组合几何体的第二层最少有1个正方体， 所以该几何体最少需要4+1=5块小正方体； (2)如图，俯视图从上边数第一行的第二层最多可有3个正方体 88 ， 所以该几何体最多需要4+3=7块小正方体． 89 49.如图是某几何体的三视图 (1)说出这个几何体的名称； (2)若主视图的宽为8cm,长为15cm,左视图的宽为6cm,俯视图中直角三角形的斜边为10cm,求这个几何体中所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【解析】解：(1)这个几何体为三棱柱． (2)这个几何体的所有棱长之和为：(6+8+10)×2+15×3=93(cm)； 它的表面积为：2× ×6×8+(6+8+10)×15=408(cm2)． 90 50.一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所给的数据求出它的侧面积． 【解析】解：该几何体的形状是直四棱柱， 由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为4cm,3cm, ∴菱形的边长= = cm, 棱柱的侧面积= ×8×4=80(cm2)． 91 $$