第五章 分式 教案-2023-2024学年 浙教版数学七年级下册

上课日期 月 日第 课时 课题 5.1分式 课型 新授 1 能根据分式的概念，辨别出分式，理解当分母为零时，分式无意义 教 2、能确定分式中字母的取值范围，使分式有意义，或使分式的值为零 学 3、会用分式表示实际问题中的数量关系，并会求分式的值，体验分式在实际中的价值： 目 标 重 【教学重点】 点 分式的有关概念 和 【教学难点】 难 理解并能确定分式何时有意义，何时无意义。 点 教具准备 多媒体 教 一、创设情景，引出课题。 情景：让学生观察章书图中的灰熊：提问： 学 为了调整珍稀动物资源，动物专家在p平方千米的保护区内找到7只灰熊，你能用 代数式表示平均每平方千米保护区内有多少只灰熊吗？ 过 程 答案为：7P= p 设计说明：通过创设情景，让学生感受到分式来源于实际，激发学生学习兴趣。 教师再出示一些如：b,2x-3,。-b a x+2 让学生比较说出这些代数式与过去学过的整式有什么不同？（可能学生只讲出有分 母，教师应适当的引导。) (板书)分式：把这些分子、分母都是整式且分母中含有字母的代数式叫做分式。 二、合作讨论，探求新知 做一做： 1、下列代数式中，哪些是整式？哪些是分式？ 32,1x,ba+1,3x+2y5,a+bab 2、议一议：分式ab的分母中的字母能取任何实数吗？为什么？ 分式2x-3x+2中的字母x呢？ 总结得出分式的意义：分式中字母的取值不能使分母为零，当分母的值为零时，分 式就没有意义。 三、应用巩固，掌握新知 例1：对分式2x+13x-5 (1)当x取什么数时，分式有意义？ (2)当x取什么值时，分式的值为零？ (3)当x=1时，分式的值是多少？ 解：略。 解后反思：（最好由学生主讲）》 (1)因为当分母等于零时，分式无意义，所以只有当分母不等于零时，分式有意 (2)强调当分子等于零且分母不等于0时分式的值为零。 (3)求分式的值的格式。 设计说明：这是课本中的例题，一则是应用新知，二则是经历解题过程，三则让学 生体会解本题的关键。 例2：甲、乙两人从一条公路上某处出发，同向而行，已知甲每时行a千米，乙每 时行b千米，a>b,如果乙提前1时出发，那么甲追上乙需要多少时间？当a=6,b= 5时，求甲追上乙所需的时间。 分析：此题是行程问题中的追及问题，小学里学过 追及时间=路程差（追及路程）速度差，本题中把字母代入即可。 第二问题是求分式的值，注意解题格式。 想一想：若取a=5,b=5,分式ba-b有意义吗？它们表示的实际意义是什么？ (当a=5,b=5时，分式ba-b无意义，它表示甲永远也追不上乙). 解后反思：在用分式表示实际问题时，字母的取值一定要符合实际。 四、合作探究，延伸提高 探究题：（课内练习）口袋里装有若干个白球和黑球，这些球除颜色外均相同，设 黑球的个数为，白球的个数为(18-m)个，p表示从口袋中摸出一个球，是白球的概 率。 (1)你能用关于m、n的代数式来表示p吗？它是哪一类的代数式。 (2)这个代数式在在什么条件下有意义？ (3)p有可能为0吗？有可能为1吗？如果有可能，请解释它的实际意义。 五、布置作业 1、作业本 教学反思 上课日期 月 日第 课时 课题 5.2(1)分式的基本性质 课型 新授 1、 通过类比分数的基本性质，说出分式的基本性质，并能用字母表示。 教 2、理解并掌握分式的基本性质和符号法则。 学 3、 能运用分式的基本性质和符号法则对分式进行变性和约分。 目 标 重 【教学重点】分式的基本性制及利用基本性质进行约分 点 【教学难点】对符号法则的理解和应用及当分子、分母是多项式时的约分。 和 难 点 教具准备 多媒体 教 (一)类比引入，探求新知 下面这些式子成立吗？依据是什么？ 学 23=2×53×5=1015 1642=16÷242÷2=821 过 待学生讲出分数的基本性质后，再让学生讲出分数的基本性质的内容。 类似地，分式也有以下基本性质： 程 (板书)分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不 变。（并举例对性质中的关键词：都、同一个、不等于0的整式加以理解）》 设计说明：分式与分数有许多相似之处，通过类比几个浅显的例子，直观易懂，让 学生经历分式的基本性质的得来过程：对几个关键词的理解，目的是让学生更好的掌握 和应用性质。 用式子表示为AB=AXMB×M,AB=A÷MB÷M(其中M是不等于零的整式) (二)应用新知，巩固新知 想一想：下列等式成立吗？为什么？ -a-b=ab -ab=a-b=-ab 先让学生讨论，待学生回答后，教师引导学生得出结论：（板书）分子、分母与 分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 做一做：（课内练习）1、不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项子 数都化为整数。 (1)1312x+yx-y (2)0.2a+0.5b0.7a-b 2、不改变分式的值，把下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数。 (1)-2x-1x-1(2) 3-x -x2+2 例3：化简下列各式： (1)-8ab2c-12a2b (2)a2+4a+4a2+4 教学建议：教师可以先写出一个能约分的分数，让学生化简，并指出化简的实质：是 约分（学生应该能讲出的）。对比分数的化简让学生试着完成例3。（教师巡视过程中 应对基础弱的学生加以引导) 教师引导学生反思：1、例题化简过程的依据是什么？（分式的基本性质） 2、具体是怎样操作的？（先找出分子和分母中的公因式，再分子分母同时除以公因式） 由此得出： (板书)分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 设计说明：因为前一章刚刚学过因式分解，学生对公因式应该比较熟悉，所以直接让学 生完成，给学生探索和尝试的机会。 (三)、清点收获 由教师开出清单，学生进行清点 1、分式的基本性质 2、符号法则 3、约分 4、以上知识在应用时应注意什么？ 设计说明：为了避免学生毫无目的、流于形式的随意讲，由教师根据本节课的教学目 标开出清单，让学生有的放关。 (四)布置作业： 1、作业本 教 学 反 思 上课日期 月 日第 课时 课题 5.2(2)分式的基本性质 课型 新授 1、进一步掌握分式的基本性质及其应用。 教 学 2、会在已知等式的情况下将分式化简或求值，体验等量替换、 整体代换的数学思想和 目 方法。 标 3、会运用分式的约分进行多项式除法。 重 教学重点：运用分式的约分进行多项式除法。 和 教学难点：会在已知等式的情况下将分式化简或求值，常涉及所求式和己知式两方面的 难 变形，需要有一定的思维的灵活性。 点 教具准备 多媒体 教 一、创设情境， 复习提问 学 提出问题：怎样计算(2ab一8a2b)÷(4a一b) 过 二、导入新课， 探索新知 程 (先让学生思考上面所提出的问题，教师从旁启发) 师：如果出现竖式计算，教师可以给予肯定；可能出现 (2ab-8ab)÷(4a-b) ab一8a2追问学生怎么得来的，运算的依据是什么 这样暴露学生的思维，让学生自己发现错误之处；观察2ab一8ab-2ab(b一4a),其 中一个因式正好是除式4a一b的相反数，如果用“换元”思想，我们就可以把问题转化 为单项式除以单项式。 (2a2b-8a2b)÷(4a-b) =-2ab(4a-b)÷(4a-b)=-2ab (让学生自己比较哪种方法好) 1、利用上面的数学解题思路，同学们尝试计算 (书P10例3)计算： (1)(4x2-9)÷(3-2x) (2)(9a2+6ab+b2)÷(9a2b-b3) 学生总结解题步骤：1、因式分解；2、约去公因式) (全体学生动手动脑，然后叫学生回答，及时表扬，讲练结合，运用多项式的因式分 解和换元的思想，可以把两个多项式相除，转化为单项式的除法] 学生练习：（书P10课内练习）3（二位学生板演） 2、讲解（书P120例2） 已知x-3y-0求分式(x2-3xy+y2)/(x2+y2)的值 分析启发： (1)观察已知式，右边为0，由此你能获得什么？ (2)观察所求式，分子的每一项都是几次式？分母呢？分子与分母的两个多项式 的次数有什么特点？对于具有这样特点的分式，通过怎样的恒等变形，使分 子、分母的各项变为只含x与y的比或一个常数？你的依据是什么？ (师生共同完成》 想一想：你还有其他解法吗？ 三、综合应用，巩固提高 1、(书P120课内练习) 1、2 (二位学生板演) 2、(书P121作业题) 6、 (师生共同完成) 四、小结、布置作业： 作业本 教 反 思 上课日期 月 日第课时 课题 5.3 分式的乘除 课型 新授 1. 能根据分数的乘除法则叙述分式的乘除法则，并会用字母表示。 效 2、能进行分式的乘法、除法运算或简单的乘除混合运算。 学 3、能进行分式与整式的乘除运算。 标 重 【教学重点】分式的乘法 点 【教学难点】当分子、分母是多项式时的分式乘除法及课本中的例2 和 难 点 教具准备 多媒体 教 (一)创设情景，引入新课 你知道吗？同一物体在月球上受到的重力只有在地球上的16. 学 请问：(1)A物体在地球上的重力为53牛顿，那么它在月球上的重力是多少？ 过 (2)B物体在月球上的重力为53牛顿，那么它在地球上的重力是多少？ (让学生思考后回答。) 程 列式可得：(1)53×16=518 (2)53÷16=53×6=10 试一试，并说出依据。 ba·dc ba÷dc= (学生应该能说出依据的是：分数的乘法和除法法则)教师加以肯定，并指出与分 数的乘除法法则类似，（板书）分式的乘除的法则是： 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。 分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即ab·cd=acbd: ab÷cd=ab·dc=adbc 设计说明：在学生已有知识的基础上，通过类比让学生经历知识迁移的过程，加深 学生对法则的理解。 (二)应用新知，体验成功 练一练：（课内练习）1、下面的计算对吗？如果不对，请改正： (1)-x2b·6bx2=3bx (2)4x3a÷a2x=23 (学生认为错的，让学生指出错在哪里) 做一做： 例1、：计算 (1)7b6a2·8a37b2 (2)2ab÷(-3b2a) (3)a2+2aa2-6a+9÷a2-4a2-3a (4)m2-1612-3m÷(m2+4m) 教学建议：把主动权交给学生，待学生完成后，教师反问：是什么运算？怎么做的 在师生的互动过程中，总结出： (1)分式乘除运算时，应先确定结果的符号 (2)计算结果应是最简分式或整式 (3)“变除为乘，除式颠倒”，写好中间步骤。 (4) 可先约分，再相乘；当分子、分母为多项式时应先将分子、分母分解因式。 (5)运算中遇到整式，可看成分母是1的式子。 设计说明：让学生在经历应用新知的过程中，体会出法则表达式中字母含义的广泛 性和解题的步骤、关键。 (三)合作探究，检验能力 例2、一个长、宽、高分别为I、b、h的长方体纸箱装满了高为h的圆柱形易拉罐，求 纸箱空间的利用率，（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到1%）。 教学建议：待学生看完题目后，教师让学生举出与本题相符的实际例子（学生一定 能举出的，如：一箱键力宝、一箱可口可乐等)，就从学生的举例入手根据题意设问： (1)纸箱的容积怎么求？ 易拉罐总体积怎么求？（学生应该能回答出纸箱体积=1·b·:易拉罐总体积=一个易 拉罐的体积×易拉罐的总个数)，四人小组讨论易拉罐的体积和易拉罐的总个数与由什 么量确定的？怎么求？（基础较好的学生可能知道：由易拉罐的底面半径r决定并能求 出，可让知道的学生说出怎么想的、怎么求的，教师协助并写出解题过程。) (四)布置作业： 1、作业本 教 学 反 思 上课日期 月 日第 课时 课题 5.4分式的加减(1) 课型 新授 1、理解和掌握同分母的分式加减法法则。 教 2、 能运用法则进行同分母分式的加减运算。 学 3、 能将分母绝对值相等的分式转化为同分母分式，并进行加减运算。 目 标 重 【教学重点】 点 同分母分式加减法法则 和 【教学难点】 难 分母中只有符号不同的分式加减运算中的符号处理。 点 教具准备 多媒体 教 (一)类比引入，探求新知。 计算：17+27= 学 510-310 过 这一法则能否推广到分式运算中？ 请尝试计算1a+3a,x一1x+1一xx+1,并分别取a-3,x=4检验你的计算方程是否 程 正确 检验后，类比得到同分母的分式相加减的法则： 同分母的分式相加减，把分子相加减，分母不变。 用式子表示是：ac士bc-a±bc (二)理解应用，体验成功 练一练：（课内练习）1、口答：计算： (1)3a+12a-15a (2)1m--3m (3)ax-y-ay-x (4)yx-y-xx-y 在学生回答的过程中，教师反问：(3)中x-y与y-x相同吗？怎么处理？ (可能学生会讲出：y-X=一(x-y),教师肯定后再加以强调。) 设计说明：让学生经历应用新知的过程，从中体会和理解法则中字母含义的广泛性 教师的反问起到了强调作用。 做一做：例1：计算 (1)a+3ba+b+a-ba+b (2)2xy2+1(x-y)2-1+2x2y(y-x)2 教学建议：把主动权交给学生，待学生完成后，教师反问：在(2)中(x-y)2与(y-x 2是同分母吗？为什么？（多数学生应该知道：(xy)2-x2-2xy+y2而(y-x)2y2-2xy+x2所以 (x-y)2(y-x)2或(y-x)2=[-(y-x)]2(x-y)2),再问(xy)3=(y-x)3吗？为什么？ 在师生的互动过程中，归纳出： (1)(x-y)2m=(y-x)2m:(x-y)ar1=(y-x)2m-1 (2)分子相加减：应是分子“整体”相加减，注意添括号。 (3)结果一定要最简。 设计说明：培养学生解题后进行反思、归纳的好习惯，可使知识形成体系，以不变 应万变。 试一试：（课内练习）2、计算： (1)a2a-b-b2a-b (2)2a2a-b+bb-2a (三)综合应用，巩固提高 做一做：例2：先化简，再求值：x2-1x2-2x+x-12x-x2,其中x=3 教学建议：在解答过程中，应强调解题格式和步骤。 课内练习：先化简，再求值：x2x-1+11-x,其中x=一3 设计说明：分式的化简求值题是代数式的求值题中的一种，此两题的设计让学生体 会到知识间的密切联系。 (四)清点收获 由教师开出清单，学生进行清点 1、同分母的分式相加减法则 2、绝对值相等的分母如何化为同分母。 3、当分子是多项式时应注意什么？ 5、结果应的形式 (五)布置作业： 1、作业本 教 学 思 上课日期 夕 日第 课时 课题 5.4分式的加减(2) 课型 新授 1、理解分式的通分，最简公分母的概念， 会确定几个异分母分式的最简公分母。 教 2、理解异分母分式加减法则，能对分母是单项式或简单的多项式的异分母分式加减运 算。 目 3、能进行分式与整式的加减运算。 标 重 [教学重点]确定最简公分母并正确通分 点 [教学难点]分母是多项式的异分母分式的通分 和 难 点 教具准备 多媒体 教 (一)创设情景，引入新课 情景：（出示节前图片）： 学 台风中心距A市s千米，正以b千米/时的速度向A市移动，救援车队从B市出发，以 过 4倍于台风中心的移动的速度向A市前进，已知A、B两地的路程为3s千米，问救援 车队能否在台风中心到来前赶到A城，若能赶到，提前了几分钟，若不能赶到，还差 程 几分钟？ 分析：由题意可列式子：sb一3s4b 让学生说出与上节课的分式加减有何不同？（学生应该能说出：异分母）从而引 出课题 (二)复习旧知，探求新知 计算：312-58 待学生完成后，教师反问：这是什么运算？怎么做的？关键是什么？ 类似地，你能完成下面的计算吗？ (1)1a+1b (2)b2a2-ba? 待学生完成后，教师反问：你以什么作为公分母？在师生互动的过程中归纳总结 出通分的概念： (板书)把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分， 异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减。 设计说明：与异分母分数的加减作类比，说明异分母分式的加减也是通过转化为 同分母的分式再加减。 试一试： 计算：sb-3s4b=4s4b-3s4b=4s-3s4b=s4b 反思： (1)分式通分的依据是什么？ (2)如何确定公分母？ 教学建议：先让学生充分讨论，然后让学生归纳，可能学生归纳不是很完全，但 只要学生得有点正确，教师应该给予肯定，最好教师与学生一起归纳。 通分时一般取各分式分母系数的最小公倍数与各分母所有因式的最高次幂的积为 公分母。这个公分母也称为最简公分母。 异分母通分简公分母→同分母 (三)理解应用，体验成功 做一做：例3：计算 (1)76x2y-23xy2 (2)xx-3-Xx-2 (3)X-2-x2x+2 教学建议：把主动权让给学生，先让学生自己计算，当学生遇到困难时，适当提 示。当学生完成后，教师反问：(1)异分母分式加减的一般步骤是什么？ (2)在解第(2)与第(3)时与第(1)题有什么不同的地方？（待 学生回答后) 教师与学生一起归纳：（一）解题步骤：(1)确定最简公分母 (2)通分 (3)加减计算（结果要最简》 (二)注意点：整式与分式相加减，将整式看成分母是1的分式进行通分。 2、用两种不同的运算顺序计算：(xx-2-xx+2)2-xx (三)综合应用，巩固提高 做一做：1、计算：4a2-4+12-a,并求当a=一3时，原式的值。 2、计算：2m2m十m-22m2-2,并求当m=3时，原式的值？ (四)布置作业： 1、作业本