专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（2024·天津滨海新·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 1．（2024·天津红桥·一模）若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 3．（21-22九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 1．（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）设，是的两根，则 ． 3．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 2．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）已知方程的两个根分别是，则= ． 3．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）已知实数满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如果x、y是两个实数（）且，，则 ． 3．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 1．（2024·山东日照·三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 2．（2024·四川成都·二模）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值 ． 3．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（2024上·河南新乡·九年级统考期末）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 1．（21-22八年级下·河南新乡·期中）定义：一次函数的特征数为．一次函数的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数的图像交于点A，B．若点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是(     ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）对于任意实数a，b，定义：．若方程的两根记为m，n，则 ． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例8】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）已知方程的两个根分别为，则下列说法不一定正确的是（　　） A．   B．0 C． D．方程的根有可能为0 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（21-22九年级上·江西抚州·期中）已知一元二次方程（）和它的两个实数根为、，下列说法： ①若、异号，则方程一定有实数根 ②若，则方程一定有两异实根 ③若，则方程一定有两实数根 ④若，，，由根与系数的关系可得， 其中正确的结论是： ．（填序号） 4．（2021·福建厦门·二模）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则或； ③若点在双曲线的图像上，则关于x的方程是倍根方程 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知、、是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（   ） A． B．3 C． D．5 4．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）一元二次方程和的所有实数根之和为（   ） A．2 B． C．4 D． 5．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如果关于的一元二次方程两个根为，那么方程的两个根和系数有如下关系：，若是关于的一元二次方程的两根，已知，则的值是 （        ） A． B． C．4 D． 6．（2024·广东·二模）若a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 7．（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 . 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）设，是的两根，则 ． 10．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 11．（北京市通州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）已知一元二次方程的一个根为，求m的值及另一个根． 12．（2024·山东潍坊·二模）小亮和小刚对关于的一元二次方程进行了如下分析： 小亮：“对于任意实数，，该方程总有两个不相等的实数根．” 小刚：“该方程的两个实数根的符号不相同．” 请判断小亮和小刚的说法是否正确并说明理由． 13．（23-24八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M：，且． (1)请直接写出方程M：的一个根． (2)方程N：． ①若方程M的另一个根为，求方程N的两根． ②若方程M，N的根相同，求证． 14．（2024·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 15．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； (2)如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； (3)如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根与系数的关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 利用根与系数的关系直接求代数式的值 题型二 利用根与系数的关系间接求代数式的值 题型三 利用根与系数的关系降次求代数式的值 题型四 构造一元二次方程求代数式的值 题型五 由两根关系求方程字母系数 题型六 根与系数关系的新定义问题 题型七 一元二次方程根与系数关系多结论问题 题型八 一元二次方程根与系数的关系综合 如果一元二次方程（）的两根为那么，就有 比较等式两边对应项的系数，得 ①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系． 因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题． 利用根与系数的关系，我们可以不求方程的根，而知其根的正、负性． 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． ⑴ 韦达定理（根与系数的关系）： 如果的两根是，，则，．(隐含的条件：) ⑵ 若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地： ① ， ② 且， ③ 且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． ⑶ 以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：． ⑷ 其他： 1 若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)． 2 若，则方程必有实数根． 3 若，方程不一定有实数根． 4 若，则必有一根． 5 若，则必有一根． ⑸ 韦达定理（根与系数的关系）主要应用于以下几个方面： 1 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； 2 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； 3 已知方程的两根，求作方程； 4 结合根的判别式，讨论根的符号特征； 5 逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理； ⑤ 利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱． 【经典例题一 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例1】（2024·天津滨海新·一模）若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 1．（2024·天津红桥·一模）若一元二次方程： 的两个根分别为、 ， 则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根据两根之积等于即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的两个根分别为、 ， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）若是方程的两个实数根，则代数式的值等于 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：8 3．（21-22九年级上·全国·课后作业）不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）；       （2）； （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）（2）是一般式，先根据判别式确定根的情况，再利用韦达定理即可；（3）(4)先整理成一般式，再根据判别式确定根的情况，然后利用韦达定理即可． 【详解】解：（1）∵， 且， ∴； （2）∵， 且， ∴； （3）方程化为， ∵， 且， ∴； （4）方程化为，∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握相关公式是解决本题的关键． 【经典例题二 利用根与系数的关系间接求代数式的值】 【例2】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　） A．1 B． C．3或 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ， 解得：或， 当时，原方程为，， 则原方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为，， 则原方程无实数根，不符合题意； 综上：． 故选：A． 1．（2024·湖北黄石·二模）设分别为一元二次方程的两个实数根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，进而得，由一元二次方程根和系数的关系可得，再把转化为，代入前面所得式子的值计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义及根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级下·江苏南通·期中）设，是的两根，则 ． 【答案】2016 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，，，再逐步代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是的两根， ∴，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 3．（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可； （2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：，是方程有两个实数根， ，， ； （2），是方程有两个实数根， ， ， 【经典例题三 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 【例3】（23-24九年级上·广东揭阳·期中）已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．利用一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义可得，，，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实根， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 1．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A．0 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形． 2．（22-23九年级上·黑龙江大庆·期末）已知方程的两个根分别是，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，． 由根与系数的关系可得：，，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：方程的两个根分别是， ，， ． 故答案为：． 3．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 【经典例题四 构造一元二次方程求代数式的值】 【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了构造一元二次方程解题，正确构造方程，灵活运用根与系数关系定理是解题的关键．根据，方程除以得，从而得到是方程的两个根，根据根与系数关系定理，得，故是． 【详解】解：根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）已知实数满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，涉及一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系等知识，由题意得到是一元二次方程的两个实数根，再由根与系数的关系得到，再化简代值即可得到答案． 【详解】解：实数满足，， 是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：B． 2．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如果x、y是两个实数（）且，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系和分式的化简求值，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 将两边同时除以，然后设，则可得为一元二次方程的两个不相等的实数根；由根与系数的关系可得和的值，然后代入原式计算即可． 【详解】解：， ， ， 设，则， ， ， ∴是方程的两个不相等的实数根， ， ． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·浙江金华·期中）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：若一元二次方程的两个根为，则，． 材料2：已知实数m，n满足，，且，则m，n是方程两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程两个根为，则______，______． (2)应用探究：已知实数m，n满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关系，并灵活应用是解本题的关键． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）由题意可得m，n是的两个根，则，，再把分解因式，再代入求值即可； 【详解】（1）解：∵一元二次方程两个根为， 则，． （2）解：∵实数m，n满足，，且， ∴m，n是方程两个不相等的实数根． ∴，， ∴； 【经典例题五 由两根关系求方程字母系数】 【例5】（2023上·四川巴中·九年级校考期中）已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是(    ) A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 1．（2024·山东日照·三模）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．由一元二次方程的两个实数根分别为、，可得，，即可得，解得或，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为、， ，， ， ， ， 解得或， 当时，一元二次方程为，此时△，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当时，一元二次方程为，此时△，符合题意； 的值是； 故选：D 2．（2024·四川成都·二模）设是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握．根据一元二次方程根与系数的关系列出方程求解，再根据判别式选取符合要求的值即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的两个实数根，， ， ， ， ， 或， 当时，方程，， 此时，方程无解，不符合题意，舍去， 当时，方程，， 此时，方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故答案为：． 3．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． (1)填空：________，________； (2)求，； (3)已知，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； （3）解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 【经典例题六 根与系数关系的新定义问题】 【例6】（2024上·河南新乡·九年级统考期末）对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查实数新定义运算和一元二次方程的知识，解题的关键是理解实数新定义运算，把化简，再根据根的判别式进行判断，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 1．（21-22八年级下·河南新乡·期中）定义：一次函数的特征数为．一次函数的图像向上平移3个单位长度后与反比例函数的图像交于点A，B．若点A，B关于原点对称，则一次函数的特征数是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，得到解析式，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于x的一元二次方程，设所以是一元二次方程的两根，根据根与系数的关系，得到，由两点关于原点对称，所以，得到，根据定义即可得出答案 【详解】将一次函数向上平移3个单位长度后得到， 设 联立 ， 是方程的两根， ， 又，两点关于原点对称， ， 根据定义，一次函数的特征数是 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，联立两个函数解析式，得到一元二次方程，是解决交点问题的基本方法． 2．（23-24九年级上·辽宁阜新·阶段练习）对于任意实数a，b，定义：．若方程的两根记为m，n，则 ． 【答案】 【分析】根据新定义可得出m，n为方程的两个根，利用根与系数的关系可得出和的值，变形后利用整体代入得方法进行计算． 【详解】由题意得，整理得 ∵方程的两根记为m，n， ∴m，n为方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值． 【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． （1）因式分解法解一元二次方程得，根据定义，求解作答即可； （2）由，可得，，代入，整理得，，解得，或，分当时，当时，两种情况求解，然后判断作答即可． 【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：∵， ∴， 解得，， ∵， ∴方程为“限根方程”； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴，即，整理得，， ∴， 解得，或， ①当时，， 解得，， ∵， ∴符合题意； ②当时，， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去； ∴k的值为5． 【经典例题七 一元二次方程根与系数关系多结论问题】 【例8】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 1．（21-22八年级下·江苏泰州·期末）已知方程的两个根分别为，则下列说法不一定正确的是（　　） A．   B．0 C． D．方程的根有可能为0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：∵方程的两个根分别为， ∴ ， ∴ ， 故C选项不符合题意； ∵＝3＞0， 故A选项不符合题意； ∵， ∴方程的根有可能为0， 故B选项符合题意，D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如果关于的一元二次方程有下列说法：①若，则；②若方程两根为-1和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根，其中结论正确的是有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①，即系数和为0，说明原方程有一根是1，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，△； ②已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论； ③判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了； ④把代入得到，根据判别式的意义可得到方程有两个不相等的实根． 【详解】解：①若，方程有一根为1，又，则，正确； ②由两根关系可知，，整理得：，正确； ③若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确； ④由，，所以④正确． 故选． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，．也考查了一元二次方程根的判别式． 3．（21-22九年级上·江西抚州·期中）已知一元二次方程（）和它的两个实数根为、，下列说法： ①若、异号，则方程一定有实数根 ②若，则方程一定有两异实根 ③若，则方程一定有两实数根 ④若，，，由根与系数的关系可得， 其中正确的结论是： ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】当a、c异号时，Δ＞0，则根据判别式的意义可对①进行判断；当b2＞5ac时，Δ＞0，可判断方程ax2+bx+c=0一定有不相等的实数根，则可对③进行判断；当b=a+c时，则Δ=（a-c）2≥0，则根据判别式的意义可对③进行判断；若a=1，b=2，c=3，计算出Δ=-8＜0，则可对④进行判断． 【详解】解：Δ=b2-4ac， 当a、c异号时，ac＜0，所以Δ＞0，所以此时方程ax2+bx+c=0一定有实数根，所以①正确； 当b2＞5ac时，则△＞ac，若a、c异号，此时方程ax2+bx+c=0一定有两个不相等的实数根，若ac同号，则Δ＞0，此时方程ax2+bx+c=0一定有两异实根，所以②正确； 若b=a+c时，Δ=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，则方程ax2+bx+c=0一定有两实数根，所以③正确； 若a=1，b=2，c=3，Δ=22-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，所以④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=，也考查了根的判别式． 4．（2021·福建厦门·二模）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则或； ③若点在双曲线的图像上，则关于x的方程是倍根方程 【答案】①②③ 【分析】①根据倍根方程定义即可得到方程x2+3x+2=0是倍根方程；②根据倍根方程的定义得到x1，x2，化简可得结论；③根据已知条件得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得到方程的根； 【详解】解：①x2-3x+2=0， （x-1）（x-2）=0， x1=1，x2=2， ∴方程x2-3x+2=0是倍根方程； 故①正确； ②解方程（x-2）（mx-n）=0， 得：x1=2，x2=， ∵（x-2）（mx-n）=0是倍根方程， ∴2=或4=， 即m=n或n=4m， 故②正确； ③∵点（p，q）在反比例函数y=的图象上， ∴pq=2， 解方程px2+3x+q=0得：x1= ，x2= ， ∴x2=2x1， 故③正确； 故答案为①②③． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键． 【经典例题八 一元二次方程根与系数的关系综合】 【例8】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【答案】(1)， (2)方程有两个实数解．理由见详解 (3)的值为1或2 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答； （3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）解：方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 1．（2024八年级下·浙江·专题练习）有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x₁、x₂是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断方程是否为“差积方程”？并验证； (2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值； (3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系． 【答案】(1)是，证明见解析 (2)或 (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键． （1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可； （2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解； （3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解． 【详解】（1）方程是“差积方程”， 证明：， 即， 解得，， ， 是差积方程； （2）解：， 解得方程的解为：，， 是差积方程， ， 即：或． 解得：或， （3）解： ， 解得，， 是差积方程， ， 即， 即． 3．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程． (1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程； (2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值； (3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式． 【答案】(1)方程是连根方程 (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程、根与系数之间的关系等知识点，掌握“连根方程”的定义是解题的关键． （1）先用因式分解法解方程，再根据“连根方程”的定义进行判断即可； （2）根据方程为“连根方程”，设其中一个根为a，则另一个根为，再根据根与系数的关系进行求解即可； （3）根据“连根方程”的定义和根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∵， ∴是连根方程． （2） 解：∵方程（是常数）是“连根方程”， 设的两个根为， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）解：方程（b、c是常数）是“连根方程”， 设方程的两个根为：，且， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴． 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知，是不为0的实数，且，若，，则的值为（    ） A．14 B．7 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义，以及根与系数的关系，根据，，可得，可得是一元二次方程的两个根，根据跟与系数的关系即可解答，熟练掌握解的意义和根与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 是一元二次方程的两个根， 可得， ， 故选：B． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知、、是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个不等的负实根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不等的负实根．首先根据根的判别式，结合三角形三边关系，得出方程有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系，判断出两根之和和两根之积的符号，即可作出判断． 【详解】解：在方程中， 可得：， ∵、、是的三条边的长， ∴，，．，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是，两根的积是， ∴方程有两个不等的负实数根， 故选：C 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于熟练掌握：是的两根，则，． 记一元二次方程的另一个根为，则，计算求解即可． 【详解】解：记一元二次方程的另一个根为， ∵， ∴， 解得，，， 故选：B． 4．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）一元二次方程和的所有实数根之和为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数之间的关系，一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程）的两个根是，那么；运用根与系数的关系前要利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数根是解题的关键； 先根据根与系数的关系分别求出两个方程的两根之和，然后把它们相加即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，方程无解， ∴一元二次方程和的所有实数根之和为． 故选B． 5．（23-24九年级上·河南新乡·期中）如果关于的一元二次方程两个根为，那么方程的两个根和系数有如下关系：，若是关于的一元二次方程的两根，已知，则的值是 （        ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及负整数指数幂运算等知识，根据题意，用根与系数关系将表示出来解方程，求出是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的一元二次方程的两根， ， ， ， ， 故选：C． 6．（2024·广东·二模）若a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为： 7．（2024·江西景德镇·二模）已知关于的一元二次方程的两根分别是，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入可计算出． 【详解】解：关于的一元二次方程的两根分别是， 那么，， ， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】23 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，完全平方公式的运用，根据题意可得，，将代数式转化为，代入求值即可. 【详解】解：是方程的两个实数根， ， 即， ， 故答案为：23. 9．（23-24八年级下·江苏南通·期中）设，是的两根，则 ． 【答案】2016 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，，，再逐步代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是的两根， ∴，，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 11．（北京市通州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）已知一元二次方程的一个根为，求m的值及另一个根． 【答案】m的值为2及另一个根． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根和与两根积的公式即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：， ∵， ∴ 即m的值为2及另一个根． 12．（2024·山东潍坊·二模）小亮和小刚对关于的一元二次方程进行了如下分析： 小亮：“对于任意实数，，该方程总有两个不相等的实数根．” 小刚：“该方程的两个实数根的符号不相同．” 请判断小亮和小刚的说法是否正确并说明理由． 【答案】小亮和小刚的说法是正确的，理由见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，先计算，，再判定结果的符号，从而可得答案． 【详解】解：小亮和小刚的说法是正确的 由题意可得， ∵，所以 又∵， ∴，即方程总有两个不相等的实数根， ∴小亮的说法是正确的． 设方程的两根为，，则 ∵， ∴， ∴，即该方程的两个实数根的符号不相同， ∴小刚的说法是正确的． 13．（23-24八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程M：，且． (1)请直接写出方程M：的一个根． (2)方程N：． ①若方程M的另一个根为，求方程N的两根． ②若方程M，N的根相同，求证． 【答案】(1) (2)①，；②见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，一元二次方程根与系数关系，掌握使一元二次方程成立的未知数值叫一元二次方程的解和一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）把代入方程，得，即可得出结论； （2）①由题意可得方程M的根为：或；将方程的两边同除以，得，则，对比方程M，可得或1，即可求解； ②设两方程两根为, ,对于方程M，则，对于方程N，则，所以，则，代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ∴是方程M：的一个根； （2）解：①由（1）知是方程M的一根， ∵方程M的另一个根为， ∴方程M的根为：或； 方程的两边同除以，得， ∴， ∴或， ∴，； ②∵方程M，N的根相同，设两方程两根为, , ∴对于方程M，则，对于方程N，则， ∴， ∴， ∴． 14．（2024·四川南充·二模）关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，根的定义可得，，，，根据可得，再根据可得，求解即可得出的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵、是一元二次方程的解， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（不符合题意舍弃）， 故的值为． 15．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； (2)如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； (3)如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 【答案】(1)k的取值范围为 (2)k的值为8，方程的另一个根为4 (3)k的值为 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． （1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式； （2）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，然后解方程组即可； （3）根据根与系数的关系得，，再由得到，所以，然后解一次方程即可． 【详解】（1）根据题意得△， 解得， 即的取值范围为； （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即的值为8，方程的另一个根为4； （3）根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 即的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$