专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 1、（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 3、（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 1、（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 2、（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 3、（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 【经典例题四 配方法的应用】 【例4】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 3．（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 2．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 3．（23-24九年级上·河南南阳·期中）（1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．     第一步           第二步 则或．     第三步 解得．          第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步变形的名称是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请直接写出该方程的正确解______． （2）用公式法解方程：． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程．有下列两种说法：①若，则此方程一定有实数根；②若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程：（其中p、q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 ． ①必是方程的根； ②可能是方程的根； ③方程必有实数根； ④若为方程的两个根，则方程的根为和． 3．（北京市通州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根； (2)若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（23-24八年级下·广西百色·期中）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）若关于x的方程（m为实数）在范围内有唯一实数根，则m的范围是（    ） A． B． C．和 D． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： 若，则； 若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； 若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） 3．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 1．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 2．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知． 用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，； 操作尝试：解一元三次方程． 3．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， (1)请你用换元法对多项式进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 1．（22-23九年级上·四川遂宁·期中）已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）已知方程的根为，，则方程的根是 ． 3．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设． 则原方程可转化为，即． ， ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程：； (3)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数：______ ． 【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例11】（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）对于实数，定义运算“”：若，例如：．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·北京·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·一模）若，则关于的方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有两个不相等的实数根 5．（2024·湖北武汉·二模）对于一元二次方程，下列说法∶①时，方程一定有实数根；②若、异号，则方程一定有实数根；③时方程一定有两个不相等的实数根；④若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有②③ 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围 ． 7．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 8．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为 ． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 11．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）解方程： (1) (2) 12．（23-24八年级下·江苏南通·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 14．（23-24八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； (2)当时，请判别方程根的情况． 15．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 直接开方法解一元二次方程 题型二 直接开方法解一元二次方程的应用 题型三 配方法解一元二次方程 题型四 配方法的应用 题型五 公式法解一元二次方程 题型六 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 题型八 根的判别式综合应用 题型九 因式分解解一元二次方程 题型十 换元法解一元二次方程 题型十一 一元二次方程的新定义解法 知识点01 一元二次方程的解法：直接开平方法 直接开平方法解一元二次方程：将方程化成则x＝. 知识点02 一元二次方程的解法：配方法 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法． 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0 (a≠0）的一般步骤是： （1）化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； （2）移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； （3）配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；（4）化原方程为(x+m）2=n的形式； （5）如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n＜0，则原方程无解． 注意：实际在解方程的过程中，一般也只是针对且为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使用公式法来更加简单。 知识点04 公式法 公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是: (=b2－4ac≥0) 推导过程：一元二次方程，用配方法将其变形为： 2.公式法解方程的步骤：①化方程为一元二次方程的一般形式； ②确定a、b、c的值； ③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4ac＜0，则方程无解． 知识点04 一元二次方程根的判别式 (=b2－4ac) ①当时，方程有两个不相等的实根； ② 当时，方程有两个相等的实根； ③ 当时，方程没有实根。 判别式作用：①定根的个数；②求待定系数的值。 注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式； (2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数a≠0 (3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方式+正数”的形式。 知识点05 因式分解法 将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，实现降次的方法。 即将一元二次方程化简为；从而得出：，因式分解法的关键是分解成两个一次因式相乘的形式。 因式分解的主要方法： 提取公因式法：通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 乘法公式：因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于0的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。①平方差公式：；②完全平方公式： 十字相乘法：十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项；③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程： ∴方程可分解为：（2x+3）（x－2）=0 ∴ 4）解一元二次方程的方法选择： ①虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 ②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握。 ③四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4）。 【经典例题一 直接开方法解一元二次方程】 【例1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用直接开平方法求解方程是解题的关键； （1）根据直接开平方法可进行求解方程； （2）根据直接开平方法可进行求解方程 【详解】（1）解：移项，得， 根据平方根的意义，得， 即． （2）解：移项，得， 两边同除以3，得， 根据平方根的意义，得， 即． 1、（23-24九年级上·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； （2）将方程变形为，开平方求解，转化为一元一次方程，求解； 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ，． 【点睛】本题考查开平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解题的关键． 2、（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程．若，则． （1）移项，得． 两边同除以9，得． 两边同时开平方，得或， ∴，． （2）直接开平方，得 或， ∴，． 3、（2023八年级下·浙江·专题练习）用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用直接开平方法解答即可； （2）用直接开平方法解答即可． 【详解】（1）， 移项，得， 两边同时除以49，得， 开方，得， 则方程的两个根为，． （2） 两边同时除以9，得， 开方，得， 即或， 则方程的两个根为，． 【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握开方法. 【经典例题二 直接开方法解一元二次方程的应用】 【例2】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）关于x的一元二次方程有一个根是1，则m的值是（    ） A． B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义及其解法，熟练掌握定义，根据定义要求得出方程及不等式求解是解决问题的关键．根据方程解的定义，将代入求解，再结合一元二次方程定义确定即可得出结论． 【详解】解：是关于x的一元二次方程， ，解得， 关于x的一元二次方程有一个根是1， ， 化简得，解得， 综上所述：， 故选：A． 1、（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是（    ） A．1，4 B．1， C．2， D．3，0 【答案】C 【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可． 【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 2、（2023·吉林长春·模拟预测）方程有实数根，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了解一元二次方程−直接开平方法，利用解一元二次方程−直接开平方法，进行计算即可解答，熟练掌握解一元二次方程−直接开平方法是解题的关键． 【详解】方程有实数根， ， ， 则的值可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3、（2024八年级下·安徽·专题练习）若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 【经典例题三 配方法解一元二次方程】 【例3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后进行配方即可求解； （2）由题意易得，则有，然后进行配方即可求解 【详解】（1）解：移项，得， 配方，得， 即， ． （2）解：移项，得． 二次项系数化为1，得． 配方，得， 即． 因为任何实数的平方都不会是负数，所以原方程无实数根． 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可． 【详解】解：移项得，， 配方得，， 即， ， ，． ∴方程的解为，． 2．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， ，； （3）解：， ， ，； （4）解：， ， ， ． 3．（2024八年级下·安徽·专题练习）观察下列方程及其解的特征： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：原方程可化为． （下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程） 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律． 配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数． 【详解】（1）解：方程整理得：， 其解为，； （2）解：猜想得：其解为，， 故答案为：（或； （3）解：方程二次项系数化为1， 得． 配方得， ，即， 开方得， ， 解得，． 经检验，，都是原方程的解． 【经典例题四 配方法的应用】 【例4】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）代数式的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再分解因式，然后根据配方法得到，然后利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式有最小值， 此时最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了因式分解，配方法的应用，以及非负数的性质，得出是解题的关键． 1．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用．利用配方法对原式进行变形，再根据偶次方的运算计算出结果． 【详解】解： 因为，， ， 所以当，时， 原式有最小值4， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 3．（23-24八年级下·广西梧州·期中）先阅读下面内容，再解决问题： 若关于、的方程，求、的值． 解；因为 所以 所以 即 所以， 所以， 解得， (1)模仿阅读内容解关于、的方程，已知，求、的值； (2)若、是方程的解，求关于的一次函数图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次函数的性质． （1）根据题意把方程进行配方即可求解； （2）先根据配方法求出、，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解： 即， ， 解得：，； （2） 即 ， 解得， 将，代入一次函数，得， 令，则；令，则，解得； 该函数与轴的交点为，于轴的交点为 一次函数的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为． 【经典例题五 公式法解一元二次方程】 【例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴， ∴ 解得：， 1．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)方程无解 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解； （3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： ∴， ∴， ∴原方程无解． 2．（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程 (1)（公式法） (2)（公式法） 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； （）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可； 本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤． 【详解】（1），，， ， ∴， ∴，； （2），，， ， ∴， ∴，． 3．（23-24九年级上·河南南阳·期中）（1）下面是小红同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．     第一步           第二步 则或．     第三步 解得．          第四步 任务一：填空： ①以上解题过程中，第一步变形的名称是______； ②第______步开始出现错误，错误的原因是______； 任务二：请直接写出该方程的正确解______． （2）用公式法解方程：． 【答案】（1）任务一：①移项；②二，去括号时，没有变号；任务二：；（2） 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】任务一： ①移项； ②二，去括号时，没有变号； 故答案为：移项，二，去括号时没有变号； 任务二： 则或 解得：， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【经典例题六 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 【例1】（2024·河南商丘·三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）关于的方程．有下列两种说法：①若，则此方程一定有实数根；②若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都正确 D．①，②都错误 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由，可知是方程的根，可判断①的正误；由a，c异号，可得，则，即此方程一定有实数根，可判断②的正误． 【详解】解：∵， ∴是方程的根，①正确，故符合要求； ∵a，c异号， ∴，即， ∴，即此方程一定有实数根，②正确，故符合要求； 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程：（其中p、q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 ． ①必是方程的根； ②可能是方程的根； ③方程必有实数根； ④若为方程的两个根，则方程的根为和． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式可得，分情况对①②③④进行判断，即可得出结果． 【详解】解：∵方程（其中p，q为常数）有两个相等的实数根， ∴且， ∴， 当， 原方程为：， ， 即， ， 是方程的根； 当，即时， 原方程为：， ， 即， ， 是方程的根； 综上，不一定是方程的根；故①错误，不符合题意； 当时，则，即， ， ， 符合题意， 可能是方程的根；故②正确，符合题意； 由①知，当，是方程的根， 方程必有实数根，故③正确，符合题意； 为方程的两个根， 当时，方程为， 即， ， 方程为， 即， ， ， 同理，当时，方程为， 即， ， 方程为， 即， ， ， 综上，若为方程的两个根，则方程的根为和，故④正确，符合题意； 故答案为：②③④． 3．（北京市通州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论k取何值，该方程都有两个实数根； (2)若方程有一个根大于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是（1）牢记“当 时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根大于1 ， 找出关于的一元一次不等式 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出, 根据方程有一根大于1 ，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； 【详解】（1）证明：∵在方程 中， ， ∴方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∵方程有一根大于1 ， ∴， ∴的取值范围为 ； 【经典例题七 根据一元二次方程根的情况求参数】 【例7】（23-24八年级下·广西百色·期中）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数之间的关系是解本题的关键．分情况①当，即时，②当，即时两种情况，前者是一元一次方程，必定有解，后者根据一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可． 【详解】解：①当，即时，原方程化为，解得：， 即符合题意； ②当，即时， 关于的方程有实数根， 且， 综上所述：m的取值范围是． 故选：D 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）若关于x的方程（m为实数）在范围内有唯一实数根，则m的范围是（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得，再解方程得，，接着根据题意列出不等式，然后分别解两不等式，从而得到取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 解得，， 当时，，此时， ∴，符合题意； 当时， 方程在的范围内有唯一实数根， ∴或， 解前一不等式组无解，解后一不等式组得， 综上所述，m的范围是和． 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 / / 且 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，，当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．解答此题的关键是得出关于k的不等式； （1）方程有实数根，是关于x的一元一次方程和元二次方程两种情况，需分类讨论；当为一元二次方程时，根据判别式的意义得到，建立关于k的不等式，然后解不等式即可； （2）方程无实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，，，求得k的值； （3）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的方程，，求得k的值； （4）方程有两个不相等实数根，则根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围，且二次项系数不为零． 【详解】（1）当，即时，方程化为， 解得； 当时， ， 解得且， 综上所述，k的取值范围为． 故答案为： ； （2） 当时， ，解得 故答案为：； （3） 当时， ， 解得． 故答案为：； （4） 当时， ， 解得且． 故答案为：且 ； 3．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)k的取值范围为． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． （1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值； （2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可． 【详解】（1）解：把代入得， ； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 【经典例题八 根的判别式综合应用】 【例8】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法： 若，则； 若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； 若是方程的一个根，则一定有成立； 其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可． 【详解】解：， ， ， ，故①正确． 方程有两个不相等的实根， ，即． 又，且， ，则方程有两个不相等的实根．故②正确． 是方程的一个根， ，即， 或．故③错误． 故选：C． 2．（2024·山东聊城·三模）定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：①如果是的倒方程的解，则；②如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；③如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查方程解，根的判别式，根据倒方程的定义，结合方程的解以及根的判别式逐一进行判断即可． 【详解】解：的倒方程为：， 把代入，得： ，解得：；故①正确； ∵无解， ∴， ∴， ∵的倒方程为，也是一元二次方程， ∴， ∴没有实数根，故②正确； ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 当，时，满足要求， 此时的倒方程为一元一次方程，故③错误； 故答案为：①②． 3．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． (1)如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； (2)如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】(1) (2)原方程有两个不相等的实数解，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理； （1）根据是等边三角形，得出，进而解一元二次方程，即可求解； （2）根据勾股定理得出，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：； （2）解：原方程有两个不相等的实数解 理由：∵是以为斜边的直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数解 【经典例题九 因式分解解一元二次方程】 【例1】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）解方程：（因式分解）． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握利用因式分解的方法解方程是解题的关键． 1．（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：． 【答案】， 【分析】采用因式分解法即可求解． 【详解】 移项得，， 提取公因式得，． 故或， 解得，． 【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键． 2．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）阅读理解：回顾我们学过的各类方程的解法，不难发现：各类方程的解法虽各不相同，但是它们的一个共同的基本数学思想——转化，即化未知为已知． 用转化的数学思想，我们可以解一些新的方程．例如：一元三次方程,可以通过因式分解把它转化为，解一元一次方程和一元二次方程，可得，，； 操作尝试：解一元三次方程． 【答案】，， 【分析】先通过因式分解把方程化为两个二次方程，然后再利用公式法求解二次方程． 【详解】解：， ∴． ∴或． 当时，； 当时，． ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程、高次方程的解法，看懂题例掌握一元二次方程的解法是解决本题的关键． 3．（22-23九年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法分解因式． 解：设， (1)请你用换元法对多项式进行因式分解； (2)凭你的数感，大胆尝试解方程：． 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）根据题意将进行换元后分解因式即可． （2）设分解因式后得到或，带回后求未知数的值即可． 【详解】（1）解：设， （2）解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 【点睛】本题主要考查利用整体思想及换元法解因式分解来求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键． 【经典例题十 换元法解一元二次方程】 【例10】（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【答案】B 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解为，， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键． 1．（22-23九年级上·四川遂宁·期中）已知一元二次方程的解是，，则一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由这两个方程结合整体思想，可得，，解这两个一元一次方程即得方程的解． 【详解】∵一元二次方程的解是，， ∴一元二次方程中，，， 解得：，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，整体思想解一元二次方程，关键是把方程中的当作一个整体，则此方程与毫无二致． 2．（22-23八年级下·浙江温州·期中）已知方程的根为，，则方程的根是 ． 【答案】， 【分析】设，可得，根据的根为，，可得或，即可得到答案； 【详解】解：设，可得， ∵的根为，， ∴或， 解得：，， 故答案为，； 【点睛】本题考查换元法求方程的解，解题的关键是设，得到，结合方程的根为，． 3．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设． 则原方程可转化为，即． ， ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程：； (3)若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数：______ ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知等式设，得出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）∵， 设， 则， （2）， ， 设，则， 或 或 （3）设最小数为，则， 即， 设，则， ∵为正整数， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式，关键把代数式看作一个整体，通过换元求解． 【经典例题十一 一元二次方程的新定义解法】 【例11】（2024·河南南阳·二模）对于实数a，b定义运算“”为 ，例如： ，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，根的判别式，先根据新运算的法则，列出一元二次方程，再根据判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：由题意，得：， 即：， ∴； ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：A． 1．（23-24九年级上·山西临汾·期中）对于实数，定义运算“”：若，例如：．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．熟练掌握：一元二次方程有实数根，即，是解题的关键． 由题意知，，整理得，，由一元二次方程有实数根，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得，， 故选：D． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2019 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ， 解得， ， 则代数式能取的最小值是2019． 故答案为：2019 3．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）定义新运算“”：对于实数m，n，p，q．有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．明确新定义的运算规则是解题的关键． （1）由新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，解方程即可； （2）按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，在利用根的判别式进行求解即可解决． 【详解】（1）， ， ． ， ， ， （2） ， 整理得：． 方程有两个实数根， 且， 解得：且 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）下列一元二次方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程成为解题的关键. 根据直接开平方法、因式分解法以及根的判别式逐项求解判定即可解答. 【详解】解：A.由可得，故A选项不符合题意； B.由可得，解得方程的解或1，故B选项不符合题意； C.由可得，，则方程有实数解，故B选项不符合题意； D.由可得，，则方程无实数解，故D选项符合题意. 故选D. 2．（23-24九年级上·北京·阶段练习）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式解集的公共部分即可求解，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，且， 解得且， 故选：． 3．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，则，即，可求，则，即，公式法解方程，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即， 解得，，即， ∴，即， 解得，，， ∴方程一定有实数根， 故选：B． 4．（2024·广东广州·一模）若，则关于的方程根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，一元二次方程根的判别式．熟练掌握算术平方根的非负性，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，成立，由，可得，，可求，由，可知，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，当时，； ∵， ∴， ， 解得，， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 综上所述，，方程有两个实数根， 故选：C． 5．（2024·湖北武汉·二模）对于一元二次方程，下列说法∶①时，方程一定有实数根；②若、异号，则方程一定有实数根；③时方程一定有两个不相等的实数根；④若方程有两个不相等的实数根，则方程也一定有两个不相等实数根．其中正确的是（    ） A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 当时，可计算出，根据判别式的意义可对①进行判断；若、异号，可得到，则根据判别式的意义可对②进行判断；分类讨论：当、异号，方程有两个不相等的实数根；当、同号，由得到，根据判别式的意义可对③进行判断；利用对④进行判断． 【详解】解：当时，，则方程一定有实数根，所以①正确； 若、异号，则，则方程一定有实数根，所以②正确； 当、异号，方程有两个不相等的实数根；当、同号，若，则，所以方程一定有两个不相等的实数根，所以③正确； 方程有两个不相等的实数根，若，则方程没有两个不相等实数根，所以④错误． 故选∶B． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）关于的一元二次方程有实数根．则的取值范围 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵， ∴的取值范围是且， 故答案为：且． 7．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x的方程（h，k均为常数）的解是，，则关于y的方程的解是 ． 【答案】， 【分析】此题考查了方程的解，解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键． 仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可． 【详解】解：关于的方程，均为常数）的解是，， 的解是或，即，． 故答案为：，． 8．（2024·河北张家口·三模）若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ∴，且为正整数， 解得，且为正整数， ∴可以为 故答案为：（答案不唯一）． 9．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为，则方程（都是常数，且）的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据题意，可得：或，进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（都是常数，且）的解为， ∴方程，即：的解为：或， ∴； 故答案为：． 10．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）定义：方程中含有根号，且被开方数含有未知数的方程叫做无理方程，比如：对于无理方程，可类比分式方程来解： ①第一步，等式两边同时平方，转化为整式方程，即； ②第二步，解整式方程，即； ③检验，是原方程的解． 仿照上述过程，可求出方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程，将无理方程转化为有理方程是解题的关键． 按照题干中的步骤，先等式两边同时平方，再进行解方程，最后验根即可， 【详解】解：按照上述过程可将等式两边同时平方，转化为整式方程 即 ， 解整式方程得，， 将检验，代入，不符合题意，舍去，符合题意， 即是原方程的解， 故答案为． 11．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)无解 【分析】本题考查的是解一元二次方程组，掌握一元二次方程组的解法是解题关键． （1）利用配方法解一元二次方程组即可； （2）利用公式法解一元二次方程组即可． 【详解】（1）解：， 配方得：，即， ， ，； （2）解：， 整理得：， 其中，，，， ， 该方程无解． 12．（23-24八年级下·江苏南通·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法问题，掌握一元二次方程的解法，会根据给定的方程选取恰当的方法解一元二次方程是解题关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先展开合并，再因式分解，让每个因式为求解即可． 【详解】（1）解： ∵，， ∴方程有两个不等的实数根 ， 则方程的解为：， （2）解：， 去括号得：， 移项得： 因式分解得： 解得：， 则方程的解为：， 13．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，当是直角三角形时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为12或3 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出的长，分为直角边及为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论． 【详解】（1）由题意得： ∴方程有两个不相等的实数根 （2）∵，即 解得： 当为直角边时，，解得： 当为斜边时，，解得：（不合题意，舍） 综上：k的值为12或3 14．（23-24八年级下·浙江温州·期末）已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根； (2)当时，请判别方程根的情况． 【答案】(1)，方程另外一个根为 (2)原方程有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程等知识点， （1）将和方程的一个根为代入方程求出c值，再解方程即可； （2）根据判断出的取值范围，进而进行判断即可； 熟练掌握根的判别式以及解一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）时，若方程的一个根为， 解得：， 得到方程为，解得或， ，方程另外一个根为； （2）， ∴ ， 原方程有两个不相等的实数根． 15．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，此方程一定有实数根； (2)若方程有一个实数根是，求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）根据关于的方程的根的判别式的符号来判断该方程的根的情况； （）把方程的根代入求得的值，然后解方程得到另一个根即可； 本题考查了根的判别式，一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴无论取何值，此方程一定有实数根； （2）解：将代入， 得，解得， 解，得，， ∴另一个根为． 学科网（北京）股份有限公司 $$