专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）写出一个关于的一元二次方程，使其一次项系数为，你写出的一元二次方程是： ． 3．（2021九年级上·全国·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项： （1）2x2+3x+5                   （2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1 （3）（2x-1）（3x+5）=-5          （4）（3x+1）（x-2）=-5x 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 3．（2021九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问： （1）k为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江·假期作业）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 3．（2023八年级下·浙江·专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)． (2)． (3)． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A． B．2018 C． D．2024 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）若为方程的根，则多项式的值为 ． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．（2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 3．（2023·湖南衡阳·二模）已知：a是方程的一个根，求代数式的值． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 1．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知为方程的根，那么的值为 ． 3．（23-24九年级·江苏·假期作业）已知m为方程的一个根，求的值． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（23-24八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）已知为方程的根，那么的值为 ． 7．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 8．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 10．（21-22九年级上·广东广州·期中）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 11．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习） (1)化简T； (2)若a是方程的一个根，求T的值． 12．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 13．（22-23九年级上·北京·期中）已知m是方程的一个根，求的值 14．（21-22七年级上·北京西城·期中）已知关于x的方程 的一个解是 ，求代数式的值． 15．（23-24八年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次方程的定义 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 题型三 一元二次方程的一般形式 题型四 一元二次方程的解 题型五 赋值法求一元二次方程的解 题型六 降次求代数式的值 题型七 一元二次方程估值计算 知识点01 一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 知识点02 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数 知识点03 一元二次方程的根 1、能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2、一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 3、常考点：为利用根的概念求代数式的值； 4、一元二次方程近似解：两端逼近法。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 【经典例题一 一元二次方程的定义】 【例1】（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）下列方程：①，②，③，④，⑤，其中一元二次方程有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：一元二次方程的条件，只含有一个未知数，未知数最高次数为2，等号两边都为整式； ①，，满足一元二次方程的定义，故①是一元二次方程； ②，满足一元二次方程的定义，故②是一元二次方程； ③，为分式，故③为分式方程，不是一元二次方程； ④有2个未知数，故④不是一元二次方程； ⑤，最高次不为2，且等式错误，故⑤不是一元二次方程， 综上所述，共有2个一元二次方程， 故选：B． 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、，当时是一元二次方程，故A不正确； B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不正确； C、是一元三次方程，故C不正确； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期末）写出一个关于的一元二次方程，使其一次项系数为，你写出的一元二次方程是： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：依题意，（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2021九年级上·全国·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项： （1）2x2+3x+5                   （2）（x+5）（x+2）=x2+3x+1 （3）（2x-1）（3x+5）=-5          （4）（3x+1）（x-2）=-5x 【答案】（1）不是一元二次方程；（2）不是一元二次方程；（3）是一元二次方程，二次项为，二次项系数为6，一次项为，一次项系数为7，常数项为0；（4）是一元二次方程，二次项为，二次项系数为3，一次项为0，一次项系数为0，常数项为-2． 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行判断，然后根据一元二次方程的一般形式 其中表示二次项，表示二次项系数，表示一次项，表示一次项系数，表示常数项． 【详解】解：（1）不是方程，故不是一元二次方程； （2）即， ∴，不是一元二次方程； （3）即 ∴，是一元二次方程， ∴二次项为，二次项系数为6，一次项为，一次项系数为7，常数项为0； （4）即， ∴，是一元二次方程， ∴二次项为，二次项系数为3，一次项为0，一次项系数为0，常数项为-2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一般形式． 【经典例题二 根据一元二次方程的定义求参数】 【例2】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程的一次项系数为4，则m的值为（　　） A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的定义，根据一元二次方程的一般形式可知，一元二次方程的二次项系数不能为0以及题干中方程的二次项系数是确定，另外一次项系数等于4，确定，据此解答． 【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数等于4， ∴ 即， ∴或． 又∵二次项系数不为0， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 1．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知关于x的方程为一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，列出关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：，， ， 解得：， 即， 故答案为：． 3．（2021九年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问： （1）k为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）；（2），二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】（1）根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的整式方程进行求解即可； （2）根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程进行求解即可； 【详解】解：（1）∵是关于x的一元一次方程， ∴， 解得 （2）∵是关于x的一元二次方程， ∴即， ∴这个一元二次方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程和一元二次方程的定义． 【经典例题三 一元二次方程的一般形式】 【例3】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：． 1．（24-25九年级上·浙江·假期作业）若一元二次方程（为常数），化成一般形式为，则的值分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式．要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式，根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：， 则， ∴， 由题意得：，， 解得：，， 故选：B． 2．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．据此解答即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程，一次项系数与常数项相等， ， 解得：， 故答案为：1． 3．（2023八年级下·浙江·专题练习）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5 (2)，二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为 (3)，二次项系数为2，一次项系数为，常数项为 【分析】（1）通过移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （2）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可； （3）通过整式乘法运算及移项将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【详解】（1）解：方程整理得：， 则二次项系数为3，一次项系数为，常数项为5； （2）方程整理得：， 则二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为； （3）方程整理得：， 则二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【经典例题四 一元二次方程的解】 【例4】（23-24九年级上·河南许昌·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（  ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义、代数式求值等知识，由题意，得到，恒等变形，整体代入代数式即可得到答案，熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的一个根， ，即， ， 故选：A． 1．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A． B．2018 C． D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·安徽六安·期末）若为方程的根，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，整体代入即可求解． 【详解】解：∵为方程的根， ∴即， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】， 【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，整体代入是解题的关键． 【经典例题五 赋值法求一元二次方程的解】 【例5】（2024·四川宜宾·一模）如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）． A． B．23-24 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是， ∴， 即， ∴． 故选：D 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 2．（2024·青海玉树·三模）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（2023·湖南衡阳·二模）已知：a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴原式 ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【经典例题六 降次求代数式的值】 【例6】（23-24九年级上·四川德阳·阶段练习）若a是方程的一个根，则的值为（    ） A．23-24 B． C．23-24 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解, 先根据一元二次的定义得到，再用a表示得到，然后利用整体代入的计算所求代数式的值． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 1．（2024·四川南充·二模）若是方程的一个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次解的定义得到，然后利用降次的方法化简计算即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ． 故选：A． 2．（2024八年级下·全国·专题练习）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 3．（23-24九年级·江苏·假期作业）已知m为方程的一个根，求的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，然后利用降次的方法对原式进行化简即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式的变形求值． 【经典例题七 一元二次方程估值计算】 【例7】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 1．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）根据表格对应值： 1.1 1.2 1.3 1.4 0.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，关键观察函数值的变化． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的解的范围为， 故选C． 2．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 3．（22-23七年级下·云南昆明·期末）无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2；②二次项系数不为0；③是整式方程；④含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者即为正确答案． 【详解】解：A、符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简求值，根据一元二次方程的解的定义得出，再将分式进行化简，整体代入计算即可得出答案，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程的一个根，则的值是（　　） A．2026 B．2025 C．2023 D．2022 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，由方程解的定义得到，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解：∵a是关于x的方程的一个根， ∴， ∴ ， 故选：A． 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．根据一元二次方程根的定义，可得一元二次方程中，满足该方程，进而即可求解． 【详解】解：设，则一元二次方程可化为， ， 关于x的一元二次方程有一根为， 一元二次方程有一个根为， 则，即， 一元二次方程必有一根为2025． 故选：B． 5．（23-24八年级下·上海·期末）用换元法解分式方程 时，如果设 ，那么原方程可化为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解分式方程，一元二次方程，设 ，根据题意，化简方程，即可求解． 【详解】解：设 ，原方程可化为 即 故选：B． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 7．（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）若是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识．熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的解是解题的关键． 由题意得，，可求，由，即，可得． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 解得，， ∵，即， ∴， 故答案为：3． 8．（23-24八年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知实数是关于的一元二次方程的一个解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，变形可得，，然后把它们整体代入中，通分、化简、约分即可． 【详解】实数是关于的一元二次方程的一个解， ， ， ， 故答案为： 9．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想的应用是本题的关键． 根据一元二次方程解的定义可得，再整体代入求代数式即可． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， 把代入得，，即， ∴， 故答案为：8． 10．（21-22九年级上·广东广州·期中）已知a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得,， ，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， ， ， 故答案为：2021． 11．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习） (1)化简T； (2)若a是方程的一个根，求T的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的混合运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）利用乘法公式进行计算即可； （2）把代入已知方程，得到，然后代入化简后的中求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵a是方程的一个根， ∴，即：， ∴． 12．（22-23九年级下·北京西城·开学考试）已知：是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根，熟记定义是解题关键．先根据一元二次方程根的定义得到，再利用完全平方公式展开、合并得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 13．（22-23九年级上·北京·期中）已知m是方程的一个根，求的值 【答案】 【分析】由题意易得，然后把代数式进行化简，最后整体代入求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代数式的求值，熟练掌握一元二次方程的解、乘法公式及代数式的求值是解题的关键． 14．（21-22七年级上·北京西城·期中）已知关于x的方程 的一个解是 ，求代数式的值． 【答案】-1 【分析】根据x＝a是方程 x2 – 3x＋1＝0的一个解，则 a2 – 3a＋1＝0，然后利用整体代入的思想求解即可． 【详解】解：∵x＝a是方程 x2 – 3x＋1＝0的一个解， ∴ a2 – 3a＋1＝0， ∴a2 – 3a＝-1，                       ∴3a2＋2（1− 4a）–a＝ 3a2 –9a＋2                        ＝3（a2 – 3a）＋2                     ＝－1． 【点睛】本题主要考查了方程的解和代数式求值，解题的关键在于能够利用整体代入的思想求解． 15．（23-24八年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值． 【答案】 【分析】首先利用多项式乘法把方程化为3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14，再整理可得2x2+x﹣1=0，从而得到a=2，b=1，c=﹣1，再代入式子即可求值． 【详解】解：， 3x+15﹣2x2﹣10x=﹣6x+14， 整理得：2x2+x﹣1=0， a=2，b=1，c=﹣1， ． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 学科网（北京）股份有限公司 $$