专题1.14 用勾股定理解决最值问题（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.14 用勾股定理解决最值问题（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【基本事实】（1）两点之间线段最短；（2）点线之间垂线段最短. 【类型一】平面内的最值问题——两点之间线段最短(将军饮马) 解题思路：两定一动——根据对称确定对称点位置——构造直角三角形——利用勾股定理——求最短路径. 【类型二】平面内的最值问题——垂线段最短 解题思路：两动一定——作垂线段——构造直角三角形——利用勾股定理——求最短路径. 【类型三】柱形物体上最值问题 解题思路：画出圆柱的侧面展开图，将所求的问题转化为平面内的距离问题，通过直角三角形利用勾股定理求解. 【类型四】长(正)方体表面上两点间最值问题 解题思路：先将长方体相应的几个面展开，从面将长方体表面上的两点间距离转化为平面内两点之间距离，从而构造直角三角形，利用勾股定理求解. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平面内的最值问题——两点之间线段最短(将军饮马) 【例1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知等腰直角三角形，点E是边上的一点，，，P为斜边上一动点，则的最小值为（     ）． A． B．5 C． D．6 【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，在，，点D、E分别是边、上的动点，满足，连接、，则的最小值为 ． 【变式2】（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（    ）    A．5 B．7 C．8 D．10 【题型2】平面内的最值问题——垂线段最短 【例2】（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【变式1】（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（    ）    A．4 B． C． D．6 【题型3】柱形物体上最值问题 【例3】（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 dm． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【题型4】长(正)方体表面上两点间最值问题 【例4】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，长方体的长为12，宽为8，高为30，是的中点，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短距离是（   ） A． B． C．25 D．27 【变式1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，一只蚂蚁从长、宽、高是的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【变式2】（23-24八年级下·广西柳州·期中）如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 【题型5】其他最值问题 【例5】（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（   ） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 【变式2】（2024·山东济南·三模）如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长 米． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【例2】（2020·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）    A． B．2 C．2 D．3 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【例2】（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.14 用勾股定理解决最值问题（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【基本事实】（1）两点之间线段最短；（2）点线之间垂线段最短. 【类型一】平面内的最值问题——两点之间线段最短(将军饮马) 解题思路：两定一动——根据对称确定对称点位置——构造直角三角形——利用勾股定理——求最短路径. 【类型二】平面内的最值问题——垂线段最短 解题思路：两动一定——作垂线段——构造直角三角形——利用勾股定理——求最短路径. 【类型三】柱形物体上最值问题 解题思路：画出圆柱的侧面展开图，将所求的问题转化为平面内的距离问题，通过直角三角形利用勾股定理求解. 【类型四】长(正)方体表面上两点间最值问题 解题思路：先将长方体相应的几个面展开，从面将长方体表面上的两点间距离转化为平面内两点之间距离，从而构造直角三角形，利用勾股定理求解. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平面内的最值问题——两点之间线段最短(将军饮马) 【例1】（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知等腰直角三角形，点E是边上的一点，，，P为斜边上一动点，则的最小值为（     ）． A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟悉将军饮马模型是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，利用将军饮马模型，根据勾股定理即可求出答案． 解：作点关于的对称点，连接， 等腰直角三角形， ， ∵， ∴，， ∴， 即的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，得， 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，在，，点D、E分别是边、上的动点，满足，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点C作，截取，连接，，利用证明得出，则，当B、D、F三点共线时，取最小值，然后利用勾股定理求解即可． 解：过点C作，截取，连接，，    ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴，当B、D、F三点共线时，取最小值， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（    ）    A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接，可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度，利用勾股定理即可求得的长度． 解：如图所示，作点关于直线的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，连接．    根据轴对称图形的性质可知，， ∴． 根据题意可知，当，，，在同一条直线上时，可以取得最小值，最小值等于的长度，即的最小值等于的长度． 根据轴对称图形的性质可知，， ∴． ∴． 根据轴对称图形的性质可知，， ∴． ∴的最小值等于． 故选：． 【点拨】本题主要考查轴对称图形的性质和勾股定理，根据题目要求构建轴对称图形是解题的关键． 【题型2】平面内的最值问题——垂线段最短 【例2】（2024·陕西渭南·三模）如图，在四边形中，，，，点、分别在边、上，连接，点为的中点，连接，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，最值问题，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些知识．连接，根据题意可证明，得到，根据勾股定理可求出，当时，有最小值，最后利用等面积法求解即可． 解：连接， ，，， ，， ， 当，且点在上时，有最小值， ， ， 解得：， 的最小值为， 故答案为：． 【变式1】（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、最短路线问题，构造，使得，，当且仅当点A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段，再利用面积计算求值即可． 解：如图所示，在边上截取，连接，过点A做交于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴当的值最小时，最小值为． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（    ）    A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能得到是解此题的关键． 作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过B作于N，根据三线合一定理求出的长和平分，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 解：作E关于的对称点M，连接交于F，过B作于N，    ， ，平分， 在上， ， ， ， ∵E关于的对称点M， ， ， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故选：B． 【题型3】柱形物体上最值问题 【例3】（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 dm． 【答案】128 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长为，圆柱高为， ，， ， ， 这圈金属丝的周长最小为， 则这圈金属丝的周长的最小值的平方为． 故答案为：128． 【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，圆柱底面半径为，高为，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同一条竖直直线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆柱中两点之间的最短距离，勾股定理的运用，掌握圆柱的基础知识，勾股定理求线段是解题的关键．根据题意，把圆柱展开，将长方向平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即，运用勾股定理即可求解． 解：如图所示，圆柱的展开图中，将长方向平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短， 最短路线为， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为， ∴，， ∴在中，， ∴， 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 解：如图：是侧面展开图的一半， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处， ，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 故选：A． 【题型4】长(正)方体表面上两点间最值问题 【例4】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，长方体的长为12，宽为8，高为30，是的中点，一只蚂蚁如果要沿长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短距离是（   ） A． B． C．25 D．27 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、最短路径：两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．分别作图,再结合图形运用勾股定理解三角形，比较即可作答． 解：依题意，高为30，是的中点 ∴ 如图所示： 此时； 或者如图所示： 此时． 或者如图所示： 此时． ∵ ∴则爬行的最短距离是25 故选：C 【变式1】（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，一只蚂蚁从长、宽、高是的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开图—最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案． 解：如图1所示展开时： ， 此时； 如图2所示展开时： ， 此时， ， 它需要爬行的最短路线的长是， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·广西柳州·期中）如图，正方体盒子的棱长为2，的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是（    ） A． B．3 C．5 D．2＋ 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用， 结合题意可知，将正方体展开，分析可知蚂蚁从M爬到有四种情况（如下图），根据两点之间线段最短以及正方体的棱长可知，的最短长度即为所求． 解：蚂蚁从M爬到有四种情况：前面→上面，前面→右面，下面→后面，下面→右面，如图所示： 第种情况：， 第种情况：， 综上可知，蚂蚁爬行的最短距离是， 故选A． 【题型5】其他最值问题 【例5】（23-24七年级上·山东烟台·期中）如图，是一个三级台阶，它每一级长，宽，高分别为4，和，和是这个台阶的两个相对的端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（   ） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．将台阶展开为矩形，然后利用勾股定理计算的值，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 解：如下图，将台阶展开为矩形，线段恰好是直角三角形的斜边， 则，， 在中，， 所以蚂蚁所走的最短路线长度为5． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，截取，连接；过点D作，垂足为E，证可推出为等腰直角三角形；点D在射线上运动，当时，最小，据此即可求解． 解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024·山东济南·三模）如图，在边长为4米的正方形场地内，有一块以为直径的半圆形激光发射器接收“感应区”，边上的P处有一个激光发射器，红外线从点P发射后，经平面镜、反射后到达“感应区”，若米，激光途经的最短路线长 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了最短路径问题．解题关键是熟练掌握轴对称性质，勾股定理解直角三角形． 由光的反射规律可知，物体和像是关于平面镜对称．设半圆的圆心为O，作半关于对称的半，点P关于在对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G，由轴对称性质知，，得到最短路线为：，由正方形性质知，,，得到, ，由勾股定理得到，即得． 解：设半圆的圆心为O， 作半关于对称的半，点P关于对称点，连接，分别交、、于点E、F、H，连接交于点G， 则，， 激光途经的最短路线为：， 正方形中，,， ∴， ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴激光途经的最短路线为米． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【例2】（2020·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）    A． B．2 C．2 D．3 【答案】A 【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可． 解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，    在Rt△AHB中， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BH＝1，AH＝， 在Rt△AHC中，∠ACB＝45°， ∴AC＝， ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△BFD与△CKD中， ， ∴△BFD≌△CKD（AAS）， ∴BF＝CK， 延长AE，过点C作CN⊥AE于点N， 可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当直线l⊥AC时，最大值为， 综上所述，AE+BF的最大值为． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 【例2】（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 解：（1）由勾股定理，得：； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，， 由勾股定理得：； 故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$