专题1.15 用勾股定理解决最值问题（专项练习）（综合练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.15 用勾股定理解决最值问题（专项练习）（综合练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知等腰直角三角形，点E是边上的一点，，，P为斜边上一动点，则的最小值为（     ）． A． B．5 C． D．6 2．（22-23八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（    ）    A．4 B． C． D．6 4．（23-24八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 5．（22-23八年级下·湖北孝感·期中）如图，，内有一点P，，M是上一动点，N是上一动点，则周长的最小值为（    ） A．6 B．3 C． D． 6．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ）    A．5cm B．4cm C．cm D．15cm 7．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 9．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 10．（22-23八年级上·山东青岛·期中）如图，长方体的底面长和宽分别为和（），高为．如果用一根细线从点A开始如图所示缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　）cm． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 12．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，在，，点D、E分别是边、上的动点，满足，连接、，则的最小值为 ． 13．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，Rt中，平分，如果点，点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 14．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的最小值是 ． 15．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，是正方形．已知，，P为线段上一动点，则的最小值为 ．    16．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，，于点D，点E、F分别是线段上的动点，且，则的最小值为 ．    17．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图，已知圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为4dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值的平方为 dm． 18．（2023八年级上·全国·专题练习）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上．    （）若绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． （）若绕周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示，一个实心长方体盒子，长，宽，高，一只蚂蚁从顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？（点拨：分三种情况讨论解答） 20．（8分）（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，点D在边上，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：≌； (2)若时，求的长； (3)点D在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 21．（10分）（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图2，长方体的长为，宽为，高为．现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？ 22．（10分）（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，；点D在边上，，，连接． (1)①当时，求点F到直线的距离． ②四边形的面积为 ；（直接写出答案） ③四边形的周长的最小值为 ；（直接写出答案） (2)以为一边做，交边于点E，连接． 则的周长为 ；（直接写出答案） 23．（10分）（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）如图1，在中，，，． (1)求的长度； (2)已知，分别是，上的动点，作直线，将沿直线折叠，点的对应点为． ①当点落在边的左侧时，如图2所示，求阴影部分的周长； ②当点在边上，且将边分成1:2的两部分时，求的长度； ③已知是的中点，连接，直接写出的最小值． 24．（12分）（22-23八年级下·广东广州·期中）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】 把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形，四边形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：__________________，__________________； 【知识运用】 如图2，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，则该最短距离为____________米． 【知识迁移】 借助上面的思考过程，画图说明并求代数式的最小值（）．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理，熟悉将军饮马模型是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，利用将军饮马模型，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 等腰直角三角形， ， ∵， ∴，， ∴， 即的最小值为的长， 在中， 由勾股定理，得， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了角平分线的性质、最短路线问题，构造，使得，，当且仅当点A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段，再利用面积计算求值即可． 【详解】如图所示，在边上截取，连接，过点A做交于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴当的值最小时，最小值为． 故选：C． 3．B 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能得到是解此题的关键． 作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过B作于N，根据三线合一定理求出的长和平分，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，过B作于N，    ， ，平分， 在上， ， ， ， ∵E关于的对称点M， ， ， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了线路最短的问题，轴对称性质以及勾股定理，如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则，，为最小值，再由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B， 则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为10， 故选：D． 5．C 【分析】作点P关于的对称点D，E，连接，如图，利用轴对称的性质证明，，的周长，即可解决问题. 【详解】解：作点P关于的对称点D，E，连接，如图， 则垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴的周长（当D、M、N、E四点共线时取等号）， ∴的周长的最小值即为的长， ∵， ∴的周长的最小值是； 故选：C. 【点拨】本题考查了对称轴的性质、勾股定理等知识，正确添加辅助线、得出的周长的最小值即为的长是解题的关键. 6．C 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等．根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：如下图，画出钢管的侧面展开图，作点关于右侧关口的对称点，连接，    ∵钢管横截面的周长为18cm， ∴， ∵由题意得：， ∴， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离为cm． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，勾股定理．根据题意画出台阶的侧面展开图，再根据勾股定理求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ， ． 故选C． 8．B 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米，米， 最短路径为：（米． 故选：B． 9．D 【分析】此题考查平面展开-最短路径问题．要求蚂蚁爬行的最短距离，需将半圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”通过勾股定理得出结果． 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中为半圆的弧长，为半径的长，， 根据勾股定理可得， 故爬行的最短路程为． 故选：D 10．A 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．如图，将长方体侧面展开，连接，求出的长度即可． 【详解】解：将长方体展开，连接， ∵，， 根据两点之间线段最短，． 故选：A． 11． 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．过点C作，截取，连接，，利用证明得出，则，当B、D、F三点共线时，取最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点C作，截取，连接，，    ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴，当B、D、F三点共线时，取最小值， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键． 过点作交于点，交于点，过点作交于点，此时的值最小，再由三角形的面积求出边上的高即为所求． 【详解】解：过点作交于点，交于点，过点作交于点， 平分， ， ， 此时的值最小， ∵ ∴ 的面积， ， 的值最小为， 故答案为：． 14． 【分析】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度． 先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示： 此时，， 故． 故的最小值是． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查的是勾股定理、垂线段最短．解题的关键是掌握勾股定理、垂线段最短的运用，当时，CP最小，，先由勾股定理求出，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：如图，当时，CP最小，   四边形是正方形， ， ， ， 解得，， 故答案为：． 16． 【分析】过点作，使，连接，，可证明，则当、、三点共线时，的值最小，最小值为，求出即可．熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造三角形全等，将所求的问题转化为将军饮马求最短距离是解题的关键． 【详解】解：过点作，使，连接，，    ， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 17．128 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度． 圆柱底面的周长为，圆柱高为， ，， ， ， 这圈金属丝的周长最小为， 则这圈金属丝的周长的最小值的平方为． 故答案为：128． 【点拨】本题考查了平面展开-最短路径问题，掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 18． ； ． 【详解】（）根据题意画出图形，在中，再根据勾股定理求解即可； （2）在中根据勾股定理求解即可； 本题考查的是平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造出直角三角形是解题的关键． （）解：如图所示，      在中，，， ∴（尺） 故答案为：； （）解：在中，，， ∴（尺）， 故答案为：． 19．把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，把长方体沿展开，把长方体沿展开，把长方体沿展开，三种情况利用勾股定理求出对应的最短距离即可得到答案． 【详解】解：如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； 如图所示，把长方体沿展开，则蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短， 由题意得，， ∴由勾股定理得； ∵， ∴把长方体沿展开，蚂蚁沿着的路线爬行的路程最短，最短距离为5． 20．(1)证明见解析 (2) (3)存在，9 【分析】（1）结合题目条件，根据即可证明≌； （2）根据第一问的三角形全等，得到，进而证明, 在中，根据勾股定理可求出的长， 在中,进而求出的长度； （3）先证,当值最小时，取最小值，此时,可求出的长，从而求解． 【详解】（1）证明：由题意，可知，，． ∴． 即． 在和中， ∴≌()； （2）解：∵在 中，， ∴，， ∴． ∵≌(）， ∴，， ∴． ∴， ∴在中，； （3）解：存在，理由： 由（2）可知，， ∴当最小时，有的值最小，此时 ． ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴． 即的最小值为9． 【点拨】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（1）  （2）  （3） 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 【点拨】 22．(1)①2②③16 (2)8 【分析】（1）①证明，得到，推出即可； ②根据，得到四边形的面积等于的面积即可； ③根据，，得到四边形的周长等于，得到当时，四边形的周长最小，等积法求出的长即可； （2）证明，推出的周长等于的长即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F到直线的距离即为的长为2； ②∵， ∴， ∴四边形的面积， ∵，，， ∴， ∴四边形的面积； ③∵，， ∴四边形的周长， ∵为定值， ∴当最小时，四边形的周长最小， ∵点D在边上， ∴时，最小， 此时，即：， ∴， ∴四边形的周长最小值为：； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的周长等于． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是证明三角形全等． 23．(1) (2)①；②或；③ 【分析】（1）直接运用勾股定理进行计算即可； （2）①根据折叠的性质可得，，则阴影部分的周长为； ②分以及； ③利用勾股定理可得，则根据，可得当点在线段上时，最小，求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①根据折叠的性质可得，， 则阴影部分的周长为； ②如图， 当时， ， ， 根据轴对称可得， 在中，， 即， 解得； 如图， 当时， ， ， 在中，， 即， 解得， 综上所述，的长度为5或； ③如图， 利用勾股定理可得， ， 当点在线段上时，最小， 此时． 【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理，理由折叠的性质解答是本题的关键． 24．（小试牛刀），；（知识运用）；（知识迁移）代数式的最小值为15． 【分析】（小试牛刀）根据梯形、三角形的面积公式求解即可； （知识运用）作点关于的对称点，连接，则，由三角形三边关系可得当三点共线时，距离最小； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点，则，由上可得当三点共线时，距离最小． 【详解】解：（小试牛刀）； ； 故答案为：，； （知识运用）作点关于的对称点，连接，如下图：    由题意可得：， ，则的最小值，即为的最小值， 由三角形三边关系可得：，当三点共线时， ∴的最小值为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴米， 故答案为：； （知识迁移）如下图，，，、，点为线段上一点， 设，则， ∴，    由上可得当三点共线时，距离最小，最小为， 作交延长线于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∴代数式的最小值为15． 【点拨】此题考查了勾股定理的证明以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$