专题1.13 用方程思想解决勾股定理中的折叠问题（专项练习）（综合练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.13 用方程思想解决勾股定理中的折叠问题（专项练习） （综合练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点重合，则的长为（    ） A．2 B．6 C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，点C落在点E处，连接交于点F，当是直角时，的长为（    ） A．5 B．3 C． D． 3．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 4．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如下图那样折叠，使点与点重合，则的长是（　　） A． B． C． D． 6．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 7．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则（   ） A．1 B． C． D． 9．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）如图，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点D落在点G处，分别交于点F、H，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在直角中，直角边，现要在上找一点D，使得将沿翻折后，点C落在斜边上，则 ．    12．（23-24八年级下·重庆铜梁·阶段练习）如图，在长方形纸片中，为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，则的长为 ． 13．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 14．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ． 15．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图， 长方形纸片，，，点P在边上，将沿折叠，点D落在E处，，分别交于点O，F， 且， 则长为 16．（2024九年级下·江苏徐州·专题练习）如图，在中，，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为 ． 17．（23-24八年级下·重庆·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则 ． 18．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·北京·期中）如图是一张直角三角形纸片，直角边，斜边，现将折叠，使点与点重合，折痕为，求线段的长． 20．（8分）（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 21．（10分）（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，求的长． 22．（10分）（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在中，，，，分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点的对应点是点． (1)如图1，若点和顶点重合，求的长； (2)如图2，若点落在直角边的中点上，求的长． 23．（10分）（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形中，． (1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长； (2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长． 24．（12分）（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长(注：长方形的对边平行且相等)； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长(注：长方形的对边平行且相等)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了折叠性质以及勾股定理，设，则，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵折叠 ∴ ∵ ∴设，则 ∴在中， 即 解得 故选：C 2．B 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理．利用勾股定理列出方程求解是解题关键．由勾股定理可求出．由折叠可知当是直角时，点E和F重合，且，，从而可求出．设，则．再根据勾股定理可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：由折叠可知当是直角时，点E和F重合，如图， ∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． 设，则． ∵是直角， ∴，即， 解得：， ∴． 故选B． 3．D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 4．B 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力． 【详解】 解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：B． 5．B 【分析】设，则，根据勾股定理，，计算即可，本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和折叠性质是解题的关键． 【详解】设，则， 根据勾股定理，得， 解得， 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得，，，由折叠的性质可得：，，由勾股定理得出，从而得出，设，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， 由折叠的性质可得：，， ， ， 设，则，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 10．D 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形性质及判定，折叠问题等．根据题意设，则，证明，利用全等性质得到，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵长方形纸片中，沿折叠，点D落在点G处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴在中应用勾股定理得：， 解得：， ∴， 故选∶D． 11．3 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理等．根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：设翻折后点C在斜边上的对应点为E， 中，， ， 由折叠的性质可得，，， ． 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：3． 12．3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由长方形的性质得到，，，再由折叠的性质得到，，，，先由勾股定理得到，则，设，则，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由长方形的性质可得，，， 由折叠的性质可得，，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 13． 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵折叠， ∴， 当为直角三角形时，分两种情况， ①当时，过点作，交的延长线于点， 则四边形为长方形， ∴， 设，则：， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； ∴； ②当时，此时点与点重合，如图： ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴， 综上：或； 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．折叠，得到，证明，得到，进而得到，设，在中，利用勾股定理进行求解，进而求出的长． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵折叠， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， 设，则：，， ∴， 在，，即：， 解得：， ∴． 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，过F作于点G．先求出，．则，所以，设，则，，在中，，利用勾股定理解列出，解得，即求出． 【详解】解：过F作于点G． ∵， ∴，． ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质以及勾股定理，设，由折叠得，，，由勾股定理求出在中，由勾股定理，求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中， ∴， ∴， 设， 由折叠得，，， ∴，， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 18． /90度 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出， 【详解】解：由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ∴， 故答案为：；． 19． 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，折叠的性质，在中勾股定理求得，进而由翻折得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长． 【详解】解：在中，，， 由题意得； 设，则， 在中， ，即， 解得； 即． ∴ 20． 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由长方形的性质得到，，再由折叠的性质得到，，先由勾股定理得到，则，设，则，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由长方形的性质可得，， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 21．3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴ ． 22．(1) (2)． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得，设，则，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得，由折叠的性质可得：，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ； （2）解：点落在直角边的中点上， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ∴． 23．(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设，则，根据图形折叠的性质可知，，根据勾股定理即可求得答案； （2）分两种情况计算：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时． 【详解】（1）解：设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，． 在中，． 则． 在中，， 即． 解得． 即； （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则． 根据图形折叠的性质可知 ，，． 在中 ． 则． 在中 ，即 解得． 即． ②如图所示，当点在线段的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知． ∵， ∴． ∴． ∴． 在中 ． ∴． 综上所述，或． 24．(1；(2；(3)的长为或10 【分析】（1）求出，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求出的长即可； （2）由长方形的性质得，，，再证，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； ②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1），， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即的长为； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）解：四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 【点评】本题是四边形综合题，考查了长方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握长方形的性质、折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$