专题1.12 勾股定理（全章专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.12 勾股定理（全章专项练习）（培优练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）下列各数属于勾股数的是（   ） A．1.5、2、2.5 B．6、8、10 C．3、4、6 D．、、 2．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，，，，则边上的高为（    ） A．6 B．8 C．10 D．7 3．（20-21八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 4．（17-18八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，以Rt△ABC为直径分别向外作半圆，若S1＝10，S3＝8，则S2＝（　　） A．2 B．6 C． D． 5．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如图，把一张长方形纸片按所示方法进行两次折叠，得到．若，则的长度为（    ） A． B． C． D．2 6．（11-12八年级下·河南周口·期中）在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（    ）（假设绳子是直的）． A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 9．（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）如图，在中，，，分别以为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为，则的结果为（    ） A．18 B．12 C．36 D．62 10．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，分别以的三边，，为边向外侧作正方形，正方形，正方形，连接，，，再过作于，延长交于点．①；②；③；④当，，时，．其中正确的结论共有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·四川德阳·期末）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ． 12．（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ． 13．（23-24八年级下·广东广州·期中）在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ． 14．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）如图在中，、分别是、的中点，，，，则的长为 ． 15．（22-23九年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 16．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是14，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 17．（23-24八年级下·河南商丘·期中）如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时从港口P出发，“远航”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ． 18．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（20-21八年级下·福建南平·阶段练习）在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 20．（8分）（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，．求的长．    21．（10分）（23-24八年级下·北京·期末）在中，，，点 D在直线上 (点 D 与点A、点C不重合)，连接，过点 D 作 的垂线交直线于点 E，过点A作的垂线交直线于点 F. (1)如图1, 当点 D在线段上时, ①求证: ； ②用等式表示线段，，之间的数量关系并证明. (2)如图2，当点D在射线上时，依题意补全图形，并直接用等式表示线段，，之间的数量关系. 22．（10分）（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）在苏教版七下第九章的学习中，对同一个图形的面积可以从不同的角度思考，用不同的式子表示． (1)用不同的方法计算图1的面积得到等式： ； (2)图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，从整体看它又是一个直角梯形，用不同的方法计算这个图形的面积，能得到等式： （结果为最简）； (3)根据上面两个结论，解决下面问题： ①在直角中，，三边长分别为a、b、c，已知，，求的值． ②如图3，四边形中，对角线，互相垂直，垂足为O，，在直角中，，，若的周长为2，则的面积= ． 23．（10分）（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高与右边滑梯水平方向的长度相等． (1)求证：； (2)若两个滑梯的长度，右边滑梯的高度，由于太陡，在保持的长度不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．若点E向下移动的距离为，求滑梯底端F向右移动的距离； (3)在（2）的移动过程中，直接写出面积的最大值为 ． 24．（12分）（23-24八年级下·河南新乡·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简使得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式可方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若蝥，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． （1）请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理：（提示：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半）； 【方法迁移】 （2）如图3，在中，是边上的高，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】首先勾股数是正数，其次三个数满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，由此判断即可． 本题考查的是勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解： A．因为不是整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意． B．6、8、10都是整数，且，因此6、8、10是勾股数，故本选项符合题意． C．3、4、6都是整数，但，因此3、4、6不是勾股数，故本选项不符合题意． D．因为、、不一定是整数，所以不一定是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了勾股定理，过点A作的延长线于点D，设，，在中，在中，利用勾股定理求出x的值即可． 【详解】解：如图，过点A作的延长线于点D， 设，， 在中， ，即， 在中， ，即， 解得：， ， 故选：A． 3．D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 4．A 【分析】根据勾股定理，得：AB2+BC2＝AC2，再根据圆面积公式，可以证明：S1+S2＝S3．即S2＝10﹣8＝2． 【详解】∵AB2+BC2＝AC2，； ； ； S2+S3＝＝S1， 故S2＝S1﹣S3＝10﹣8＝2． 故选A． 【点睛】注意根据圆面积公式结合勾股定理证明：S1+S2＝S3，即直角三角形中，以直角边为直径的两个半圆面积的和等于以斜边为直径的半圆面积． 5．A 【分析】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解本题的关键． 根据折叠的性质，得出，进而得出，由第二次折叠，得出，进而得出，最后利用线段的关系，即可得出结果． 【详解】解：第一次折叠，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，， ∴， 第二次折叠，如图③，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6．C 【详解】∵S1左侧和S2右侧部分的两个直角三角形是全等三角形，根据勾股定理的几何意义可知 ∴S1+S2=1 ∴S2+S3=2 ∴S3+S4=3 ∴S1+S2+S3+S4=4 故选C 7．B 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理，分情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较最短的线段即可得到答案，根据长方体的侧面展开分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 综上可知：∵ ∴爬行到达点的最短路线长为， 故选：． 8．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 先在中运用勾股定理求得，再运用勾股定理求得，最后根据线段的和差求得即可解答． 【详解】解:在中，，, ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴，即船向岸边移动了． 故选A． 9．A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，根据等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形， ∴由题意知，，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的结果为18， 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理等等，根据正方形面积公式可得只有满足时，，而不能得到，则不能得到，即不能得到，据此可判断①；如图所示，过点F作于Q，过点E作交延长线于Q，证明，得到，，同理可得，，则，进而证明，得到，，即可判断②；由，得到，即可判断③；由，得到，同理可得，则，同理可得，则，利用勾股定理求出，进而求出的面积即可判断④． 【详解】解：∵， ∴只有满足时，， 又∵并不能得到， ∴不能得到，即不能得到，故①错误； 如图所示，过点F作于Q，过点E作交延长线于Q， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 同理可得， ∴， 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故④错误； 故选B． 11．4或5 【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，根据非负数的性质可得，据此求出，再分当边长为b的边为直角边时， 当边长为b的边为斜边时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 当边长为b的边为直角边时，则斜边长为， 当边长为b的边为斜边时，则斜边长即为4，； 综上所述，该直角三角形的斜边长为4或5， 故答案为：4或5． 12． 或1 【分析】 本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用的直角三角形来研究，对三边同时扩大倍数来计算，看是否满足题意即可求解． 【详解】解：设直角三角形的边长分别为，其中为直角边，且， 由题意知：， 利用特殊的勾三股四直角三角形来研究， 当，上式不成立， 依次将扩大相同的倍数， 当都扩大4倍时：，等式成立， 故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：； 当时，当时， ， 当时， ， 故答案为：，或1． 13． 【分析】此题考查了勾股定理，以及三角形的面积，首先求出的面积，再根据勾股定理可求出的长，进而根据面积公式即可求得边上的高的长． 【详解】解：由题意可得， ∵， ∴中边上的高长． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了勾股定理，解二元二次方程组，本题中根据和求出、的长度是解题的关键． 设，，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方得出，，解方程组可求得、，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：设，，， 在中，， 在中，， 即， 解得：， 在中，， 故答案为：． 15．或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵大正方形的面积是14， ∴， ∴， ∵小正方形的面积是2， ∴直角三角形的面积为， 又∵直角三角形的面积为， ∴， ∴， 故答案为：． 17．26 【分析】本题考查了勾股定理的应用和方位角，根据题意，可得，利用路程速度时间，分别算出的长度，在直角中，利用勾股定理计算出． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：26． 18． 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质等知识，将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 19．的长度为或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出的三边的长度，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设，则，再根据翻折的性质可得，然后分两种情况求出，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处， ， 点为的三等分点，， 或， 当时，在中， ，即， 解得：； 当时，在中， ，即， 解得：， 综上所述，的长度为或3． 20． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先证明，得出，再根据勾股定理得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在中，， 又， ． 21．(1)①见解析；②； (2)； 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理，三角形内外角关系及内角和定理，等腰三角形的性质，①先根据，得到，根据，得到，，即可得到证明；②在上截取，证明，结合勾股定理即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，过D作，先证明，得到，即可得到答案； 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：在上截取， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ，， ∵， ∴； （2）解：图形如图所示，，理由如下， 过D作， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 22．(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了代数式，整式的混合运算，勾股定理，掌握常见的几何图形的面积公式以及整式的运算法则是解题的关键． （1）根据图形列出代数式即可； （2）图中的面积为直角梯形的面积，也可以看成几个三角形面积的和，分别列出代数式即可得到答案； （3）①利用（2）的结论代入数据计算即可；②根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：图1的面积为大正方形的面积，即， 图1的面积也可以为两个不同正方形的面积加上两个相同长方形的面积，即， 故可得等式； （2）解：图2的面积为直角梯形的面积，即 图2的面积也可以看作个直角三角形的面积和，即， 故可得到等式， 故； （3）解：①，， ； ②，在直角中，，， 在直角中， 23．(1)见解析 (2) (3)25 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定，二次函数的最值，掌握勾股定理是关键． （1）直接利用即可证明； （2）在中，由勾股定理即可求得的长，则可求得的长； （3）设，由勾股定理得，则可表示出面积，利用完全平方公式即可求得面积的最大值． 【详解】（1）证明：在与中， ， ； （2）解：如图，设点E下滑到点G，点F向右滑动到点H； 在中，， 则， 由勾股定理得， ； 答：滑梯底端F向右移动的距离为； （3）解：设， 在中，由勾股定理得， ， 令，，则， ， y最大值为2500， 的最大值为； 故答案为：25． 24．（1），，，，证明见解析；（2） 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）根据是边上的高，，代入数值进行计算，即可作答． 本题考查了证明勾股定理，勾股定理的应用等知识，解题的关键是理解题意灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 化简得：； （2）设 ∵是边上的高， ∴ ∴ 即 解得． ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$