精品解析：陕西省西安中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：李珍 一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解． 【详解】，则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：A． 2. 若随机变量，，则（ ） A. 0.15 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，可知，即可得解. 【详解】由随机变量，， 可知， 故选：A 3. 随机变量的分布列如下： 1 2 若，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得a、b的值，进而求得方差. 【详解】由题意可知，， 所以. 故选：B 4. 若的二项展开式中常数项为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项，再令，解得，最后代入计算可得. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以，故展开式中常数项为. 故选：C 5. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 【答案】C 【解析】 【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得. 【详解】依题意其余位主播有两种情况： ①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点； 所以不同游玩方法（种）. 故选：C 6. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由频率分布直方图的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 详解】由频率分布直方图可得： ，解得，故①正确； 前三个矩形的面积为， 即第60百分位数为80，故②正确； 估计这200名学生竞赛成绩的众数为，故③错误； 总体中成绩落在内的学生人数为，故④正确； 故选：B 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案． 【详解】不超过30的自然数有31个，其中素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个， 孪生素数有3和5，5和7，11和13，17和29，共4组． 所以，， 所以． 故选：C． 8. “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果. 【详解】由题意可知，次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行 则“杨辉三角”第行各项之和为： 第行去掉所有为项的各项之和为： 从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为： 则：，即至第行结束，数列共有项 第项为第行最后个不为的数，即为： 前项的和为： 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分．） 9. 某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件概率公式逐一计算即可. 【详解】根据题意得,,故B错误； 对于A，，故A正确； 对于C，,所以,故C正确； 对于D，,故D正确. 故选：ACD. 10. 2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 90 95 100 105 110 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（ ） A. 变量与负相关且相关性较强 B. C. 当时，的估计值为13 D. 相应于点的残差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关性、相关系数判断A，利用样本中心点判断B，将代入回归直线方程判断C，求得时的估计值，进而求得对应的残差，从而判断D. 【详解】对A，由回归直线可得变量，线性负相关，且由相关系数可知相关性强，故A正确； 对B，由题可得，， 故回归直线恒过点，故，即，故B正确； 对C，当时，，故C错误； 对D，相应于点的残差，故D正确. 故选：ABD. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到是的极小值点；B选项，令，求定义域，求导，得到函数单调递减，结合特殊点函数值及零点存在性定理得到结论；C选项，参变分离，构造函数，进行求解；D选项，设，即有，由得到，从而，构造函数，得到函数单调性和极值最值情况，证明出结论. 【详解】A选项，定义域为， ∴， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴是的极小值点，即A正确； B选项，令，定义域为， ∴恒成立， ∴在单调递减， ∵，， 由零点存在性定理可知，，使得， ∴有且只有一个零点，故B正确； C选项，，即等价为，， 令，，则，， 令，，则，， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 故，可得在单调递减，则无最小值， 所以不恒成立，故C错误； D选项，设，即有， ，即为， 化为， 故，所以， 则， 设（），可得， 令，则在上恒成立， 可得， ∴，故单调递增，可得，故成立，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在答题卡上的相应位置．） 12. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是___________种． 【答案】48 【解析】 【分析】相邻问题利用 “捆绑法”即可求解. 【详解】先将“木、土”看成一个整体，所以一起4个元素，总共有种排法， “木、土”内部排序有种排法，所以总共有种排法. 故答案为：. 13. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，令，结合二次函数的性质求出的最大值，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 又函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，对称轴为直线， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知二项式的二项式系数和为32．给出下列四个结论： ① ②展开式中只有第三项的二项式系数最大 ③展开式各项系数之和是243 ④展开式中的有理项有3项 其中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④． 【解析】 【分析】根据二项式系数和满足，可判定①正确；根据二项式系数的性质，可得②不正确； 令，求得展开式各项系数之和，可判定③正确；根据展开式的通项，可判定④正确. 【详解】对于①中，由二项式的二项式系数和为，可得， 解得，所以①正确； 对于②中，由二项式的展开式共有6项， 根据二项式系数的性质，可得第三项和第四项的二项式系数相同，且最大，所以②不正确； 对于③中，令，可得，所以展开式各项系数之和是，所以③正确； 对于④中，由二项式的展开式的通项为， 当时，可得展开式的项分别为， 所以展开式中的有理项有3项，所以④正确. 故答案为：①③④ 四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 当前，以为代表的（利用技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱，我国的（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中中的个数为，求的分布列与期望． 【答案】分布列见解析，． 【解析】 【分析】求出的所有可能取值和对应的概率， 求出分布列，得到期望. 【详解】由题意，的所有可能取值为0，1，2，3， 此时，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 此时． 16. 下表是某单位在2023年1~5月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 5 用水量y 2.5 3 4 4.5 5.2 （1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率； （2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由． 参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1） （2）得到的经验回归方程是“预测可靠”的． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求概率； （2）先求出线性回归方程，在进行预测判断. 【小问1详解】 从这5个月中任取2个月，包含的基本事件有个， 其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的基本事件有以下4个： ，，，， 故所求概率． 【小问2详解】 由数据得， 由公式计算得 ，所以y关于x的经验回归方程为， 当时，得估计值，而 所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的． 17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体的概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.035；41.5岁 （2）表格见解析；有关 （3）；1 【解析】 【分析】（1）利用频率直方图面积和为1，即可得到，根据频率直方图计算平均数即可； （2）根据频率分布直方图得到青少年组、中老年组人数，从而得到列联表，再零假设计算出，根据独立性检验可得答案； （3）将频率视为概率，计算出青少年“不关注民生问题”的概率，根据每次抽取的结果是相互独立的得，可得答案 【小问1详解】 ， ， ， 估计参与调查者的平均年龄为：41.5岁； 【小问2详解】 选出的200人中，各组的人数分别为： 第1组：人，第2组：人， 第3组：人，第4组：人， 第5组：人， 青少年组有人，中老年组有人， 参与调查者中关注此问题的约占有人不关心民生问题， 选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人， 列联表如下； 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 90 30 120 中老年 70 10 80 合计 160 40 200 零假设：假设关注民生问题与性别相互独立， ， 根据独立性检验，可以认为零假设不成立， 即能依据小概率值的独立性检验，认为是否关注民生与年龄有关； 【小问3详解】 由题意，青少年“不关注民生问题”的频率为， 将频率视为概率，每个青少年“不关注民生问题”的概率为， 因为每次抽取的结果是相互独立的，所以， 所以， 所以，． 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若函数恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）的极小值为1，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和极值； （2）求导，分类讨论判断的单调性，结合零点存在性定理判断的零点. 【小问1详解】 若，则， 可知的定义域为，且， 令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以的极小值为1，无极大值. 【小问2详解】 因为， 则定义域为，且. 当时，，则在上单调递增， 所以至多有一个零点，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， . 令，，则， 所以在上单调递减，且， 若，则，则至多有一个零点，不符合题意； 若，则，且， 又在上单调递减，所以在上存在唯一一个零点； ， 因为，所以，令， 令，，所以，所以上单调递增， 所以，即， 所以，又在上单调递增， 所以在上存在唯一一个零点，所以当时，函数恰有两个零点. 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 19. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． （1）求的值； （2）探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】（1）， （2），第二次，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解. （2）根据全概率公式分析得，再对分奇偶求解. 【小问1详解】 记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西安中学2023-2024学年度第二学期期末考试 高二数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 命题人：李珍 一、选择题（本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若随机变量，，则（ ） A. 0.15 B. 0.3 C. 0.35 D. 0.7 3. 随机变量的分布列如下： 1 2 若，则（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 4. 若的二项展开式中常数项为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 5. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ） A. 96种 B. 132种 C. 168种 D. 204种 6. 某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在内的学生人数为150 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④ 7. 质数（prime number）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”；事件“这两个数不是孪生素数”，则（ ） A. B. C. D. 8. “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2024 D. 2023 二、选择题（本题共3小题，每小题4分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得4分，有选错的得0分，部分选对得2分．） 9. 某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工零件分别占总数的，各自产品中的次品率分别为.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件，则（ ） A. B. C. D. 10. 2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示： 90 95 100 105 110 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得关于的经验回归直线是，相关系数，则下列说法正确的有（ ） A. 变量与负相关且相关性较强 B. C. 当时，的估计值为13 D. 相应于点的残差为 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数k，使得恒成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在答题卡上的相应位置．） 12. 五行是中国古代的一种物质观，多用于哲学、中医学和占卜方面，五行指金、木、水、火、土．现将“金、木、水、火、土”排成一排，则“木、土”相邻的排法种数是___________种． 13. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为______． 14. 已知二项式的二项式系数和为32．给出下列四个结论： ① ②展开式中只有第三项的二项式系数最大 ③展开式各项系数之和是243 ④展开式中的有理项有3项 其中，所有正确结论序号是___________． 四、解答题（本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 当前，以为代表的（利用技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱，我国的（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．记选取的3个科技企业中中的个数为，求的分布列与期望． 16. 下表是某单位在2023年1~5月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 5 用水量y 2.5 3 4 4.5 5.2 （1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率； （2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠?说明理由． 参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 17. 2024年两会期间民生问题一直是百姓最关心的热点，某调查组利用网站从参与调查者中随机选出200人，数据显示关注此问题的约占，并将这200人按年龄分组，第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a，并估计参与调查者的平均年龄； （2）把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，得到如下2×2列联表.请将列联表补充完整填入答题卡，并回答：依据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注民生与年龄有关？ 关注民生问题 不关注民生问题 合计 青少年 中老年 10 合计 200 （3）将此样本频率视为总体概率，从网站随机抽取4名青少年，记录4人中“不关注民生问题”的人数为，求随机变量时的概率和随机变量的数学期望． 附：． 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若函数恰有两个零点，求的取值范围. 19. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． （1）求的值； （2）探究数列通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$