第1章 专题一 利用勾股定理解决最短路径问题(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第一章　勾股定理 专题一　利用勾股定理解决最短路径问题 　“捷径”问题 1. 模型观念　入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现 某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造.管道 A → B 改造方 案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）. （1）求改造前原有管道的长度是多少. 解：（1）由图可知，改造前原有管道的长度＝170 ＋30＋120＋70＋100＋20＝510（m）. 答：改造前原有管道的长度是510 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）求改造后 A ， B 之间的管道长度减少了多少. 解：（2）如图所示，过点 B 作 BC ⊥ AM 于点 C ， 由图可知， AC ＝170－（120－100）＝170－20＝ 150（m）， BC ＝30＋（70－20）＝30＋50＝80 （m），由勾股定理，得 AB2＝ AC2＋ BC2，即 AB2 ＝1502＋802＝1702，所以 AB ＝170 m， 510－170＝340（m）. 答：改造后 A ， B 之间的管道长度减少了340 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 　“饮水”问题 2. 如图所示，牧民在河边 A 处放牛，家在河边 B 处.傍晚，牧民驱赶牛群先到河 边饮水，然后在天黑前赶回家，已知 A 点到河边 C 处的距离为500米，点 B 到河 边 D 处的距离为700米，且 CD ＝500米. （1）请在图上画出牧民驱赶牛群在哪点饮水回家的路线最短. 解：（1）如图所示，作点 A 关于直线 CD 的对称点 A'，连接A'B交 CD 于点 P ，点 P 即为所求作的点. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）求出最短路线的长度. 解：（2）由作图可得最短路线的长度为A'B的长，过 点A'作A'F⊥ BD 交 BD 的延长线于点 F ，则 DF ＝A'C ＝ AC ＝500米，A'F＝ CD ＝500米， BF ＝700＋500 ＝1 200（米）.根据勾股定理，得A'B2＝1 2002＋5002 ＝1 3002， 所以A'B＝1 300米. 所以最短路线的长度为1 300米. 1 2 3 4 5 6 7 8 　圆柱体上的最短路程问题 3. 如图所示，已知圆柱底面的周长为12 cm，圆柱高为8 cm，在圆柱的侧面上， 过点 A 和点 C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　B　） A. 10 cm B. 20 cm C. 50 cm D. 100 cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 如图所示是一底面周长为24 m，高为6 m的圆柱形油罐，一只老鼠欲从距地面 1 m的 A 处沿侧面爬行到对角 B 处吃食物，请算出老鼠爬行的最短路程为多少？ 解：沿 AC 和 BD 将圆柱的侧面剪开平铺在平面上，过点 A 作 AE ⊥ BD 于点 E ，如图所示， 因为底面周长为24 m，高为6 m， 所以 AE ＝12 m， BE ＝6－1＝5（m）. 在Rt△ AEB 中，由勾股定理，得 AB2＝ AE2＋ BE2＝122＋52＝132，所以 AB ＝13 m， 所以老鼠爬行的最短路程为13 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 　正方体上的最短路程问题 5. 如图所示，在正方体的一个顶点 A 处有一只蚂蚁，现在要向点 B 爬行，已知正 方体的棱长为3 cm， BC ＝1 cm，则爬行的最短距离是多少？ 解：将正方体上蚂蚁爬行经过的两个面展开，如图所示. 在Rt△ ADB 中，因为∠ ADB ＝90°， CD ＝3 cm， BC ＝1 cm， BD ＝3＋1＝4（cm）.由勾股定理，得 AB2＝32＋42＝25，所以 AB ＝5 cm.所以爬行的最短距离是5 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 　长方体上的最短路程问题 6. 空间观念　如图所示，长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm.如果 用一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B ，那么所用细线最短为多 少厘米？ 解：如图所示，将长方体的侧面展开，连接AB'.因为AA'＝1＋3＋1＋3＝8 （cm），A'B'＝6 cm.由勾股定理，得AB'2＝82＋62 ＝100，AB'＝10 cm.所以所 用细线最短为10 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 如图所示，一个放置在地面上的长方体，长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点 B 与点 C 的距离为5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是多少？ 解：将长方体的右侧面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图①所示.根据勾股定理，得 AB2＝102＋（20＋5）2＝725； 将长方形的右侧面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图②所示.根据勾股定理，得 AB2＝202＋（5＋10）2＝625； 将长方体的后面这个侧面剪开与上表面所在的平面形成一个长方形，如图③所 示.根据勾股定理，得 AB2＝52＋（20＋10）2＝925. 因为925＞725＞625，252＝625，所以需要爬行的最短距离是25 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 　台阶上的最短路程问题 8. 空间观念　六块完全相同的长方体方砖如图所示叠在一起，其中 AE ＝1 dm， DE ＝3 dm， BC ＝6 dm.若一只蚂蚁要从点 A 处爬到点 B 处，则它爬行的最短距 离为多少？ 解：如图所示， AB2＝（3＋1＋3＋1）2＋62＝102，所以 AB ＝10 dm，所以蚂蚁 爬行的最短距离为10 dm. 1 2 3 4 5 6 7 8 $$