第1章 勾股定理 自我测评卷(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第一章自我测评卷 一、选择题（本大题有10个小题，共40分） 1. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ ABC 中，边长为有理数的边数为（　B　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 在满足下列条件的三角形中，是直角三角形的有（　C　） ①三内角之比为1∶2∶3； ②三边长的平方之比为1∶2∶3； ③三边长之比为3∶4∶5； B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ④三内角之比为3∶4∶5. A. ③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 3. 放学以后，红红和晓晓从学校分开走，分别沿东南方向和西南方向回家，若红 红和晓晓行走的速度都是50米/分，红红用12分钟到家，晓晓用16分钟到家，红 红家和晓晓家的直线距离为（　D　） A. 400米 B. 600米 C. 800米 D. 1000米 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 数学文化　勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅 五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特 点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类 勾股数，如：6，8，10；8，15，17；….若此类勾股数的勾为2 m （ m ≥3， m 为 正整数），则其弦是（结果用含 m 的式子表示）（　C　） A. m2－1 B. 2 m ＋2 C. m2＋1 D. 2 m ＋3 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 几何直观　如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方 形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 a ，较短直角边长为 b ，若 ab ＝24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为（　C　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 《九章算术》中记载：“今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺， 纵之不出二尺，斜之适出.问户高、广、斜各几何？”译文是：今有门，不知其 高、宽，有竿，不知其长、短.横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2 尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门的高、宽、对角线长分别是多少？若设 门对角线长为 x 尺，则可列方程为（　B　） A. x2＝（ x －4）2＋22 B. x2＝（ x －4）2＋（ x －2）2 C. x2＝42＋（ x －2）2 D. 2 x2＝（ x －4）2＋（ x －2）2 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 几何直观　“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直 角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重 复数次后的形状好似一棵树而得名.假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股 树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个 数为（　B　） 第一代勾股树 第二代勾股树 第三代勾股树 A. 31 B. 63 C. 65 D. 67 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如图所示，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AB ＝8，若以 AC 边和 BC 边向外 作等腰直角三角形 ACE 和等腰直角三角形 BCD . 记△ ACE 的面积是 S1，△ BCD 的面积是 S2，则 S1＋ S2＝（　B　） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 第8题图 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 如图所示，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12 cm，在容 器内壁离容器底部1.5 cm的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁， 位于离容器上沿1.5 cm的点 A 处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm， 则该圆柱底面周长为（　C　） A. 9 cm B. 12 cm C. 18 cm D. 24 cm 第9题图 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 几何直观　如图所示，已知直线 a ∥ b ，且 a 与 b 之间的距离为4，点 A 到直 线 a 的距离为2，点 B 到直线 b 的距离为3， AB2＝120.试在直线 a 上找一点 M ，在 直线 b 上找一点 N ，满足 MN ⊥ a 且 AM ， MN ， NB 的长度和最短，则此时 AM ＋ NB ＝（　B　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题（本大题有5个小题，共25分） 11. 现有一只蜗牛和一只乌龟从同一点分别沿正东和正南方向爬行，蜗牛的速度 为14厘米/分，乌龟的速度为48厘米/分，5分钟后，蜗牛和乌龟的直线距离 为 ⁠. 12. 如图所示，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，点 D 是 BC 上的点.若 BD ＝2， DC ＝ 3，则 AB2－ AD2的值为 ⁠. 第12题图 250厘米　 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. 小亮用11块高度都是2 cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙， 木墙之间刚好可以放进一个正方形 ABCD 木板，截面如图所示.两木墙高分别为 AE 与 CF ，点 B 在 EF 上，则正方形 ABCD 木板的面积为 cm2. 第13题图 244　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如图所示，《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题，其译文：“有一架秋 千，当它静止时，踏板上一点 A 离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时， 对应的点 B 就和某人一样高.若此人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试 问绳索有多长？”根据上述条件，秋千绳索长为 尺. 14.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 如图所示，在长方形纸片 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝3，点 P 在 BC 边上，将△ CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处， PE ， DE 分别交 AB 于点 G ， F ，若 GE ＝ GB ，则 CP 的长为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题（本大题有10个小题，共85分） 16. （本小题满分8分）如图所示，在△ ABC 中， AB 长比 AC 长大1， BC ＝15， D 是 AB 上一点， BD ＝9， CD ＝12. （1）求证： CD ⊥ AB . 解：（1）证明：∵ BC ＝15， BD ＝9， CD ＝12， ∴ BD2＋ CD2＝92＋122＝225 ， BC2＝152＝225， ∴ BD2＋ CD2＝ BC2，∴∠ CDB ＝90°， ∴ CD ⊥ AB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）求 AC 的长. 解：（2）由题意，得 AB － AC ＝1， 设 AC ＝ x ，则 AD ＝ AB － BD ＝ x ＋1－9＝ x －8. ∵∠ ADC ＝90°，∴ AC2＝ AD2＋ CD2， ∴（ x －8）2＋122＝ x2，解得 x ＝13，即 AC 的长为13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 17. （本小题满分8分）若 a ， b ， c 为△ ABC 的三边长，且 a ， b ， c 满足等式 （ a －5）2＋（ b －12）2＋（ c －13）2＝0. （1）求出 a ， b ， c 的值. 解：（1）由题意，得 a －5＝0， b －12＝0， c －13＝0， 所以 a ＝5， b ＝12， c ＝13. （2）△ ABC 是直角三角形吗？请说明理由. 解：（2）△ ABC 是直角三角形.理由如下：因为 a2＋ b2＝52＋122＝25＋144＝ 169， c2＝132＝169，即 a2＋ b2＝ c2，所以△ ABC 是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. （本小题满分8分）某中学有一块四边形空地 ABCD （如图所示），现计划在 该空地上种草坪.经测量，∠ A ＝90°， AB ＝16 m， BC ＝25 m， CD ＝15 m， AD ＝12 m.若每平方米草坪需100元，则需投入多少元？ 解：连接 BD . 因为∠ A ＝90°， AB ＝16 m， AD ＝12 m，所以 BD2＝ AB2＋ AD2＝162＋122＝400，所以 BD ＝20 m.因为 BC ＝25 m， CD ＝15 m， 所以 BD2＋ CD2＝625＝ BC2. 所以△ DBC 是直角三角形. 所以 S四边形 ABCD ＝ S△ ABD ＋ S△ DBC ＝ ×12×16＋ ×15×20＝246（m2）. 所以需投入总资金为100×246＝24 600（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. （本小题满分8分）某校要把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园.如 图所示，∠ ACB ＝90°， AC ＝80米， BC ＝60米.若线段 CD 是一条小渠，且点 D 在边 AB 上，已知水渠的造价为10元/米，问点 D 在距点 A 多远处时，水渠的造 价最低？最低造价是多少？ 解：当 CD 为斜边上的高时， CD 最短，从而水渠造价最低. 因为∠ ACB ＝90°， AC ＝80米， BC ＝60米， 所以 AB2＝ AC2＋ BC2＝802＋602＝1002，所以 AB ＝100米. 因为 × CD · AB ＝ × AC · BC ，解得 CD ＝48.在Rt△ ACD 中， AC ＝80米， CD ＝48米，所以 AD2＝ AC2－ CD2，所以 AD ＝64米，所以点 D 在距点 A 64米的地方时，水渠的造价最低，其最低造价为48×10＝480（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. （本小题满分8分）模型观念　拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以 让人们出行更轻松.如图所示，已知某种拉杆箱箱体长 AB ＝65 cm，拉杆最大伸 长距离 BC ＝35 cm，在箱体底端装有一圆形滚轮（滚轮高度忽略不计），当拉杆 拉到最长时，滚轮的圆心在图中的 A 处，点 A 到地面的距离 AD ＝3 cm，当拉杆 全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55 cm到A'处，求拉杆把手 C 离地面的距 离（假设 C 点的位置保持不变）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：如图所示，过 C 作 CE ⊥ DN 于点 E ，延长AA'交 CE 于点 F ，则∠ AFC ＝ 90°， 设A'F＝ x ，则 AF ＝55＋ x ， 由题可得， AC ＝65＋35＝100，A'C＝65. ∵在Rt△A'CF中， CF2＝652－ x2， 在Rt△ ACF 中， CF2＝1002－（55＋ x ）2，∴652－ x2＝1002－（55＋ x ）2，解 得 x ＝25，∴A'F＝25，由勾股定理，得 CF ＝60 cm.又∵ EF ＝ AD ＝3 cm， ∴ CE ＝60＋3＝63（cm），∴拉杆把手 C 离地面的距离为63 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. （本小题满分8分）如图所示，在海平面上有 A ， B ， C 三个标记点，其中 A 在 C 的北偏西54°方向上，与 C 的距离是800海里， B 在 C 的南偏西36°方向 上，与 C 的距离是600海里. （1）求点 A 与点 B 之间的距离. 解：（1）如图所示，由题意，得∠1＝54°，∠2＝36°，∴∠ ACB ＝90°. ∵ AC ＝800海里， BC ＝600海里，∴由勾股定理，得 AB ＝1 000海里. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）若在点 C 处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会 发射一次信号，此时在点 B 处有一艘轮船准备沿直线向点 A 处航行，轮船航行的 速度为每小时20海里.轮船在驶向 A 处的过程中，最多能收到多少次信号？（信 号传播的时间忽略不计） 解：（2）如图所示，过点 C 作 CH ⊥ AB 交 AB 于点 H ，在 AB 上取 点 M ， N ，使得 CN ＝ CM ＝500海里. ∵ CH ⊥ AB ，∴∠ CHB ＝90°. ∵ S△ ABC ＝ AC · BC ＝ AB · CH ，∴800×600＝1 000 CH ，解得 CH ＝480海里.∵ CN ＝ CM ＝500海里，由勾股定理，得 NH ＝ MH ＝140海里.所以信号次数为140×2÷20＝14（小时）， ＋1＝29（次）.答：最多能收到29次信号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. （本小题满分8分）沙尘暴是指强风将地面尘沙吹起使空气混浊，水平能见度 很低的一种天气现象.如图所示，某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向由 A 向 B 移动，已知点 C 为一城镇，且点 C 与直线 AB 上的两点 A ， B 的距离分别为 AC ＝30 km， BC ＝40 km， AB ＝50 km，以沙尘暴中心为圆心周围25 km以内为 受影响区域. （1）请通过计算说明城镇 C 是否会受到沙尘暴影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：（1）城镇 C 会受到沙尘暴影响. 理由如下：如图所示，过点 C 作 CD ⊥ AB 于点 D . 因为 AC ＝30 km， BC ＝40 km， AB ＝50 km， 所以 AC2＋ BC2＝ AB2，所以△ ABC 是直角三角形， 所以 S△ ABC ＝ AC × BC ＝ CD × AB ，解得 CD ＝24 km. 因为以台风中心为圆心周围25 km以内为受影响区域， 所以城镇 C 会受到沙尘暴影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）若沙尘暴中心的移动速度为20 km/h，则沙尘暴影响该城镇持续的时间 有多长？ 解：（2）如图所示，在 AB 上取点 E ， F . 当 EC ＝25 km， FC ＝25 km时，正好影响 C 城镇.因为 ED2＝ EC2－ CD2，所以 ED ＝7 km，所以 EF ＝14 km.因为沙尘暴中心的移动速度为20 km/h，所以14÷20＝0.7（小时）.答：沙尘暴影响该城镇持续的时间为0.7小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. （本小题满分8分）如图①所示，地面上放着一个小凳子（ AB 与地面平 行），点 A 到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40 cm.一木杆的一端与墙角 O 重 合，另一端靠在点 A 处， OA ＝50 cm. （1）求小凳子的高度. 解：（1）过点 A 作 AM 垂直于墙面，垂足为 M ，如图①所示. 根据题意，可得 AM ＝40 cm. 在Rt△ AOM 中， OM2＝ AO2－ AM2＝502－402＝900，∴ OM ＝30 cm，即凳子的 高度为30 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）如图②所示，另一木杆的一端与点 B 重合，另一端靠在墙上的点 C 处.若 OC ＝90 cm，木杆 BC 比凳宽 AB 长60 cm，求小凳子宽 AB 和木杆 BC 的长度. 解：（2）如图②所示，延长 BA 交墙面于点 N ，可得∠ BNC ＝90°.设 AB ＝ x cm，则 CB ＝ x ＋60， BN ＝（ x ＋40）cm， CN ＝90－30＝60（cm）.在Rt△ BCN 中， BN2＋ CN2＝ BC2，即（40＋ x ）2＋602＝（60＋ x ）2，解得 x ＝40，则 BC ＝60＋40＝100（cm）.即小凳子宽 AB 的长度为40 cm，木杆 BC 的长度为100 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. （本小题满分9分）小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后 ，对其做 了进一步的探究：在一个支架的横杆点 O 处用一根细绳悬挂一个小球 A ，小球 A 可以自由摆动，如图①所示， OA 表示小球静止时的位置.如图②所示，当小明用 发声物体靠近小球时，小球从 OA 摆到 OB 的位置，此时过点 B 作 BD ⊥ OA 于点 D ，当小球摆到 OC 位置时， OB 与 OC 恰好垂直（图中的 O ， A ， B ， C ， D 均 在同一平面上）， 过点 C 作 CE ⊥ OA 于点 E . （1）试说明： OE ＝ BD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：（1）∵ OB ⊥ OC ， ∴∠ BOD ＋∠ COE ＝90°.又∵ CE ⊥ OA ， BD ⊥ OA ， ∴∠ CEO ＝∠ ODB ＝90°，∴∠ BOD ＋∠ B ＝ 90°，∴∠ COE ＝∠ B . 在△ COE 和△ OBD 中，∠ CEO ＝∠ BDO ，∠ COE ＝∠ B ， OC ＝ OB ，∴△ COE ≌△ OBD （AAS）， ∴ OE ＝ BD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）若测得 CE ＝15 cm， AD ＝2 cm，求 DE 的长. 解：（2）∵△ COE ≌△ OBD ，∴ CE ＝ OD ＝15 cm， AD ＝2 cm，∴ OA ＝ OC ＝ OD ＋ AD ＝17cm， 在Rt△ COE 中， OE ＝ ＝ ＝8 （cm），∴ DE ＝ OA － OE － AD ＝17－8－2＝7（cm）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25. （本小题满分12分）（2023·北京海淀区期末）在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°， D 为△ ABC 内一点，连接 BD ， DC ，延长 DC 到点 E ，使得 CE ＝ DC . （1）如图①所示，延长 BC 到点 F ，使得 CF ＝ BC ，连接 AF ， EF . 若 AF ⊥ EF ，求证： BD ⊥ AF . 解：（1）在△ BDC 和△ FEC 中， ∵∴△ BDC ≌△ FEC （SAS）， ∴∠ DBC ＝∠ EFC ，∴ BD ∥ EF . ∵ AF ⊥ EF ，∴ BD ⊥ AF . 25 （2）连接 AE ，交 BD 的延长线于点 H ，连接 CH ，依题意补全图②.若 AB2＝ AE2＋ BD2，试探究 AB ， AH ， BH 这三条线段之间的数量关系，并 证明你的结论. 解：（2）由题意补全图形如下：如图所示，延长 BC 到 F ，使 CF ＝ BC ，连接 AF ， EF . ∵ AC ⊥ BF ， BC ＝ CF ，∴ AB ＝ AF . 由（1）得 BD ∥ EF ， BD ＝ EF . ∵ AB2＝ AE2＋ BD2，∴ AF2＝ AE2＋ EF2，∴∠ AEF ＝90°，∴ AE ⊥ EF ，∴ BD ⊥ AE ， ∴∠ AHB ＝90°，∴ AB2＝ AH2＋ BH2. 25 $$