第1章 勾股定理 本章综合提升(习题课件)-【优+学案】2024-2025学年八年级上册数学课时通(北师大版)

年级上册·BS 数 学 本课件使Office 2016制作，请使用相应软件打开并使用 本课件理科公式均采用微软公式制作，如果您是Office 2007或WPS 2021年4月份以前的版本，会出现公式及数字无法编辑或无动画的问题，请您安装Office 2016或以上版本即可解决该问题。 课件使用说明 本课件文本框内容可编辑，单击文本框即可进行修改和编辑 本课件设有小题超链接功能，点击题号即可跳转到对应题目。 使用软件 01 软件版本 02 便捷操作 03 软件更新 04 第一章　勾股定理 本章综合提升 1. 数形结合思想 从几何直观的角度利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决 途径，或用数量关系研究几何图形的性质，以形助数，以数辅形，使抽象问题直 观化，复杂问题简单化，从而使问题得以解决. 勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系，它是把三角形有一个直角的 “形”的特征，转化为三边“数”的关系，它的验证和应用，都体现了数形结合 的思想. 　　【例1】　推理能力　如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方 形①开始，以它的一条边为斜边作等腰直角三角形，然后再以这个等腰直角三角 形两直角边为边作正方形②和②'，如此继续下去，…，若正方形①的面积为64， 则正方形⑥的面积为 ⁠. 2　 　　【变式训练1】空间观念　无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有（　A　） A. 5 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 11 cm A 2. 转化思想 转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想.在研究数学问题时，我 们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将 抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题.转化的内涵非常丰 富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题 的转机. 应用勾股定理求立体图形上两点间的最短距离时，要转化为平面图形，应用 “两点之间，线段最短”去解决问题. 【例2】　空间观念　问题情境：如图①所示，一只蚂蚁在一个长为100 cm，宽为50 cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的 侧棱平行且等于场地宽 AD ，木块从正面看是一个边长为20 cm的等边三角形.求 这只蚂蚁从点 A 处到达点 C 处需要走的最短路程. （1）数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为 直”.请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接 AC . 解：（1）如图所示即为所求. （2）线段 AC 的长即蚂蚁从点 A 处到达点 C 处需要走的最短路程，依据 是 ⁠. （3）问题解决：如图②所示，展开图中 AB ＝120 cm， BC ＝ ⁠. （4）这只蚂蚁从点 A 处到达点 C 处需要走的最短路程是 ⁠. 两点之间线段最短　 50 cm　 130 cm　 【变式训练2】空间观念　如图所示，长方体的长 BE ＝15 cm，宽 AB ＝10 cm，高 AD ＝20 cm，点 M 在 CH 上，且 CM ＝5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体 的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是 ⁠. 25 cm　 3. 方程思想 从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知 量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到 解决的思维方法，这就是方程思想. 在本章解决实际问题的距离问题或者求几何图形中线段的长时，往往要应用 勾股定理列方程. 【例3】　（2023·武汉期中）如图所示，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6， BC ＝8. 　　（1）如图①所示，把△ ABC 沿直线 DE 折叠，使点 A 与点 B 重合，求 BE 的长. 解：（1）因为直线 DE 是对称轴，所以 AE ＝ BE . 因为 AC ＝6， BC ＝8，设 AE ＝ BE ＝ x ，则 CE ＝8－ x .在Rt△ ACE 中，∠ C ＝ 90°， 所以 AC2＋ CE2＝ AE2，所以62＋（8－ x ）2＝ x2， 解得 x ＝ ，所以 BE ＝ . （2）如图②所示，把△ ABC 沿直线 AF 折叠，使点 C 落在 AB 边上的 G 点 处，请直接写出 BF 的长. 解：（2）因为直线 AF 是对称轴，所以 AC ＝ AG ， CF ＝ GF . 因为 AC ＝6， BC ＝8，设 BF ＝ x ，则 CF ＝ GF ＝8－ x ，在Rt△ ACB 中，∠ C ＝90°，由勾 股定理，得 AB ＝10.所以 BG ＝ AB － AG ＝4. 在Rt△ BGF 中，∠ BGF ＝90°，所以 GF2＋ BG2＝ BF2，所以（8－ x ）2＋42＝ x2，解得 x ＝5，所以 BF 的长为5. 【变式训练3】如图所示，铁路上 A ， B 两点相距25 km， C ， D 为两村庄， DA ⊥ AB 于点 A ， CB ⊥ AB 于点 B ，已知 DA ＝15 km， CB ＝10 km，现在要在铁 路 AB 上建一个土特产品收购站 E ，使得 C ， D 两村到收购站 E 的距离相等，则 收购站 E 应建在离 A 点多少千米处？ 解：因为使得 C ， D 两村到收购站 E 的距离相等， 所以 DE ＝ CE . 因为 DA ⊥ AB 于点 A ， CB ⊥ AB 于点 B ， 所以∠ A ＝∠ B ＝90°， 所以 AE2＋ AD2＝ DE2， BE2＋ BC2＝ EC2， 所以 AE2＋ AD2＝ BE2＋ BC2. 设 AE ＝ x km，则 BE ＝ AB － AE ＝（25－ x ）km. 因为 DA ＝15 km， CB ＝10 km， 所以 x2＋152＝（25－ x ）2＋102，解得 x ＝10， 所以 AE ＝10 km. 答：收购站 E 应建在离 A 点10 km处. 1. （西安期末）已知等腰三角形的底边是6，腰长为5，则这个等腰三角形的面积 是（　D　） A. 30 B. 15 C. 24 D. 12 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. （2023·沈阳沈北新区期末）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根 长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为 边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是 （　B　） A. 直角三角形两个锐角互余 B. 勾股定理的逆定理 C. 三角形内角和等于180° D. 勾股定理 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3. （2023·十堰郧西月考）如图所示，已知钓鱼杆 AC 的长为10米，露在水上的鱼 线 BC 长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC 转动到AC'的位置，此 时露在水面上的鱼线B'C'的长度为8米，则BB'的长为（　C　） A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. （阳泉平定期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1， 点 A ， B ， C ， D 都在格点上，则∠ DAB ＋∠ CAB ＝ 度. 第4题图 45　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. （2023·深圳南山期中）如图所示， AB ⊥ BC 于点 B ， AB ⊥ AD 于点 A ，点 E 是 CD 的中点，若 BC ＝5， AD ＝10， BE ＝ ，则 AB 的长是 ⁠. 第5题图 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 推理能力　（烟台招远期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长” 后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①所示），三个正方形围成的三角 形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②所示）， 如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2 022次 后形成的图形中，所有正方形的面积和是 ⁠. 2 023　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 几何直观　（湖州期中）如图所示，在△ ABD 中， AD ⊥ BD ， AD ＝12， BD ＝16， CD ＝5.求△ ABC 的周长. 解：在Rt△ ABD 和Rt△ ACD 中，根据勾股定理，得 AB2＝ AD2＋ BD2， AC2＝ AD2＋ CD2.又因为 AD ＝12， BD ＝16， CD ＝5，所以 AB2＝ AD2＋ BD2＝162＋ 122＝400，所以 AB ＝20， AC2＝ AD2＋ CD2＝122＋52＝169，所以 AC ＝13，所 以△ ABC 的周长＝ AB ＋ AC ＋ BC ＝ AB ＋ AC ＋（ BD － DC ）＝20＋13＋（16 －5）＝44，即△ ABC 的周长是44. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 空间观念　（咸阳渭城区期末）如图所示，∠ AOB ＝90°， OA ＝8 m， OB ＝3 m，一机器人在点 B 处看见一个小球从点 A 出发沿着 AO 方向匀速滚向点 O ， 机器人立即从点 B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点 C 处截住了小球. 若小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，求机器人行走的路程 BC 是多少. 解：因为小球滚动的路程与机器人行走的路程相等， 所以 BC ＝ AC . 设 BC ＝ AC ＝ x m，则 OC ＝（8－ x ）m. 在Rt△ BOC 中，因为 OB2＋ OC2＝ BC2， 所以32＋（8－ x ）2＝ x2，解得 x ＝ . 所以机器人行走的路程 BC 是 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 模型观念　（烟台栖霞期末）为了提高人民群众防诈骗意识，很多地方的宣讲 车开起来，大喇叭响起来，宣传横幅挂起来，电子屏亮起来，电视、广播、短信 齐上阵，防诈骗标语、宣传金句频出.如图所示，在一条笔直公路 MN 的一侧点 A 处有一村庄，村庄 A 到公路 MN 的距离 AB 为800米，若宣讲车周围1 000米以内能 听到广播宣传，宣讲车在公路 MN 上沿 MN 方向行驶. （1）请问村庄 A 能否听到宣传？请说明理由. 解：（1）村庄 A 能听到宣传， 理由：因为村庄 A 到公路 MN 的距离为800米＜1 000米， 所以村庄 A 能听到宣传. 9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分，那么村庄 A 总共能听到多长时 间的宣传？ 解：（2）如图所示，假设当宣讲车行驶到 P 点开始 村庄 A 能听到宣传，行驶到 Q 点村庄 A 不能听到宣 传，则 AP ＝ AQ ＝1 000米， AB ＝800米，所以由勾 股定理，得 BP ＝ BQ ＝600米， 所以 PQ ＝1 200米，所以村庄 A 能听到宣传的时间为 1200÷300＝4（分钟）， 所以村庄 A 总共能听到4分钟的宣传. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. （2023·阳泉期末）如图所示，某火车站内部墙面 MN 上有破损处（看作点 A ），现维修师傅需借助梯子 DE 完成维修工作.梯子的长度为5 m，将其斜靠在 这面墙上，测得梯子底部 E 离 N 处3 m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量， 此时梯子顶部 D 距离墙面破损处1 m. （1）该火车站墙面破损处 A 距离地面有多高？ 解：（1）由题意，得 AD ＝1 m，∠ DNE ＝90°， DE ＝5 m， NE ＝ 3 m，由勾股定理，得 DN2＝ DE2－ NE2，即 DN2＝52－32＝42，所以 DN ＝4 m， 所以 AN ＝ AD ＋ DN ＝1＋4＝5（m）， 所以该火车站墙面破损处 A 距离地面有5 m高. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8 m，那么梯子底部需要向墙 角的方向水平移动多少米？ 解：（2）当梯子顶部到地面的距离为4.8 m时，由勾股定理，得梯子 底部与 N 处的距离的平方为52－（4.8）2＝1.42，所以梯子底部与 N 处的距离为1.4 m，则梯子底部需要向墙的方向水平移动的距离为3－ 1.4＝1.6（m）， 即梯子底部需要向墙的方向水平移动1.6 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 几何直观　（贵阳中考）如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角 形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的 长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（　B　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. （2023·泸州中考）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出 了勾股数 a ， b ， c 的计算公式： a ＝ （ m2－ n2）， b ＝ mn ， c ＝ （ m2＋ n2），其中 m ＞ n ＞0， m ， n 是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股 数计算公式直接得出的是（　C　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 7，24，25 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. （2023·随州中考）如图所示，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝ 6， D 为 AC 上一点，若 BD 是∠ ABC 的平分线，则 AD ＝ ⁠. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. （2023·长沙中考）如图所示， AB ＝ AC ， CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ，垂足分别 为 D ， E . （1）求证：△ ABE ≌△ ACD . 解：（1）证明：因为 CD ⊥ AB ， BE ⊥ AC ，所以∠ AEB ＝∠ ADC ＝90°.在△ ABE 和△ ACD 中， 所以△ ABE ≌△ ACD （AAS）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 （2）若 AE ＝6， CD ＝8，求 BD 的长. 解：（2）因为△ ABE ≌△ ACD ，所以 AD ＝ AE ＝6， 在Rt△ ACD 中， AC2＝62＋82＝100，所以 AC ＝10.因为 AB ＝ AC ＝10，所以 BD ＝ AB － AD ＝10－6＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$