精品解析：北京市海淀区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2024北京海淀初二（下）期末 数 学 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名． 3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，请将本试卷交回． 一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A 1，2，3 B. 3，3，4 C. 3，4，5 D. 4，4，4 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 5. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，，且，则的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 如图，矩形对角线相交于点，，，则长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 如图，数轴上点所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点对应的数是，则点落在（ ） A. 点和点之间 B. 点和点之间 C. 点和点之间 D. 点和点 8. 下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间（单位：秒），则下列说法正确的是（ ） A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间 B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数 C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数 D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 10. 把直线向上平移2个单位得到的直线解析式为：_______. 11. 如图，在中，，平分，点是的中点，，则____________． 12. 一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示．在由鞋的尺码组成的数据中，这组数据的众数是____________． 尺码 22 22.5 23 23.5 24 245 25 销售量/双 1 2 5 11 6 4 1 13. 用一根长的铁丝围一个矩形，设的长为，的长为， 则关于的函数解析式为____________（不写自变量的取值范围）． 14. 如图，在矩形中，平分交于点E，的平分线刚好经过点C，则____________． 15. 如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 16. 磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 三、解答题（本题共60分，第17题6分，第18-24题每题5分，第25题6分，第26题7分，第27题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点为对角线上的两个点，且，求证：． 19. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． （1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 20. 已知：如图1，． 求作：． 作法：①作的平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，作射线； ③以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接； ∴四边形为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． ∵， ∴________， ∵是的平分线， ∴， ∴________， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（___________）（填推理的依据）． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是 ． 22. 一个有进水管和排水管的水池，每小时进水量和排水量分别为恒定的数值． 从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最后1小时内，水池仅排水而不再进水．该水池内的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示． 根据图象，回答下列问题 （1）该水池进水管每小时进水_______吨，排水管每小时排水________吨； （2）当时，求水池内的水量； （3）这6个小时，排水管共排水______吨． 23. 如图，在中，，点D，E分别是的中点．连接并延长至点F，使得. 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 24. 咖啡是世界三大饮品之一，在我国广受欢迎．云南新培育的咖啡豆经五位专家多角度评测，数据已整理，以下是部分信息： a. 咖啡豆评测统计表： b. 咖啡豆评测的平均分统计图： 评测 角度 香气 风味 余韵 酸质 体脂感 平衡性 总分 评委1 9 8 n 8 评委2 9 10 评委3 9 8 9 评委4 评委5 9 9 8 52 平均分 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）咖啡豆评测统计表中__________， ； （2）补全条形统计图； （3）在这6个评测角度中，五位评委测评打分差异最大是__________． 25. 如图1，正方形的边长为，对角线交于点O，点P从点A出发，沿线段运动，点P到达点B时停止运动． 若点P运动的路程为x，的面积为y，探究y与x的函数关系． （1）x与y的两组对应值如下表，则______________； x 0 … m y n … n （2）当点P在线段上运动时，y关于x函数解析式为． 当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________； （3）① 在图2中画出函数图象； ② 若直线与此函数图象只有一个公共点，则的取值范围是_________________． 26. 如图1，和是的对角线，．点为射线上的一点，连接． （1）当点在线段的延长线上，且时， ①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，当点在线段上，且时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 27. 甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩． 该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口． （1）园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站．甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示．两人约定如下： I． 确定距离自己最近的入口； II． 如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园； III． 如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入口入园． ① 若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为 ； ② 若甲、乙最终在B入口处入园，则乙下车的站点可以为 ； （2）丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园．丙在地图上建立平面直角坐标系，如图2所示，其中入口A，B，C的坐标分别为．园区内有行驶路线为的摆渡车（乘客可以在路线上任意一点上下车）．点G坐标为．丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”． ① 如果丙希望在a最小处下车，则点M的坐标为_______________； ② 若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车点，则m的最小值为_______________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024北京海淀初二（下）期末 数 学 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题．满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写学校名称、班级名称、姓名． 3．答案一律填涂或书写在试卷上，用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，请将本试卷交回． 一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、中含有分数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、中含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； D、不最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，3，4 C. 3，4，5 D. 4，4，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据题意利用“”逐一对选项进行计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵，故A选项不能组成直角三角形， ∵，故B选项不能组成直角三角形， ∵，故C选项能组成直角三角形， ∵，，故D选项不能组成直角三角形， 故选：C． 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减，根据二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减的运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相减，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理，由平行四边形的性质得出，证明是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：∵的对角线相交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 5. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，，且，则的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由题意得出随的增大而减小，从而得出，即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，，，且， ∴随的增大而减小， ∴， ∴的值可能为， 故选：D． 6. 如图，矩形的对角线相交于点，，，则长为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，由矩形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，数轴上点所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点对应的数是，则点落在（ ） A. 点和点之间 B. 点和点之间 C. 点和点之间 D. 点和点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴若点对应的数是，则点落在点和点之间， 故选：C． 8. 下表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间（单位：秒），则下列说法正确的是（ ） A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间 B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数 C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数 D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，根据平均数、中位数、方差的计算公式，分别计算，逐项判断即可得出答案，熟练掌握平均数、中位数、方差的运算公式是解此题的关键． 【详解】解：A、由表格可得：乙选手的最短复原时间为秒，甲选手的最短复原时间为秒，乙选手的最短复原时间大于甲选手的最短复原时间，故原说法错误，不符合题意； B、丙选手复原时间的平均数为， 丁选手复原时间的平均数为， 故丙选手复原时间的平均数小于丁选手复原时间的平均数，故原说法错误，不符合题意； C、甲选手复原时间的中位数为， 丁选手复原时间的中位数为， 故甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数，故原说法正确，符合题意； D、乙选手复原时间的平均数为， 乙选手复原时间的方差为， 丁选手复原时间的方差， 故乙选手复原时间的方差小于丁选手复原时间的方差，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 二次根式有意义，则的取值范围是 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 故答案为：． 10. 把直线向上平移2个单位得到的直线解析式为：_______. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据一次函数图象与几何变换的有关结论求解． 【详解】直线y=2x向上平移2个单位后得到的直线解析式为y=2x+2. 故答案为y=2x+2. 【点睛】此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质 11. 如图，在中，，平分，点是的中点，，则____________． 【答案】20 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质， 根据角平分线的概念得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，进而求解即可． 【详解】∵平分， ∴ ∵，平分， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴． 故答案为：20． 12. 一家鞋店在一段时间内销售了某款女鞋30双，各种尺码鞋的销售数量如下表所示．在由鞋的尺码组成的数据中，这组数据的众数是____________． 尺码 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双 1 2 5 11 6 4 1 【答案】23.5 【解析】 【分析】本题考查了众数的定义，根据众数是指数据中出现最多的一个数即可得出答案，熟练掌握众数的定义是解此题的关键． 【详解】解：观察数据可得：23.5出现的次数最多，出现了次， ∴众数为23.5， 故答案为：23.5． 13. 用一根长的铁丝围一个矩形，设的长为，的长为， 则关于的函数解析式为____________（不写自变量的取值范围）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、求函数解析式，由矩形的性质得出，，再结合矩形的周长为得出，整理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵用一根长的铁丝围一个矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，平分交于点E，的平分线刚好经过点C，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，由题意可推出，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 故答案为：. 15. 如图，在中，，分别以边为直径画半圆．记两个月牙形图案和面积之和（图中阴影部分）为，的面积为，则________（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，圆面积公式等．根据题意设，分别表示出两个阴影面积和，再表示出的面积，后比较大小即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是____________； （2）棋盘最多可摆放____________颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 ①. ②. 20 【解析】 【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理计算到点A，B，C的距离即可判断； （2）根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． 三、解答题（本题共60分，第17题6分，第18-24题每题5分，第25题6分，第26题7分，第27题6分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）利用平方差公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点为对角线上的两个点，且，求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，由平行线的性质得出，．证明得出，即可得证，熟练掌握平行线的性质以及三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵， ∴. 在与中， ， ∴． ∴． 19. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示． （1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米； （2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】（1）， （2）圆形团扇所用的包边长度更短 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用、实数的比较大小，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆和正方形的面积公式计算即可得出答案； （2）分别求出圆形团扇的周长和正方形团扇的周长，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得： 圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米； 【小问2详解】 解：∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米， ∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米 ∵，， ∴， ∴ 圆形团扇所用的包边长度更短． 20. 已知：如图1，． 求作：． 作法：①作的平分线； ②以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，作射线； ③以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接； ∴四边形为所求． （1）使用直尺和圆规，依作法在图2中补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． ∵， ∴________， ∵是的平分线， ∴， ∴________， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（___________）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线及平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题关键． （1）根据题意，补全图形即可； （2）根据角平分线的定义及平行四边形的判定定理即可得答案． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，则的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）先将代入函数得出的值，从而得出，再利用待定系数法计算即可得出的值， （2）当时，由题意得，从而得出，结合题意即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意，点在函数的图象上， ∴． ∴ 将代入，得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，由题意得：， 解得：， ∵当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴， ∴的取值范围是． 22. 一个有进水管和排水管的水池，每小时进水量和排水量分别为恒定的数值． 从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最后1小时内，水池仅排水而不再进水．该水池内的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示． 根据图象，回答下列问题 （1）该水池进水管每小时进水_______吨，排水管每小时排水________吨； （2）当时，求水池内的水量； （3）这6个小时，排水管共排水______吨． 【答案】（1）3，5； （2）7吨； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，得出进水和排水速度是解题关键． （1）根据“开始3小时内仅进行进水操作而不排水，在最后1小时内，水池仅排水而不再进水”即可求解． （2）计算即可求解. （3）计算即可求解. 【小问1详解】 解：∵开始3小时内仅进行进水操作而不排水 ∴该水池进水管每小时进水：吨， ∵在最后1小时内，水池仅排水而不再进水 ∴排水管每小时排水：吨， 故答案：3，5； 【小问2详解】 解：∵时，水池同时进行进水和排水操作 ∴当时，水池内的水量为：吨， 【小问3详解】 解：这6个小时，排水管共排水：吨， 故答案为：． 23. 如图，在中，，点D，E分别是的中点．连接并延长至点F，使得. 连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接．若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形与平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关内容是解题关键. （1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可求证； （2）过点F作交的延长线于点G．根据勾股定理分别求出即可求解． 小问1详解】 证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ 在中，，点D是的中点， ∴ ． ∴ 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：过点F作交的延长线于点G． ∴． ∵四边形是菱形，， ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴ ． ∴ ． ∵． ∴． 在中，， ∴． 24. 咖啡是世界三大饮品之一，在我国广受欢迎．云南新培育的咖啡豆经五位专家多角度评测，数据已整理，以下是部分信息： a. 咖啡豆评测统计表： b. 咖啡豆评测的平均分统计图： 评测 角度 香气 风味 余韵 酸质 体脂感 平衡性 总分 评委1 9 8 n 8 评委2 9 10 评委3 9 8 9 评委4 评委5 9 9 8 52 平均分 m 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）咖啡豆评测统计表中__________， ； （2）补全条形统计图； （3）在这6个评测角度中，五位评委测评打分差异最大的是__________． 【答案】（1）9，8； （2）见解析 （3）平衡性． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、方差的概念与条形统计图的绘制，解题的关键是熟知相关统计学概念与数形结合的操作能力．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数． （1）根据平均数的定义即可求解． （2）根据该条形统计图中，以“评测角度”为横坐标，以“平均得分”为纵坐标，补全绘制即可． （3）根据方差的定义，各自计算6个评测角度的方差，其中方差最大的就是所求的结果． 【小问1详解】 解：依据题意得：， 故答案为：9与8； 【小问2详解】 补全的条形统计图如下： 【小问3详解】 分别计算6个评测角度方差： ． ． ． ． ． ． 通过以上计算结果可知，“平衡性”的方差最大，因此五位评委测评打分差异最大的是“平衡性”． 故答案为：平衡性． 25. 如图1，正方形的边长为，对角线交于点O，点P从点A出发，沿线段运动，点P到达点B时停止运动． 若点P运动的路程为x，的面积为y，探究y与x的函数关系． （1）x与y的两组对应值如下表，则______________； x 0 … m y n … n （2）当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为． 当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为______________，此时，自变量的取值范围是_______________； （3）① 在图2中画出函数图象； ② 若直线与此函数图象只有一个公共点，则的取值范围是_________________． 【答案】（1）4 （2）， （3）①图见解析② 或 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据题意，得到到点运动到点时，与点在点时，的面积相同，进行求解即可； （2）求出时的函数值，根据点在上运动时的函数为一次函数，且过两点，待定系数法求出函数解析式，进而表示出的取值范围即可； （3）描点法画出函数图象，数形结合求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时，点与点重合，随着的增大，先减小，后增大，当点与点重合时，与点在点时，的面积相同， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， 当点在上运动时：， 设当点P在线段上运动时，y关于x的函数解析式为， 由题意，图象经过点， ∴，解得：， ∴； 故答案为：，； 【小问3详解】 ①∵， ∴当时，，当时，， ∵经过点， ∴画图如下： ②如图，当直线经过点时，则：，解得， 当直线经过点时，则：，解得， 当直线经过点时，则：， ∵直线与此函数图象只有一个公共点， ∴或． 26. 如图1，和是的对角线，．点为射线上的一点，连接． （1）当点在线段的延长线上，且时， ①依题意补全图1； ②求证：； （2）如图2，当点在线段上，且时，用等式表示线段，和的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2），证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①根据题意补全图形即可；②由等边对等角得出，由平行四边形的性质得出，推出，证明，即可得证； （2）延长至点，使得，连接，由全等三角形的性质可得，由三角形外角的定义及性质得出，从而推出，即可得证． 小问1详解】 解：① 依题意补全图形 ②证明：∵， ∴． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ∴． ∵， ∴ ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． 【小问2详解】 解：线段，和的数量关系为． 证明：延长至点，使得，连接． 由（1）②可得 ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ． 27. 甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩． 该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口． （1）园区附近有四个公交车站点，即1号、2号、3号和4号车站．甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图1所示．两人约定如下： I． 确定距离自己最近的入口； II． 如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园； III． 如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入口入园． ① 若乙在4号车站下车，则甲、乙入园的入口应为 ； ② 若甲、乙最终在B入口处入园，则乙下车的站点可以为 ； （2）丙从C入口先行入园，此时甲、乙还未入园．丙在地图上建立平面直角坐标系，如图2所示，其中入口A，B，C的坐标分别为．园区内有行驶路线为的摆渡车（乘客可以在路线上任意一点上下车）．点G坐标为．丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为M，M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a，到M的距离最近的入口记为“理想入口”． ① 如果丙希望在a最小处下车，则点M的坐标为_______________； ② 若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为m的路段，都同时存在“理想入口”分别为A，B，C的下车点，则m的最小值为_______________． 【答案】（1）① B；② 3号车站，4号车站； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）①根据题意，即可求解； ②根据甲、乙最终在B入口处入园，可考虑两种情况：第一种，甲离入口最近，并且乙下车点也在入口处，第二种，乙下车点和甲不在同一个入口附近，则乙可能在3号车站下车，俩人逆时针走到入口B入园； （2）①设交轴于点，根据题意可得点为A，B，C “理想入口”，即为点的坐标； ②作的垂直平分线，分别交于点，连接，证明，则段存在的“理想入口”，段存在的“理想入口”，段存在的“理想入口”，的最小值为，然后求得点的坐标，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：①根据题意得甲、乙入园的入口应为：B， ②由题意得：若甲、乙最终在B入口处入园，可考虑两种情况： 第一种，甲离入口最近，并且乙下车点也在入口处，则乙下车的站点为：4号车站， 第二种，乙下车点和甲不在同一个入口附近，则乙可能在3号车站下车，俩人逆时针走到入口B入园， 故答案为：① B；② 3号车站，4号车站； 【小问2详解】 解：①∵M到三个入口A，B，C的最大距离记为 a， 当轴且与交点时，此时a有最小值， 设直线解析式为， 将代入即可：，解得：， ∴， ∵轴且与相交时，此时正好为一次函数与轴的交点， ∴令，则， ∴， 故答案为：； ②如图所示， 设交轴于点，由①可得点为A，B，C “理想入口”，则一定在长度为m的路段上， 作的垂直平分线，分别交于点，连接， 则段存在的“理想入口”，段存在的“理想入口”，段存在的“理想入口”， ∵是直角三角形，， ∴ ∴ ∴ ∴的最小值为， ∵ ∴， 设直线的解析式为 将代入，则 ∴直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，待定系数法求一次函数解析式，已知自变量值求函数值，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$