专题 3-1 函数的概念及其表示【13类题型】- 2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题3-1 函数的概念及其表示 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】函数的概念 【题型2】 给出解析式求函数的定义域 【题型3】同一函数的判断 【题型4】函数图象实际应用 【题型5】已知定义域求参数 【题型6】抽象函数求定义域 【题型7】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式） 【题型8】建立方程组求解析式（方程思想） 【题型9】求嵌套函数的解析式（换元或配凑） 【题型10】分离常数法求值域 【题型11】换元法求函数的值域 【题型12】对勾函数值域问题 【题型13】分段函数的求值求参 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】函数的概念 一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x). 1． 下列关系中是函数关系的是（ ） A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系 C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系 【答案】A 【解析】根据函数关系的定义可得， 选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应， 所以等边三角形的边长和周长符合函数关系； 其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A 2． 下列图象中，表示函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的概念即可求解. 【详解】根据函数的定义知，一个有唯一的对应，由图象可看出，只有选项D的图象满足. 3． 如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）        A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义， 即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应， 对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数， 对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数， 综上可知， 是函数的个数为.故选：A. 【巩固练习1】下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B.故选：B. 【巩固练习2】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）        A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义， 即A中每一个元素在对应法则下，在中都有唯一的元素与之对应， 对于④⑤，A的每一个元素在中有个元素与之对应，∴不是A到的函数， 对于⑥，A中的元素、在中没有元素与之对应，∴不是A到的函数， 综上可知， 是函数的个数为.故选：A. 【巩固练习3】设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据集合到集合的函数定义即可求解. 【详解】①中：因为在集合中当时， 在中无元素与之对应，所以①不是； ②中：对于集合中的任意一个数， 在中都有唯一的数与之对应，所以②是； ③中：对应元素，所以③不是； ④中：当时，在中有两个元素与之对应， 所以④不是；因此只有②满足题意 【题型2】 给出解析式求函数的定义域 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4． 函数的定义域为________ 【答案】 【解析】 5． 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义， 必须满足，解得， 函数的定义域为. 【巩固练习1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数形式得到不等式组，解出即可. 【解答过程】由题意得，解得，则定义域为 【巩固练习2】函数的定义域为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意得解得x<1且x≠. 【题型3】同一函数的判断 两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同. 6． （2024·重庆·二模）下列函数中，与是相同的函数是 A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出各选项函数的定义域，并对解析式进行化简，要求所选函数的定义域和解析式都与函数的定义域和解析式一致，可得出正确的选项. 【解答过程】对于A选项，函数定义域为，其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数； 对于B选项，函数的定义域为，其解析式与函数的解析式一致，两个函数是同一函数； 对于C选项，函数的定义域为，和函数的定义域不一致，两个函数不是同一函数； 对于D选项，的定义域为，但其解析式与函数的解析式不一致，两个函数不是同一函数. 【巩固练习1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.故选:A. 【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，不是同一函数； 对于B中，函数和的定义域不同，不是同一函数； 对于C中，函数与的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，两函数的定义域不同，不是同一函数. 【题型4】函数图象实际应用 函数图象的应用很广泛,利用函数图象可研究函数的性质、解决方程和不等式的求解问题、求参数范围等,同时也体现了数形结合的思想．有时利用函数图象能够更便捷地解决问题． 7． 如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当小明在弧上运动时，与点的距离相等，所以AB选项错误. 当小明在半径上运动时，与点的距离减小， 当小明在半径上运动时，与点的距离增大，所以C选项错误，D选项正确. 【巩固练习1】下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（    ） （1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．   B．   C．     D．   【答案】D 【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像， 只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间， 此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A； （2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了， 于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C； （3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进， 此时图像为递增图像，对应图像B；故选：D 【巩固练习2】某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大， 从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变， 是常数，该常数为2，只有D满足，故选：D． 【巩固练习3】俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（   ）    A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙 C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲 【答案】C 【解析】图-1所示呈正比例关系，与情境甲相对应； 图-2所示呈上升趋势，反应出单调递增的性质，但增加的速率在减小，与情境丙相对应； 图-3所示开始呈上升趋势，反应出单调递增性质，但后来出现下降趋势， 与情境乙所描述的“过犹不及”相对应． 【题型5】已知定义域求参数 函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义域求参数. 一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较容易. 8． （2024·高一·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意可知：在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 9． 知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】函数的定义域为， 得恒成立， 当时，恒成立； 当时，，得， 综上，实数的取值范围是. 【巩固练习1】若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】若函数的定义域为，则的解集为 当时，不等式变为，得不符合题意； 当时，要使得解集为，则，解得 综上可得实数的取值范围是. 【巩固练习2】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 【答案】 【解析】由题可得，对恒成立， 当时，不满足题意； 当时，要使对恒成立， 则有，解得， 所以实数k的取值范围是. 【巩固练习3】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分、、三种情况，结合二次函数的性质即可求解. 【解答过程】当时，，则，得，即定义域为，不符合题意； 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，由题意得关于x的不等式恒成立， 故，解得或. 综上，实数a的取值范围是. 【题型6】抽象函数求定义域 求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）. 10． 函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【解析】由题意可得，解得. 所以函数的定义域为. 11． 函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为区间，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 【巩固练习1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：，解得：， 由，解得：，故函数的定义域是，故选：B． 【巩固练习2】若函数的定义域为，，则的定义域为 . 【答案】 【解析】因为的定义域为， 由题意可得：，解得：，即的定义域为. 【巩固练习3】若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是 A．[ 0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2] 【解题思路】根据分式与的定义域求解即可 【解答过程】要使函数有意义，依题意需有 解得，． 【题型7】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式） 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. 12． 若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.求f(x)的解析式 【答案】；（2）m＜0 【解答】解：，由f(0)＝1得c＝2，故． 因为f(x＋1)－f(x)＝2x，所以 即2ax＋a＋b＝2x，所以 ，∴ ， 所以 【巩固练习1】已知二次函数满足，且.求的解析式 【答案】 【思路点拨】设，利用建立恒等式求解即可； 【详解】设二次函数（）， 因为，所以. 由，得， 得， 所以，得，故. 【巩固练习2】已知函数，则 ． 【解题思路】代入函数解析式计算即可. 【解答过程】解：因为，所以， . 故答案为：. 【巩固练习3】（2024·广东东莞·二模）已知函数，，则 ． 【解题思路】利用直接代入法结合对应系数相等可得的值，将代入可得结果. 【解答过程】由题意，得， 即，解得，，因此 【题型8】建立方程组求解析式（方程思想） 已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 13． （广东深圳实验校考）已知函数满足，且，则 . 【答案】 【思路点拨】用替换,再解方程组可得答案. 【详解】由①， 用替换，得②， 1 ×2－②，得，得. 14． 定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【解析】对任意的有， 由，① 得，② 联立①②解得，． 【巩固练习1】（广东广雅中学校考）已知，则 . 【答案】 【思路点拨】令，得到，进而求得函数的解析式. 【详解】令，则且，所以， 所以函数的解析式为 【巩固练习2】若对任意实数，均有，求. 【答案】. 【解析】利用方程组法求解即可； ∵（1） ∴（2） 由得， ∴. 故答案为： . 【巩固练习3】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式 . 【答案】 【思路点拨】根据已知把换成，建立方程组求解. 【详解】因为，把换成有：， 联立，解得. 【题型9】求嵌套函数的解析式（换元或配凑） 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. 15． 函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对的式子适当变形，即可直接求出. 【解答过程】因为， 所以，则 16． 若函数，且，则等于（ ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【解析】令，则，，即故选：D. 17． 求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； 【解析】（1）因为， 所以． （2）解法一（换元法）：令，，则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． 【巩固练习1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用换元法令，运算求解即可. 【解答过程】令，则，且，则， 可得， 所以. 【巩固练习2】已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过化简即可得出函数的解析式. 【解答过程】因为，∴， 【巩固练习3】设函数，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则可得 所以，所以，故选：B 【题型10】分离常数法求值域 一次分式函数：分离常数法+图像法，形如的函数 第一步：分离常数，将分子变为常数 分离出常数和分子为常数的分式 第二步：结合反比例函数的值域求函数的值域． 18． 函数的值域为________ 【答案】 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 【巩固练习1】（广西南宁三中校考）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】将函数变现为，结合反比例函数的性质计算可得. 【详解】因为，又因为，所以， 所以，所以，所以函数，的值域为． 【巩固练习2】函数的值域为________ 【答案】 【详解】因为，又因为，所以， 所以函数的值域为． 【题型11】换元法求函数的值域 求根式型函数值域：换元法 形如的函数 第一步：把函数中的根式设为一个变量t，并用t表示x，求出t的取值范围． 第二步：将所求关于x的函数变换为关于t的函数． 第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域． 19． 函数的值域是 ． 【答案】 【思路点拨】通过变量代换将函数转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，函数的定义域为， 令，则，，函数转化为，， ∵，对称轴为，最大值为， ∴当时，，即值域为， ∴函数的值域是. 【巩固练习1】（湖南长沙·高一长郡中学校考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设，则，且， 则函数可化为， 所以函数的值域为 【巩固练习2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】根据换元法以及二次函数的性质求解结果. 【详解】令，则． 设函数，当时，取最大值9． 因为，所以． 函数的值域为. 【巩固练习3】（2024·湖北·三模）函数的值域为（    ）. A． B． C． D． 【解题思路】由，解得．可得函数的定义域为：．．利用导数研究函数的单调性即可得出值域． 【解答过程】解：因为 由，解得． 可得函数的定义域为：． 又． 令，则，即在上单调递增， 令，解得， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以为极小值点， 又，，． 函数的值域为． 【题型12】对勾函数值域问题 对于对勾函数，是修订的必修一教材新增的内容，在P92页以探究的形式出现（看课本上好像也没有叫对勾函数），可以通过图像法或构造基本不等式来求值域 20． 求函数的值域． 【答案】 【分析】考虑到和函数的两个和式的积为常数，故可利用基本不等式求其最值，从而得到函数的值域，注意讨论x的正负． 【详解】解：当当且仅当x=1取等号， 当当且仅当x=1取等号 故函数的值域为(-∞，-2]U[2，+∞) 21． 求函数的值域． （1） （2） 【答案】； 【巩固练习1】求函数的值域． 【答案】 【巩固练习2】求函数的值域． （1） （2） 【答案】； 【题型13】分段函数的求值求参 1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当的值时，要先判断属于定义域中的“哪段然后再代入相应的解析式求解. 2、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于"哪段"进行分类讨论，然后再代入相应的解析式，列出方程求解，当出现的形式时，应从内往外依次求值． 22． 已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【解析】因为，所以， ， 所以.故选：A 【巩固练习1】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则.故选：B. 【巩固练习2】已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】结合题意可得： ， ，解得：.故选：B. 【巩固练习3】（2024·高一·山东济南·期中）已知函数，则 ；若，则的取值范围是 ． 【答案】 4 【解析】因为，所以； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以不等式的解集为 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． （23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据函数的定义，在集合中任意一个数在中有且只有一个与之对应， 选项A中集合中2对应的数有两个，故错误； 选项B中集合中3没有对应的数，故错误； 选项C中对应法则为从到的函数，箭头应从指向，故错误； 选项D中集合中任意一个数在集合中都有唯一数与之对应，故D正确，故选：D 2． （多选）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A. ，定义域都为R，故表示同一函数； B. ，故不是同一函数； C. ，解析式相同，定义域都为R，故表示同一函数； D. ，的定义域为R， 的定义域为 ，故不是同一函数，故选：AC 3． （23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D 【解析】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D. 4． 函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为，由，有， 即函数的定义域为， 令，解得，函数的定义域为.故选：C 5． 已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由题意知当，，则， 所以. 6． 已知:函数，，则 . 【答案】 【解析】函数，，则. 故答案为： 7． 若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】的定义域是R，则恒成立， 时，恒成立， 时，则，解得， 综上，． 故答案为：． 8． 已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求得函数的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项. 【解答过程】因为，所以解得，所以函数的定义域为， 所以函数需满足且，解得且 9． （1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求函数的解析式； 【解析】（1）设，则，，即， 所以， 所以. （2）因为是二次函数，所以设. 由，得. 由，得， 整理得， 所以，所以，所以. （3）因为，① 所以，② ②①，得，所以. 10． 求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 【解析】（1）设，由于函数定义域为[1，2]， 故，即，解得， 所以函数的定义域为[0，]； （2）设，因为， 所以，即，函数的定义域为[3，5]， 由此得函数的定义域为[3，5]； （3）因为函数的定义域为[1，2]，即， 所以，所以函数的定义域为[3，5]， 由，得， 所以函数的定义域为[2，3]. 11． 求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 【解析】（1）∵，∴, ∴的值域为. （2），显然,所以, 故函数的值域为. （3）由,知. 则, 当且仅当,即时,上式取“”． ∴（）的最小值为8. 故函数（）的值域为. （4）设,则,且, 所以， 由,结合函数的图象得原函数的值域为. 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题3-1 函数的概念及其表示 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】函数的概念 【题型2】 给出解析式求函数的定义域 【题型3】同一函数的判断 【题型4】函数图象实际应用 【题型5】已知定义域求参数 【题型6】抽象函数求定义域 【题型7】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法） 【题型8】建立方程组求解析式 【题型9】求嵌套函数的解析式（换元或配凑） 【题型10】分离常数法求值域 【题型11】换元法求函数的值域 【题型12】对勾函数值域问题 【题型13】分段函数的求值求参 【课后作业】 模块二 【核心题型突破】·举一反三 【题型1】函数的概念 一般地，设A、B 是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x). 1． 下列关系中是函数关系的是（ ） A．等边三角形的边长和周长关系 B．电脑的销售额和利润的关系 C．玉米的产量和施肥量的关系 D．日光灯的产量和单位生产成本关系 2． 下列图象中，表示函数关系的是（    ） A． B． C． D． 3． 如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）        A． B． C． D． 【巩固练习1】下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）        A． B． C． D． 【巩固练习3】设集合，.下列四个图象中能表示从集合到集合的函数关系的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【题型2】 给出解析式求函数的定义域 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4． 函数的定义域为________ 5． 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数的定义域为(　　) A. B. C. D. 【题型3】同一函数的判断 两个函数相同需要满足的条件是：1.定义域相同；2.解析式相同. 6． （2024·重庆·二模）下列函数中，与是相同的函数是 A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】函数图象实际应用 函数图象的应用很广泛,利用函数图象可研究函数的性质、解决方程和不等式的求解问题、求参数范围等,同时也体现了数形结合的思想．有时利用函数图象能够更便捷地解决问题． 7． 如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（    ） A．B．C．D． 【巩固练习1】下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（    ） （1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进. A．  B．  C．    D．   【巩固练习2】某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A．B．C．D． 【巩固练习3】俗话说，“一分耕耘，一分收获”．那么，在实际生活中，如果把收获看成付出的函数，它们之间的关系可以怎样描述呢？情境甲：当以匀速的方式驾驶汽车时，行驶的里程与所用的时间之间的关系；情境乙：家长过分宠爱孩子，有时还有可能付出增加会导致收获减少；情境丙：在我们学习新的知识时，可能一开始效率会比较高，单位时间的付出得到的收获会比较大，但随着付出的时间越来越多，单位时间的付出得到的收获会变少．请问依次与下面三个图象所表示的收获与付出的关系相对应的情境正确的一项是（   ）    A．甲、乙、丙 B．丙、甲、乙 C．甲、丙、乙 D．乙、丙、甲 【题型5】已知定义域求参数 函数定义域是研究函数的起点，常涉及到两大问题：一是求函数定义域，二是已知函数的定义域求参数. 一个带参数的函数，已知函数值域求参数的问题，这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值，本质上是已知不等式的解集求参数值，解题时从不等式的角度入手比较容易. 8． （2024·高一·天津西青·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 9． 知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【巩固练习1】若函数的定义域为，则实数的取值范围是 【巩固练习2】（2024·高一·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，求实数k的取值范围 ． 【巩固练习3】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6】抽象函数求定义域 求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 总结：抽象函数的定义域的方法是：整体代换法（括号内取值范围相同）. 10． 函数的定义域是，则函数的定义域是 . 11． 函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【巩固练习1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为( ) A． B． C． D． 【巩固练习2】若函数的定义域为，，则的定义域为 . 【巩固练习3】若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是 A．[ 0，2] B．(0，2) C．[0，2) D．(0，2] 【题型7】已知函数类型求函数的解析式（待定系数法求解析式） 待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解. 12． 若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x,且f(0)＝2.求f(x)的解析式 【巩固练习1】已知二次函数满足，且.求的解析式 【巩固练习2】已知函数，则 ． 【巩固练习3】（2024·广东东莞·二模）已知函数，，则 ． 【题型8】建立方程组求解析式（方程思想） 已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 13． （广东深圳实验校考）已知函数满足，且，则 . 14． 定义在区间上的函数满足，求的解析式． 【巩固练习1】（广东广雅中学校考）已知，则 . 【巩固练习2】若对任意实数，均有，求. 【巩固练习3】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式 . 【题型9】求嵌套函数的解析式（换元或配凑） 换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. 15． 函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 16． 若函数，且，则等于（ ） A． B． C．3 D． 17． 求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知，求； 【巩固练习1】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数满足：，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】设函数，则的表达式为（ ） A． B． C． D． 【题型10】分离常数法求值域 一次分式函数：分离常数法+图像法，形如的函数 第一步：分离常数，将分子变为常数 分离出常数和分子为常数的分式 第二步：结合反比例函数的值域求函数的值域． 18． 函数的值域为________ 【巩固练习1】（广西南宁三中校考）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数的值域为________ 【题型11】换元法求函数的值域 求根式型函数值域：换元法 形如的函数 第一步：把函数中的根式设为一个变量t，并用t表示x，求出t的取值范围． 第二步：将所求关于x的函数变换为关于t的函数． 第三步：求出y的取值范围，即所求函数的值域． 19． 函数的值域是 ． 【巩固练习1】（湖南长沙·高一长郡中学校考）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2024·湖北·三模）函数的值域为（    ）. A． B． C． D． 【题型12】对勾函数值域问题 对于对勾函数，是修订的必修一教材新增的内容，在P92页以探究的形式出现（看课本上好像也没有叫对勾函数），可以通过图像法或构造基本不等式来求值域 20． 求函数的值域． 21． 求函数的值域． （1） （2） 【巩固练习1】求函数的值域． 【巩固练习2】求函数的值域． （1） （2） 【题型13】分段函数的求值求参 1、分段求解时解决分段函数问题的基本原则；当的值时，要先判断属于定义域中的“哪段然后再代入相应的解析式求解. 2、已知分段函数，求参数值，往往要对含参数的自变量属于"哪段"进行分类讨论，然后再代入相应的解析式，列出方程求解，当出现的形式时，应从内往外依次求值． 22． 已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【巩固练习1】（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数．若．则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【巩固练习3】（2024·高一·山东济南·期中）已知函数，则 ；若，则的取值范围是 ． 模块三 【课后作业】 1． （23-24高一上·山东青岛·期中）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.已知集合，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A． B． C． D． 2． （多选）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 3． （23-24高一下·广东汕头·期中）函数的定义域为（    ） A．{且} B．{且} C． D．{且} 4． 函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5． 已知函数，则 ． 6． 已知:函数，，则 . 7． 若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是__________． 8． 已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9． （1）已知，求函数的解析式； （2）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式； （3）已知，求函数的解析式； 10． 求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域； (3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域. 11． 求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)（）； (4). 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$