专题01 绝对值中的六类最值模型-2024-2025学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版2024）

专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·河南郑州·七年级统考阶段练习）【探究问题】点A、B在数轴上分别表示有理数，，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离或；利用数形结合思想解决探究问题： 【方法感悟】如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是，，则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是，，则或； 【知识迁移】(1)点A，B表示的数分别是，b，且，则_____； (2)如图，若点A，B表示的数分别是，，令，若把线段向左平移个单位，则点A与重合；若把线段向右平移n个单位，则点B与重合，那么_____，_____； (3)利用数轴求出的最小值为__________，此时x可取哪些整数值_______ 【答案】(1)或0.5 (2)；20 (3)7；，，，0，1，2，3，4 【分析】（1）根据两点间的距离公式，列出绝对值方程进行计算即可； （2）根据把线段向左平移个单位，则点A与重合；若把线段向右平移n个单位，则点B与重合，得出，求出n的值，即可得出答案；（3）根据数轴上两点之间的距离，得出表示x在数轴上表示的数到的距离，表示x在数轴上表示的数到4的距离，得出当时，最小，求出最小值即可，找出与4之间的整数即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，b，且， ∴，∴或， 解得：或．故答案为：或0.5． （2）解：∵，∴，解得：， ∴，，故答案为：；20． （3）解：∵表示x在数轴上表示的数到的距离，表示x在数轴上表示的数到4的距离， ∴当x表示的数在数轴上位于与4之间，即时，最小，且最小值为； 此时x可取的整数值有，，，0，1，2，3，4， 故答案为：7；，，，0，1，2，3，4． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意，准确计算． 变式1．（2023·河南南阳·七年级统考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求______．(2)与两数在数轴上所对的两点之间的距离为______．(3)若成立，则______．(4)请你写出的最小值为______，并确定相应的的取值范围是______． 【答案】(1)7(2)(3)5或1(4)1， 【分析】（1）直接计算即可；（2）根据题意数轴上表示两个数的两点间的距离计算即可； （3）数轴上表示两个数的两点间的距离为2，结合数轴即可求得x的值； （4）分、及三种情况，利用数轴上表示两个数的两点间的距离考虑即可． 【详解】（1）解：；故答案为：7； （2）解：与两数在数轴上所对的两点之间的距离为；故答案为：； （3）解：表示数x与3的距离为2，当数x在3的右边时，这个数为5；当数x在3的左边时，这个数为1，即或；故答案为：5或1； （4）表示数x表示的点与数1、数2表示的点的距离之和，而数1表示的点与数2表示的点两点间的距离为； 当时，数x表示的点在数1、数2表示的两点之间，则； 当时，数x表示的点在数1表示的点的左边，则； 当时，数x表示的点在数2表示的点的右边，则； 所以的最小值为1，的取值范围是；故答案为：1，． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，理解数轴上两点间的距离是解题的关键．要注意分类讨论． 变式2．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）同学们都知道，表示5与-3之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求=_______；(2)写出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有说明理由． 【答案】(1)8(2)、、、0、1、2、3、4、5(3)最小值是5 【分析】本题考查数轴、绝对值，（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得； （2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得； （3）由（2）的方法去绝对值，即可得； 解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 【详解】（1）解：，故答案为：8； （2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 当时，， 此时，使得的整数是、、、0、1、2、3、4、5； 当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 故答案为：、、、0、1、2、3、4、5； （3）解：有最小值，最小值是5， 由（2）的探索可得，当时，， 故有最小值，最小值是5． 变式3．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6 【分析】（1）把原式转化看作是数轴上表示x的点与表示3与-2的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （2）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； （3）根据原式的最小值为2，得到表示4的点的左边和右边，且到4距离为2的点即可． 【详解】（1）解：，表示到与到的距离之和， 当点在线段上，， 当点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是5； （2）解：如图所示，满足，表示到和1距离之和大于4的范围， 当点在和1之间时，距离之和为4，不满足题意； 当点在的左边或1的右边时，距离之和大于4，则范围为或； （3）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数4的点的距离为，数轴上表示数6的点到表示数4的点的距离也为， 因此当为或时，原式的最小值是． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（2023·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 【答案】     3     -9 【分析】法1：当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．法2：可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差，据此即可解答． 【详解】解：法1：当时，x-1＜0，x+2＜0，∴， 当时，， 当x＞1时， ∵当时，，∴代数式的最大值为3，最小值为-3， ∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 法2：解：∵式子|x﹣1|﹣|x+2|可看作是数轴上表示x的点到-2、1两点的距离之差， ∴当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|有最大值3；当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|有最小值-3； ∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式． 变式1．（2023·山东·七年级校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二：如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______． 解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示） 实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______； （2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______． 拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是_____；（2）的最大值是______． 【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9 【分析】探究一：根据绝对值的概念可得； 探究二（2）根据绝对值的概念计算即可；（3）根据绝对值的概念计算即可； 解决问题：根据绝对值的概念计算即可； 实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念列方程解答即可； 拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可；（2）根据绝对值的概念计算即可． 【详解】探究一：当b＝n时，，故答案为：n； 探究二：（2），故答案为：； （3），故答案为：； 解决问题：，故答案为：； 实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是，故答案为：5； （2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5， ∴，∴或，得或，故答案为：7或； 拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4， ∴的最小值是4，故答案为：4； （2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9， ∴的最大值是9，故答案为：9． 【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法． 变式2．（2023·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20 【分析】（1）根据题意即可列式解答； （2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案； （3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可． 【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为， 数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ； （2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离， ①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2； ②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2； ③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值为2 （3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4， 的最大值是6，的最大值是8， ∴的最大值是2+4+6+8=20 【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（2023·浙江杭州·七年级期中）点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题： （1）计算____________，它表示哪两个点之间的距离？________________________． （2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=____________；当PB=2时，x=____________；当x=____________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小． （3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________________________． 【答案】（1）5；A与C;（2）|x+2|；-4或0；1;（3）1019090 【分析】（1）由所给信息，结合绝对值的性质可求； （2）由绝对值的性质，分段去掉绝对值符号，在不同的x范围内确定|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|的最小值； （3）由所给式子的对称性，结合绝对值的性质，将所求绝对值式子转化为求0＋2＋4＋…＋2018的和． 【详解】（1）|1−（−4）|＝|1＋4|＝|5|＝5，|1−（−4）|表示点A与C之间的距离， 故答案为5，点A与C； （2）∵点P为数轴上一点，它所表示的数为x，点B表示的数为−2， ∴PB＝|x−（−2）|＝|x＋2|， 当PB＝2时，|x＋2|＝2，得x＝0或x＝−4， 当x≤−4时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝−x−4＋1−x＋3−x＝−x≥4； 当−4＜x＜1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋1−x＋3−x＝8−x， 当1≤x≤3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋3−x＝6＋x， 当x＞3时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|＝x＋4＋x−1＋x−3＝3x＞9， ∴当x＝1时，|x＋4|＋|x−1|＋|x−3|有最小值； 故答案为|x＋2|；−4或0；1 （3）|x−1|＋|x−2019|≥|1−2019|＝2018， 当且仅当1≤x≤2019时，|x−1|＋|x−2019|＝2018， 当且仅当2≤x≤2018时，|x−2|＋|x−2018|≥|2−2018|＝2016， … 同理，当且仅当1009≤x≤1011时，|x−1009|＋|x−1011|≥|1009−1011|＝2， |x−1010|≥0，当x＝1010时，|x−1010|＝0， ∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|≥0＋2＋4＋…＋2018＝1019090， ∴|x−1|＋|x−2|＋|x−3|＋…＋|x−2018|＋|x−2019|的最小值为1019090； 故答案为1019090． 【点睛】本题考查列代数式、绝对值的意义；能够明确题意，列出相应的代数式，根据绝对值的意义，合理的去掉绝对值符号是解题的关键． 变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为　 　，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为　 　． （2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　； （3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； （4）当a＝　 　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． 【答案】（1）2，5，|x−5|，|y＋1|；（2）1或−5；（3）6（4）1，9 【分析】（1）观察数轴可得答案；（2）如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么那么|a−（−2）|＝3，化简绝对值即可得答案；（3）|a＋4|＋|a−2|表示数a与−4的距离与a和2的距离之和，若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则|a＋4|＋|a−2|的值等于2和−4之间的距离； （4）|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|表示一点到−5，1，4三点的距离的和，据此找到中间点可解． 【详解】解：（1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是3−1＝2；数轴上表示−3和2两点之间的距离是2−（−3）＝5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m−n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为|x−5|，表示数y与−1两点之间的距离可以表示为|y＋1|． 故答案为：2，5，|x−5|，|y＋1|； （2）如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么|a−（−2）|＝3 ∴|a＋2|＝3∴a＋2＝3或a＋2＝−3解得a＝1或a＝−5；故答案为：1或−5； （3）∵|a＋4|＋|a−2|表示数a与−4的距离与a和2的距离之和， 若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，则|a＋4|＋|a−2|的值等于2和−4之间的距离，等于6． （4）|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|表示一点到−5，1，4三点的距离的和， ∴当a＝1时，该式的值最小，最小值为6＋0＋3＝9． ∴当a＝1时，|a＋5|＋|a−1|＋|a−4|的值最小，最小值是9．故答案为：1，9． 【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键． 变式2．（2023·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料： 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或； 若点A，B表示的数分别是，4则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或． 【知识迁移】(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________； (2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________； 【拓展应用】(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路. (4)结合几何意义，求最小值. 【答案】(1)或 (2)−10；30 (3)村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁 (4)的最小值为6 【分析】（1）根据题意可得，求出b的值即可； （2）由题意可得，再分别求出，即可； （3）设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，得出，然后分别求出结果即可； （4）由绝对值的几何意义可得，当时，的值最小． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，b， ∴，解得或，故答案为：或； （2）解：∵把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，∴把向右平移个单位得到，把向右平移个单位得到，向右平移个单位得到70，∴，∴，，故答案为：−10，30； （3）解：设美羊羊现在x岁为数轴上的一个点，现在爷爷年龄y岁为数轴上的一个点，40年前在数轴上表示的数为，村长爷爷116岁时，在数轴行的点表示的数为116，村长爷爷与美羊羊的年龄差为m，根据题意得：，，， ∴，∴，， 答：村长爷爷现在64岁，美羊羊现在12岁． （4）解：∵表示数轴上表示x的点与表示数1、2、3、4、5的距离和， ∴当时，的值最小， ∴， ∴的最小值为6． 【点睛】本题主要考查实数与数轴，数轴上点的特征，两点间的距离求法，绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 变式3．（2023·福建七年级期中）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．（2）若，则的值是 ． （3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值； （4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由； （5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？ 【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）当时，最小值为；（5）当时，最小值为 【分析】（1）根据题目中的方法确定出的长即可；（2）原式利用绝对值的代数意义化简即可求出的值； （3）根据数轴上两点间的距离的求法，化简即可；（4）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案；（5）根据线段中点到各点的距离的和最小，可得答案． 【详解】解：（1），则； （2）∵，∴，故或，故答案为：或； （3）∵数轴上表示数的点位于－4和2之间，∴； （4）∵，代表点到和到之间的距离之和， 当时，取得最小值，最小值为； （5）当时，有最小值， 最小值为====20． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴两点间的距离，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小． 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1” ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（23-24七年级上·福建福州·期中）的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求绝对值运算中的最小值问题，要根据算式先对的取值范围进行划分，再根据去绝对值符号法则进行化简，解题的关键是熟练掌握去绝对值符号法则． 【详解】法1：当时，，； 当时，，； 当时，； ∴的最小值是，故答案为：． 法2：=｜x+1｜+， 根据“奇中点，偶中段”即x=-1时，有最小值，带入x=-1，最小值为3。 变式1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值为 【分析】（1）根据数轴上点的特点，直接求解即可；（2）由折叠可知，折痕点对应的数是2，再由对称性可知点A与数字9重合；（3）①当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小；②当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7，再求出符合条件的整数即可求解；③找到2， 2， 3， 3， 4， 4， 4，4， 4的中间数即为所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是，当x＝时，式子有最小值． 【详解】（1）解：由图可得，点B表示的数是﹣2，点C表示的数是6，故答案为：﹣2，6； （2）解：∵折叠后点B和点C重合，∴BC的中点为折痕点， ∴折痕点对应的数是2，∴点A与数字9重合，故答案为：9； （3）解：①|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的点到表示3的点和6的点的距离之和， ∴当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值为3，故答案为：3； ②|x﹣4|+|x+3|表示数轴上表示x的点到表示﹣3的点和4的点的距离之和， ∴当﹣3≤x≤4时，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值为7， ∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整数值为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4， ∴，∴满足条件的所有整数x的和是4，故答案为：4； ③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距离，2倍的x到3的距离，5倍的x到4的距离之和， ∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中间数是4， ∴当x＝4时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案为：4； ④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|， 表示4倍的x到的距离，3倍x到的距离，x到的距离，2倍x到的距离，3倍x到3的距离之和， ∴4个，3个，1个，2个，3个3的中间数是， ∴当x＝时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时x的取值的一般规律是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离； ②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题：(1)若，则　 　．(2)当代数式取最小值时，x的取值范围是 　 　．(3)代数式有最大值，这个值是 　 　． 【答案】(1)3或(2)(3)2 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可；（2）若代数式取最小值时，表示在数轴上找一点到和2的距离之和最小，据此可解；（3）法1：先将原式转化为|x﹣1|﹣|x+1|﹣|x+1|，当|x﹣1|﹣|x+1|取最大值，同时|x+1|取最小值时，取最大值。法2：分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）解：由绝对值的几何意义知：表示在数轴上表示的点到1的距离等于2， ，，或； （2）解：若代数式取最小值时， 表示在数轴上找一点，到和2的距离之和最小，显然这个点在和2之间， 当时，有最小值3． （3）法1：∵|=|x﹣1|﹣|x+1|﹣|x+1|， ∴若要取最大值，即|x﹣1|﹣|x+1|取最大值，同时|x+1|取最小值。 根据绝对值的几何意义得到|x﹣1|﹣|x+1|最大值为2，且此时x≤﹣1。 而当x≤﹣1时，|x+1|取最小值为0。则的最大值为2．故答案为：2． 法2：当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式，则的最大值为2． 【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 【答案】 1 3 【分析】 的最小值，意思是 到 1的 距离最小，那么 应在1处； 【详解】解：由数形结合得，若 取最小值那么表示 的点在1处， 所以 时，取最小值为3；故答案为，最小值为3； 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 【答案】 2022 2021 【分析】要求的最大值，则需要求出的最小值，根据绝对值的非负性即可进行解答． 【详解】解：要求的最大值，则需要求出的最小值， ∵，∴=0，解得x=2021， ∴最大值为2022．故答案为：2022，2021． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握“正实数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据绝对值，偶次方的非负性进行判断即可. 【详解】∵，∴≥2，即的最小值是2，(1)正确； ∵， ，∴当即a=0时，，故最小值不是0； 当时，则ab=4，即，即，故最小值不是0；故（2）不正确； 的最小值为5，故（3）错误；的最大值是2，故（4）正确；．故选：B. 【点睛】此题考查绝对值的性质，偶次方的性质，最大值及最小值的确定是难点. 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 【答案】(1)1或3(2)；最小(3)处最好 (4)当n为奇数时，处最好；当n为偶数时，在、之间（包含，）处最好 【分析】（1）根据绝对值的意义可得，进一步即可求出答案； （2）根据题意可得当表示x的点在A、B之间即时，有最小值3； （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小，然后分情况讨论求解即可； （4）由4个、5个汽车站，然后拓展到n个汽车站，仿照（3）的分析得出结论即可． 【详解】（1）由可得：或，解得：或1；故答案为：1或3； （2）可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足时，有最小值3．故答案为：，最小；    （3）由（2）的分析可得：当加油站M建在之间时，可取得最小， 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在之间时，三个汽车站到加油站M的路程总和为； 当加油站M建在时，三个汽车站到加油站M的路程总和； 综上，当加油站M建在处最好，即可使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小；    （4）如果有，，，共4个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在之间（包含两个端点）时，可使得4个汽车站到加油站M的路程总和最小；    如果有，，，，共5个汽车站，如图，则由（3）的分析可知：当加油站M建在时，可使得5个汽车站到加油站M的路程总和最小；    ……； 综上：当n为奇数时，加油站M建在处最好；当n为偶数时，加油站M建在在、之间（包含，）处最好． 【点睛】本题以数轴为载体，主要考查了数轴上两点间的距离和绝对值的几何意义，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 变式1．（2023·陕西西安·七年级校考阶段练习）学习过绝对值之后，我们知道表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题： (1)可以理解为_______与_______两数在数轴上所对应的两点之间的距离；(2)已知，求x的值； (3)利用数轴探究：①满足的所有整数x的值为_________； ②当x满足_________时，的值最小最小值是_________； (4)已知在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距离高速公路起点的距离分别是、、．现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P，请直接指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是多少？ 【答案】(1)，(2)或(3)①或；②， (4)物流集散中心P应该建设在处，最小距离是 【分析】（1）根据题意可知表示与的差的绝对值，即可求解；（2）根据题意找出与相距三个单位的点即可；（3）①根据题意可知题目是求与的距离加上与的距离之和等于，求解即可；②根据题意可知：代表与的距离加上与的距离之和最小，则应在和之间；（4）以高速公路起点为数轴原点建立数轴，点应在之间，此时，所以，当时，最小． （1）解：可以理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；故答案为：，； （2）解：∵，即与的距离为， 则或，∴或； （3）解：①根据题意可知题目是求与的距离加上与的距离之和等于， 若位于和之间，则， ∵原式，∴只能位于点的左侧或的右侧， 当时：原式整理为：，解得：； 当时，原式整理为：，解得：； 综上：满足的所有整数x的值为：或； ②根据题意可知：代表与的距离加上与的距离之和， 要使其最小则应在和之间，即时，的值最小最小值是； 故答案为：①或；②，； （4）解：以高速公路起点为数轴原点建立数轴，如图： 则，显然，当点位于点左侧或者点右侧时，， 当点位于、之间时，，∴当，即与点重合时，最小， 故物流集散中心P应该建设在处，可使P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值，借助数轴可以使有关绝对值的问题转换为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上距离问题也可转换为绝对值问题，这种相互转换在解决问题时可以带来方便，也考查了数轴上两点之间的距离． 变式2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 【答案】(1)回收站到号楼的距离 (2)的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间 (3)的最小值是，回收站的位置建在号楼处 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的实际应用； （1）根据数轴上两点之间的距离，即可求解； （2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； （3）距离总和为分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，分别去绝对值，进行计算，即可求解； 理解绝对值的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得表示回收站到号楼的距离； 故答案：回收站到号楼的距离． （2）①当时，，当时，； ②当时，，当时，； ③当时，，； ④当时，，此时无最小值； ⑤当时，，此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼和号楼之间. （3）解：由题意得 解：①当时，， 当时，； ②当时，， 当时，； ③当时，， 当时，； ④当时，，此时无最小值； ⑤当时，，此时无最小值； 综上所述：的最小值是，回收站的位置建在号楼处． 1．（2023·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 【答案】 6 【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可； 【详解】当时，，∵，∴； 当时，； 当时，，∵，∴； 综上所述：的最小值为6，此时取值范围为． 故答案是：6；． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键． 2．（23-24七年级上·四川内江·期中）的最小值为 ． 【答案】2022 【分析】根据绝对值的意义判断即可． 【详解】解：∵表示数轴上一个动点到、、三个点的距离之和， ∴当时最小，此时最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，熟悉几个绝对值求和的规律及绝对值的几何意义是解题的关键． 3．（2023·江苏·七年级期末）若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是______． 【答案】511060 【分析】根据绝对值的几何意义即可得出答案． 【详解】解：|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值，就是求数轴上某点到2、4、6、…、2022的距离和的最小值；根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2022之间时，到2和2022距离和最小；当点在4与2020之间时，到4和2020距离和最小；…， ∴当x＝1012时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2022|的值最小， 最小值是：2|x﹣2|+2|x﹣4|+2|x﹣6|+…+2|x﹣1012| ＝2020+2016+2012+…+0＝（2020+0）×506÷2＝2020×506÷2＝511060．故答案为：511060． 【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x﹣a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离． 4．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）数学探究 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和7两点之间的距离是_______； (2)数轴上有理数x与有理数﹣7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为_______； (3)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|≥4，则有理数x的取值范围是_______； (4)若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x﹣1|有最_______值为________，此时x=_______． 【答案】(1)5(2)|x+7|(3)全体实数；(4)小，5，1． 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可；（2）根据已知给出的求两点间距离的公式表示即可； （3）根据已知的不等式进行分析，从而不难求得有理数x的取值范围； （4）根据已知的不等式进行分析，从而不难求得x的取值范围． 【详解】（1）解：数轴上表示2和7两点之间的距离＝7−2＝5；故答案为：5 （2）解：数轴上表示x和-7的两点之间的距离表示为|x−（-7）|=|x+7|；故答案为：|x+7| （3）（3）|x+1|+|x﹣3|表示数轴上到-1和3的距离的和，则|x+1|+|x﹣3|≥4， 故|x+1|+|x﹣3|≥4的解集为：全体实数； （4）（4）∵式子|x−3|＋|x＋2|＋|x−1|可看作是数轴上表示x的点到3、-2、1三点的距离之和， ∴当x为1时，|x＋2|＋|x−3|＋|x−1|有最小值， ∴|x＋2|＋|x−3|＋|x−1|的最小值＝|1＋2|＋|1−3|＋|1−1|＝5．故答案为：小，5，1． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，两点距离，理解新定义并能运用是本题的关键． 5．（2023·广东·七年级课时练习）利用数轴解决下面的问题：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是　 　；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是　 　；（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时，相应的x的取值范围或值是　 　，最小值是　 　． 【答案】（1）3；（2）2；（3）1010，1019090 【分析】（1）求|x+1|+|x﹣2|的最小值，意思是x到﹣1的距离之和与到2的距离之和最小，那么x应在﹣1和2之间的线段上； （2）求|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值，x为中间点时有最小值，依此即可求解； （3）找到中间点即可求得最小值． 【详解】（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是2﹣(﹣1)=3； （2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是4﹣2=2； （3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时， 相应的x的取值范围或值是：=1010， 最小值是(1009+1)×1009÷2×2=1019090． 故答案为：3；2；1010，1019090． 【点睛】本题考查了数轴，涉及的知识点为：数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．绝对值是正数的数有2个．找到中间点即可求得最小值． 6．（2023·湖北·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______； （2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之间的距离为____． （3）的最小值为_______．的最小值为_____． （4）的最大值为_______． 【答案】（1）4，3；（2）|x-1|, |x+3|;（3）7, 10;（4）2 【分析】（1）直接代入公式即可; （2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可； （3）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+ 3|+|x-4|的值最小; 当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+ 2|+ |x-3|+ |x+4|值最小;（4） 分3种情况讨论，|x-1|-|x-3|的值最大. 【详解】解：（1）6﹣2=4,   1-(-2)=3 所以,数轴上表示2和6两点之间的距离是4,数轴上表示1和-2的两点之间的距离为3；答案为: 4, 3; （2）根据两点间距离公式可知:数轴上表示x和1两点之间的距离为|x-1|,数轴上表示x和-3两点之间的距离为|x+ 3| 故答案为: |x-1|, |x+3|; (3)x+3=0,x-4=0,解得x=-3,x=4； 当x＜-3时，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1＞7 当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7 当x＞4时，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7 x对应点在点-4和3之间时的任意一点,|x-3|+ |x+4|的最小值为7； 同理,分5种情况说明： 当x＜-4时，原式=-4x-2＞14 当-4≤x＜-2时，原式=-2x+6, 10≤原式≤14 当-2≤x≤1时，原式=10, 当1＜x≤3时，原式=2x+8,  10＜原式≤14 当x＞3时，原式=4x+2＞14 由此可得，当-2≤x≤1时原式值最小，最小值是10， ∴当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+2|十|x-3|+ |x+4|的最小值为10, 故答案为: 7, 10; (4) ∵x-1=0,x-3=0∴x=1,或x=3 ∴当x≤1时，|x-1|-|x-3|=1-x-(3-x)= -2， 当x≥3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2 当1＜x＜3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(3-x)=2x-4,-2＜2x-4＜2 ∴当x≥3时，|x-1|-|x-3|最大，最大值是2故答案为: 2 【点睛】此题考查绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，,体现了数形结合的优点. 7.（2023·湖南·七年级阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数； （3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 【答案】（1）；（2）或；（3）， 【分析】（1）根据的距离求得单位为多少cm，再根据长度求得的距离即可求解； （2）设点表示的数为，求得P到A的距离和P到B的距离，列方程求解即可； （3）对点Q在数轴上表示的数x，分情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得的距离为，的长度为，的长度为 由此可知一个单位长度为 则的距离为 在的右边，∴数轴上点B所对应的数为； （2）设点表示的数为，则P到A的距离为，P到B的距离为 由题意可得：，即或 解得或 故答案为或 （3）当时，， ∴ 当时，， ∴ 当时，， ∴ 综上所述的最小值为，的最大值为。故答案为， 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴的定义，数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质． 8．（2023·重庆七年级阶段练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程) （1）若，则x =________；若，则x =___________ （2）若，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________ （3）当取最小值时，则x的值为____________ （4）当取最大值时，则x的取值范围是____________ 【答案】（1）0，；（2），2；（3）；（3）． 【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案； （2）表示的意义，得到的取值范围，进而得到最大值和最小值； （3）根据最小值为3，可以得到答案；（4）根据，当取最大值时，表示的点在点的左边或在点上，据此求解即可． 【详解】解：如图示： （1）表示数轴上表示的点到表示1和的距离相等，因此到1和距离相等的点表示的数为， 表示数轴上表示的点到表示2和的距离相等，因此到2和距离相等的点表示的数为，故答案为：0，； （2）表示的意义是数轴上表示的点到表示2和两点的距离之和为3，可得， 因此 的最大值为2，最小值为；故答案为：，2； （3）表示的意义是数轴上表示的点到表示2，和三点的距离之和，根据数轴直观可得，最小值为3，由（2）可知， ∴当取最小值时，并，故答案为：； （4）式子表示的意义是数轴上表示的点到表示2和两点的距离之差，由数轴直观可得，，当取最大值时，表示的点在点的左边或在点上， 因此，故答案为：． 【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键． 9．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，， ∴，，∴在时有最小值为_______． （2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）． 【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案； （2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案； （3）根据（1）可得到当时最小值，即可得到答案． 【详解】（1）I．解：由题意可得， 当 时，， 当时，故答案为，； II．由题意可得，在时有最小值为5，故答案为5； （2）解：由（1）可得，当x在 ，4两点之间时最短， 即当时，的最小值，最小值为， 故的最小值为9； （3）由（1）可得，表示到1，6， 三点的距离之和， ∴可得到当时最小值， 最小值为：，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大亮点之间． 10．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3． (1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______； (2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题， 直接回答：，则 ：有最小值是______； (3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。 【答案】(1)4；1(2)或4；4(3)存在；或2 【分析】（1）数轴上点表示的数为，点表示的数为3，根据数轴上两点的距离公式及线段的中点公式直接求出线段的长度为4，线段中点表示的数为1； （2）按或或化简绝对值，得出关于x的方程，解方程即可；按或或分类讨论，求出在每种情况下的值或取值范围，再进行比较，得出结果； （3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按或或分类讨论，根据列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为，点表示的数为3，∴，， ∴线段的长度为4，线段中点表示的数为1；故答案为：4；1． （2）解：当时，，解得：； 当时，， ∴当时，不存在x的值使； 当时，，解得：； ∴时，或； 当时，， 当时，， 当时，， ∴的最小值为4；故答案为：或4；4． （3）解：存在，设“幸运点”P对应的数是m， 解，∴，解得：，∴点S表示的数为6， 当时，由得：，解得：； 当时，由得：，解得：； 当时，由得：或， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）， 综上所述：“幸运点”P对应的数是或2． 【点睛】此题主要考查了数轴上的动点问题和一元一次方程及其应用，读懂题意，掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 11．（2023·湖北·七年级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】 表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______． （2）①若，则______； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____． 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则10表示的点和_____表示的点重合； ②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____； ③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____． 【拓展延伸】（5）当____时，有最小值，最小值是_____． 【答案】探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）2，4 【分析】探索：（1）数轴上两数之间的距离计算用大数减去小数即可； （2）①根据材料判断式子的意义，然后得到x的值；②根据距离可直接得到x的取值，求和即可； 动手折一折：（3）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可； （4）根据条件可判断出折叠点，对应数到折叠点距离相等，然后判断即可； （5）根据式子的实际意义可知，当x=2时式子有最小值． 【详解】解：探索：（1）4-（-2）=6； （2）①由材料可知中x表示数轴上到-1的距离是3的数∴x=-4或2； ②由题可知x所表示的数可为-2，-1，0，1，2，3∴-2-1+0+1+2+3=3 【动手折一折】（3）由题可知折叠是点是原点∴3表示的点与-3表示的点重合 （4）①由题可知折叠点是-1∴10表示的点和-12表示的点重合 ②∵A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020 ∴A，B（A在B的左侧）两点到-1的距离均为1010 ∴A表示的数=-1010-1=-1011，B表示的数=1010-1=1009； ③由题意有：-1-a=b+1即b+a=-2 【拓展延伸】（5）根据材料可知表示数轴上一数x到-1和2和3的距离和，当x=2时，式子有最小值，最小值为4 故答案为：探索：（1）6；（2）①-4或2；②3；动手折一折：（3）-3；（4）①-12；②-1011，1009；③b+a=-2；拓展延伸：（5）2，4 【点睛】本题主要考查绝对值实际意义，结合数轴，判断式子的实际意义是解题的关键． 12．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7． 【分析】（1）先计算有理数的减法，再化简绝对值即可得；（2）根据绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数x，再利用有理数的加减运算法则求和即可得；（3）由（2）的方法去绝对值，即可得． 【详解】（1）解：，故答案为：7； （2）解：当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 当时，， 此时，使得的整数是、、、、、0、1、2； 当时，，解得（舍去），故此种情况不存在； 故答案为：、、、、、0、1、2； （3）解：有最小值，最小值是7， 由（2）的探索可得，当时，， 故有最小值，最小值是7． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 13．（2023·江苏·七年级专题练习）阅读下列两则材料： 材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4． 材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3． 根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 　 　．(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值． 【答案】(1)， （答案不唯一）(2)(3)0 【分析】（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．（3）因为x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，所以>| |，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解． 【详解】（1）解：V（A4）=| |+||+||=4，∴| |+||+||=4， 当， ，V（A4）=| |+||+||=4 （2）解：| |+||+||=3，即| |+||+||=3 ①2≤a<3时，| |+||+||=3，所以 ，解得以a=1，但不符合题意，舍去． ②a≤2时，| |+||+||=3所以 ，解得以 ，符合题意． ③a>3时，| |+||+||=3所以，，解得以 ，符合题意． 综上所述，或． （3）解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数 ∴>| |，>||，>||，>||，>0， ∴0≤| |+||+||+||≤ ∴0≤V（A5）≤a ∴V（A5）的最小值为0． 【点睛】本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键． 14．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)当取最小值时，x可以取整数 ；(3)最大值为 ；(4)的最小值为 ； 【解决问题】(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 【答案】(1)数轴上表示有理数x的点与表示有理数－2的点之间的距离(2)-1，0，1，2，3(3)4(4)7 (5)便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是 【分析】（1）根据题意即可得出结论；（2）的最小值表示有理数x的点到的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在和3之间的线段上，即可求出结果； （3）根据的几何意义是表示x的点到的距离减去x到3的距离，可得时取得最大值， 即可求出结果；（4）的几何意义是表示x的点到的点和到的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即，求出最小值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； 故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离． （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数x到的距离与x到3的距离之和， ∴当时，取最小值，即当x可以取整数，0，1，2，3； 故答案为：，0，1，2，3． （3）解：的几何意义是表示x的点到的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离， 时取得最大值，的最大值是：． （4）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点和到表示的点和表示1的点的距离之和， 当表示x的点在表示的点到表示1的点的线段上，有最小值，即， 当时，的值最小，最小值为7；故答案为：7． （5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处， 根据题意可得，便民服务点到四点的距离为， 当表示x的点在表示的点到表示3的点的线段上，有最小值，即， 当时，取得最小值，此时， 答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是． 【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题的关键． 15．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 【答案】(1)1或﹣5(2)7(3)4(4)54 【分析】（1）由题意可知，，再接方程即可；（2）由点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，得到表示点P到2和﹣5的距离和，由，即可得到答案； （3）由题意得到，，则，即可得到答案； （4）由题意可得，根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P与表示有理数﹣2的点的距离是3个单位长度， ∴，∴或，解得或，故答案为：1或﹣5； （2）∵点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，∴表示点P到2和﹣5的距离和， ∵，∴，故答案为：7； （3）∵，， ∴，故答案为：4 （4）∵， ∴ ， 根据绝对值的几何意义，相当于找一点，使得这个点到，1，﹣4，9，﹣16，25距离和最小， 只能取，当时，有最小值， 此时原式＝＝54，故答案为：54． 【点睛】此题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题的关键． 16．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15． 【分析】（一）根据数轴上两点间的距离公式求解可得； （二）（1）利用绝对值的意义知，然后分别求解可得； （2）的几何意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标，据此可得；（3）表示数轴上到表示3与表示的点距离之和，求其最小值即可； （4）表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和，根据两点间线段最短和绝对值的几何意义可知，当a取最中间（或两个）数时即当时值最小，然后去掉绝对值符号计算求解；（5）表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和，当或时值最小，然后去绝对值求解即可． 【详解】（一）解：数轴上表示数-8的点和表示数3的点之间的距离是=11；故答案为：11． （二）（1）解：，，或，故答案为8或． （2）解：的意义是表示数轴上到表示和表示3的点的距离之和是5的点的坐标， ，是整数，共6个；故答案为：6． （3）解：表示数轴上到表示3与表示的点距离之和， 当时，有最小值， 最小值为：=2025；故答案为：2025． （4）解：表示数轴上到表示，，3，3，3的点的距离的和， 当时，取最小值， 即最小值==2025+6=2031，故答案为：2031． （5）解：表示数轴上到表示，，，，2，2，2，2的点的距离的和， 当时有最小值， 即最小值==15，故答案为：15． 【点睛】此题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的意义和性质，逐步探索变化规律是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值中的六类最值模型 最值问题一直都是七年级上册数学中代数部分的最难点之一，但也是高分的必须突破点，而绝对值中的最值模型是初中学生第一次接触最值类问题，该类最值模型主要依据绝对值的几何意义或代数意义，考查分类讨论和数形结合的数学思想。需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。本专题就绝对值中的六类最值模型进行梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 1 模型1.的最小值模型 2 模型2.的最小值和最大值模型 6 模型3.的最小值模型 8 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 14 模型5.型或型最值模型 17 模型6.绝对值最值模型的实际应用 19 24 知识储备：①绝对值具有非负性，即；②绝对值的几何意义：表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。 模型1.的最小值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值大于 当时 （在点a、b之间） 的值为定值，即为 当 （在点b的左侧） 的值大于 结论：在时，取得最小值为。 另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。 例1．（2023·河南郑州·七年级统考阶段练习）【探究问题】点A、B在数轴上分别表示有理数，，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离或；利用数形结合思想解决探究问题： 【方法感悟】如图，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是，，则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是，，则或； 【知识迁移】(1)点A，B表示的数分别是，b，且，则_____； (2)如图，若点A，B表示的数分别是，，令，若把线段向左平移个单位，则点A与重合；若把线段向右平移n个单位，则点B与重合，那么_____，_____； (3)利用数轴求出的最小值为__________，此时x可取哪些整数值_______ 变式1．（2023·河南南阳·七年级统考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求______．(2)与两数在数轴上所对的两点之间的距离为______．(3)若成立，则______．(4)请你写出的最小值为______，并确定相应的的取值范围是______． 变式2．（23-24七年级上·湖南怀化·期中）同学们都知道，表示5与-3之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： (1)求=_______；(2)写出所有符合条件的整数，使得； (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值；如果没有说明理由． 变式3．（2022·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？ （ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3 ∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和， ∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3 ∴的最小值是3 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： (1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：； (3)当a为何值时，代数式的最小值是2 模型2.的最小值和最大值模型 的最小值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 的最大值模型：当x取值在范围内时，取得最小值为。 求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 （在点a的左侧） 的值为定值，即为— 当时 （在点a、b之间） 当 （在点b的左侧） 的值为定值，即为 结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。 例1．（2023·广东七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______． 变式1．（2023·山东·七年级校考阶段练习）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题：探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示；当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二：如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示：； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______． 解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示） 实际应用：（1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______； （2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______． 拓展延伸：结合数轴回答下列问题：（1）的最小值是_____；（2）的最大值是______． 变式2．（2023·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______． 模型3.的最小值模型 ①当两个绝对值相加：若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当三个绝对值相加：若已知，的最小值为，且此时=； ③当有（奇数）个绝对值相加： 且，则取中间数，即时，取得最小值； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且， 则取中间段，即当时，取得最小值为：。 的最小值的分析： 找到上述式子中的‬零点，按从小到大‬排序（不妨假设）‬，借助数轴容易得到： ‬当n‬奇数‬时‬‬，则x取‬中间数‬时‬取得‬最小值‬； ‬当n‬‬偶数时‬，‬则‬x取‬中间‬段‬时‬取得‬最小值‬。 规律可总结为：“奇中点，偶中段”‬ 例1．（2023·浙江杭州·七年级期中）点P，Q在数轴上分别表示的数分别为p，q，我们把p，q之差的绝对值叫做点P，Q之间的距离，即．如图，在数轴上，点A，B，O，C，D的位置如图所示，则；；．请探索下列问题： （1）计算____________，它表示哪两个点之间的距离？________________________． （2）点M为数轴上一点，它所表示的数为x，用含x的式子表示PB=____________；当PB=2时，x=____________；当x=____________时，|x+4|+|x-1|+|x-3|的值最小． （3）|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2018|+|x-2019|的最小值为________________________． 变式1．（2023·江苏·七年级专题练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示3和1的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是　 　； 一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为　 　，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为　 　． （2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　； （3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值； （4）当a＝　 　时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　． 变式2．（2023·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）【方法感悟】阅读下面材料： 点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为.如图1，从数轴上看，若点A，B表示的分别是1，4则或； 若点A，B表示的数分别是，4则或； 若点A，B表示的数分别是，，则或． 【归纳】若点A，B表示的数分别是，则或． 【知识迁移】(1)如图1，点A，B表示的数分别是，b且，则___________； (2)如图2，点A，B表示的数分别是，，若把向左平移个单位，则点A与重合，若把向右平移个单位，则点B与70重合，那么___________，___________； 【拓展应用】(3)一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，请问村长爷爷现在到底是多少岁？美羊羊现在又是几岁？请写出解题思路. (4)结合几何意义，求最小值. 变式3．（2023·福建七年级期中）阅读理解；我们知道，若A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点间的距离表示为AB，则．所以的几何意义是数轴上表示X的点与表示2的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： （1）若点A表示－2，点B表示3，则AB＝ ．（2）若，则的值是 ． （3）如果数轴上表示数的点位于－4和2之间，求的值； （4）点取何值时，取最小值，最小值是多少？请说明理由； （5）直接回答：当式子取最小值时，相应的取值范围是多少？最小值是多少？ 模型4. 系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型 系数不为“1”分为两种情况：一种是绝对值的系数不为“1”；另外一种为x系数不为“1” ①绝对值系数不为“1”： 例如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜ 解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。 ②x系数不为“1”： 例如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。 解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先‬第一步‬想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。 第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开‬，然后‬利用“奇中点‬，偶中段”来求了‬。解‬得‬当x=-1时‬取得‬最小值，最小值‬为‬6。 另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。 例1．（23-24七年级上·福建福州·期中）的最小值是 ． 变式1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，请回答问题： (1)点B表示的数是 　　，点C表示的数是 　　． (2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字 　　重合． (3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|，如5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为|5﹣（﹣2）|，从而很容易就得出在数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是7． ①若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝　　． ②若x表示一个有理数，且|x﹣4|+|x+3|＝7，则满足条件的所有整数x的和是 　　． ③当x＝　　时，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值． ④当x取何值时，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值为多少？ 变式2．（23-24七年级上·北京西城·阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离； ②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题：(1)若，则　 　．(2)当代数式取最小值时，x的取值范围是 　 　．(3)代数式有最大值，这个值是 　 　． 模型5.型或型最值模型 类型1： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，式子取得最小值为b；当a＜0时，式子取得最大值为b； 类型1： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 类型2： 当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b； 当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b； 例1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）式子取最小值时， ，最小值为 ． 变式1．（22-23七年级上·重庆·阶段练习）的最大值是 ，此时 ． 变式2．（2023·广东·七年级校考阶段练习）若a，b为有理数，下列判断正确的个数是（    ） （1）的最小值是2；（2）的最小值是0；（3）的最大值为5；（4）的最大值是2． A．1 B．2 C．3 D．4 模型6.绝对值最值模型的实际应用 例1．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）若A、B两点在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点间的距离等于．(1)可理解为数轴上表示x的点到表示2的点的距离等于1，则________； (2)同理可理解为数轴上表示x的点到表示2、5的点的距离之和；借助数轴不难发现，当表示x的点在A的左侧时，大于3，当表示x的点在A、B之间时，等于3，当表示x的点在B的右侧时，大于3； 综上，当x满足________时，有________（填“最大”或“最小”）值3．    (3)如图所示，某公共汽车运营线路上依次有，，三个汽车站，现要在路旁修建一个加油站M，使得三个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好；    (4)如果公共汽车运营线路上依次有，，，…，共n个汽车站，为使得n个汽车站到加油站M的路程总和最小，加油站M建在何处最好． 变式1．（2023·陕西西安·七年级校考阶段练习）学习过绝对值之后，我们知道表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究解决以下问题： (1)可以理解为_______与_______两数在数轴上所对应的两点之间的距离；(2)已知，求x的值； (3)利用数轴探究：①满足的所有整数x的值为_________； ②当x满足_________时，的值最小最小值是_________； (4)已知在一条笔直的高速公路旁边依次有A、B、C三个城市，它们距离高速公路起点的距离分别是、、．现在需要在该公路旁建一个物流集散中心P，请直接指出该物流集散中心P应该建设在何处，才能使得P到三个城市的距离之和最小，这个最小距离是多少？ 变式2．（23-24七年级上·福建泉州·期末）为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按号数从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题．小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上的连续的6个整数点（记1，2，3，4，5，6），回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为． (1)根据问题的实际意义，表示___________________； (2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记，求的最小值和回收站的位置． (3)现该小区内1号楼有20个住户，2号楼有18个住户，3号楼有16个住户，4号楼为22个住户，5号楼为18个住户，6号楼为19个住户，求出小区所有住户到回收站的距离之和的最小值和回收站的位置． 1．（2023·浙江·七年级专题练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________． 2．（23-24七年级上·四川内江·期中）的最小值为 ． 3．（2023·江苏·七年级期末）若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是______． 4．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）数学探究 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和7两点之间的距离是_______； (2)数轴上有理数x与有理数﹣7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为_______； (3)若x表示一个有理数，且|x+1|+|x﹣3|≥4，则有理数x的取值范围是_______； (4)若x表示一个有理数，则|x﹣3|+|x+2|+|x﹣1|有最_______值为________，此时x=_______． 5．（2023·广东·七年级课时练习）利用数轴解决下面的问题：（1）式子|x+1|+|x﹣2|的最小值是　 　；（2）式子|x﹣2|+|2x﹣6|+|x﹣4|的最小值是　 　；（3）当式子|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+……+|x﹣2019|取最小值时，相应的x的取值范围或值是　 　，最小值是　 　． 6．（2023·湖北·七年级专题练习）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______； （2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之间的距离为____． （3）的最小值为_______．的最小值为_____． （4）的最大值为_______． 7.（2023·湖南·七年级阶段练习）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm． （1）求数轴上点B所对应的数b； （2）点P是图1数轴上一点，P到A的距离是到B的距离的两倍，求点P所表示的数； （3）若点Q在数轴上表示的数为x，则|x+5|+|x﹣4|的最小值为 　 　，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值为 　 　． 8．（2023·重庆七年级阶段练习）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作。数轴上表示数a的点与表示数b的点距离记作如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题：(将结果直接填写在相应位置，不写过程) （1）若，则x =________；若，则x =___________ （2）若，则x能取到的最小值是_______，最大值是_________ （3）当取最小值时，则x的值为____________ （4）当取最大值时，则x的取值范围是____________ 9．（2023·湖北武汉·七年级校考阶段练习）（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，， ∴，，∴在时有最小值为_______． （2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 10．（2023秋·江苏扬州·七年级校考期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为3． (1)直接写出：线段的长度是 ，线段的中点表示的数为______； (2)表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题， 直接回答：，则 ：有最小值是______； (3)点S在数轴上对应的数为，且是方程的解，动点在数轴上运动，若存在某个位置，使得，则称点是关于点、、S的“幸运点”，请问在数轴上是否存在“幸运点”？若存在，则求出所有“幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由。 11．（2023·湖北·七年级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】（1）数轴上表示4和的两点之间的距离是______． （2）①若，则______； ②若使x所表示的点到表示3和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数x的和为_____． 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则3表示的点与______表示的点重合． （4）折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合， ①则10表示的点和_____表示的点重合； ②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2020且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是_____； ③若点A表示的数为a，点B表示的数为b，且A，B两点经折叠后重合那么a与b之间的数量关系是_____． 【拓展延伸】（5）当____时，有最小值，最小值是_____． 12．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：(1)求___．(2)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是___．(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有请列式并写出最小值如果没有请说明理由． 13．（2023·江苏·七年级专题练习）阅读下列两则材料： 材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4． 材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3． 根据以上材料，回答下列问题： (1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 　 　．(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值． 14．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】 我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的意义是 ； (2)当取最小值时，x可以取整数 ；(3)最大值为 ；(4)的最小值为 ； 【解决问题】(5)如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧，左侧，右侧，右侧．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由． 15．（2023·浙江宁波·七年级校考期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数－2的点的距离是3个单位长度，则m的值为 ______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示﹣5的点与表示2的点之间，则______；(3)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，则等于 ______． (4)若，则式子的最小值为 _______． 16．（2023·浙江·七年级校联考阶段练习）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为AB＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是　 　． （二）数轴上点A用数a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是　 　．（2）当|a+2|+|a﹣3|＝5时，这样的整数a有　 　个．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是　 　．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是　 　．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！20 学科网（北京）股份有限公司 $$