第11章 微专题1 与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合-【宝典训练】2023-2024学年八年级上册数学高效课堂课件(人教版)

第十一章　三角形 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 例1 变1 例2 变2 例3 变3 知识点1：利用三角形的三边关系说明不等关系 　 　如图，P是△ABC内一点，连接BP，CP，并延长BP交AC于点D． (1)试探究AB＋BC＋CA与2BD的大小关系； 解：∵根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，BC＋CD＞BD， ∴AB＋AD＋BC＋CD＞2BD， ∴AB＋BC＋CA＞2BD； 返回首页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 返回首页 (2)试探究AB＋CA与PB＋PC的大小关系． 解：根据三角形三边关系可得AB＋AD＞BD，PD＋CD＞PC， ∴AB＋AD＋PD＋CD＞BD＋PC， ∴AB＋AD＋CD>BD－PD＋PC， ∴AB＋AC＞PB＋PC． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 　 　如图，在△ABC中，P是△ABC内任意一点，连接AP，BP，CP. (1)AB＋AC＞PB＋PC是否成立？若成立，请说明理由； 解：成立． 理由：延长BP交AC于点D，如答图， 在△ABD中，PB＋PD＜AB＋AD①， 在△PCD中，PC＜PD＋CD②， ①＋②得PB＋PD＋PC＜AB＋AD＋PD＋CD， 即PB＋PC＜AB＋AC，即AB＋AC＞PB＋PC； 返回首页 答图 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 返回首页 (2)试比较PA＋PB＋PC与AB＋AC＋BC的大小关系，并说明理由． 解：结论：PA＋PB＋PC＜AB＋AC＋BC． 根据第一问的结论有 PB＋PC＜AB＋AC， PA＋PB＜CA＋CB， PA＋PC＜BA＋BC， ∴2PA＋2PB＋2PC＜2AB＋2AC＋2BC， ∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＋BC． 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 知识点2：与三角形的高有关的问题 　 　如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上(D不在BC中点)，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G，求证：DE＋DF＝BG. 返回首页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 返回首页 证明：连接AD．如答图， ∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， ∴DE＋DF＝BG. 答图 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 　 　如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F，∠BAC＝120°，求证：DE＋DF＝ BC． 证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为分别E，F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在Rt△BDE中， 返回首页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 返回首页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 知识点3：与三角形的中线有关的面积问题 　 　(2022秋·宣州区期末)如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O.已知△ABC的面积为14，△BOM的面积为3，求四边形MCNO的面积． 返回首页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 返回首页 解：∵△ABC的两条中线AM，BN相交于点O， △ABC的面积为14， ∴S△BCN＝S△ABN＝ S△ABC＝7. 又∵△BOM的面积为3， ∴四边形MCNO的面积＝S△BCN－S△BOM＝7－3＝4. 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 　 　如图，△ABC的两条中线BE，CF相交于点M，如果△ABC的面积为10 cm2，求△MBC的面积． 解：∵BE是△ABC的中线， ∴△EBC的面积＝ ×△ABC的面积＝5. ∵△ABC的两条中线BE，CF相交于点M， ∴点M是△ABC的重心， ∴BM∶BE＝2∶3， ∴△MBC的面积为 cm2. 返回首页 例1 变1 例2 变2 例3 变3 第 ‹#› 页 微专题1　与三角形的有关的线段(高、中线)、角问题综合 本节内容到此结束！ logo ∴AB·DE＋AC·DF＝AC·BG. ∵AB＝AC，∴AC·BG＝AC(DE＋DF)， ∵∠B＝30°，∴DE＝BD． 同理在Rt△CDF中，DF＝CD ∴DE＝BD，DF＝CD， ∴DE＋DF＝BD＋CD＝(BD＋CD)＝BC， ∴DE＋DF＝BC． $$