专题01三角形的三种重要线段的应用-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题01三角形的三种重要线段的应用 题型01三角形的高的应用 类型1找三角形的高 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各图形中，哪个图形中的是的高（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ． 【变式演练】 【变式1-1】（21-22八年级上·福建福州·期末）如图，在中，边上的高为（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【变式1-2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，于点D，已知是钝角，则线段 是的边上的高．    【变式1-3】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      的高线是 ； 类型2作三角形的高 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． 画出中边上的高： 【例2-2】（23-24七年级下·上海·阶段练习）在图中，画出 的一条高并用文字指出你所画的高． 【例2-3】（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，中， 画出 边上的高 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中 画出中边上的高； 【变式2-2】（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图． 在图中，作边上的高． 类型3求与高相关的线段问题 【典例分析】 【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，．在三角形的内部找一点P，使得P到三边的距离相等，则这个距离是 ． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，于D，于E，，则的长为 ． 【变式3-2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的两条高，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 类型4解决与高相关的线段和的问题 【典例分析】 【例4】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知在中，，点在直线上，于点，于点，是的高． (1)当点在边上时（如图），求证：； (2)当点在边的延长线上时，试探索、和之间的数量关系． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰中，，，是上任意一点，，， ．    【变式4-2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图中，，，中线，点E、点F分别为线段AD、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 类型5求与高有关的面积 【典例分析】 【例5】（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中．对角线相交于点O． (1)求证：． (2)如果，求筝形的面积． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，是的平分线，延长至E，使，连接，若，的面积为a，则的面积是（       ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是（    ） A．12 B．8 C．24 D．11 【变式5-3】（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 题型02三角形的中线的应用 类型1求与中线相关的线段问题 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式6-2】（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【变式6-3】（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 类型2求与中线相关的面积问题 【典例分析】 【例7-1】（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，，，是的一条中线．已知的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 【例7-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积是16．则的面积为 ．    【变式演练】 【变式7-1】（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，D为边上的中点，的面积为4，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【变式7-2】（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 题型03三角形的角平分线的应用 类型1三角形角平分线定义的直接应用 【典例分析】 【例8-1】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在等腰中，是边上的一点．下列条件中，不能说明是的角平分线的是（    ）    A． B． C． D． 【例8-2】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是 ； （2）是三角形 的角平分线． 【例8-3】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【变式演练】 【变式8-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，是某同学将三角形沿着折叠示意图，折叠后点的对应点在射线上，则折痕一定是（    ） A．边上的高 B．边上的中线 C．的角平分线 D．边上的垂直平分线 【变式8-2】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 【变式8-3】（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请完成以下填空：    (1)____________； (2)____________； (3)______； (4)______． 类型2三角形角平分线与高线相结合求角的度数 【典例分析】 【例9-1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【例9-2】（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 【例9-3】（23-24八年级上·天津和平·期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图，于点D，若，，求的度数； (2)如图，于点D，若，，求的度数（用含、的式子表示）． 【变式演练】 【变式9-1】（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，分别是的高线和角平分线，且相交于点，若，则的度数是 ．    【变式9-2】（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，于点，平分交于点．若，求的度数． 【变式9-3】（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，是边上的高，平分．若，．求：的度数．    类型3求三角形两内角平分线的交角度数 【典例分析】 【例10】（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式演练】 【变式10-1】（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式10-2】（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，中，，点O是的内角平分线的交点，的延长线交于点D，于点E． (1)若， ①求的度数； ②如果，求的度数． (2)设，求（用α、β表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01三角形的三种重要线段的应用 题型01三角形的高的应用 类型1找三角形的高 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级下·全国·假期作业）下列各图形中，哪个图形中的是的高（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的概念，能够正确作三角形一边上的高．根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高线，解答即可． 【详解】解：过点A作直线的垂线段， 即画边上的高，正确的是D． 故选：D 【例1-2】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）如图，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ． 【答案】 / / / 【分析】本题主要考查三角形高线的概念，掌握这个知识点即可求解．确定某一边的高，首先明确是哪个三角形的高，在这个三角形内，先看这边相对的顶点，然后寻找这个顶点向这条边作的垂线段即可． 【详解】解：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是． 故答案为：；； 【变式演练】 【变式1-1】（21-22八年级上·福建福州·期末）如图，在中，边上的高为（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的高，根据三角形的高的定义，可直接进行排除选项，解题的关键熟练掌握三角形的高的定义：过三角形的顶点作对边的垂线，顶点和垂足之间的部分叫做高． 【详解】由图可知：边上的高是线段； 故选：A 【变式1-2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，于点D，已知是钝角，则线段 是的边上的高．    【答案】/ 【分析】根据三角形的高的定义：三角形的高是过三角形的顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫三角形这条边上的高，观察图形，结合条件进行解答． 【详解】解：的顶点的对边是，， 线段是的边上的高， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形有关概念，解题关键是熟练掌握三角形的高的定义 【变式1-3】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      的高线是 ； 【答案】 【分析】根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，分别判断即可． 【详解】解：∵于点H， ∴的高线是； 故答案为：， 【点睛】本题考查三角形的高线，关键是掌握相应的定义 类型2作三角形的高 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． 画出中边上的高： 【答案】画图见解析 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．延长，过A作与D，即可得到答案． 【详解】解：如下图，即为所求： 【例2-2】（23-24七年级下·上海·阶段练习）在图中，画出 的一条高并用文字指出你所画的高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的高的基本画图方法．根据题意画出即可 【详解】如图为高 【例2-3】（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，中， 画出 边上的高 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图——三角形的高，根据相关定义正确作图即可． 根据三角形的高的定义作图即可． 【详解】解：如图，高即为所求作． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中 画出中边上的高； 【答案】见解析 【分析】根据三角形的高定义作图即可． 【详解】 【变式2-2】（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图． 在图中，作边上的高． 【答案】见解析 【分析】如图，构造直角，使，记的交点为，证明，进而可得高． 【详解】解：如图，构造直角，使，记的交点为； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴连接，则高即为所求． 类型3求与高相关的线段问题 【典例分析】 【例3】（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，．在三角形的内部找一点P，使得P到三边的距离相等，则这个距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．连接，作于D，于E，于F，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】连接，作于D，于E，于F， 由题意得，， ， ∴， 即， 解得，， 故答案为：2． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，于D，于E，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的面积计算，根据，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3-2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，，是的两条高，已知，，． (1)求的面积； (2)求的长． 【答案】(1)10(2) 【分析】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据三角形面积公式计算即可； （2）结合（1）中的面积利用三角形面积公式即可求出的长． 【详解】（1）解：是的高，， 的面积为：； （2）是的高，，的面积为， ， 即， ． 类型4解决与高相关的线段和的问题 【典例分析】 【例4】（23-24八年级上·广西南宁·期中）已知在中，，点在直线上，于点，于点，是的高． (1)当点在边上时（如图），求证：； (2)当点在边的延长线上时，试探索、和之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，根据题意作出辅助线，构造出三角形，根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键． （1）如图1，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）如图2，连接，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】（1）如图1，当点在边上时，连接， ， ， ， ， ； （2）， 如图2，连接， ， ， ， 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰中，，，是上任意一点，，， ．    【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 作于，利用含30度的直角三角形的性质得到，根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：过作于，    ， ， ∵，，， ， 则， 则， 故答案为：2． 【变式4-2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图中，，，中线，点E、点F分别为线段AD、上的动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】连接，由等腰三角形的判定和性质和垂直平分线的性质，得到，进而得出当点、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，当时，有最小值，再利用等积法求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ，是中线， 垂直平分， ， ， 即点、、三点共线时，有最小值，最小值为的长， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ， ， 即的最小值为4.8 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，垂线段最短，等积法等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键 类型5求与高有关的面积 【典例分析】 【例5】（23-24八年级上·广西南宁·期中）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中．对角线相交于点O． (1)求证：． (2)如果，求筝形的面积． 【答案】(1)见解析(2)12 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，三角形的面积，掌握垂直平分线的判定是解题的关键． （1）利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上证明即可； （2）利用割补法求出筝形的面积即可． 【详解】（1））证明：， 点B在线段的垂直平分线上， 同理， 点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ； （2）的面积，的面积， 筝形的面积的面积的面积 . 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，是的平分线，延长至E，使，连接，若，的面积为a，则的面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．由角平分线的性质可知，结合可得，由可得，进而可求出的面积． 【详解】解：作于点E，作于点F，作于点H， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故选B 【变式5-2】（23-24八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是（    ） A．12 B．8 C．24 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线性质的应用，解题的关键是求出的高的长度．过D作于E，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：过D作于E，如图所示： ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴ 故选：A 【变式5-3】（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)(2)10 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）由折叠，得，． ． ． ． ． 题型02三角形的中线的应用 类型1求与中线相关的线段问题 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：D 【例6-2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·甘肃陇南·期末）如图，在中，是的中线，是的中线，若，则的长度为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ， ∵是的中线， ， 故选：A 【变式6-2】（23-24八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；先根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：是的边上的中线， ， 的周长比的周长多，且， ，即， 解得， 故答案为：7． 【变式6-3】（22-23八年级上·河北廊坊·期末）在中，，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为10，求三角形的周长． 【答案】(1)8(2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）由题意得：， ， 是整数， ； （2）是的中线， 的周长为10， ， ， ， 的周长 类型2求与中线相关的面积问题 【典例分析】 【例7-1】（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中，，，是的一条中线．已知的面积为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线可得的面积的面积，再根据已知，可得的面积的面积，然后根据，可得的面积的面积，最后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的一条中线，的面积为， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积的面积， 故选：B． 【例7-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，在中，点，，分别是，，的中点，若的面积是16．则的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质及三角形面积的等积变换，由点为的中点，可得与的面积之比，同理可得和的面积之比，即可解答出． 【详解】解：为的中点， ， 同理可得，， ， ． 故答案为：4 【变式演练】 【变式7-1】（23-24八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，D为边上的中点，的面积为4，则的面积为（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 【详解】解：∵在中，D为边上的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为8， 故选：C． 【变式7-2】（22-23八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则阴影部分的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质．熟练掌握中线将大三角形分成两个面积相等的小三角形是解题的关键． 由中线的性质可得，，则，进而可求阴影面积． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，， ∴， ∴（）， 故答案为： 题型03三角形的角平分线的应用 类型1三角形角平分线定义的直接应用 【典例分析】 【例8-1】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在等腰中，是边上的一点．下列条件中，不能说明是的角平分线的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线是解题的关键． 根据角平分线的定义可判断A的正误；根据等腰三角形三线合一可判断B、C的正误；然后作答即可． 【详解】解：A中，能说明是中的角平分线，故不符合要求； B中，则，由等腰三角形三线合一，能说明是中的角平分线，故不符合要求； C中，则是高线，由等腰三角形三线合一，能说明是中的角平分线，故不符合要求； D中，不能说明是的角平分线，故符合要求； 故选：D 【例8-2】（22-23七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，的延长线交于点E、F为上的一点，于点H，      （1）的高线是 ； （2）是三角形 的角平分线． 【答案】 【分析】根据三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线，分别判断即可． 【详解】解：∵于点H， ∴的高线是； ∵， ∴是三角形的角平分线， 故答案为：，． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、高线，关键是掌握相应的定义 【例8-3】（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【答案】①；；；②；；；③； 【分析】此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空． 【详解】解：①是的角平分线，则， ②是的中线，则， ③是的高线，则， 故答案为：①；；；②；；；③； 【变式演练】 【变式8-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，是某同学将三角形沿着折叠示意图，折叠后点的对应点在射线上，则折痕一定是（    ） A．边上的高 B．边上的中线 C．的角平分线 D．边上的垂直平分线 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的角平分线的含义，由对折可得，从而可得答案． 【详解】解：由对折可得： ，，， ∴是的角平分线， 故选C 【变式8-2】（23-24八年级上·新疆克孜勒苏·期中）如图，在中，是中线，是角平分线，是高．填空： （1） ； （2） ； （3） ； 【答案】 / / / / / 【分析】本题主要考查了三角形高，角平分线和中线的定义： （1）根据三角形中线的定义进行求解即可； （2）根据角平分线的定义进行求解即可； （3）根据三角形高的定义进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，是中线， ∴， 故答案为：； ； （2）∵在中，是角平分线， ∴， 故答案为：；； （3）∵在中，是高， ∴， 故答案为： 【变式8-3】（23-24八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，请完成以下填空：    (1)____________； (2)____________； (3)______； (4)______． 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，用到的知识点是三角形的中线、角平分线、高的定义和面积公式， （1）根据三角形中线的性质即可得出答案； （2）根据三角形角平分线的性质即可得出答案； （3）根据三角形高的定义与性质即可得出答案； （4）根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：是的中线， ， 故答案为：，； （2）解：是中的角平分线， ， 故答案为：，； （3）解：是中边的高， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， 故答案为：． 类型2三角形角平分线与高线相结合求角的度数 【典例分析】 【例9-1】（22-23八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角平分线的定义可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合，即可求出的度数． 【详解】解： ∵是的角平分线， ∴． ∵是的高， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为 故选A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是是解题的关键． 【例9-2】（23-24八年级上·安徽滁州·期末）如图所示，为的角平分线，为的高，若，，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据三角形高的定义可知，再结合三角形内角和定理解得的值，结合为的角平分线，可得，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由求解即可． 【详解】解：∵为的高， ∴， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质、三角形的角平分线和三角形的高等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键 【例9-3】（23-24八年级上·天津和平·期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图，于点D，若，，求的度数； (2)如图，于点D，若，，求的度数（用含、的式子表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可求解； （）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，三角形角平分线，三角形的高和直角三角形的两锐角互余，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用 【变式演练】 【变式9-1】（23-24八年级上·广东广州·阶段练习）如图，，分别是的高线和角平分线，且相交于点，若，则的度数是 ．    【答案】/55度 【分析】根据角平分线的定义和高线的定义分别计算和的值，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，计算的度数即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的高线，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形相关的线段、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【变式9-2】（22-23八年级上·浙江丽水·期中）如图，在中，，于点，平分交于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】先根据角平分线的定义求得的度数，再由外角的性质得，最后由直角三角形的性质可得结论． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和为，直角三角形两锐角互余． 【变式9-3】（22-23八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，是边上的高，平分．若，．求：的度数．    【答案】 【分析】由三角形的高的定义可得，进而可得，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在中，， ∵平分， ∴． ∴． 【点睛】本题考查三角形的角平分线、高，三角形外角的定义和性质，难度较小，解题的关键是掌握三角形角平分线和高的定义，牢记三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 类型3求三角形两内角平分线的交角度数 【典例分析】 【例10】（22-23七年级下·宁夏石嘴山·期末）如图所示，是的角平分线，是的角平分线．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，解题的关键是掌握三角形的角平分线将三角形的内角平均为为两份 【变式演练】 【变式10-1】（22-23八年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，，分别是，的平分线，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得出，，求出，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ， ，分别是，的平分线， ，， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 【变式10-2】（22-23八年级上·江西南昌·期中）如图，中，，点O是的内角平分线的交点，的延长线交于点D，于点E． (1)若， ①求的度数； ②如果，求的度数． (2)设，求（用α、β表示）． 【答案】(1)①；②；(2)． 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余与角平分的定义即可求得的度数；然后根据三角形内角和定理与角平分线定义，可得，从而得解； （2）由（1）得，由与三角形内角和定理，可得答案． 【详解】（1）解：①， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； ②∵O是的三内角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴ = = =， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ， ， = =． ． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质和角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分定义是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$