专题02三角形三边关系的五种巧用-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

专题02三角形三边关系的五种巧用 题型01判断三条线段能否组成三角形 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（    ）． A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【例1-2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）以下列各组长度为边长，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，5，8 C．4，5，6 D．3，3，6 【例1-3】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）已知，，满足． (1)求a，b，c的值； (2)若以a，b，c为边能否组成三角形？如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说出理由． 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列各组线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成为三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．8，8，16 【变式1-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． (1)． (2)． (3)． 题型02求三角形第三边的长或取值范围 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·吉林四平·期末）一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，则此三角形第三边长可能是（    ） A．1cm B．4cm C．7cm D．11cm 【例2-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）现有两根木条，它们的长分别是和，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为，则（   ） A． B． C． D． 【例2-3】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足． (1)求c的取值范围； (2)若第三边长c是整数，求c的值． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如果三角形两边长分别是、，那么第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·广东河源·期中）已知三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是 ． 【变式2-3】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若三角形的两边长分别是5和2，且该三角形的周长为偶数，求该三角形的第三边长c． 题型03解答等腰三角形的相关问题 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足则此等腰三角形的周长为（    ） A．12 B．9 C．9或12 D．13 【例3-2】（23-24八年级上·江苏南通·期中）等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为 ． 【例3-3】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·湖北黄石·期末）已知等腰三角形一边长等于4，另一边长等于10，则它的周长是（　　） A．17 B．18 C．24 D．18或24 【变式3-2】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若一个等腰三角形两边长分别为，则其周长为 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知是三角形的三边长． (1)化简：； (2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由． 题型04三角形的三边关系在代数式中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【例4-2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的值． 【例4-3】（24-25八年级上·上海·假期作业）若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·河南信阳·期末）等腰三角形的两边为a，b，且满足，那么它的周长为（    ） A． B． C．或 D．9 【变式4-2】（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 【变式4-3】（23-24八年级上·海南儋州·期末）在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长． 题型05利用三角形的三边关系说明线段的不等关系 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）如图，在三角形中，于点D，则下列关系不成立的是（  ） A． B． C． D． 【例5-2】（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，P为中任意一点．证明：． 【例5-3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在四边形中． (1)如图1，连接对角线相交于点O，求证： ． (2)如图2，的角平分线交于点E，且，求的度数． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·四川南充·期末）已知点A，B，C是不在同一条直线上的三点，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02三角形三边关系的五种巧用 题型01判断三条线段能否组成三角形 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）以下列长度的各组线段为边，不能组成三角形的是（    ）． A．3，5，8 B．3，4，6 C．10，8，7 D．1，2，2 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】A．，不能组成三角形，符合题意； B．，能组成三角形，不符合题意； C．，能组成三角形，不符合题意； D．，能组成三角形，不符合题意； 故选：A 【例1-2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）以下列各组长度为边长，能组成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．2，5，8 C．4，5，6 D．3，3，6 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A，，不满足三角形两边之和大于第三边，故本选项不符合题意； B，，不满足三角形两边之和大于第三边，故本选项不符合题意； C，，满足三角形三边关系，故本选项符合题意； D，，不满足三角形两边之和大于第三边，故本选项不符合题意． 故选：C 【例1-3】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）已知，，满足． (1)求a，b，c的值； (2)若以a，b，c为边能否组成三角形？如果能，求出三角形的周长；如果不能，请说出理由． 【答案】(1)，，；(2) 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，三角形三边的关系，化简二次根式，二次根式的加减运算，熟知几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0是解题的关键． （1）利用非负数的性质进行求解即可； （2）首先根据三角形三边的关系判断，然后利用二次根式的加减进行求解即可． 【详解】（1）∵ ∴，， ∴，，； （2）∵， ∴以a、b、c 为边能构成三角形， ∴此三角形的周长为 【变式演练】 【变式1-1】（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列各组线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边关系是解决问题的关键．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析即可． 【详解】解：A、，不能够组成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意． 故选：B 【变式1-2】（22-23八年级上·湖北武汉·期中）下列长度（单位：cm）的三根小木棒，能搭成为三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．8，8，16 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，不能构成三角形，故B不符合题意； C、，能构成三角形，故C符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)这三条线段能组成三角形，理由见解析 (2)这三条线段不能组成三角形，理由见解析 (3)这三条线段不能组成三角形，理由见解析 【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可． 【详解】（1）解；这三条线段能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段能组成三角形； （2）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形； （3）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键 题型02求三角形第三边的长或取值范围 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·吉林四平·期末）一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，则此三角形第三边长可能是（    ） A．1cm B．4cm C．7cm D．11cm 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边只差小于第三边即可得出． 【详解】设第三边长为，则由三角形三边关系定理可得： ， 即． 把各项代入，只有符合不等式． 故选：B 【例2-2】（24-25八年级上·全国·假期作业）现有两根木条，它们的长分别是和，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，设第三根木棒长为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．已知三角形的两边长分别为和，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求第三边长的范围． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：，即． 故选：A 【例2-3】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为的三边长，且a，b满足． (1)求c的取值范围； (2)若第三边长c是整数，求c的值． 【答案】(1) (2)c的值为，， 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第三边长c是整数，求c的值即可． 【详解】（1）解：∵， ，， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵是整数， 的值为，， 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如果三角形两边长分别是、，那么第三边长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，本题根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，得出答案即可． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是、， ∴设这个三角形第三边长为，则x的取值范围是：， 故这个三角形第三边的长可能是． 故选：B． 【变式2-2】（23-24八年级下·广东河源·期中）已知三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即． 故答案为： 【变式2-3】（22-23七年级下·河南周口·阶段练习）若三角形的两边长分别是5和2，且该三角形的周长为偶数，求该三角形的第三边长c． 【答案】5 【分析】设第三边长为c，根据三边关系得出，根据周长为偶数，得出． 【详解】解：∵三角形的两边长分别是5和2， 设第三边长为，则，即 ∵周长为偶数，，则c为奇数， ∴． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键 题型03解答等腰三角形的相关问题 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足则此等腰三角形的周长为（    ） A．12 B．9 C．9或12 D．13 【答案】A 【分析】首先根据，结合非负数的性质求得a、b的值，然后求得等腰三角形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 当b为底时，三角形的三边长为2，2，5， ∵， ∴2，2，5不能构成三角形； 当a为底时，三角形的三边长为5，5，2，符合三角形三边关系，能够构成三角形，则周长为， ∴等腰三角形的周长为12，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，算术平方根的非负性，解题的关键是求出a、b的值，注意分类讨论 【例3-2】（23-24八年级上·江苏南通·期中）等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为 ． 【答案】17 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为7进行求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，，不能构成三角形， ∴腰长为， ∴三角形的周长为； 故答案为：17 【例3-3】（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）王强准备用一段长为30米的篱笆围成一个三角形形状的区域，用于饲养小动物，已知第一条边为a米，由于受地势的限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米． (1)请用a表示第二条边长和第三条边长； (2)第一条边长可以为7米吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)不可以，理由见解析． 【分析】（1）根据“第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米”表示出第二条边长，然后再根据总长即可表示出第三条边长； （2）若第一条边长为7米，分别求出第二条边长和第三条边长，判断是否能构成三角形即可． 【详解】（1）解：∵第二条边长只能是第一条边长的2倍多2米，第一条边长为a米 ∴第二条边长为米， 由题意可知：第三条边长为米； （2）若，则第二条边长为米，第三条边长为米 ∵ ∴此时不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7米． 【点睛】此题考查的是用代数式表示实际意义和三角形的三边关系，掌握实际问题中各个量之间的关系和用三边关系判断三条线段是否能构成三角形是解决此题的关键 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·湖北黄石·期末）已知等腰三角形一边长等于4，另一边长等于10，则它的周长是（　　） A．17 B．18 C．24 D．18或24 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，等腰三角形有两条边长为4和10，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为4时，，所以不能构成三角形； 当腰为10时，，，所以能构成三角形，周长是：． 故选C． 【变式3-2】（22-23八年级上·江苏无锡·期中）若一个等腰三角形两边长分别为，则其周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系，由等腰三角形两边长为，分别从等腰三角形的腰长为或去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形． 【详解】①若等腰三角形的腰长为，底边长为 能组成三角形 它的周长是： ②若等腰三角形的腰长为，底边长为 不能组成三角形 综上所述，它的周长是： 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）已知是三角形的三边长． (1)化简：； (2)满足，且三角形的周长是16，判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)此三角形是等腰三角形，详见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系定理，化简绝对值及绝对值的非负性，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． （1）根据三角形三边关系定理可得，，再去绝对值符号即可； （2）根据及三角形的周长是16求得a，b，c的值即可判断三角形的形状． 【详解】（1）解：是三角形的三边长， ． ，． ． （2）此三角形是等腰三角形． 理由如下： ， ． ． 三角形的周长是16， ． ． 此三角形是等腰三角形 题型04三角形的三边关系在代数式中的应用 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）若实数a，b，c分别表示的三条边，且a，b满足，则的第三条边c的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，先由非负性求出的值，再结合“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵a，b满足， ∴ 即 ∵实数a，b，c分别表示的三条边， ∴ 即 故选：C 【例4-2】（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的值． 【答案】2，3，4． 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解。 【详解】解：， ，，解得，， ，， ，且是整数， 的值为，， 【例4-3】（24-25八年级上·上海·假期作业）若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)，，；(2)． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及等腰三角形的定义． （1）利用二次根式的性质进而得出c的值，再利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值； （2）利用等腰三角形的定义和三角形三边长关系分析得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，， 解得：， ∴， 则，； （2）解：当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和：，不能构成三角形，舍去； 当c是腰长，a是底边时，任意两边之和大于第三边，能构成三角形， 则等腰三角形的周长为：， 综上，这个等腰三角形的周长为： 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·河南信阳·期末）等腰三角形的两边为a，b，且满足，那么它的周长为（    ） A． B． C．或 D．9 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，非负数的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据两个非负数的和为零，从而可求得a与b的值，从而可求得等腰三角形的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴等腰三角形的两腰长不可能是3， ∴等腰三角形的两腰长为6，底边长为3， 从而其周长为， 故选：B 【变式4-2】（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，，是的三边长，满足，为奇数，求的值及的周长． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定边长c的取值范围． 根据非负数的性质列式求出、的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，再根据是奇数求出的值． 【详解】解：，满足， ，， 解得，， ，， ， 又是奇数， ， 的周长为． 故答案为 【变式4-3】（23-24八年级上·海南儋州·期末）在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长． 【答案】10 【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，先利用非负数的性质求解，的值，再分类讨论，结合三角形的三边关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， 又∵a，b，c分别是等腰的边 ①当时，的周长是： ②当时，∵， ∴不符合题意 ∴的周长是10 题型05利用三角形的三边关系说明线段的不等关系 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）如图，在三角形中，于点D，则下列关系不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，直角三角形中斜边大于直角边，据此逐项分析即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴不成立， 故选：D 【例5-2】（20-21八年级上·全国·课后作业）如图所示，P为中任意一点．证明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．延长交于点D．利用三角形三边关系得到，同理可得，，进一步即可得到结论． 【详解】证明：如图所示，延长交于D， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴.① 同理可得，② .③ 由①＋②＋③得， 即． 【例5-3】（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在四边形中． (1)如图1，连接对角线相交于点O，求证： ． (2)如图2，的角平分线交于点E，且，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】题目主要考查三角形的三边关系及平行线的性质，三角外角的性质等，结合图形，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键． （1）根据三角形三边关系得出，再由不等式的性质即可证明； （2）利用平行线的性质得出，再由角平分线确定，结合三角形外角的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：根据三角形三边关系得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∴． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·四川南充·期末）已知点A，B，C是不在同一条直线上的三点，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一条直线，难度不大． 根据三角形的三边关系进行判断即可． 【详解】解：，，是不在一条直线上的三个点， ，，三点构成， 满足三边关系：，、， ∴A、B、D选项不正确，不符合题意，C选项正确，符合题意， 故选：C 【变式5-2】（22-23八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点． (1)试探究与的大小关系； (2)试探究与的大小关系； (3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可； （3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可． 【详解】（1）解：，理由为： ， ∴ 即： （2），理由为： 在中，， 在中，， 两式相加得：+ 即： （3），理由为： 如图，延长交的延长线于G，交于点F， 在中，，① 在中，，② 中，，③ 得： 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$