1.4用一元二次方程解决问题（题型巩固练习）（暑期自学课）2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版数学九年级上册 1.4用一元二次方程解决问题（题型巩固练习） （暑期自学课） 【典型例题】 类型一、增长率或降低率问题 【例1】2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（　　） A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58 举一反三： 【变式1】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地号汽油价格三月底是元/升，五月底是元/升．设该地号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（　　） A. B. C. D. 【变式2】电影《满江红》于2023年1月22日在中国大陆上映，某地第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为 （　　） A．2（1+x）＝7 B．2（1+x）2＝7 C．2+2（1+x）2＝7 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝7 【变式3】国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的60元降至 48.6元，那么平均每次降价的百分率是________. 【变式4】随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．（10分） （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 类型二、利润问题 【例2】某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价. 举一反三： 【变式1】新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． （1）若降价2元，则平均每天销售数量为　 　件； （2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？ 【变式2】某商店购进60个盲盒，进价为每个20元，第一天以每个30元的价格售出20个，为了尽快售完，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出2个。 ⑴ 若商家想第二天就将这批盲盒销售完，则销售价应定为多少？ ⑵ 第3天，商店对剩余盲盒作清仓处理，以每个18元的价格全部售出，如果这批盲盒共获利330元，试问第二天每个盲盒的销售价格为多少元？ 【变式3】我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？ （2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 【变式4】某商场以每件30元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于55元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符合一次函数y＝﹣2x+140的关系． （1）当每件售价35元时，每天的利润是多少元？ （2）该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ （3）该商场销售这种商品每天是否能获得900元的利润？请说明理由． 类型三、几何问题 【例3】已知等腰三角形的一边长为8，另一边长为方程x²-6x+9=0的根，该三角形周长为（ ） A. 14 B. 19 C. 14或19 D. 不能确定 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ） A 6 B. 10 C. 12 D. 24 【变式2】如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（ ） A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 【变式3】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为 80m? 【变式4】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．（12分） （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 类型四、动点问题 【例4】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A到的D方向以1cm/s的速度向点D运动，设△ABP的面积为S1，矩形PDEF的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则当t＝______秒时，S1＝2S2. 举一反三： 【变式1】如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝4．点P、Q分别从点A、B同时出发，点P沿A→C的方向以每秒1个单位长的速度向点C运动，点Q沿B→C的方向以每秒2个单位长的速度向点C运动．当其中一个点先到达点C时，点P、Q停止运动．当四边形ABQP的面积是△ABC面积的一半时，求点P运动的时间． 【变式2】如图，在矩形中，，，，两点分别从，两点以和的速度在矩形边上沿逆时针方向运动，其中有一点运动到点停止，问几秒后，为等腰三角形？ 【变式3】如图，在矩形中，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B匀速运动，点Q以的速度向终点D匀速运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．    (1)当时，求四边形的面积； (2)当t为何值时，为？ (3)当___，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形？ 【变式4】如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm． （1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①经过几秒，PQ的长度为4cm？ ②线段PQ能否将△ABC分成两部分，使得△PBQ的面积是四边形APQC的面积的2倍？若能，求出运动时间；若不能请说明理由； （2） 若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？（直接写出答案） ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$