2.3 不等式的解集 暑假预习讲义 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级数学下册暑假典题巩固练习 2.3 不等式的解集 一、基础知识 不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。 不等式解集的表示： （1） （2） （3） （4） 二、典题练习 一、单选典题练习 1．已知关于x的不等式组的解集是x≥a，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B．a＞﹣1 C．a≤﹣1 D．a＜﹣1 2．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围为（　　） A．m＝5 B．m＞5 C．m＜5 D．m≤5 3．若不等式（a+1）x＞a+1的解是x＜1，那么a满足（　　） A．a＜0 B．a＞﹣1 C．a＜﹣1 D．a＜1 4．已知关于x的不等式ax+b＞0的解集是x＜1，则关于x的不等式的解集是（　　） A．﹣1＜x＜5 B．x＜﹣1或x＞5 C．x＜1或x＞5 D．x＞5 5．已知关于x的不等式组，下列四个结论： ①若它的解集是1＜x⩽2，则a＝3； ②当a＝2，不等式组有解； ③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是5⩽a＜6； ④若它无解，则a⩽2． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．不等式组的解集为x＜6m+3，则m的取值范围是（　　） A．m≤0 B．m＝0 C．m＞0 D．m＜0 二、填空典题练习 7．已知不等式组，在同一条数轴上表示不等式①，②的解集如图所示，则b﹣a的值为　 　． 8．一元一次不等式组的解集是x＞1，则m的取值范围是　 　 9．我们[a]用表示不大于a的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣2.3]＝﹣3．若[x]+3＝1，则x的取值范围是　 　． 10．若关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是　 　． 11．若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是　 　． 12．如果不等式组有解，则的解集为　 　． 三、解答典题练习 13．已知关于x，y的方程组． （1）当a＝5时，求方程组的解； （2）若4≤x＜5，求a的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出a的取值范围． 14．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下：a@b＝a﹣2b，例如5@3＝5﹣6＝﹣1，5@（﹣3）＝5﹣（﹣6）﹣11． （1）比较8@2与2@（﹣1）的大小，并说明理由． （2）若x@2＜1，求x的取值范围． （3）若不等式组的解集为x＜2，求m的取值范围． 15．认真阅读下面的材料，完成有关问题， 材料：在学习绝对值时，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a﹣b|．例如：数轴上﹣1与3对应的点之间的距离为|﹣1﹣3|＝4． （1）点A，B，C在数轴上分别表示有理数x，﹣2，1，那么C到B的距离为 　 　，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 　 　（用含绝对值的式子表示）； （2）利用数轴探究：当x取何值时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值是多少？ （3）①根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由图可得出：绝对值不等式|x|＞1的解集是x＜﹣1或x＞1；绝对值不等式|x|≤3的解集，是﹣3≤x≤3，则：不等式|x|≥4的解集是 　 　； ②利用数轴解不等式|x+1|+|x﹣3|＞4，并加以说明． 16．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，两个不等式的解集相同，则称A与B为同解不等式． （1）若关于x的不等式A：1﹣3x＞0，不等式B：1是同解不等式，求a的值； （2）若关于x的不等式C：x+1＞mn，不等式D：x﹣3＞m是同解不等式，其中m，n是正整数，求m，n的值； （3）若关于x的不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0，不等式Q：2x是同解不等式，试求关于x的不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解集． 17．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． （1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的关联方程是 　 　；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是 　 　；（写出一个即可） （3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围． 18．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． |x|＜3． x表示到原点距离小于3的数，从图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3； |x|＞3． x表示到原点距离大于3的数，从图2所示的数轴上看：小于﹣3的数和大于3的数，它们到原点距离大于3，所以|x|＞3的解集是x＜﹣3或x＞3． 解答下面的问题： （1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为 　 　，不等式|x|＞a（a＞0）的解集为 　 　． （2）解不等式|x﹣4|＜2． （3）解不等式2|x+3|﹣7＞5． （4）直接写出不等式|x﹣2|+|x+3|＜8的解集：　 　． 参考答案 一、单选典题练习 1-6．BDCBCA． 二、填空典题练习 7．2． 8．m≤0． 9．﹣2≤x＜﹣1． 10．a＜1 11．a≥﹣1 12．x＜1﹣b． 三、解答典题练习 13．解：（1）由题意得：， ①+②，得2x＝14， 解得x＝7， 把x＝7代入①，得y＝2， 故方程组的解为； （2）方程组， ①+②得，2x＝a+9， 解得x， ∵4≤x＜5，即45， 解得﹣1≤a＜1， 在数轴上表示﹣1≤a＜1如图所示： 14．解：（1）8@2＝2@（﹣1），理由如下： ∵a@b＝a﹣2b， ∴8@2＝8﹣2×2＝4，2@（﹣1）＝2﹣2×（﹣1）＝4， ∴8@2＝2@（﹣1）； （2）∵x@2＝x﹣2×2＝x﹣4， ∴不等式x@2＜1可转化为：x﹣4＜1， ∴x＜5； （3）∵3@（m﹣x）＝3﹣2（m﹣x）＝3﹣2m+2x， ∴不等式3@（m﹣x）＜5可转化为：3﹣2m+2x＜5， ∴x＜m+1， ∵不等式组组的解集为x＜2， ∴m+1≥2， ∴m≥1． 15．解：（1）BC＝|﹣2﹣1|＝3，AB+AC＝|﹣2﹣x|+|x﹣1|＝|x+2|+|x﹣1|， ∴C到B的距离为3，A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|， 故答案为：3，|x+2|+|x﹣1|． （2）|x﹣3|+|x﹣2|的几何意义是数轴上x对应的点分别到2和3对应点的距离之和， ∴当2≤x≤3时，|x﹣3|+|x﹣2|有最小值，最小值是1． （3）①根据绝对值的几何意义可知，不等式|x|≥4的解集是x≤﹣4或x≥4． 故答案为：x≤﹣4或x≥4． ②根据绝对值的几何意义，不等式|x+1|+|x﹣3|＞4的解集在数轴上表示如图，解集为x＜﹣1或x＞3． 理由如下：∵|x+1|+|x﹣3|＞4的几何意义是数轴上x对应的点分别到﹣1和3对应的点的距离之和大于4，而且﹣1与3对应两点之间的距离为4， ∴|x+1|+|x﹣3|＞4的解集为x＜﹣1或x＞3． 16．解：（1）解关于x的不等式A：1﹣3x＞0，得x， 解不等式B：1，得x， 由题意得：， 解得：a＝1． （2）解不等式C：x+1＞mn得：x＞mn﹣1， 不等式D：x﹣3＞m得：x＞m+3， ∴mn﹣1＝m+3， ∴m， ∵m，n是正整数， ∴n﹣1为1或4或2， ∴m＝4，n＝2或；m＝1，n＝5或m＝2，n＝3． （3）解不等式P：（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0得：x（2a﹣b＜0）， 解不等式Q：2x得：x， ∴， ∴7a＝8b， ∵2a﹣b＜0， ∴4b＝3.5a，且a＜0， ∴a﹣4b＝a﹣3.5a＝﹣2.5a＞0， ∴（a﹣4b）x+2a﹣3b＜0的解为：x． 17．解：（1）解方程3x﹣1＝0得：x， 解方程x+1＝0得：x， 解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2， 解不等式组得：x， 所以不等式组的关联方程是③， 故答案为：③； （2）解不等式组得：x， 这个关联方程可以是x﹣1＝0， 故答案为：x﹣1＝0（答案不唯一）； （3）解方程3﹣x＝2x得：x＝1， 解方程3+x＝2（x）得：x＝2， 解不等式组得：m＜x≤2+m， ∵方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x）都是关于x的不等式组的关联方程， ∴0≤m＜1， 即m的取值范围是0≤m＜1（答案不唯一）． 18．解：（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为﹣a＜x＜a； 不等式|x|＞a（a＞0）的解集为x＞a或x＜﹣a． 故答案为：﹣a＜x＜a，x＞a或x＜﹣a． （2）|x﹣4|＜2， ∴﹣2＜x﹣4＜2， ∴2＜x＜6； （3）2|x+3|﹣7＞5， ∴x+3＞6或x+3＜﹣6， ∴x＞3或x＜﹣9； （4）在数轴上找出|x﹣2|+|x+3|＝8的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到2和﹣3对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． 当x＜﹣3时，y＝2﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣1， 当﹣3＜x＜2时，y＝x﹣2﹣x﹣3＝﹣5， 当x＞2时，y＝x﹣2+x+3＝2x+1， ∴， 解得﹣4.5＜x＜3.5． 故答案为：﹣4.5＜x＜3.5． 学科网（北京）股份有限公司 $$