1.2.1 直线的点斜式方程（2种题型基础练+能力提升练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第一册）

1.2.1 直线的点斜式方程（2种题型基础练+能力提升练） 题型一：点斜式方程 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 2.（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 3.（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 4.写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． 题型二：斜截式方程 1.（22-23高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 4.（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 5.根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)． 一、单选题 1．（22-23高二上·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·四川泸州·期末）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西大同·期末）直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 二、多选题 4．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边上的中线所在的直线方程为 D．边所在的直线方程为 三、填空题 5．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 . 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 7．（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 四、解答题 8．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 9．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 10.求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 11．已知某直线过点(－10,10)，且它与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍，求该直线方程． 12．已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝45°，∠B＝45°.求： (1)直线AB的方程； (2)直线AC和BC的方程． 13．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2.1 直线的点斜式方程（2种题型基础练+能力提升练） 题型一：点斜式方程 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期中）经过点，斜率为3的直线方程为 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程点斜式的定义即可得解. 【详解】由题意经过点，斜率为3的直线方程为，整理得. 故答案为：. 2.（23-24高二上·全国·课后作业）已知，，则过的中点且倾斜角为，直线的点斜式方程是 ． 【答案】 【分析】求出中点坐标和斜率后，根据点斜式可得结果. 【详解】设的中点为，则， 又斜率， 所以直线的点斜式方程为． 故答案为： 3.（23-24高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为3； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点，倾斜角是． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）利用倾斜角是可得直线斜率为，代入点斜式方程求出结果； 【详解】（1）由题意可知，将和斜率3直接代入直线点斜式方程可得， 直线的点斜式方程为； （2）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 （3）由倾斜角是可得直线斜率， 将代入点斜式方程即为 4.写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． 【解析】解　(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 所以直线的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0， 即y＝－1. (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程. 题型二：斜截式方程 1.（22-23高二上·重庆南岸·期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案. 【详解】斜率， 点斜式方程为， 斜截式方程为. 故选：A 2．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）过点且与直线垂直的直线的斜截式方程是 . 【答案】 【分析】根据题意，由两直线垂直可得，再由点斜式方程，即可得到结果. 【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，所以直线的方程为，化简可得. 故答案为： 3．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l的斜率为，且过点，则直线l在y轴上的截距是 . 【答案】 【分析】利用点斜式求直线方程，再转化为斜截式方程，即可得出直线在轴上的截距． 【详解】由点斜式方程得，转化为斜截式方程可得， 所以该直线在轴上的截距为. 4.（2023高二上·江苏·专题练习）已知直线l的斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】直线l的斜截式方程为，求出直线在坐标轴上的截距，表示出三角形面积，解出的值得方程. 【详解】设直线方程为，则令得；令得， 由题意得，即，所以， 所以直线l的方程为或. 5.根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)． 【解析】解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3. (2)∵倾斜角是60°， ∴斜率k＝tan 60°＝，由斜截式可得方程为y＝x＋5. (3)斜率为k＝＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式为y＝－5x－7. 一、单选题 1．（22-23高二上·河南·阶段练习）经过点，斜率为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据点斜式方程求解即可. 【详解】解：根据题意，经过点，斜率为的直线的点斜式方程为. 故选：B 2．（22-23高二上·四川泸州·期末）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线的方程，得到其在轴的截距，列出不等式，即可得到结果. 【详解】设直线l的斜率为，则方程为， 令，解得， 故直线l在x轴上的截距为， ∵在x轴上的截距的取值范围是， ∴，解得或. 故选：C. 3．（23-24高二上·山西大同·期末）直线过点，，则直线在轴上的截距是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，令可解. 【详解】由题可得直线的斜率， 再由点斜式方程可得， 化简可得，令， 则直线在轴上的截距为． 故选：D． 二、多选题 4．（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知的三个顶点为，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜率为 B．直线的倾斜角为钝角 C．边上的中线所在的直线方程为 D．边所在的直线方程为 【答案】BCD 【分析】利用斜率公式可判断A选项；利用斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，所以，直线的倾斜角为钝角，B对； 对于C选项，线段的中点为，则， 所以，边上的中线所在的直线方程为，即，C对； 对于D选项，边所在的直线方程为，即，D对. 故选：BCD. 三、填空题 5．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知斜率为2的直线经过点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据直线点斜式方程，直线斜率为且过点时，直线方程为，代入题中已知即可得出答案. 【详解】已知直线斜率为2且经过点， 由直线点斜式方程得直线的方程为：，即. 故答案为：. 6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是 . 【答案】 【分析】根据题意，分别求得直线在轴的截距，结合三角形的面积公式，即可得到结果. 【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 令，得，所以直线与轴交点坐标为， 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为， 解得. 故答案为： 7．（23-24高二上·全国·课后作业）与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为 ；它与y轴的交点为 . 【答案】 【分析】根据与直线垂直，求出斜率，再根据在y轴上的截距为4，求出直线方程. 【详解】设所求直线斜率为k，则， 即，又在y轴上的截距为4， 则直线为，与y轴交点为. 故答案为：；. 四、解答题 8．（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】根据直线的斜距式方程，可得轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解. 【详解】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 9．（23-24高二上·上海·期末）已知直线过点． (1)若直线过点，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线过两点求出斜率，由点斜式方程求出直线方程； （2）设出直线的点斜式方程，列式运算即可得出直线方程. 【详解】（1）由直线过点，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线过点，在轴和轴上的截距相等， 设直线的方程为，， 令得，令得，则， 解得或， 所以直线的方程为或. 10.求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 【解析】解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. ∵直线过点P(－2,3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为 y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 11．已知某直线过点(－10,10)，且它与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍，求该直线方程． 【解析】解　易知直线方程的斜率存在且不为0，设直线方程为y－10＝k(x＋10)， 令y＝0，则x＝－－10，令x＝0，则y＝10k＋10， ∵直线与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍， ∴－－10＝4(10k＋10)，解得k＝－或k＝－1， ∴直线方程为y＝－x或y＝－x＋. 12．已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝45°，∠B＝45°.求： (1)直线AB的方程； (2)直线AC和BC的方程． 【解析】解　(1)因为A(1,1)，B(5,1)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为y＝1. (2)由题意知，直线AC的倾斜角为∠A＝45°，所以kAC＝tan 45°＝1. 又直线AC过点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x. 同理可知，直线BC的倾斜角为180°－∠B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1. 又直线BC过点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1×(x－5)，即y＝－x＋6. 13．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 14．已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点； (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围． 【解析】(1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)． (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足 即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$