专题2.5 直线与圆的位置关系（六个考点3个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题2.5 直线与圆的位置关系（六个考点3个易错点） 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 【考点3 切线的判定】 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 【考点6 三角形的内切圆与内心】 【易错点1 直线与圆的位置关系】 【易错点2 切线的性质】 【易错点3三角形的内切圆与内心】 【考点1 直线与圆的位置关系的判定】 1．（2024•镇海区校级二模）已知⊙O的直径为6cm，点O到直线l的距离为4cm，则l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 2．（2023秋•梁溪区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣3，4）为圆心，3为半径的圆（　　） A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交 C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离 3．（2023秋•巴南区期末）已知⊙O的半径r为3cm，圆心O到直线l的距离d为4cm，直线l与⊙O的公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对 4．（2024•崇明区二模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（　　） A．5≤r≤12或 B．5＜r＜12 C． D． 5．（2024•汉川市模拟）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 6．（2024春•大足区期末）如图，CD是⊙O的切线，点C是切点，连接DO交⊙O于点B，延长DO交⊙O于点A，连接AC，若∠D＝30°，OB＝1，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 7．（2024•山西）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 8．（2024•北碚区校级模拟）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BO的延长线于点D，若OB＝1，则OD的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 9．（2024•威海模拟）如图，AB是⊙O的直径，AE⊥EP，垂足为E，直线EP与⊙O相切于点C，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，若∠APC＝36°，则∠CAE的度数是（　　） A．27° B．18° C．30° D．36° 10．（2024•九龙坡区二模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径，圆O恰好与BC相切于点D，连接AD，若AD平分∠CAB，BD＝2，则线段AC的长是（　　） A．2 B． C． D．3 11．（2024•合阳县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，连接AD，若∠BAC＝60°，OB＝6，则AC的长为（　　） A．6 B．4.5 C．3 D．2 12．（2024•临颍县一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC与⊙O相切于点A，OC交⊙O于点D，连接BD，若∠C＝30°，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 13．（2024•梅州模拟）如图所示，为了测量一个圆形徽章的半径，小明把徽章与直尺相切于点B，水平移动一个含60°角的三角尺与徽章相切时停止，三角尺与直尺交于点A．小明测量出AB＝2cm，则这枚徽章的半径是（　　）cm． A． B．2 C．3 D．4 【考点3 切线的判定】 14．（2024•良庆区校级模拟）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：AD＝CD； （2）求证：DE为⊙O的切线． 15．（2024•凉州区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝＝，DE⊥AC． 求证：DE是⊙O的切线． 16．（2024•仓山区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． 求证：直线DE是⊙O的切线． 17．（2024•福州模拟）如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线． 18．（2024•古浪县三模）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D． 求证：CD是⊙O的切线． 19．（2024•武威二模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 20．（2023秋•蛟河市期末）如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 21．（2024春•金溪县校级月考）如图，直径AB⊥弦CD于点E，PD∥AC． （1）求证：AC＝PD； （2）若直径AB＝6，，求证：PD是⊙O的切线． 22.（2024•宁城县模拟）如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长． 23．（2024•吉安一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AC＝13，BC＝10，求DE长． 24．（2024•惠州模拟）如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C＝∠BAD，且BD⊥AB于B． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，AB＝4，求AD的长． 25．（2024•崂山区校级三模）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 26．（2024•无为市三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E． （Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若AB＝2，∠C＝30°，求DE的长． 27．（2024•肥东县模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E．连接DA、DB． （I）求证：DE是⊙O的切线； （2）延长ED交AB的延长线于F，若AD＝DF，DE＝，求⊙O的半径． 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 28．（2024•城中区校级一模）如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 29．（2023秋•斗门区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 30．（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化 31．（2022秋•双台子区期中）如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（　　） A．36° B．63° C．126° D．46° 32．（2023秋•滨城区期中）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　　． 【考点6 三角形的内切圆与内心】 33．（2024•长沙模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 34．（2024•巴东县模拟）如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 35．（2024•桥西区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　） A．20 B．15 C．18 D．12 36．（2024•南充模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，连接BO并延长与AC交于点D，则∠AOD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．65° 37．（2024•新华区校级模拟）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 38．（2023秋•渝中区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（　　） A． B． C．16 D．32 39．（2023秋•东城区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为2，AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（　　） A． B．24 C．26 D．52 40．（2023秋•东阳市期末）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【易错点1 直线与圆的位置关系】 1．在同一平面内，已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是（　　） A．2 B．6 C．10 D．14 【易错点2 切线的性质】 2．如图，A、B是⊙O上的两点，连接AB并延长到C，CD与⊙O相切于点D，且CD⊥AC，若AB＝BC＝4，则CD＝（　　） A． B． C． D．4 3．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C在优弧上，∠P＝70°，则∠C的度数为（　　） A．110° B．70° C．55° D．65° 4．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（　　） A．4 B． C． D．6 5．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝，则BE的长度是 　 　． 6．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　 　． 7．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是 　 　． 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 　 　． 9．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为 　 　时，△POA是等腰三角形． 10．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，若以点A为圆心的圆与直线BC相切，则⊙A的半径为 　 　． 【易错点3三角形的内切圆与内心】 11．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．100° B．104° C．105° D．114° 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5．（2024•汉川市模拟）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【解答】解：设⊙O的半径为r， 解一元一次方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝4，x2＝﹣1， ∵⊙O的半径是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根， ∴r＝4， ∵圆心O到直线l的距离d＝6， ∴d＞r， ∴直线l与⊙O相离， 故选：B． 【考点2 利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】 6．（2024春•大足区期末）如图，CD是⊙O的切线，点C是切点，连接DO交⊙O于点B，延长DO交⊙O于点A，连接AC，若∠D＝30°，OB＝1，则AC的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接OC、BC，则OB＝OC＝1， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，AB＝2OB＝2， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∵∠D＝30°， ∴∠COD＝60°， ∴△BOC是等边三角形， ∴BC＝OB＝1， ∴AC＝＝＝， 故选：C． 7．（2024•山西）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】D 【解答】解：∵， ∴∠B＝． ∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A， ∴∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣40°＝50°． 故选：D． 8．（2024•北碚区校级模拟）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交BO的延长线于点D，若OB＝1，则OD的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解答】解：连接OA， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC， ∴， ∴BD⊥AC， ∴∠ABD＝ABC＝30°， ∵OB＝OA， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°， ∴∠AOD＝∠ABO+∠BAO＝60°°， ∵AD是⊙O的切线， ∴∠OAD＝90°， ∴∠D＝30°， ∴OD＝2OA＝2， 故选：A． 9．（2024•威海模拟）如图，AB是⊙O的直径，AE⊥EP，垂足为E，直线EP与⊙O相切于点C，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，若∠APC＝36°，则∠CAE的度数是（　　） A．27° B．18° C．30° D．36° 【答案】A 【解答】解：连接OC， ∵PE与⊙O相切于C， ∴半径OC⊥PE， ∵AE⊥PE， ∴OC∥AE， ∴∠EAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠ACO， ∴∠EAC＝∠CAO＝∠PAE， ∵∠PAE＝90°﹣∠P＝90°﹣36°＝54°， ∴∠EAC＝×54°＝27°． 故选：A． 10．（2024•九龙坡区二模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OA为半径，圆O恰好与BC相切于点D，连接AD，若AD平分∠CAB，BD＝2，则线段AC的长是（　　） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【解答】解：连接OD， ∵⊙O与BC相切于点D， ∴∠BDO＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠OAD＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠C＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴AD＝BD＝2， ∴AC＝AD•cos∠CAD＝2×＝3． 故答案为：D． 11．（2024•合阳县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好与BC相切于点D，连接AD，若∠BAC＝60°，OB＝6，则AC的长为（　　） A．6 B．4.5 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：如图，连接OD，则OD⊥BC， ∵∠C＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠B＝30°， ∵OB＝6， ∴， ∴OA＝OB＝3， ∴AB＝OA+OB＝9， ∴． 故选：B． 12．（2024•临颍县一模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC与⊙O相切于点A，OC交⊙O于点D，连接BD，若∠C＝30°，则BD的长为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【解答】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径，AB＝4， ∴∠ADB＝90°，OD＝OA＝AB＝2， ∵AC与⊙O相切于点A， ∴AC⊥AB， ∴∠OAC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠AOD＝90°﹣∠C＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD＝OA＝2， ∴BD＝＝＝2， 故选：D． 13．（2024•梅州模拟）如图所示，为了测量一个圆形徽章的半径，小明把徽章与直尺相切于点B，水平移动一个含60°角的三角尺与徽章相切时停止，三角尺与直尺交于点A．小明测量出AB＝2cm，则这枚徽章的半径是（　　）cm． A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：设圆的圆心为O点，连接OB、OA，如图， ∵AB、AC为⊙O的切线， ∴OA平分∠BAC，OB⊥AB， 而∠BAC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠OAB＝∠BAC＝60°， 在Rt△OAB中，∵AB＝2cm， ∴OA＝2AB＝4cm， ∴OB＝＝2（cm）． 即这枚徽章的半径是2cm． 故选：B． 【考点3 切线的判定】 14．（2024•良庆区校级模拟）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为E． （1）求证：AD＝CD； （2）求证：DE为⊙O的切线． 【答案】（1）见解答； （2）见解答． 【解答】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ADB＝90°， ∵BA＝BC， ∴AD＝CD； （2）证明：连接OD，如图， ∵AD＝CD，AO＝OB， ∴OD为△BAC的中位线， ∴OD∥BC， ∴DE⊥BC， ∴OD⊥DE， ∵OD是半径， ∴DE为⊙O的切线． 15．（2024•凉州区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，＝＝，DE⊥AC． 求证：DE是⊙O的切线． 【答案】见解析． 【解答】证明：连接OD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵OA＝OD， ∴∠ADO＝∠DAB＝30°， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠EAD+∠EDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． 16．（2024•仓山区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F． 求证：直线DE是⊙O的切线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接OD，如图， ∵BA＝BC， ∴∠A＝∠C， ∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ODA， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DE⊥OD， ∵OD为半径， ∴直线DE是⊙O的切线． 17．（2024•福州模拟）如图，在△ABC中，CA＝CB，O为AB上一点．以O为圆心，OB长为半径的⊙O过点C，交AB于另一点D．若D是OA的中点，求证：AC是⊙O的切线． 【答案】证明见解答． 【解答】证明：连接OC、DC， ∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B， ∵若D是OA的中点， ∴DA＝OD＝OB， ∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， 在△ADC和△BOC中， ， ∴△ADC≌△BOC（SAS）， ∴∠ACD＝∠BCO， ∴∠OCA＝∠OCD+∠ACD＝∠OCD+∠BCO＝∠BCD＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且AC⊥OC， ∴AC是⊙O的切线． 18．（2024•古浪县三模）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD交⊙O于点C，CD⊥AD，垂足为点D． 求证：CD是⊙O的切线． 【答案】证明过程见解答． 【解答】证明：连接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠BAC， ∵OC＝OA， ∴∠BAC＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO， ∴OC∥AD， ∵CD⊥AD， ∴OC⊥DC， ∵OC过圆心O， ∴CD是⊙O的切线． 19．（2024•武威二模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB．求证：直线AB是⊙O的切线． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：连接OC，如图， ∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB， ∴直线AB是⊙O的切线． 20．（2023秋•蛟河市期末）如图，在△ABC，AC＝BC，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线． 【答案】证明见解答． 【解答】解：连接OD，如图所示， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠A， ∴OD∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE为⊙O的切线． 【考点4切线的性质与判定的综合运用】 21．（2024春•金溪县校级月考）如图，直径AB⊥弦CD于点E，PD∥AC． （1）求证：AC＝PD； （2）若直径AB＝6，，求证：PD是⊙O的切线． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】证明：（1）∵PD∥AC， ∴∠A＝∠P， ∵直径AB⊥弦CD于点E， ∴CE＝DE，∠CEA＝∠DEP＝90°， ∴△CEA≌△DEP（AAS）， ∴AC＝PD； （2）连接OD，BC， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝6，， ∴， ∴∠A＝30°， ∵直径AB⊥弦CD于点E， ∴＝， ∴∠BOD＝2∠A＝60°， 由（1）得∠A＝∠P＝30°， ∴∠ODP＝90°，即OD⊥PD， ∴PD是⊙O的切线． 22.（2024•宁城县模拟）如图，AB为⊙O的直径，D、T是圆上的两点，且AT平分∠BAD，过点T作AD延长线的垂线PQ，垂足为C． （1）求证：PQ是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为2，，求弦AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）连接OT； ∵OT＝OA， ∴∠ATO＝∠OAT， 又∵∠TAC＝∠BAT， ∴∠ATO＝∠TAC， ∴OT∥AC； ∵AC⊥PQ， ∴OT⊥PQ， ∴PQ是⊙O的切线． （2）解：过点O作OM⊥AC于M，则AM＝MD； 又∠OTC＝∠ACT＝∠OMC＝90°， ∴四边形OTCM为矩形， ∴， ∴在Rt△AOM中，， ∴弦AD的长为2． 23．（2024•吉安一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若AC＝13，BC＝10，求DE长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵OB＝OD， ∴∠ABC＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥EF， ∵OD是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）解：∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC， ∴BD＝5， ∴， ∵在直角△ADC中，AD＝12，CD＝BD＝5，AC＝13， ∴ 即． 24．（2024•惠州模拟）如图，已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C＝∠BAD，且BD⊥AB于B． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，AB＝4，求AD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，则∠ABE＝90°， ∴∠EAB+∠E＝90°． ∵∠E＝∠C，∠C＝∠BAD， ∴∠EAB+∠BAD＝90°． ∴AD是⊙O的切线． （2）解：由（1）可知∠ABE＝90°，直径AE＝2AO＝6，AB＝4， ∴． ∵∠E＝∠C＝∠BAD，BD⊥AB， ∴cos∠BAD＝cos∠E． ∴． ∴． 25．（2024•崂山区校级三模）如图，以点O为圆心，AB长为直径作圆，在⊙O上取一点C，延长AB至点D，连接DC，∠DCB＝∠DAC，过点A作AE⊥AD交DC的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若CD＝4，DB＝2，求AE的长． 【答案】（1）见解析； （2）6． 【解答】（1）证明：连接OC，OE，如图， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°，即∠BCO+∠1＝90°， 又∵∠DCB＝∠CAD， ∵∠CAD＝∠OCA， ∴∠OCA＝∠DCB， ∴∠DCB+∠BCO＝90°， 即∠DCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵∠DCO＝90°，OC＝OB， ∴OC2+CD2＝OD2， ∴OB2+42＝（OB+2）2， ∴OB＝3， ∴AB＝6， ∵AE⊥AD，AB是⊙O的直径， ∴AE是⊙O的切线， ∵CD是⊙O的切线； ∴AE＝CE， ∵AD2+AE2＝DE2， ∴（6+2）2+AE2＝（4+AE）2， 解得AE＝6． 26．（2024•无为市三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E． （Ⅰ）求证：DE是⊙O的切线； （Ⅱ）若AB＝2，∠C＝30°，求DE的长． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠CED＝90°， ∵OD是⊙O的半径，DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵∠B＝∠C＝30°，OD＝OA， ∴∠AOD＝2∠B＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴OD＝AD＝AB＝1， ∵∠ADE＝∠ODE﹣∠ODA＝90°﹣60°＝30°， ∴AE＝， ∴DE＝＝＝． 27．（2024•肥东县模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E．连接DA、DB． （I）求证：DE是⊙O的切线； （2）延长ED交AB的延长线于F，若AD＝DF，DE＝，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）2． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵D为的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∵DE⊥AC， ∴∠E＝90°， ∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE为半圆O的切线； （2）解：∵AD＝DF， ∴∠DAF＝∠DFA， 又∵∠EAD＝∠DAF， ∴∠EAD＝∠DAF＝∠DFA， ∵DE⊥AC， ∴∠AEF＝90°， ∴∠EAD＝∠F＝∠DAB＝30°， ∴AD＝2DE＝2， ∴BD＝＝2， ∴AB＝2BD＝4， ∴⊙O的半径为2． 【考点5 利用切线长定理的性质求线段长度或周长】 28．（2024•城中区校级一模）如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB＝10，CD＝15，则四边形ABCD的周长为（　　） A．60 B．55 C．45 D．50 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD外切于⊙O，切点分别为E、G、H、F， ∴AE＝AF，BE＝BG，CG＝CH，DH＝DF， ∴AD+BC＝AF+DF+BG+CG＝AE+DH+BE+CG＝AB+CD＝10+15＝25， ∴四边形ABCD的周长为：AD+BC+AB+CD＝25+25＝50， 故选：D． 29．（2023秋•斗门区期末）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 30．（2022秋•凤台县期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　） A．12cm B．7cm C．6cm D．随直线MN的变化而变化 【答案】B 【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点， ∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm， ∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm， 故DM＝MF，FN＝EN， ∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）． 故选：B． 31．（2022秋•双台子区期中）如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB＝54°，则∠COD＝（　　） A．36° B．63° C．126° D．46° 【答案】B 【解答】解：如图，连接OA，OB，OE， ∵PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E， ∴∠AOC＝∠EOC， 同理∠BOD＝∠DOE， ∴∠COD＝∠COE+∠DOE＝∠AOB， ∵∠APB＝54°， ∴∠AOB＝126°， ∴∠COD＝63°． 故选：B． 32．（2023秋•滨城区期中）如图，⊙O内切于正方形ABCD，O为圆心，作∠MON＝90°，其两边分别交BC，CD于点N，M，若CM+CN＝10，则⊙O的面积为 　25π　． 【答案】25π 【解答】解：设⊙O与正方形ABCD的边CD切于E，与BC切于F， 连接OE，OF， 则四边形OECF是正方形， ∴CF＝CE＝OE＝OF，∠OEM＝∠OFN＝∠EOF＝90°， ∵∠MON＝90°， ∴∠EOM＝∠FON， ∴△OEM≌△OFN（ASA）， ∴EM＝NF， ∴CM+CN＝CE+CF＝10， ∴OE＝5， ∴⊙O的面积为25π， 故答案为：25π． 【考点6 三角形的内切圆与内心】 33．（2024•长沙模拟）如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BE＝2，CF＝4，则△ABC的周长为（　　） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】A 【解答】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F， ∴AD＝AF，BD＝BE，EC＝FC， ∵AD＝3，BE＝2，CF＝4， ∴AF＝3，BD＝2，CE＝4， ∴BC＝BE+EC＝6，AB＝AD+BD＝5，AC＝AF+FC＝7， ∴△ABC的周长＝BC+AB+AC＝18． 故选：A． 34．（2024•巴东县模拟）如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝130°，则∠C等于（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 【答案】D 【解答】解：∵∠AIB＝130°， ∴∠IAB+∠IBA＝50°， ∵点I是△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠ABC， ∴∠CAB+∠ABC＝100°， ∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝80°， 故选：D． 35．（2024•桥西区校级二模）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（　　） A．20 B．15 C．18 D．12 【答案】B 【解答】解：∵O为△ABC的内心， ∴点O到AB，AC的距离相等， ∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3． ∵△ABO的面积为20， ∴△ACO的面积为15． 故选：B． 36．（2024•南充模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，连接BO并延长与AC交于点D，则∠AOD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．65° 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AO平分∠CAB，OB平分∠ABC， ∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA， ∴∠OAB+∠OBC＝（∠CAB+∠CBA）＝45°， ∴∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝45°， 故选：B． 37．（2024•新华区校级模拟）要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形（　　） A．三边高线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【解答】解：∵三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆， ∴在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形三个角的平分线的交点， 故选：B． 38．（2023秋•渝中区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（　　） A． B． C．16 D．32 【答案】B 【解答】解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥AC于E点，OF⊥BC于F点，连接OA、OB，如图， ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴OD＝OE＝OF，OC平分∠ACB， ∴∠OCE＝∠OCF＝∠ACB＝45°， ∴OE＝OC＝， ∴OD＝OF＝， ∵S△AOB+S△AOC+S△BOC＝S△ABC， ∴××AB+××AC+××BC＝×（AB+AC+BC）， ∵AB+AC+BC＝16， ∴△ABC的面积＝××16＝8， 故选：B． 39．（2023秋•东城区期末）如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F．若⊙O的半径为2，AB＝6，AC＝8，BC＝12，则△ABC的面积为（　　） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【解答】解：连接OD、OE、OF、OA、OB、OC， ∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F， ∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∵OD＝OE＝OF＝2，AB＝6，AC＝8，BC＝12， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×6×2+×12×2+×8×2＝26， 故选：C． 40．（2023秋•东阳市期末）已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：设这个三角形的内切圆半径是r， ∵三角形周长为12，面积为6， ∴×12r＝6， 解得r＝1． 故选：D． 【易错点1 直线与圆的位置关系】 1．在同一平面内，已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为6，P为圆上的一个动点，则点P到直线l的距离不可能是（　　） A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】D 【解答】解：如图， 由题意得，OA＝4，OB＝6， 当点P在BO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大， 此时，点P到直线l的最大距离是6+4＝10， 当点P在BO与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最小， 此时，点P到直线l的最小距离是6﹣4＝2． ∴点P到直线l的距离2≤d≤10， 故点P到直线l的距离不可能是14． 故选：D． 【易错点2 切线的性质】 2．如图，A、B是⊙O上的两点，连接AB并延长到C，CD与⊙O相切于点D，且CD⊥AC，若AB＝BC＝4，则CD＝（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【解答】解：解法一：连接OD，OB，过点O作OE⊥AB于E， ∴AE＝BE＝AB＝2， ∵CD⊥AC，OE⊥AB， ∴∠ACD＝∠OEC＝90°， ∵CD与⊙O相切于点D， ∴∠ODC＝90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∴OE＝CD，OD＝CE＝BE+BC＝2+4＝6， ∴OB＝OD＝6， 在Rt△OBE中，OE＝＝＝4， ∴OE＝CD＝4； 解法二：∵AB＝BC＝4， ∴AC＝AB+BC＝4+4＝8， ∵CD与⊙O相切于点D， ∴CD2＝CB•CA＝4×8＝32， ∴CD＝4或CD＝﹣4（舍去）； 故选：A． 3．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C在优弧上，∠P＝70°，则∠C的度数为（　　） A．110° B．70° C．55° D．65° 【答案】C 【解答】解：连接OA，OB， ∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝70°， ∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝110°， ∴∠C＝∠AOB＝55°， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，以M（2，3）为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则AC的长为（　　） A．4 B． C． D．6 【答案】B 【解答】解：设⊙M与x轴相切于点D，连接MD，过点M作ME⊥AC，垂足为E， ∴AC＝2AE， ∵⊙M与x轴相切于点D， ∴∠MDO＝90°， ∵M（2，3）， ∴ME＝2，MD＝3， ∴MA＝MD＝3， 在Rt△AEM中，AE＝＝＝， ∴AC＝2AE＝2， 故选：B． 5．如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝，则BE的长度是 　1　． 【答案】1． 【解答】解：连接OC， ∵CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝∠OCE＝90°， ∵∠ACD＝60°， ∴∠ACO＝∠OCD﹣∠ACD＝30°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝30°， ∴∠COB＝2∠A＝60°， ∴∠E＝90°﹣∠COB＝30°， ∴∠A＝∠E＝30°， ∴AC＝CE＝， 在Rt△COE中，CO＝CE•tan30°＝×＝1， ∴OE＝2CO＝2， ∵OB＝OC＝1， ∴BE＝OE﹣OB＝2﹣1＝1， ∴BE的长度为1， 故答案为：1． 6．如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 　　． 【答案】． 【解答】解：连接OC， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴∠OAP＝90°， ∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠OAP＝∠OBC＝90°， 在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12， ∴OP＝＝＝13， ∵△OAC的面积+△OCP的面积＝△OAP的面积， ∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP， ∴OA•AC+OP•BC＝OA•AP， ∴5AC+13BC＝5×12， ∴AC＝BC＝， 故答案为：． 7．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是 　3　． 【答案】3． 【解答】解：连接OB， 设⊙O的半径为r， ∵∠AOB＝2∠D，∠A＝∠D， ∴∠AOB＝2∠A， ∵AB是⊙O的切线，B为切点， ∴∠OBA＝90°， ∴∠A+∠AOB＝90°， ∴∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝OB，AO＝2OB， ∴3+r＝2r， ∴r＝3， ∴AB＝OB＝3， 故答案为：3． 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，M是AD的中点，点P是CD上一个动点，当∠APM的度数最大时，CP的长为 　4﹣2　． 【答案】4﹣2． 【解答】解：过点A、M作⊙O与CD相切于点P'，记PM 与⊙O交于点Q，连接AP′，MP′，OM，OP′，AQ， 则∠AP'M＝∠AQM＞∠APM，∠OP′D＝90°， ∴当点P运动到点P'时，∠AP'M最大， 作ON⊥AD于点N， 则MN＝AN＝， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝90°， ∴四边形OP'DN是矩形， ∵AB＝4，M是AD的中点， ∴AM＝DM＝2，MN＝1， ∴OM＝OP'＝DN＝DM+MN＝3， 在Rt△MON中， ON＝＝＝2， ∴DP'＝ON＝2， ∴CP'＝DC﹣DP'＝4﹣2， ∴当∠APM的度数最大时，CP的长为4﹣2． 故答案为：4﹣2． 9．已知点M（2.0），⊙M的半径为1，OA切⊙M于点A，点P为⊙M上的动点，当P的坐标为 　（1，0），（3，0）（，）　时，△POA是等腰三角形． 【答案】（1，0），（3，0），（，）． 【解答】解：如图，当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形．理由如下： 连接AM， ∵M（2.0），⊙M的半径为1， ∴OM＝2，AM＝PM＝1， ∴OP＝1， ∵OA切⊙M于点A， ∴∠MAO＝90°， ∴∠AOM＝30°， ∴∠AMO＝60°， ∴PA＝AM＝PM＝1， ∴OP＝PA＝1， ∴P（1，0）； 当OA＝OP′时，连接AP′交x轴于点H， ∵OA切⊙M于点A， ∴OP′切⊙M于点P′， ∴∠P′OM＝∠AOM＝30°， ∴∠AOP′＝60°， ∴△AOP′是等边三角形， ∴AP′＝OA＝＝＝， ∴OH＝OA＝，P′H＝AP′＝， ∴P′（，）； ∵MA＝MP″，∠AMO＝60°， ∴∠MAP″＝∠MP″A＝30°， ∴∠AOP″＝∠MP″A＝30°， ∴OA＝OP″， ∴P″（3，0）． 综上所述：当P的坐标为（1，0），（3，0），（，）时，△POA是等腰三角形． 故答案为：（1，0），（3，0），（，）． 10．如图，在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，若以点A为圆心的圆与直线BC相切，则⊙A的半径为 　2.4　． 【答案】2.4． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3， 由勾股定理得：BC＝＝＝5， ∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AD， ∴×3×4＝×5×AD， 解得：AD＝2.4， 则以点A为圆心的圆与直线BC相切，⊙A的半径为2.4， 故答案为：2.4． 【易错点3三角形的内切圆与内心】 11．如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．100° B．104° C．105° D．114° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝28°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°， ∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB， ∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB＝∠ABC+∠ACB ＝（∠ABC+∠ACB） ＝76°， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB） ＝180°﹣76° ＝104°， 故选：B． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$