专题10 三角形（4大题型）【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（云南专用）

专题10 三角形 （原卷版） 三角形全等的判定 1．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 2．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．    3．（2021·云南·中考真题）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：． 4．（2020·云南昆明·中考真题）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE． 5．（2020·云南·中考真题）如图，已知，．求证：． 6．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（    ） A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE 角平分线的判定和性质 7．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 8．（2021·云南·中考真题）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为 ． 等腰三角形 9．（2021·云南·中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 10．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 ． 勾股定理及逆定理 11．（2021·云南·中考真题）在中，，若，则的长是（    ） A． B． C．60 D．80 12．（2020·云南·中考真题）已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是 ． 三角形全等的判定 1．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，，过点C作，且使，过点D作，交的延长线于点E．求证：． 2．（2024·云南德宏·一模）如图，已知点，在线段上，，，．求证：． 3．（20-21八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，，是的对角线上的两点，且.求证：. 4．（2024·云南·二模）如图，为线段上一点，，，．求证：． 5．（2024·云南昭通·一模）如图，在中，D、E是边BC上两点，且．求证：． 角平分线的判定和性质 6．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比值为．如图，在中，，平分交于点D，则的值为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·云南玉溪·三模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径，画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 8．（2024·云南昆明·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．10 D． 9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在中，为直角，先以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点F，作射线交于点G，P为上的一个动点，连接，若，则的最小值为（    ） A．15 B．10 C．5 D．2.5 10．（2024·云南昭通·二模）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，的周长为，，则周长为（   ）    A． B． C． D． 等腰三角形 11．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，平分交于点．若，，则的周长为（    ） A．16 B．14 C．10 D．8 12．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，已知直线，为等腰直角三角形，且．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·云南昭通·二模）如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 14．（2024·云南大理·一模）已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的面积等于（    ） A．8 B． C．或 D． 15．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 16．（2024·云南昆明·二模）如图，的顶点，顶点，分别在第二、三象限，且轴，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·云南西双版纳·一模）如图，在中，，，点在上，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 勾股定理及逆定理 18．（2024·云南德宏·一模）如图，在矩形中，，，是的中点，则长为（   ） A．1 B． C． D． 19．（2024·云南楚雄·一模）如图，在中，，过点B作，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 20．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是由的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·云南红河·二模）如图，在中，，，则的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 22．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 23．（2024·云南文山·二模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点、分别是，的中点，若，，则的长度是（     ） A．2.4 B． C． D．5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角形 （解析版） 三角形全等的判定 1．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 2．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 3．（2021·云南·中考真题）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明． 【详解】解：在△ACD和△BDC中， ， ∴△ACD≌△BDC（SSS）， ∴∠DAC=∠CBD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法． 4．（2020·云南昆明·中考真题）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C＝∠E，AB＝AD．求证：BC＝DE． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质证明△BAC≌△DAE，即可得到结果； 【详解】证明：∵AC是∠BAE的平分线， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠C＝∠E，AB＝AD． ∴△BAC≌△DAE（AAS）， ∴BC＝DE． 【点睛】本题主要考查了三角形的全等判定及性质，准确利用角平分线的进行计算是解题的关键． 5．（2020·云南·中考真题）如图，已知，．求证：． 【答案】见详解． 【分析】根据SSS定理推出△ADB≌△BCA即可证明． 【详解】证明：在△ADB和△BCA中， ∴△ADB≌△BCA（SSS）， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能正确进行推理证明全等是解此题的关键． 6．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（    ） A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE 【答案】D 【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果． 【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC 当△DOE≌△FOE时，可得以下结论： OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF． A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确； B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确； C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确； D答案中，若∠ODE=∠OFE， 在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS） ∴D答案正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 角平分线的判定和性质 7．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 8．（2021·云南·中考真题）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为 ． 【答案】3或或或 【分析】将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答． 【详解】解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点， 如图，若∠ABC=90°， 则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点， 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 当AB=BC=6， 则DF=BC=3； 当AC=6， 则AB=BC==， ∴DF=BC=； 如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，AD=DF， 又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD， ∴△BAD≌△BFD（AAS）， ∴AB=BF， 当AB=AC=6， 则BC=， ∴BF=6，CF=， 在正方形ABEC中，∠ACB=45°， ∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=； 当BC=6， 则AB=AC==， 同理可得：， 综上：点D到直线AB的距离为：3或或或， 故答案为：3或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答． 等腰三角形 9．（2021·云南·中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到∠BOD，再利用弧长公式计算． 【详解】解：连接OB，OC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BOC=2∠BAC=120°， 又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO=∠CAO=30°， ∴∠BOD=60°， ∴劣弧BD的长为=π， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数． 10．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 ． 【答案】40°或100° 【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 勾股定理及逆定理 11．（2021·云南·中考真题）在中，，若，则的长是（    ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100， ∴BC=100×3÷5=60， ∴AB==80， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 12．（2020·云南·中考真题）已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是 ． 【答案】 或 【分析】根据，则在的中垂线上，作的中垂线交于 交于，所以：如图的都符合题意，先证明四边形是菱形，再利用菱形的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解： ， 在的中垂线上， 作的中垂线交于 交于， 所以：如图的都符合题意， 矩形 四边形是菱形， ，， ， 设 则 的长为： 或 故答案为： 或 【点睛】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 三角形全等的判定 1．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，，过点C作，且使，过点D作，交的延长线于点E．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴． ∵ 在和中， ． 2．（2024·云南德宏·一模）如图，已知点，在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵     在和中， ∵ ∴ ． 3．（20-21八年级下·北京海淀·阶段练习）如图，，是的对角线上的两点，且.求证：. 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质．由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，根据，推出，即，由证明，即可得出结论． 【详解】证明：在平行四边形中，，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 4．（2024·云南·二模）如图，为线段上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，根据得到，结合，，即可得到即可得到证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2024·云南昭通·一模）如图，在中，D、E是边BC上两点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查对全等三角形判定定理的理解和掌握，先由等角对等边证，再在利用即可证明，即可证得结论．熟练掌握全等三角形的判定定理并灵活运用． 【详解】证明：， ， 在与中 ， ． 角平分线的判定和性质 6．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知顶角为36°的等腰三角形的底与腰的比值为．如图，在中，，平分交于点D，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、分母有理化和角平分线的性质．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边可得，设，则，进一步可得，结合计算即可． 【详解】解：解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 设，则， ∵， ∴， 故选：C． 7．（2024·云南玉溪·三模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径，画弧，分别交、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点，若，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、三角形内角和定理、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．由作图可知，平分，由此可证明，即可解决问题． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，平分， ， ， ， 故选：B． 8．（2024·云南昆明·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查基本作图——作角平分线、角平分线的性质，过点G作于点H，由作图可得，为的平分线，由角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ， ， 的面积为：， 故选：B． 9．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在中，为直角，先以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点F，作射线交于点G，P为上的一个动点，连接，若，则的最小值为（    ） A．15 B．10 C．5 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图-作角平分线、平分线的性质、垂线段最短，先得到平分，根据垂线段最短和角平分线的性质求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹，平分， ∵P为上的一个动点， ∴当时，的长最小，过G作于， ∵平分，为直角，， ∴， 故的最小值为5， 故选：C． 10．（2024·云南昭通·二模）如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，的周长为，，则周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由是垂直平分线，可知，，由的周长为，知道，从而推出的周长． 【详解】是垂直平分线， ， 周长为 所以的周长为：． 故选：A． 等腰三角形 11．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在中，平分交于点．若，，则的周长为（    ） A．16 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】此题考查平行四边形的性质，等角对等边，利用平行四边形的性质和角平分线的定义求得是解题的关键． 首先根据平行四边形的性质得到，，结合角平分线的概念得到，求出，进而求解即可． 【详解】∵在中， ∴， ∴ ∵平分交于点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的周长为． 故选：A． 12．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，已知直线，为等腰直角三角形，且．当时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等．根据两直线平行，内错角相等可得，根据等腰三角形的两底角相等，三角形内角和是求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ∴． 故选：C． 13．（2024·云南昭通·二模）如图，在中，，平分，若，则（　　） A．10 B．12 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，据此作答即可． 【详解】解：∵在中，，平分，， ∴， 故选：A． 14．（2024·云南大理·一模）已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的面积等于（    ） A．8 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，选判断这个等腰三角形的底为4，腰为8，再根据勾股定理求出底边上的高即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当4为腰，底为8时，， ∴不能构成三角形， 当8为腰，底为4时，4，8，8能构成三角形， ∴这个等腰三角形的底为4，腰为8，如图，为底边上的高， ∴，， ∵为等腰三角形，为底边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 15．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　） A．8 B．6 C．7 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：A． 16．（2024·云南昆明·二模）如图，的顶点，顶点，分别在第二、三象限，且轴，若，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质．根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据坐标与图形性质写出点的坐标． 【详解】解：设与轴交于点， ，，， ， 由勾股定理得：， 点的坐标为， 故选：D． 17．（2024·云南西双版纳·一模）如图，在中，，，点在上，，，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故选：B． 勾股定理及逆定理 18．（2024·云南德宏·一模）如图，在矩形中，，，是的中点，则长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据勾股定理求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴ ∵是的中点， ∴ 故选：C． 19．（2024·云南楚雄·一模）如图，在中，，过点B作，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，先由，得出，再结合两直线平行，内错角相等，得出的度数，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 20．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是由的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了求一个角的正弦，勾股定理，首先求出，然后利用正弦的概念求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 21．（2024·云南红河·二模）如图，在中，，，则的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及求一个角的正切值，先设，结合勾股定理得出，再运用正切定义列式化简，即可作答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 22．（2024·云南楚雄·三模）如图，是的直径，是的弦，且，的半径等于5，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，先根据，得出，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的直径，是的弦，且 ∴ 则 ∴ 故选：C 23．（2024·云南文山·二模）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点、分别是，的中点，若，，则的长度是（     ） A．2.4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理．根据矩形的性质以及勾股定理，可得，，再由三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E，F分别是的中点， ∴． 故选：B 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$