专题03 平面向量（六大考点）-【好题汇编】十年（2015-2024）高考数学真题分类汇编

专题03 平面向量 考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势 考点1 平面向量平行（共线）求参数 （10年4考） 2024·上海卷、2021·全国乙卷、2016·全国卷、2015·全国卷 1. 掌握平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，已知平面向量的关系要会求参数 2. 掌握基本定理的基底表示向量、能在平面几何图形中的应用 3. 掌握平面向量数量积的表示和计算、会求平面几何图形中的范围及最值等问题。 考点2 平面向量垂直求参数 （10年4考） 2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷 考点3 平面向量的基本定理及其应用 （10年4考） 2022·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2018·全国卷、2015·北京卷 考点4 平面向量的模长 （10年7考） 2024·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2017·全国卷、2017·浙江卷 考点5 求平面向量数量积 （10年9考） 2023·全国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2020·山东卷、2021·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2020·天津卷、2020·北京卷 考点6 求平面向量的夹角 （10年6考） 2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2016·全国卷、2022·天津卷、2020·浙江卷、2019·全国卷、 2019·全国卷 考点01 平面向量平行（共线）求参数 1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 2．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 3．（2016·全国·高考真题）已知向量，且，则___________. 4．（2015·全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ． 考点02 平面向量垂直求参数 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ． 5．（2020·全国·高考真题）设向量，若，则 . 考点03 平面向量的基本定理及其应用 1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．（2018·全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 4．（2015·北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝ ，y＝ . 考点04 平面向量的模长 1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则 . 6．（2020·全国·高考真题）设为单位向量，且，则 . 7．（2019·全国·高考真题）已知向量，则 A． B．2 C．5 D．50 8．（2017·全国·高考真题）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= . 9．（2017·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 考点05 求平面向量数量积 1．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 7．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，， ． 9．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 10．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 11．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 考点06 求平面向量的夹角 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 4．（2020·全国·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 5．（2019·全国·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 6．（2016·全国·高考真题）已知向量 , 则ABC= A．30 B．45 C．60 D．120 二、填空题 7．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 8．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ． 9．（2019·全国·高考真题）已知向量，则 . 10．（2019·全国·高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面向量 考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势 考点1 平面向量平行（共线）求参数 （10年4考） 2024·上海卷、2021·全国乙卷、2016·全国卷、2015·全国卷 1. 掌握平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，已知平面向量的关系要会求参数 2. 掌握基本定理的基底表示向量、能在平面几何图形中的应用 3. 掌握平面向量数量积的表示和计算、会求平面几何图形中的范围及最值等问题。 考点2 平面向量垂直求参数 （10年4考） 2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷 考点3 平面向量的基本定理及其应用 （10年4考） 2022·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2018·全国卷、2015·北京卷 考点4 平面向量的模长 （10年7考） 2024·全国新Ⅱ卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2017·全国卷、2017·浙江卷 考点5 求平面向量数量积 （10年9考） 2023·全国乙卷、2022·全国乙卷、2022·北京卷、2020·山东卷、2021·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2021·天津卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2020·天津卷、2020·北京卷 考点6 求平面向量的夹角 （10年6考） 2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2016·全国卷、2022·天津卷、2020·浙江卷、2019·全国卷、 2019·全国卷 考点01 平面向量平行（共线）求参数 1．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【答案】15 【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，，解得． 故答案为：15． 2．（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量，若，则 ． 【答案】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：， 解方程可得：. 故答案为：. 3．（2016·全国·高考真题）已知向量，且，则___________. 【答案】 【分析】由向量平行的坐标表示得出，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题. 4．（2015·全国·高考真题）设向量，不平行，向量与平行，则实数 ． 【答案】 【详解】因为向量与平行，所以，则所以． 考点：向量共线． 考点02 平面向量垂直求参数 1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设向量，则（    ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】对A，当时，则， 所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对C，当时，，故， 所以，即充分性成立，故C正确； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 4．（2021·全国甲卷·高考真题）已知向量．若，则 ． 【答案】. 【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值 【详解】, ，解得, 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积. 5．（2020·全国·高考真题）设向量，若，则 . 【答案】5 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由可得， 又因为， 所以， 即， 故答案为：5. 【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 考点03 平面向量的基本定理及其应用 1．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D在边AB上，，所以，即， 所以． 故选：B． 2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线， ，    故选：A 3．（2018·全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 4．（2015·北京·高考真题）在△ABC中，点M，N满足，若，则x＝ ，y＝ . 【答案】 【详解】特殊化，不妨设，利用坐标法，以A为原点，AB为轴，为轴，建立直角坐标系，，，则，.    考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题. 考点04 平面向量的模长 1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量满足， 所以. 故选：B 3．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，满足，，则 ． 【答案】 【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解. 【详解】法一：因为，即， 则，整理得， 又因为，即， 则，所以. 法二：设，则， 由题意可得：，则， 整理得：，即. 故答案为：. 4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 5．（2021·全国甲卷·高考真题）若向量满足，则 . 【答案】 【分析】根据题目条件，利用模的平方可以得出答案 【详解】∵ ∴ ∴. 故答案为：. 6．（2020·全国·高考真题）设为单位向量，且，则 . 【答案】 【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解. 【详解】因为为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 7．（2019·全国·高考真题）已知向量，则 A． B．2 C．5 D．50 【答案】A 【分析】本题先计算，再根据模的概念求出． 【详解】由已知，， 所以， 故选A 【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 8．（2017·全国·高考真题）已知向量与的夹角为60°，||=2，||=1，则| +2 |= . 【答案】 【详解】∵平面向量与的夹角为， ∴. ∴ 故答案为. 点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式． (2) 常用来求向量的模． 9．（2017·浙江·高考真题）已知向量满足，则的最小值是 ，最大值是 ． 【答案】 4 【详解】设向量的夹角为，由余弦定理有：， ，则： ， 令，则， 据此可得：， 即的最小值是4，最大值是． 【名师点睛】本题通过设向量的夹角为，结合模长公式， 可得，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求． 考点05 求平面向量数量积 1．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 2．（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 3．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D          4．（2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故选：A. 【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 二、多选题 5．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A、B写出，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 三、填空题 6．（2022·全国甲卷·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ． 【答案】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 7．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为 ；的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 8．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，，， ． 【答案】 【分析】由已知可得，展开化简后可得结果. 【详解】由已知可得， 因此，. 故答案为：. 9．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【答案】 0 3 【分析】根据坐标求出，再根据数量积的坐标运算直接计算即可. 【详解】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 10．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, ∵又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 11．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则 ； ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值. 【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点的坐标是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 考点06 求平面向量的夹角 一、单选题 1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解. 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 故选：B. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形,根据几何意义求解. 【详解】因为,所以, 即,即,所以. 如图,设, 由题知,是等腰直角三角形, AB边上的高, 所以, , . 故选:D. 3．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：,,即,解得, 故选：C 4．（2020·全国·高考真题）已知向量 ，满足， ，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 5．（2019·全国·高考真题）已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为． 6．（2016·全国·高考真题）已知向量 , 则ABC= A．30 B．45 C．60 D．120 【答案】A 【详解】试题分析：由题意，得，所以，故选A． 【考点】向量的夹角公式． 【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题． 二、填空题 7．（2022·天津·高考真题）在中，，D是AC中点，，试用表示为 ，若，则的最大值为 【答案】 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，当且仅当与相切时，最大，即求出． 【详解】方法一： ，， ，当且仅当时取等号，而，所以． 故答案为：；． 方法二：如图所示，建立坐标系： ，， ，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 故答案为：；． 8．（2020·浙江·高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得，再根据向量夹角公式求函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 9．（2019·全国·高考真题）已知向量，则 . 【答案】 【分析】根据向量夹角公式可求出结果. 【详解】． 【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键． 10．（2019·全国·高考真题）已知为单位向量，且=0，若 ，则 . 【答案】. 【分析】根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果. 【详解】因为，， 所以， ，所以， 所以 ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$