第02讲 直线与直线的位置关系（5个知识点+3种题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020必修第三册）

第02讲 直线与直线的位置关系 课程标准 学习目标 1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养． 2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养. 3.通过实物观察、抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，培养直观想象的核心素养. 4.借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养. 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． 3.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. 4.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角． 知识点01：公理４　 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 【即学即练1】如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明　因为在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝AC， 所以EF∥HG，EF＝HG， 所以四边形EFGH是平行四边形． 知识点02：等角定理 　 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2个推论 推论 １　 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论 ２　 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 【即学即练2】　(1)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________. 答案　 解析　∵AA′∩BB′＝O，且＝＝， ∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′. ∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′， 同理∠ABC＝∠A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝， ∴＝2＝. (2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1. 证明　如图，连接EE1. ∵E1，E分别为A1D1，AD的中点， ∴A1E1綊AE， ∴四边形A1E1EA为平行四边形， ∴A1A綊E1E， 又A1A綊B1B，∴E1E綊B1B， ∴四边形E1EBB1是平行四边形． ∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC. 又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行， 且∠B1E1C1和∠BEC均为锐角， ∴∠B1E1C1＝∠BEC. 知识点03：异面直线 1.定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线（ ｎｏｎｃｏｐｌａｎａｒｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅｓ ） 2.空间的两条直线就有三种不同的位置关系 3.判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 【即学即练3】已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，求证：直线EF与BD是异面直线； 证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线． 知识点04：异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【即学即练4】如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． 解　(1)∵CG∥FB， ∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角． 在Rt△EFB中，EF＝FB， ∴∠EBF＝45°， ∴BE与CG所成的角为45°. (2)如图，连接FH， ∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD， ∴FB＝HD，FB∥HD， ∴四边形FBDH是平行四边形， ∴BD∥FH， ∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF， 则△AFH是等边三角形， 又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°， ∴FO与BD所成的角为30°. 知识点05：直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 【即学即练5】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B. 证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴A1D1綊BC， ∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C， ∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角， 如图，连接AC，AD1，易证AC＝AD1， 又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C， ∴AO⊥A1B. 题型01公理4、等角定理的应用 【解题策略】 1．空间两条直线平行的证明 一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．求证角相等 一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 【例1】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. [思路探究]　(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明． [解]　(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体． ∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1， 又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点， ∴AM＝A1M1且AM∥A1M1， ∴四边形AMM1A1为平行四边形， ∴MM1＝AA1且MM1∥AA1. 又AA1＝BB1且AA1∥BB1， ∴MM1＝BB1且MM1∥BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形． (2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM. ∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1， ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 【变式1】如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. [证明]　(1)在△ABD中， ∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD. 同理FG∥BD，则EH∥FG. 故E，F，G，H四点共面． (2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH. 又∵四边形EFGH是矩形， ∴EH⊥GH.故AC⊥BD. 【变式2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 证明　如图所示，连接B1C. 因为G，F分别为BC，BB1的中点， 所以GF∥B1C. 又ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以CD綊AB，A1B1綊AB， 由基本事实4知CD綊A1B1， 所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綊B1C. 又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG. 同理可证A1C1∥GE，DC1∥FE. 又∠DA1C1与∠FGE，∠A1DC1与∠GFE，∠DC1A1与∠FEG的两条边分别对应平行且均为锐角， 所以∠DA1C1＝∠FGE，∠A1DC1＝∠GFE，∠DC1A1＝∠FEG. 所以△EFG∽△C1DA1. 【变式3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形． 证明　如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点， 所以BG∥FC1，且BG＝FC1. 所以四边形BFC1G是平行四边形． 所以BF∥GC1，BF＝GC1， 又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1， A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1， 所以EG∥C1D1，EG＝C1D1. 所以四边形EGC1D1是平行四边形． 所以ED1∥GC1，ED1＝GC1， 所以BF∥ED1，BF＝ED1， 所以四边形BFD1E是平行四边形． 【变式4】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ (1)证明　由G，H分别为FA，FD的中点， 可得GH∥AD，GH＝AD. 又BC∥AD，BC＝AD， ∴GH綊BC， ∴四边形BCHG为平行四边形． (2)解　C，D，F，E四点共面． 理由：由BE∥FA，BE＝AF，G为FA的中点知， BE綊FG， ∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH， ∴EF与CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面． 题型02 异面直线所成的角 【解题策略】 “等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关． 【例2】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ [解]　(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线． (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°. (3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直． 【变式1】（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习）已知直线、是正方体上两条面对角线所在的直线，且、是异面直线，则直线、所成的角的大小为_____． 【答案】或 【分析】如图所示：不防设为直线，与异面的面对角线有，根据平行性与正方体性质即可求解． 【详解】正方体共有12条面对角线，如图所示： 不防设为直线，与异面的面对角线有 因为 而且与的夹角均为，与的夹角均为． 所以当为其中一条直线时，直线、所成的角的大小为或． 故答案为：或． 【变式2】（2022秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考阶段练习）已知，点是所在平面外一点，且，点是边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________ 【答案】 【分析】取中点，由三角形中位线性质可得，则可知所求角为（或其补角），利用余弦定理可求得，由此可得结果. 【详解】取中点，连接， 设， 分别为中点，，， 异面直线与所成角即为直线与所成角，即（或其补角）， ，为等边三角形，， 同理可得：， ， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式3】如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2. (1)BC和A′C′所成的角是多少度？ (2)AA′和BC′所成的角是多少度？ [解]　(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°. (2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角． 在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2， 所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°. 因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°. 【变式4】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值． 解　如图，取AC的中点F，连接EF，BF. 在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD， ∴∠BEF(或其补角)即为异面直线BE与CD所成的角． 在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1. 在Rt△EAB中，AB＝1， AE＝AD＝，∴BE＝. 在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝. 在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝. ∴BE＝BF，即△EBF为等腰三角形， 在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝， ∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为. 题型03 直线与直线垂直的证明 【解题策略】 证明两条异面直线垂直的步骤： (1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． (3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数． (4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证． 【例3】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. [解]　法一：如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G. 则OG∥B1D，EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. ∴DB1⊥EF. 法二：如图所示，连接A1D，取A1D的中点H，连接HE， 则HEDB1.于是∠HEF为所求 异面直线DB1与EF所成的角或其补角． 连接HF，设AA1＝1， 则EF＝，HE＝， 取A1D1的中点I，连接HI，IF， 则HI⊥IF. ∴HF2＝HI2＋IF2＝. ∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°. ∴DB1⊥EF. 【变式1】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3. 求证：AC⊥BD. [证明]　∵点G，E分别是CD，BC的中点， ∴GE∥BD， 同理GF∥AC. ∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3， 满足FG2＋GE2＝EF2， ∴∠FGE＝90°. 即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 【变式2】如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. 证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF， ∵E为AC的中点，F为CC′的中点， ∴EF∥AC′， ∴BE和EF所成角为∠BEF， 即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′. 在正三棱柱ABC－A′B′C′中， AC′＝2，∴EF＝. 在等边三角形ABC中，BE＝＝， 在Rt△BCF中，BF＝＝. 在△BEF中BE2＋EF2＝BF2， ∴BE⊥EF，即BE⊥AC′. 【变式3】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF. 证明　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC， ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角． 又∵A1A＝AB， ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°， ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°， ∴CD1⊥EF. 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为　　 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【分析】判定异面直线的方法：①根据它的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．”②定义法：不在同一个平面内的．两条直线称为异面直线；③反证法：既不平行又不相交的直线即为异面直线． 【解答】解：异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．” 根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线； 在图①中，由、均为棱的中点可知：； 在图③中，、均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交． 故选：． 【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力． 2．（2023秋•嘉定区校级期中）空间两条互相平行的直线指的是（　　） A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面上的两条直线 C．在两个不同的平面上且没有公共点的两条直线 D．在同一平面上且没有公共点的两条直线 【分析】根据空间两条互相平行的定义即可求解． 【解答】解：根据空间两条互相平行的定义可知： 平行直线是在同一平面上且没有公共点的两条直线． 故选：D． 【点评】本题考查空间两条互相平行的定义，属基础题． 3．（2023秋•闵行区校级期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面　　 A． B． C． D． 【分析】根据点运动到线段端点、中点位置可判断，根据异面直线的判定可判断． 【解答】解：当运动到点时，与直线相交，故错误； 当运动到点时，与直线相交，故错误； 因为与在同一平面上，，平面， 所以由异面直线判定定理知，直线与直线始异面，故正确； 当运动到点中点时，，此时与直线共面，故错误． 故选：． 【点评】本题考查异面直线的判断，属于基础题． 4．（2023秋•浦东新区校级期中）直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是　　 A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能 【分析】根据题意，由空间直线间的位置关系，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，直线与相交，与相交， 直线与直线可能相交、平行、异面， 故选：． 【点评】本题考查空间直线间的关系，涉及直线位置关系的定义，属于基础题． 5．（2023秋•虹口区校级期中）设平面平面，直线，直线，则直线，的位置关系为　　 A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 【分析】由两平行平面内两直线的位置关系得答案． 【解答】解：由平面平面，直线，直线，得直线，的位置关系为平行或异面． 故选：． 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，是基础题． 6．（2023秋•奉贤区期中）若两异面直线，所成的角为，过空间内一点作与直线， 所成角均是的直线，则所作直线共有　　条． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】在空间取一点，经过点分别作，，则过的直线在平面上的射影为，的夹角的角平分线时，符合题意，根据角的大小得出与，所成角的范围，从而得出答案． 【解答】解：在空间取一点，经过点分别作，， 设直线、确定平面， 当直线满足它的射影在、所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角 因为直线，所成的角为，得、所成锐角等于， 所以当的射影在、所成锐角的平分线上时， 与、所成角的范围是，． 这种情况下，过点有两条直线与，所成的角都是， 当的射影在、所成钝角的平分线上时，与、所成角的范围是，． 这种情况下，过点有两条直线与，所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条． 故选：． 【点评】题给出两条直线所成角为，求过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线的条数．着重考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识，属于基础题． 二．填空题（共6小题） 7．（2024春•普陀区校级期中）在正方体的12条棱中，与棱所在直线异面且垂直的共有 　4　条． 【分析】由正方体的结构特征，结合异面直线的定义确定与棱所在直线异面且垂直的棱的条数． 【解答】解：如下图，与棱所在直线异面的棱有，，，， 由于垂直于上下底面，且，在上底面，，在下底面， 所以与棱所在直线异面且垂直的有，，，，共4条． 故答案为：4． 【点评】本题考查异面直线的定义，属于基础题． 8．（2023秋•浦东新区校级期中）设空间两个角∠A与∠B，若它们的两边分别平行，∠A＝30°，则∠B＝　30°或150°　． 【分析】直接利用等角定理即可得解． 【解答】解：∵空间两个角∠A与∠B的两边分别平行， ∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°， 则∠B＝30°或150°． 故答案为：30°或150°． 【点评】本题考查等角定理的应用，是基础题． 9．（2023秋•浦东新区校级期中）正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有 　4　条． 【分析】根据正方体的图形以及异面直线的定义，观察即可得出答案． 【解答】解：由图象可知，与直线垂直且异面的直线有： 、、、，共4条． 故答案为：4． 【点评】本题考查异面直线的概念，属基础题． 10．（2023秋•普陀区校级期中）如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，与直线异面的直线共有 　11　条． 【分析】根据题意，作出正方体的还原图，由异面直线的定义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，还原后的正方体如图所示， 在其所有棱以及三条面对角线、、中，与直线异面的直线有、、、、、、、、、、，共11条； 故答案为：11． 【点评】本题考查空间直线与直线间的位置关系，涉及正方体的展开图，属于基础题． 11．（2023秋•虹口区校级期中）在长方体中，直线与直线的位置关系是 　异面直线　． 【分析】由异面直线判定定理得直线与直线是异面直线． 【解答】解：平面，平面， 直线， 由异面直线判定定理得直线与直线是异面直线． 故答案为：异面直线． 【点评】本题考查空间直线的位置关系的判断，考查异面直线判定理等基础知识，考查空间想象能力等数学核心素养，是基础题． 12．（2023秋•长宁区校级期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 　异面　． 【分析】由异面直线的定义进行判定即可． 【解答】解：由题意，如图所示，直线平面， 平面，， 由异面直线的定义可知， 直线与直线是异面直线． 故答案为：异面． 【点评】本题考查空间线线关系的判定，考查异面直线的定义，属基础题． 三．解答题（共5小题） 13．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期中）如图，已知正方体的棱长为1. (1) 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)若分别是，的中点，求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1)棱； (2) 【分析】（1）直接根据异面直线的定义得到答案. （2）连结，，确定异面直线与所成角为（或其补角），计算得到答案. 【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱所在的直线与直线是异面直线 （2）连结，，，分别是，的中点，所以， 因为，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 由于，于是， 所以异面直线与所成角大小为. 14．（2022·上海·高二专题练习）已知：平面平面，，，且c∥a，求证：b、c是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】证明b、c是异面直线，比较困难，考虑使用反证法，即若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交，证明b∥c或b与c相交都是不可能的，从而证明b、c是异面直线． 【详解】证明：用反证法： 若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交 （1）若b∥c．∵a∥c，∴a∥b这与a∩b＝A矛盾； （2）若b，c相交于B，则Bβ，又a∩b＝A， ∴Aβ∴AB⊂β，即b⊂β这与b∩β＝A矛盾 ∴b，c是异面直线． 15．（2022秋·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知点M是正方体的与上的中点，求异面直线与所成的角． 【答案】 【分析】连与，即可得到就是求异面直线与所成的角，再结合余弦定理即可得到结果. 【详解】 连与，因为就是求异面直线与所成的角， 设正方体的棱长为2，在三角形中， ，即异面直线与所成的角是． 16．（2022秋·上海嘉定·高二校考开学考试）如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证： (1)三线共点； (2)直线和直线是异面直线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别延长，交于点，由平面基本性质知面．再由三角形中位线定理证明，，三线共点于． （2）由反证法以及线面平行的判定以及性质即可得矛盾求解. （1） 分别延长，，交于点， ，面， 面． 是的中点，， 是的中点， 连接，， 的交点为线段AB的中点，即为E， ，，三线共点于． （2） 假如直线和直线不是异面直线，则存在一个平面，使得， 由于在正方体中,,, 因此, 又因为平面,且平面, 故,在正方形中，显然不平行，故矛盾， 因此假设不成立，即直线和直线是异面直线. 17．（2022秋·上海嘉定·高二校考开学考试）如图，和是异面直线，分别为线段上的点，且，求和所成角的大小. 【答案】 【分析】在平面中，过作，交于，连接，证明，然后利用余弦定理解三角形可得和所成角的大小． 【详解】 在平面中，过作，交于，连接， ，， 又，，则， 即（或其补角）为和所成角， 在中，，，， ，所以， 由于空间中两直线的夹角的范围为 和所成角的大小为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 直线与直线的位置关系 课程标准 学习目标 1.通过基本事实4和等角定理，培养直观想象的核心素养． 2．借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养. 3.通过实物观察、抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，培养直观想象的核心素养. 4.借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养. 1.会判断空间两直线的位置关系. 2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题． 3.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. 4.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角． 知识点01：公理４　 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 【即学即练1】如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 知识点02：等角定理 　 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2个推论 推论 １　 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 ， 那么这两个角相等或者互补 ． 推论 ２　 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ， 那么这两组直线所成的锐角 （ 或直角 ） 相等 ． 【即学即练2】　(1)如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同一点O，且＝＝＝，则＝________. (2)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，E1分别是棱AD，A1D1的中点．求证：∠BEC＝∠B1E1C1. 知识点03：异面直线 1.定义：不同在任何一个平面上的两条直线叫做 异面直线（ ｎｏｎｃｏｐｌａｎａｒｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅｓ ） 2.空间的两条直线就有三种不同的位置关系 3.判定定理 　 过平面外一点与平面上一点的直线 ， 和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线 【即学即练3】已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，求证：直线EF与BD是异面直线； 知识点04：异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 注意点： (1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关． (2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角． 【即学即练4】如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求： (1)BE与CG所成的角； (2)FO与BD所成的角． 知识点05：直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 注意点： 两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形． 【即学即练5】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B. 题型01公理4、等角定理的应用 【解题策略】 1．空间两条直线平行的证明 一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； 二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质； 三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 2．求证角相等 一是用等角定理；二是用三角形全等或相似． 【例1】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【变式1】如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. 【变式2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1. 【变式3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形． 【变式4】如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BC＝AD，BE∥FA，BE＝FA，G，H分别为FA，FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 题型02 异面直线所成的角 【解题策略】 “等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与唯一性，即过空间任一点，作两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角(或直角)都是相等的，而与所取点的位置无关． 【例2】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 【变式1】（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考阶段练习）已知直线、是正方体上两条面对角线所在的直线，且、是异面直线，则直线、所成的角的大小为_____． 【变式2】（2022秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考阶段练习）已知，点是所在平面外一点，且，点是边的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________ 【变式3】如图，已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2. (1)BC和A′C′所成的角是多少度？ (2)AA′和BC′所成的角是多少度？ 【变式4】如图所示，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值． 题型03 直线与直线垂直的证明 【解题策略】 证明两条异面直线垂直的步骤： (1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)． (3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数． (4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证． 【例3】如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 【变式1】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG＝2，GE＝，EF＝3. 【变式2】如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′. 【变式3】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF. 一．选择题（共6小题） 1．（2023秋•浦东新区校级期末）如图，，，，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示，是异面直线的图形的序号为　　 A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．（2023秋•嘉定区校级期中）空间两条互相平行的直线指的是（　　） A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面上的两条直线 C．在两个不同的平面上且没有公共点的两条直线 D．在同一平面上且没有公共点的两条直线 3．（2023秋•闵行区校级期末）如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•浦东新区校级期中）直线与直线相交，直线也与直线相交，则直线与直线的位置关系是　　 A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能 5．（2023秋•虹口区校级期中）设平面平面，直线，直线，则直线，的位置关系为　　 A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 6．（2023秋•奉贤区期中）若两异面直线，所成的角为，过空间内一点作与直线， 所成角均是的直线，则所作直线共有　　条． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共6小题） 7．（2024春•普陀区校级期中）在正方体的12条棱中，与棱所在直线异面且垂直的共有 　　条． 8．（2023秋•浦东新区校级期中）设空间两个角∠A与∠B，若它们的两边分别平行，∠A＝30°，则∠B＝　　． 9．（2023秋•浦东新区校级期中）正方体的所有棱所在直线中，与直线垂直且异面的直线共有 　　条． 10．（2023秋•普陀区校级期中）如图是一个正方体的平面展开图，将这个正方体复原后，在其所有棱以及三条面对角线、、中，与直线异面的直线共有 　　条． 11．（2023秋•虹口区校级期中）在长方体中，直线与直线的位置关系是 　 　． 12．（2023秋•长宁区校级期末）在正方体中，点是棱的中点，则直线与直线的位置关系是 　　． 三．解答题（共5小题） 13．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期中）如图，已知正方体的棱长为1. (1) 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2)若分别是，的中点，求异面直线与所成角的大小. 14．（2022·上海·高二专题练习）已知：平面平面，，，且c∥a，求证：b、c是异面直线． 15．（2022秋·上海虹口·高二上外附中校考阶段练习）已知点M是正方体的与上的中点，求异面直线与所成的角． 16．（2022秋·上海嘉定·高二校考开学考试）如图所示，在正方体中，分别是的中点.求证： (1)三线共点； (2)直线和直线是异面直线. 17．（2022秋·上海嘉定·高二校考开学考试）如图，和是异面直线，分别为线段上的点，且，求和所成角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$