湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末检测数学试题

华中师大一附中2023一2024学年度下学期期末检测 高一年级数学试题 考试时间：120分钟试卷满分：150分 命题人：徐秋皓 审题人：张丹曹宗庆 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知复数z满足(1+)·z=i024(i为虚数单位)，则z的虚部为 A D.- 2 2.某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现 抽奖者从中抽取1个小球.事件A=“取出的小球编号为奇数”，事件B=“取出的小球编号为 偶数”，事件C=“取出的小球编号小于6”，事件D-“取出的小球编号大于6”，则下列结论 错误的是 A.A与B互斥 B.A与B互为对立事件 C.C与D互为对立事件 D.B与D相互独立 3.已知m,n是不同的直线，a,B,Y是不同的平面，则下列结论正确的是 A.若m∥a,nl∥a,则m∥n B.若ml∥a,m∥B,则a∥B C.若m∥a,a∥B,则m∥B D.若a⊥Y,B⊥Y,a∩B=l,则l⊥Y 4.甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不 影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为 A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 5.在△ABC中，a,b,c为角A,B,C对应的边，则“acosC-asinC=b-c”是“△ABC为 直角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.如图，圆台O0O的轴截面是等腰梯形ABCD,AB=BC=2CD=4,E为下底面⊙O上的 点，且AE=√5BE,则直线CE与平面ABCD所成角的正切值为 E A.2 B. 2 C.5 D. 5 高一年级数学期末试题第1页，共4页 7.掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为 A. C.27 D. 35 216 216 8.在平行四边形ABCD中，∠BAD= 红，AB=1,D-2.P是以C为圆心，5为半径的圆卫 一动点，且AP=1AB+μAD,则元+μ的最大值为 A.2+5 B.√万+5 C.2+7 D.2+2 7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可 能出现了点数6的是 A.中位数为3，极差为3 B.平均数为2，第80百分位数为4 C.平均数为3，中位数为4 D.平均数为3，方差为1 10.在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对 (,2)(,2∈C)看作一个向量，记ā=(，2)，则称ā为复向量类比平面向量的相关运算 法则，对于ā=(，2)，b=(3,24)，,,3,24eC，规定如下运算法则： ①ā+6=(3+，2+z4):②ā-五=(3-32-2)小：③ā-6=3+224：④同=Va-ā. 则下列结论正确的是 A.若a=(,1+i),b=(2,2-i),则ai=1+5i B.若1a0,则a=(0,0) C.a.b=b.a D.a.(b+c)=a.b+a.c 11.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A,D分别是BF,CE上的点，且 ADIBC,AB=ED=2BC=2AF=2,将四边形ADEF沿AD向上折起，连接BE,BF,CE.在 折起的过程中，下列结论正确的是 E A.AC∥平面BEF B.BE与AD所成的角先变大后变小 C.几何体EFARCD体积有最大值写 D.平面BCE与平面BEF不可能垂直 高一年级数学期末试题第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为 13.已知平面向量a6,13,向量a在向量6上的投影狗量为-名6，则a-6= 14.在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=AA=4,E为线段CC上动点，D为BC边中点，则三棱 锥A-BDE外接球表面积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整 理得到如图所示的频率分布直方图. 个频率/组距 0.040 0.015 0.010 0.005 0 5060708090100成绩 (1)试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）： (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[50,60)，[60,70)，[70,80)三层中抽取一个容 量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人.求抽取的两人都及格（大于等于60分为及 格)的概率. 16.(15分)如图，四边形PDCE为矩形，直线PD垂直于梯形ABCD所在的平面. ∠ADC=∠BAD=90,F是线段PA的中点，PD=√2，AB=AD=1CD=1. B (1)求证：AC∥平面DEF (2)求点F到平面BCP的距离. 高一年级数学期末试题第3页，共4页 17.(15分)在△ABC中，a,b,c为角A,B,C对应的边，S为△ABC的面积.且 absin B-a sin A=25(1-sinC sin B (1)求A: (2)若a=2,求△ABC内切圆半径的最大值. 18.(17分)如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，底面是边长为4的等边三角形，CC,=4,D、E 分别是线段AC、CC1的中点，点C1在平面ABC内的射影为点D, (1)求证：AC⊥平面BDE: (2)设G为棱BC1上一点，CG=ACB,1∈(0，). ①若=子，请在图中作出三棱柱A8C-4BC过G、A、D三点的装面，并求该截面 的面积： ②求二面角G-BD-E的取值范围. 19.(17分)对于两个平面向量a,b,如果有a·b-a·a>0,则称向量a是向量b的“迷你向量”. (1)若m=(1,x,n=(2,1-x),m是n的“迷你向量”，求实数x的取值范围： (2)一只蚂蚁从坐标原点O(0,0)沿最短路径爬行到点N(n,m)处(neN且n≥2).蚂蚁每次 只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为 P1≤i≤2n),设M(n-1,0).记事件T=“蚂蚁经过的路径中至少有n个P使得OM是O死的 迷你向量”.（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①当n=3时，求P(T): ②证明：PKT). 高一年级数学期末试题第4页，共4页 1 华中师大一附中 2023—2024 学年度下学期期末检测 高一年级数学试题（解析版） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】B 【解析】 1 1 (1 i) 1 i 2 z = = − + ，故选 B. 2．【答案】C 【解析】 C D C D=  ， ，故 C与 D不对立，故选 C. 3．【解析】对于 A，m n和 可以平行，也可以相交，也可以异面；对于 B， 和  可以相交，也可以平行；对于 C，有可能m  ；D 正确.故选 D. 4．【解析】设事件 A=“两人中至少一人命中”，因为甲乙两人投篮相互独立，考虑对立事件“两人都不命中” ( ) 1 0.6 0.5=0.7P A = −  ，故选 B. 5．【解析】 cos sina C a C b c− = − ，由正弦定理得 sin cos sin sin sin sinA C A C B C− = − . sin cos sin sin sin cos cos sin sinA C A C A C A C C − = + − ，化简得sin (cos sin ) sinC A A C+ = 又sin 0C  ， sin cos 2 sin( + )=1 4 A A A   + = ，又 (0, )A  2 A   = ；充分性得证. 若△ABC 为直角三角形，则当 2 C  = 时，结论不一定成立，故选 A. 6．【解析】过 E作 EH AB⊥ ，连接CH . ABCD 为圆台 1OO 的轴截面， AEB ABCD ⊥平面 平面 EH ABCD ⊥平面 ，直 线CE 与平面 ABCD所成的角即 ECH . 2 4AB BC CD= = = 且 3AE BE= ，求得 3, 15EH CH= = ， 3 5 tan 515 EH EDH CH   = = = ，故选 D. 7．【解析】由题，三个点数之和大于 14 可能为 15,16,17,18 四种情况. 又 15=6+6+3=6+5+4=5+5+5；16=6+6+4=6+5+5；17=6+6+5；18=6+6+6. 3 6 1 3 3 3 1 20 5 ( ) 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 216 54 P A + + +  = + + + = =         ，故选 B. 8．【解析】（法一）（建系法）如图，以 C 为坐标原点建立平面直角坐标系，写出其余各点坐标， ( 1,0), (0, 3), (1, 3), ( 3 cos , 3 sin )D A B P   − . ( 3 cos , 3 sin 3)AP   = − ， (1,0), ( 1, 3)AB AD= = − − ,又 (1,0) ( 1, 3)AP AB AD   = + = + − − ，将各向量坐标代入得 =1+ 3 cos sin ; 1 sin    − = − . 2 3 cos 2sin 2 7 cos( ) 2 7      + = + − = + +  + ，所以最大值为2+ 7 .故选 C. H D C A B y x P lD C A B P 2 （法二）（等和线法）如图，过圆作平行于直线 BD的切线 l，求 A到直线 l距离 1h 与 A到直线 BD距离 2h 之 比即为 + 的最大值. 2 3 BAD   = ，AB=1，AD=2， 7BD = 得 1 2 3 21 77 S h BD = = = 2max 1 2 21 3 7( ) 2 7 21 7 h h   +  + = = = + ，故选 C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对 的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．【解析】对于 A，3333336 满足题意；对于 B，因为第 80 百分位数为 4， 若有点数 6 , 则 7 1 6 4 1 1 1 1+1=15 14i i X =  + + + + +  ，故不可能平均数为 2，故 B 错误； 对于 C，1114446 满足题意；对于 D， 2 2(3 6) 9 7 7s− =  = ，不符合题意，故选 AC. 10．【答案】ABD 对于 A， 3 41 2 2i+(1+i)(2+i)=1+5iz za zzb = + = ；故 A 正确； 对于 B，若 | | 0a = ，则 1 2 2 2 1 2 1 1 22= + =0, (0,0)0, Bz z z z z zz az = = +  = ，故 正确； 对于 C， a b b a b a =    ，故 C 错误； 对于 D，设 ( )5 6,c z z= ，则将 ( )1 2,a z z= ， ( )3 4,b z z= 代入可得： 3 4 5 63 51 2 4 2 1 26 1( ) ( () )a b c z z z z z z z z z z a b a cz z z z + = + = + + + =  + + + 故 D 正确. 故选 ABD. 11．【答案】ACD 【解析】对于 A，延长 EF与 DA延长线交于 H，连接 AC，HB. , // //DA AH BC AH BC AHBC AC BH= =  又 为平行四边形， ， //AC 平面BEF .故 A 正确； 对于 B， , , ,BC CD AD DE BC DE BC CDE BC CE⊥ ⊥  ⊥  ⊥  ⊥平面 ， ，随翻折角增大，EC逐渐变小，所 以 EB与 AD所成角即 EB与 BC所成角逐渐变小，故 B 错误； 对于 C， 1 1 1 5 5 3 3 2 3 3 EFABCD E DHBC F AHB AHB F AHBDHBC V V V S h S h V− −  −= − =  −  = 四边形 (h为 E到平面 ABCD距离)，故 C 正确. 对于 D，若平面BCE BEF⊥平面 ，过 F 作FG BE⊥ ， C E B D A F H 3 , , ; , ,FG BCE BC FG BC AB AD AF BC ABF BC BF ⊥  ⊥ ⊥ ⊥  ⊥  ⊥平面 又 平面 ， ,BF FG F BC BEF BC EB=  ⊥  ⊥平面 又由 B 选项知BC CE⊥ ，与BC EB⊥ 矛盾，故平面BCE 与平面BEF 不垂直. 故选 ACD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．【解析】设圆锥底面半径为 r，高为 h，由题 2 2 2 2 21 3 ; 3 3 r h r r r h r    = + + = ， 解得 3h r= ，代入得 2 23, 2 3r l r h=  = + = ，【答案】2 3 13．【解析】由题， 2 1 6| | a b b b b  = − ，又 | | 3b = ， 3 2 a b  = − ，【答案】 3 2 − 14．【解析】如图，设CE x= ，球心 O到平面 ABD距离为OF ，设OF h= 2 2 2 2 2 2( ) (2 3) 2OE OA R OE h x OA h= =  = − + = = + ， 2 8 4 2 2 2 2 x x h x x +  = = +  ， 当且仅当 2 2x = 时即 2 2CE = 取“=”. 2 2 4 8 4 12R h = +  + = ， 24 48S R  =  .故最小为48 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【答案】（1）40 百分位数：83.3；平均数：84（单位：分） （2） 2 3 【解析】（1）由题得 0.030x = ， 0.05 0.1 0.15 0.3 0.4+ + =  ；0.3 0.3 0.6 0.4+ =  故 40 百分位数在 )80,90 层 列式计算得 40 百分位数为 0.4 0.3 80 10 83.3 0.6 0.3 − +   − ……………………………………3 分 平均数 55 0.05 65 0.1 75 0.15 85 0.3 95 0.4 84x =  +  +  +  +  = ………………………….6 分 （2）因为按比例分配的分层随机抽样，故 )50,60 , )60,70 , )70,80 三层中抽取的样本量分别为 C E B D A F G x F A C C1 B B1 A1O E D h x O F C E 4 0.05 6 1 0.05 0.10 0.15  = + + ； 0.1 6 2 0.05 0.10 0.15  = + + ； 0.15 6 3 0.05 0.10 0.15  = + + ……7 分 从这 6 人中随机抽取两人，记 )50,60 中抽取的人编号为 1， )60,70 抽取的人编号为 2、3，  )70,80 抽取的人编号为 4、5、6，记事件 A=“抽取的两人都及格”. {12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45, 46,56} = ，所以 ;…………………10 分 {23,24,25,26,34,35,36,45,46,56}A = ，所以 n(A)=10 ; …………………12 分 易得该试验为古典概型， ( ) 10 2 ( ) ( ) 15 3 n A P A n  = = =  …………………………………13 分 （说明：用组合数公式计算样本空间及事件 A的样本点个数，同样给分. 但过程太简略，如没记事件等， 酌情扣分） 16．【答案】（1）详见解析 （2） 1 4 【解析】（1）设 CP与 ED相交于 O,连接 OF， ,PF FA PO OC= = , //OF CA …4 分 又 //OF DEF AC DEF AC DEF  平面 ， 平面 平面 ………………………….7 分 （注：没有说明线在面内或线在面外的，一处扣 1分） （2）设 A到平面 PCB距离为 h， 1 1, 2, 135 , 2 ABCAB BC ABC S= =  =  = ….8 分 又 PD ABC⊥平面 1 1 2 = 3 3 6 A PCB P ABC ABC PCBV V PD S h S− −   = =  =  …………….…..10 分 又 2 2 2 22; 2; 6; 2PCBPB PD BD BC PC PD CD S= + = = = + =  = , 1 2 h = ……14 分 又 F为 PA中点，故点 F 到平面BCP的距离 1 1 2 4 h = ………………………………..15 分 17．【答案】(1) 3  （2） 3 3 【解析】（1） 2 sinsin sin 2 (1 ) sin C ab B a A S B − = − 又 1 sin 2 S ac B= 2 sinsin sin sin (1 ) (sin sin ) sin C ab B a A ac B ac B C B  − = − = − 又 0a  sin sin sin sinb B c C a A c B + − = ； 2 2 2b c a bc + − = ， ……………………………….4 分 1 cos 2 A = 又 ( )0, , 3 A A    = ……………………………..6 分 （2） 1 1 sin 3 ( ) sin , 2 2 2(2 ) bc A bc r a b c S bc A r a b c b c + + = =  = = + + + + ………………………….8 分 又 2 2 4b c bc+ − = ， 23 [( ) 4] 3 ( 2) 6( 2) 6 b c r b c b c  + −  = = + − + + ………… …………….10 分 O A B D C P E F 5 （法一） 2 2 2 234 , ( ) 3 4 ( ) 4, 4 4 b c bc b c bc b c b c+ − =  + = +  + +  +  , 当且仅当 2b c= = 时时取“=” ………13 分 3 3 ( 2) 6 3 r b c = + −  ，此时 ABC 为等边三角形.故内切圆半径最大值为 3 3 …………….15 分 （法二） 4 3 2 (sin sin ) [sin sin( )] 4sin( ) sin 3 3 6 a b c B C B B B A   + = + = + − = + ……….13 分 2 0, 3 B       , 所以当 3 B  = 时，b+c有最大值 4. 故内切圆半径最大值为 3 3 ………….15 分 18．【答案】(1)详见解析 （2）①截面见解析； 3 39 2 ② , 6 3        【解析】（1） 1 1C D ABC C D BD⊥  ⊥平面 ， ,又△ABC为等边三角形， BD AC ⊥ 又 1 1 1 1,AC C D D BD ACC A BD AC=  ⊥  ⊥平面 ……………………………..…………3 分 又 1 1 1 1 1// , , , ,ED AC AC AC ED AC ED BD D AC BDE⊥  ⊥ =  ⊥平面 ……………...….5 分 （2）①截面图形为如图所示的直角梯形 BGHD，其中 H 为 1 1AC 上靠近 1C 的四等分点. …………………………………………………………….6 分（只需画出截面） 1 1 1//ABC A B C平面 平面 , //GH BD ，又 1 1,BD ACC A BD DH⊥  ⊥平面 ，故截面为直角梯形 BGHD…….8 分 又底面是边长为 4 的等边三角形且 1 4CC = ， 2 2 2 2 1 1 3 2 3 2 ; (2 3) 1 13 2 BD AC GH DH C D C H = = = = + = + = 1 1 3 39 ( ) (2 3 3) 13 2 2 2 S BD GH DH = +  = +  = ……….………….………….………………10 分 ② 1 1,BD ACC A BD DE⊥  ⊥平面 ,过 G作 //GM DB交 1 1AC 于 M 1 1,BD ACC A DM BD ⊥  ⊥平面 ,又ED BD⊥ ,故二面角G BD E− − 即为 EDM ……….………….……..12 分 G为棱 1 1B C 上一点，且 ( )1 1 1, 0,1C G C B =  ， 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2, 2 , 2 3 2 2 DE AC C M C G DM DC C M = = = =  = + = + , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 cos 4 4 4 3 EM C E C M C E C M   = + −   = + + 2 2 2 22 3 1 1 cos 1 6 2 2 32 3 DE DM EM EDM DE DM    + − − −   = = = +  ++ ………..15 分 G H D1 6 2 2 2 22 3 1 1 cos 1 6 2 2 32 3 DE DM EM EDM DE DM    + − − −   = = = +  ++ 令 ( )1 0,1 = −  2 1 1 1 1 3 cos 1 6 1 6 , 42 2 4 2 2 2 2 EDM          = + = +   − +  − + , 6 3 EDM         ，故二面角G BD E− − 的取值范围 , 6 3        ……………………………17 分 19．【解析】（1） m 是 n 的“迷你向量”， 2 22 1m n x x m m x  = − + +   = + 解得 1 ( ,1) 2 x − …..3 分 （2）①如图，当 n=3 时，能使得OM 是 iOP 的迷你向量的 iP 共有四个，即 1 2 3, , ,A A A N ， 要想使得经过的路线中至少有其中 3 个点，则路径必经过点 2A ………………………….5 分 故只需要考虑所有最短路径中经过点 2A 的条数即可. 先考虑总共最短路径条数：最短路径一共 6 步，其中三步向上，三步向右，也即是在 6 步中选择三步向上， 其余三步向右.故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法:“123”代表前三步向上，剩下三步 向右；“246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右； {123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456} = 总共的最短路径条数= 6 5 4 =20 3 2 1     ， ( ) 20n  = ； ………………….7 分 {156,256,356, 456}T = 故经过 2A 包含的路径条数为 4， ( ) 4n T = ………………….8 分 因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型 4 1 ( ) 20 5 P T = = …………………9 分 ②同理，总共的最短路径条数为 2 (2 1) ( 1) ( 1) 2 1 n n n n n  −  +  −   ………………………12 分 经过 2A 包含的路径条数为 n+1, 试验为古典概型 ……………………………………13 分 1 1 ( 1) 1 ( 1) 2 1 ( ) 2 (2 1) ( 1) 2 (2 1) ( 2) 2 (2 2) 4 2 ( 1) 2 1 n n n n n n P T n n n n n n n n n n − +  −   −   = =  =  −  +  −  +  −   −   …17 分 O N A1M A2 A3 G M