专题 线段的垂直平分线的性质&角平分线的性质（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

八年级数学上册《第1章 三角形的初步认识》 专题 线段垂直平分线的性质&角平分线的性质 知识点一 线段的垂直平分线的性质 1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. 2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ◆◆应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ◆◆作用：证明线段相等. 知识点二 角平分线的性质 ★1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ★2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ★3、定理的作用：证明线段相等. ★4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 题型一 利用线段垂直平分线的性质求线段长 解题技巧提炼 运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法. 1．（2024•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若BC＝8，EC＝3，则AE的长是（　　） A．11 B．8 C．5 D．3 【分析】首先求出BE＝BC﹣EC＝5，然后根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE＝5． 【解答】解：∵BC＝8，EC＝3， ∴BE＝BC﹣EC＝5， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE＝5． 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（2024春•成都期末）如图，在△ABC中，BC＝15，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E．若△BCE的周长等于35，则线段AC的长为（　　） A．15 B．17.5 C．20 D．25 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据△BCE的周长等于35，BC＝15，即可求出AC的长． 【解答】解：∵DE是边AB的垂直平分线， ∴AE＝BE． ∴△BCE的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝35． 又∵BC＝15， ∴AC＝35﹣15＝20． 故选：C． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 3．（2023秋•攸县期末）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12cm，AC＝15cm，则CF＝　 　cm． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF，代入计算即可得到答案． 【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线， ∴FA＝BF＝12cm， ∵AC＝15cm， ∴CF＝AC﹣AF＝3（cm）． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 4．（2024•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm 【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝DB，进而利用三角形的周长解答即可． 【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D， ∴AD＝DB， ∵△ACD的周长为50cm， 即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm， 故选：C． 【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出AD＝DB解答． 5．（2023春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题． 【解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线， ∴EB＝EA，GB＝GC， ∵△BEG周长为16， ∴EB+GB+EG＝16， ∴EA+GC+EG＝16， ∴GA+EG+EG+EG+EC＝16， ∴AC+2EG＝16， ∵EG＝1， ∴AC＝14， 故选：B． 【点评】本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6．（2024春•阎良区期中）如图，在△ABC中，E是BC的中点，过点E作DE⊥BC，交AC于点D，连接BD．若BE＝7，△ABD的周长为18．求△ABC的周长． 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BD＝DC，BE＝EC＝7，则由△ABD的周长为18得到AB+AC＝18，然后计算△ABC的周长． 【解答】解：∵DE⊥BC，E是BC的中点， 即DE垂直平分BC， ∴BD＝DC，BE＝EC＝7， 又∵△ABD的周长为18， ∴AB+BD+AD＝18， ∴AB+DC+AD＝18， 即AB+AC＝18， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+AC+2BE＝18+7×2＝32． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段，垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 7．如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm． （1）证明：BE+EC＝AC； （2）求AC的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，即可得到结论； （2）根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵AC＝AE+CE， ∴BE+CE＝AC； （2）解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵△BCE的周长等于22cm， ∴BC+CE+BE＝22（cm）， ∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm）， ∵BC＝10cm， ∴AC＝12（cm）． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 8．（2023秋•永吉县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝14cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为14cm， ∴AB+BC+AC＝14（cm）， ∵AC＝6cm， ∴AB+BC＝8（cm）， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴DC＝DE+EC（AB+BC）＝4（cm）． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 题型二 利用线段垂直平分线的性质证明线段相等 解题技巧提炼 此题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”是解题的关键,有时要利用三角形全等的知识来解决． 1．（2023春•尉氏县期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC， 则（　　） A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解判断即可． 【解答】解：如图，连接BD， ∵DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线， ∴DA＝DB，DB＝DC， ∴DA＝DC， 故选：C． 【点评】此题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”是解题的关键． 2．（2023春•本溪期末）如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（　　） A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG 【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可解答． 【解答】解：∵AB是线段CD的垂直平分线， ∴EC＝ED，FC＝FD，CG＝DG， 故B、C、D不符合题意； ∵△ECD不一定是等边三角形， ∴EC≠CD， 故A符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 3．（2023秋•开平市校级期中）如图，已知∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，你能在图中找出另外一对相等的线段吗？为什么？ 【分析】由∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，根据角平分线的性质，易得BE是∠ABD的角平分线，继而可得AE＝DE． 【解答】解：AE＝DE． 理由：∵∠A＝90°， ∴AB⊥AE， ∵AB＝BD，ED⊥BC， ∵AB＝BD，BE＝BE，∠A＝∠BDE＝90°， ∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）， ∴∠AEB＝∠DEB， ∴∠ABE＝∠DBE， ∴AE＝ED． 【点评】此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 4．（2023秋•成武县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC． 【分析】连接AE，根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，AE＝BE，等量代换证明结论． 【解答】证明：连接AE， ∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°， ∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣24°﹣66°＝90°， ∴AD⊥EC， ∵点D为CE的中点， ∴DE＝DC， ∴AD是线段CE的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴BE＝AC． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 题型三 利用角平分线的性质解决求线段长问题 解题技巧提炼 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 1．（2024春•龙岗区校级月考）如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD＝5，则点P到OB的距离是（　　） A．1 B．2.5 C．4 D．5 【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质即可求解． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PD＝5， 即点P到边OB的距离为5． 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题． 2．（2023春•莲湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） A．2 B．4 C．3 D．6 【分析】根据题意作辅助线，然后根据角平分线的性质得出DE＝AD，根据已知可得AD＝3，所以DE＝3，即D点到BC的距离是3． 【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E， ∵已知∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC， ∴∠A＝∠DEB＝90°， 根据角平分线的性质可得：DE＝AD． ∵AC＝9，CD＝6， ∴DA＝3． ∴DE＝3，即D点到BC的距离是3， 故选：C． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，作出辅助线是解决本题的关键，难度适中． 3．（2023春•大东区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 【分析】根据角平分线的性质得出ED＝CD＝3，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3， ∴ED＝CD＝3， ∵BC＝8， ∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5． 故选：B． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．（2023春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 【分析】作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，得到DE＝DC，由AC＝7，，求出CD＝3，得到DE＝3，即可求出点D到AB的距离． 【解答】解：作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DC， ∵AC＝7，， ∴CD＝3， ∴DE＝3， ∴点D到AB的距离等于3． 故选：B． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DE＝DC． 5．（2024春•怀化期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝14，S△ABD＝14，则CD＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD， ∴S△ABDAB•DE14•DE＝14， 解得DE＝2， ∴CD＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 6．（2023秋•辉县市校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】过点D作DF⊥AC，垂足为F，先利用三角形的面积公式求出DF＝4，然后再利用角平分线的性质可得DE＝DF＝4，即可解答． 【解答】解：过点D作DF⊥AC，垂足为F， ∵△ACD的面积为16，AC＝8， ∴AC•DF＝16， ∴DF＝4， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（2023秋•谢家集区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：DE＝DF； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 【分析】（1）由角平分线的性质直接得出结论即可； （2）先算出三角形ABD的面积，再得出三角形BCD的面积，高DF＝DE＝5，从而直接算出BC． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠BED＝∠BFD＝90°， ∵BD是△ABC的角平分线， ∴DE＝DF； （2）解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DF＝DE＝5， ∴S△ABDAB•DE＝40， ∴S△BCDBC•DF＝70﹣40＝30， ∴BC＝12． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质、面积法求线段长度，难度中等．熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 题型四 利用角平分线的性质解求周长问题 解题技巧提炼 求三角形的周长中，若三角形各边的长不易求解，可考虑找出题中的相等线段进行等量代换． 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CE，AD＝AC＝3，再根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D， ∴DE＝CE，AD＝AC＝3， ∵△ABC的周长为12， 即AB+BC+AC＝AD+BD+BE+CE+AC＝12， ∴3+BD+BE+CE+3＝12， ∴BD+BE+CE＝6， 即BD+BE+DE＝6， ∴△BDE的周长为6， 故选：D． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的周长公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 2．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 【分析】先根据角平分线的性质得到O到边AB、BC的距离都为4，再利用三角形面积公式得到AB×4AC×4BC×4＝36，然后整理求出AB+AC+BC的值即可． 【解答】解：∵O是△ABC三个内角平分线的交点， ∴点O到AB、BC、AC的距离相等， ∵O到边AC的距离为4， ∴O到边AB、BC的距离都为4， ∴S△ABCAB×4AC×4BC×4＝36， ∴AB+AC+BC＝18， 即△ABC的周长为18． 故选：C． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积． 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC， 已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 【分析】根据角平分线的性质可证∠ABD＝∠CBD，即可求得∠CBD＝∠C，即BD＝CD，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE＝DF，即可解题． 【解答】解：∵∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝∠C， ∴BD＝CD， ∵BD平分∠ABC， ∴DE＝DF， ∴△DFC的周长＝DF+CD+CF＝DE+BD+CF＝3+5+4＝12． 【点评】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证DE＝DF是解题的关键． 题型五 利用角平分线的性质解决最值问题 解题技巧提炼 由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以得到角平分线上的点到角两边距离的最小值. 1．（2024春•市中区校级月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】作PE⊥OM于E，根据角平分线的性质求出PE的长即可． 【解答】解：作PE⊥OM于E， ∵OP平分∠MON，PA⊥ON， ∴PE＝PA＝3， 又∵Q为OM上动点， ∴PQ≥PE， ∴PQ≥3， 则PQ的最小值为3， 故选：B． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 2．（2023秋•东丰县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BD＝5，AD＝3，若点P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（　　） A．3 B．2.4 C．4 D．5 【分析】由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论． 【解答】解：当DP⊥BC时，DP的值最小， ∵BD平分∠ABC，∠A＝90° 当DP⊥BC时， DP＝AD， ∵AD＝3， ∴DP的最小值是3， 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 3．（2023秋•石狮市期末）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可． 【解答】解：当PN⊥OA时，PN最短， ∵OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PM＝4， ∴PN最短＝4． 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．（2023秋•垫江县期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答． 【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5， ∴点P到OB的距离为5， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥5． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键． 5．（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数． （2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 【分析】（1）根据三角形内角和求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAD，再利用外角的性质求解； （2）根据垂线段最短得到当DF⊥AC时，DF最小，再利用角平分线的性质求出DF＝DE＝5． 【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°； （2）∵点F是AC上的动点， ∴当DF⊥AC时，DF最小， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE＝5． 【点评】本题考查了三角形内角和，角平分线的定义，角平分线的性质，垂线段最短，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本定理和知识． 题型六 利用角平分线的性质解决面积问题 解题技巧提炼 解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决. 1．（2023秋•新乡期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】过P作PK⊥OB于K，由角平分线的性质推出PK＝PC＝2，而OD＝4，即可求出△POD的面积OD•PK＝4． 【解答】解：过P作PK⊥OB于K， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4， ∴△POD的面积OD•PK4×2＝4． 故选：A． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到PK＝PC． 2．（2024•民勤县校级二模）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 　 　． 【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线的性质得到DH＝DP＝5，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：作DH⊥OB于点H， ∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB， ∴DH＝DP＝5， ∴△ODQ的面积OQ•DH4×5＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 【分析】过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，根据角平分线的性质得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根据三角形的面积公式可计算出△ABC的面积． 【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC OE×ABOD×BCOF×AC （AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC18＝27（cm2）． 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 4．（2023春•广东期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　． 【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积． 【解答】解：作EF⊥BC交BC于点F， ∵CD是AB边上的高， ∴CD⊥BA， ∵BE平分∠ABC， ∴DE＝EF， ∵DE＝2， ∴EF＝2， ∵BC＝8， ∴S△BCE8， 故答案为：8． 【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长． 5．（2023•龙凤区模拟）如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 ． 【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论． 【解答】解：如图过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G， ∵AD是角平分线， ∴DF＝DG， 设DF＝DG＝h， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC， ∴24AB•DFAC•DG， ∴5h+3h＝48， 解得h＝6， ∴S△ABD5×6＝15， ∵BE是△ABD中的中线， ∴S△ABE＝S△BDES△ABD＝7.5． 故答案为：7.5． 【点评】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等． 6．（2023秋•盘山县期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，AB＝6，BC＝10，求△ABC的面积． 【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可． 【解答】解：过D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°， ∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC， ∴AD＝DE＝3， ∴S△ABC＝S△ABD+S△BDC6×310×3＝24， 故△ABC的面积为：24． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 7．（2023春•禅城区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC． 【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义，得出∠DAE的度数，最后根据直角三角形两个锐角互余，即可求解； （2）过点D作DF⊥AC于点F，根据AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB，得出DF＝DE＝6，最后个根据S△ABC＝S△ACD+S△ABD即可求解． 【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣76°＝64°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， ∵DE⊥AB， ∴∠EDA＝90°﹣∠DAE＝58°． （2）过点D作DF⊥AC于点F， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AC，DE⊥AB， ∴DF＝DE＝6， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为180°，角平分线上的点到两边的距离相等． 8．（2023秋•龙山区期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数． （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积． 【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数； （2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝1，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC60°＝30°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB∠ACB40°＝20°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝180°﹣30°﹣20° ＝130°； （2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DE＝1， ∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC， ∴DF＝DH＝1， ∴△ADC的面积DF•AC1×4＝2． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 题型七 利用角平分线的性质解决证明问题 解题技巧提炼 由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”得到线段相等，为证明其它图形全等提供了条件，使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 1．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键． 2．（2023春•沿河县期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD． 【分析】利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD． 【解答】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CE， 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL）， ∴BE＝FD． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答． 3．（2023春•垦利区期末）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC． 【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF＝DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现． 根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC． 【解答】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90°． 在△BDF与△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（AAS）． ∴DF＝DE， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴AD是∠BAC的平分线． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键． 4．（2023春•埇桥区期末）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由． 【分析】过M点作MH⊥AB于H，如图，先计算出∠CAM＝30°，则可判断AM平分∠BAC，然后根据角平分线的性质得到MH＝MC，于是可判断MC的长度就等于点M到AB的距离． 【解答】解：过M点作MH⊥AB于H，如图， ∵∠BAD＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣30°＝30°， ∴AM平分∠BAC， ∵MC⊥AC，MH⊥AB， ∴MH＝MC， 即MC的长度就等于点M到AB的距离． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 5．（2023秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案； （2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM＝180°， ∴∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠AMD＝90°， 即AM⊥DM； （2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM， ∴BM＝CM， 即M为BC的中点． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上册《第1章 三角形的初步认识》 专题 线段垂直平分线的性质&角平分线的性质 知识点一 线段的垂直平分线的性质 1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′， AP=A′P.直线MN是线段AA ′的垂直平分线. 说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. 2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. ◆◆应用格式：（如右图） ∵ 直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l ， ∴ PA = PB． ◆◆作用：证明线段相等. 知识点二 角平分线的性质 ★1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ★2、应用所具备的条件： （1）点在角的平分线上； （2）到角两边的距离(垂直). ★3、定理的作用：证明线段相等. ★4、角平分线的性质的几何语言： 如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD＝PE 【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 题型一 利用线段垂直平分线的性质求线段长 解题技巧提炼 运用求线段长或证明线段长或求周长的问题时，如果不能直接求就要利用线段垂直平分线的性质进行转化，连接线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点是常用的添加辅助线的方法. 1．（2024•五华区校级模拟）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE，若BC＝8，EC＝3，则AE的长是（　　） A．11 B．8 C．5 D．3 2．（2024春•成都期末）如图，在△ABC中，BC＝15，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E．若△BCE的周长等于35，则线段AC的长为（　　） A．15 B．17.5 C．20 D．25 3．（2023秋•攸县期末）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12cm，AC＝15cm，则CF＝　 　cm． 4．（2024•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（　　） A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm 5．（2023春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 6．（2024春•阎良区期中）如图，在△ABC中，E是BC的中点，过点E作DE⊥BC，交AC于点D，连接BD．若BE＝7，△ABD的周长为18．求△ABC的周长． 7．如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm． （1）证明：BE+EC＝AC； （2）求AC的长． 8．（2023秋•永吉县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，求DC长． 题型二 利用线段垂直平分线的性质证明线段相等 解题技巧提炼 此题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”是解题的关键,有时要利用三角形全等的知识来解决． 1．（2023春•尉氏县期末）如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC， 则（　　） A．∠A＝∠C B．∠B＝∠ADC C．DA＝DC D．DE＝DF 2．（2023春•本溪期末）如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为点G，E，F是AB上两点．下列结论不正确的是（　　） A．EC＝CD B．EC＝ED C．CF＝DF D．CG＝DG 3．（2023秋•开平市校级期中）如图，已知∠A＝90°，AB＝BD，ED⊥BC于D，你能在图中找出另外一对相等的线段吗？为什么？ 4．（2023秋•成武县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC． 题型三 利用角平分线的性质解决求线段长问题 解题技巧提炼 利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段长度是常用的方法. 1．（2024春•龙岗区校级月考）如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PD＝5，则点P到OB的距离是（　　） A．1 B．2.5 C．4 D．5 2．（2023春•莲湖区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（　　） A．2 B．4 C．3 D．6 3．（2023春•大东区期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 4．（2023春•龙泉驿区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．7 5．（2024春•怀化期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝14，S△ABD＝14，则CD＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2023秋•辉县市校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E．若△ACD的面积为16，AC＝8，则DE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（2023秋•谢家集区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：DE＝DF； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 题型四 利用角平分线的性质解求周长问题 解题技巧提炼 求三角形的周长中，若三角形各边的长不易求解，可考虑找出题中的相等线段进行等量代换． 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AE交BC于点E，ED⊥AB于点D，若△ABC的周长为12，AC＝3，则△BDE的周长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（2023春•市南区期末）如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（　　） A．8 B．12 C．18 D．30 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，DE⊥AB（E在AB之间），DF⊥BC， 已知BD＝5，DE＝3，CF＝4，求△DFC的周长． 题型五 利用角平分线的性质解决最值问题 解题技巧提炼 由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”可以得到垂线段，结合基本事实“垂线段最短”可以得到角平分线上的点到角两边距离的最小值. 1．（2024春•市中区校级月考）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，若PA＝3，则PQ的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023秋•东丰县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BD＝5，AD＝3，若点P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（　　） A．3 B．2.4 C．4 D．5 3．（2023秋•石狮市期末）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2023秋•垫江县期末）如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（　　） A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5 5．（2023春•普宁市校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°． （1）求∠ADC的度数． （2）若DE＝5，点F是AC上的动点，求DF的最小值． 题型六 利用角平分线的性质解决面积问题 解题技巧提炼 解决三角形面积的问题时往往要向三角形的边作垂线段，然后利用角平分线的性质来解决. 1．（2023秋•新乡期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 2．（2024•民勤县校级二模）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 　 　． 3．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 4．（2023春•广东期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于 　 　． 5．（2023•龙凤区模拟）如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是 　 ． 6．（2023秋•盘山县期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，AB＝6，BC＝10，求△ABC的面积． 7．（2023春•禅城区校级月考）如图，已知△ABC中，∠B＝40°，∠C＝76°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． （1）求∠EDA的度数； （2）若AB＝20，AC＝16，DE＝6，求S△ABC． 8．（2023秋•龙山区期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数． （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积． 题型七 利用角平分线的性质解决证明问题 解题技巧提炼 由“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”得到线段相等，为证明其它图形全等提供了条件，使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直. 1．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 2．（2023春•沿河县期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD． 3．（2023春•垦利区期末）如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC． 4．（2023春•埇桥区期末）把两个同样大小的含30°角的三角尺按照如图1所示方式叠合放置，得到如图2的Rt△ABC和Rt△ABD，设M是AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？请说明理由． 5．（2023秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$