5.7三角函数的应用-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版A2019-必修第一册 高一数学组 第五章 三角函数 5.7 三角函数的应用 学习目标 1.借助具体实例，了解A，ω，φ的物理意义； 2.理解物理及现实生活中的一些周期现象可以用三角函数来刻画，能够运用已知的三角函数模型解决实际问题，能够将具有周期变化规律的实际问题抽象为三角函数模型，并使用三角函数模型解决一些实际问题； 3.经历由实际问题选择、建立、求解数学模型，解决实际问题的数学建模过程，体验实际问题的特征与函数模型的关联，体验三角函数与日常生活的联系，体验三角函数模型的功能与价值，提升数学知识的应用意识． 新课引入 探究新知识 　　现实生活中有很多现象在进行周而复始地变化，用数学语言可以说这些现象具有周期性，而我们所学的三角函数就是刻画周期变化的典型函数模型，比如下列现象就可以用正弦型函数模型来研究，这节课我们就来探讨三角函数模型的简单应用. 新课引入 探究新知识 问题1 某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t (单位：s)与位移y (单位: mm )之间的对应数据如表所示，试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式. t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0 新课引入 探究新知识 振子振动的周期为0.6s,即 ，解得 ； 可得 sin φ=-1，因此 . 所以振子位移关于时间的函数解析式为 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此 A=20； 再由初始状态(t=0)振子的位移为 -20， 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示. 新课引入 探究新知识 现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin（ωx+φ ）,x∈[0，＋∞)表示，其中A＞０， ω ＞０． 这个解析式中的常数A，ω，φ分别表示简谐运动中的什么物理量呢？ 新课引入 探究新知识 在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”． 可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0， ω >0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关。 新课引入 探究新知识 可以看到我们在物理学中把三角函数中的三个参数都赋予了物理意义. 新课引入 探究新知识 问题2 函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义是什么？ 简谐运动：在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)来表示. 振幅 周期 频率 相位 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 其中x=0时的相位φ称为初相 A ωx＋φ 新课引入 探究新知识 问题3 如图(1)是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间（单位：s）变化的图象.将测得的图象放大，得到图（2）. (1)求电流i随时间t变化的函数解析式； 新课引入 探究新知识 解:（1）由交变电流产生的原理可知，电流i随时间t的变化规律可以用i＝Asin（ωt＋φ)来刻画,其中 表示频率，A表示振幅，φ表示初相. 由图象可知，电流最大值为5A,因此A=5; 电流变化的周期为0.02 s，频率为50Hz； 即 ； 新课引入 探究新知识 可得sinφ=0.866，因此φ约为 .所以电流i随时间t变化的函数解析式是 此时，i＝5sin（100πt＋φ)， 再由初始状态（t=0）的电流为4.33A， 新课引入 探究新知识 (2) 问题3 如图(1)是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间（单位：s）变化的图象.将测得的图象放大，得到图（2）. (1)求电流i随时间t变化的函数解析式； 新课引入 探究新知识 解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是20 （2）由图可以看出，从 时的图象是函数 的半个周期的图象，所以 因为 综上，所求解析式为 整理可得 例1 如图，某地一天从 时的温度变化曲线近似满足函数 （1）求这一天 时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式. 新课引入 探究新知识 若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)+b，则在观察图象的基础上可按以下规律来确定A，ω，φ，b. （1）A：图象上的最高点和最低点的距离的一半，即 （3）ω：因为 ，故往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为 ；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. （2）b：图象上的最高点和最低点的中点的纵坐标，即 由图象确立三角函数的解析式的方法 （4）φ：从“五点法”中的最高点 作为突破口，即 ；或从“五点法”中的第一个点 (也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置． 新课引入 探究新知识 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0:00 5. 0 9: 18 2. 5 18: 36 5. 0 3:06 7. 5 12: 24 5. 0 21: 42 2. 5 6:12 5. 0 15: 30 7. 5 24: 00 4. 0 例2 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在潮落时返回海洋.下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）． (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需 0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？ 新课引入 探究新知识 （1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似值（精确到0.01m）. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0:00 5. 0 9: 18 2. 5 18: 36 5. 0 3:06 7. 5 12: 24 5. 0 21: 42 2. 5 6:12 5. 0 15: 30 7. 5 24: 00 4. 0 解：（1）以时间 x（单位：h）为横坐标，水深 y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图. 根据图象，可以考虑用函数 刻画 水深与时间的对应关系，从数据和图象可以得出： 所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数 近似描述. 新课引入 探究新知识 0 1 3 6 0 0 3 新课引入 探究新知识 新课引入 探究新知识 随堂检测 A C 新课引入 探究新知识 随堂检测 D 新课引入 课堂小结 1.知识清单： (1)三角函数在物理中的应用. (2)三角函数在生活中的应用. 2.方法归纳：数学建模、数形结合. 3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际生话. 新课引入 布置作业 同步练习 新课引入 结束语 谢谢观看！ $$