专题01 集合与常用逻辑用语-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题01 集合与常用逻辑用语 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 集合 （5年几考） 2020-2024一年一考：集合的交并补运算 1. 集合作为高中数学的预备知识内容,每年都是高考中的必考题，题型为选择题,以集合的运算为主,多与解不等式等内容交汇,新定义运算也有较小的可能出现,属于基础性题目，主要考查考生的运算求解能力,提升考生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 2. 常用逻辑用语是数学学习和思维的工具，主要考查充分条件与必要条件,容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何内容交汇,基础性和综合性题目居多.本部分的出错原因主要是与其他知识交汇部分的信息在提取、加工上出现理解错误,主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养。 考点2 常用逻辑用语 （5年几考） 2020-2024一年一考：充分必要条件的综合判断 考点01 集合 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 3．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用补集的定义可得正确的选项． 【详解】由补集定义可知：或，即， 故选：D． 4．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意利用并集的定义计算即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 5．（2020·北京·高考真题）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集定义直接得结果. 【详解】， 故选：D. 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 考点02 常用逻辑用语 6．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数. 若为单调递增数列，则， 若，则当时，；若，则， 由可得，取，则当时，， 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”； 若存在正整数，当时，，取且，， 假设，令可得，且， 当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列. 所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”. 所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C. 9．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 10．（2020·北京·高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在使得时， 若为偶数，则； 若为奇数，则； (2)当时，或，，即或， 亦即存在使得． 所以，“存在使得”是“”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题. 1．（2024·北京西城·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解不等式求集合，再求并集即可. 【详解】由得到，故， 又，所以. 故选：A. 2．（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由递增数列的性质，分别判断充分性和必要性即可. 【详解】为递增数列时，有，不能得到为递增数列，充分性不成立； 为递增数列时，不一定有，即不能得到为递增数列，必要性不成立. 所以“为递增数列”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（2024·北京顺义·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，根据交集运算法则求. 【详解】不等式的解集为， 所以，又， 所以， 故选：B. 4．（2022·山东淄博·模拟预测）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据终边关于对称，得两角的关系，再由，得两角满足 的关系，根据充分必要条件的定义即可求解. 【详解】角与的终边关于直线对称,则, ,则， “角与的终边关于直线对称”是“”的充分必要条件. 故选:A 5．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立. 【详解】不妨设，此时满足， 但不满足，充分性不成立， 两边平方得，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立， 故，解得，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 6．（2024·北京通州·三模）已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 故选：A. 7．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系可得求解. 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 8．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，.则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前项和公式判断即可 【详解】若且公比，则，所以单调递增，存在最小值，故充分条件成立. 若且时，， 当为奇数时，，单调递减，故最大值为时，，而, 当为偶数时，，单调递增，故最小值为，， 所以的最小值为， 即由，存在最小值得不到公比,故必要性不成立. 故公比“”是“存在最小值”的充分不必要条件. 故选：A 9．（2024·北京朝阳·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合交集的定义与运算即可求解. 【详解】由题意知，， 又， 所以. 故选：B 10．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 若，当时，有；当时，与可能相交、平行、垂直. 若，由，得. 故“”是“”是必要不充分条件. 故选：B 11．（2024·北京通州·二模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求，再求即可. 【详解】由题意知，，则. 故选：B. 12．（2024·北京通州·二模）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用等差数列通项和求和公式可推导得到充分性成立；将代入，可得，进而得到必要性成立，从而得到结论. 【详解】设等差数列的公差为， 由得：，， ， ，即，充分性成立； 由得：，，即， ， 即，必要性成立； “”是“”的充分必要条件. 故选：C. 13．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 解得：， 所以“”能推出“”， 但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：B. 15．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性. 【详解】，且，所以，又，所以，充分性满足， 如图：满足，，但不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A.    16．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，集合， 所以. 故选：D 17．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分，，讨论函数的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案. 【详解】对于函数 当时，，为常数函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分而不必要条件. 故选：A. 18．（2024·北京朝阳·一模）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合A，再利用补集的定义求解即得. 【详解】全集，则， 所以. 故选：D 19．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③ 【分析】对于①③：直接根据定义计算即可；对于②：通过定义计算得到必为偶数，讨论 和两种情况下的求解即可；对于④：通过举例{物理，地理，历史}来说明. 【详解】对于①：，所以，所以， 又{地理，物理，化学}，所以{思想政治，历史，生物}，①正确； 对于②：，即， 所以，所以必为偶数，又， 当时，，不符合， 所以，且，此时情况较多，比如{物理，地理，生物}，②错误； 对于③：若{思想政治，物理，生物}，则， 所以，③正确； 对于④：当{物理，地理，历史}时， ， 满足，但不是{思想政治，地理，化学}，④错误. 故选：①③ 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，一定要深刻理解定义的意义，然后套用定义进行计算即可，很多时候新定义题目难度并不很大，关键是要大胆做，用心做. 20．（2024·北京西城·三模）记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 【答案】(1)； (2)5 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义直接写出集合，再根据的定义写出； （2）设，则，则由题意可得，从而可求得结果； （3）设A中的所有元素为，，…，，其中，记（），先利用反证法证明这些互不相等，再根据定义证明即可. 【详解】（1）； 若，则. （2）的最小值为5. 证明如下： 设. 因为，除外，其它7个元素需由两个不同的，计算得到， 所以，解得. 当时，有，符合题意. （3）证明：设A中的所有元素为，，…，，其中. 记（），则这些互不相等. 证明如下：如果存在，， 则，的每一位都相等， 所以，的每一位都相等， 从而，与集合A中元素的互异性矛盾. 定义集合，则. 又， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查集合的新定义，考查集合间的关系，解题的关键是对集合新定义的正确理解，考查理解能力，属于难题. 21．（2024·北京海淀·二模）设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 【答案】(1)27或32 (2)①证明见解析 ② 【分析】（1）对题目中所给的，我们先通过分析集合中的元素，证明，，以及，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果； （2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可. 【详解】（1）对集合，记其元素个数为. 先证明2个引理. 引理1：若具有性质，则. 引理1的证明：假设结论不成立. 不妨设，则正整数，但， 故一定属于某个，不妨设为. 则由知存在正整数，使得. 这意味着对正整数，有， ，但，矛盾. 所以假设不成立，从而一定有，从而引理1获证. 引理2：若具有性质，则，且. 证明：取集合. 注意到关于正整数的不等式等价于， 而由引理1有，即. 结合是正整数，知对于正整数，当且仅当， 这意味着数列恰有项落入集合，即. 而两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数， 故中的元素属于且仅属于某一个，故. 所以， 从而，这就证明了引理2的第一个结论； 再考虑集合中全体元素的和. 一方面，直接由知中全体元素的和为，即. 另一方面，的全部个元素可以排成一个首项为，公差为的等差数列. 所以的所有元素之和为. 最后，再将这个集合的全部元素之和相加， 得到中全体元素的和为. 这就得到，所以有 . 即，从而，这就证明了引理2的第二个结论. 综上，引理2获证. 回到原题. 将从小到大排列为，则， 由引理2的第一个结论，有. 若，则， 所以每个不等号都取等，从而，故； 情况1：若，则，矛盾； 情况2：若，则，所以，得. 此时如果，则，矛盾； 如果，则，从而，故； 如果，由于，设，，则，. 故对于正整数对，有， 从而，这与矛盾. 综上，的取值只可能是或. 当时，；当时，. 所以的所有可能取值是和. （2）①由引理1的结论，即知； ②由引理2的第二个结论，即知. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理. 22．（2024·北京朝阳·二模）设为正整数，集合对于，设集合. (1)若，写出集合； (2)若，且满足令 ，求证： ； (3)若，且 ，求证： . 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意，即可直接写出； （2）由可得，结合可得，即可证明； （3）若且则，进而，由（2）可知，分类讨论、时与的大小关系，即可证明. 【详解】（1）； （2）因为，所以， 当时，， 所以，即，， 又因为，所以， 所以， 所以； （3）对任意，令， 若且，则， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 对，因为， 由（2）可知，令，则. 若，因为， 所以，即， 又因为，所以. 若，则， 所以. 综上，即. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新定义、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合相关知识.. 23．（2024·北京房山·一模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质． (1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B； (2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：； (3)若满足，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）定义，可知，结合题中通项公式分析求解； （2）根据题意可知，可得，即可分析证明； （3）由题意可知：，可知集合在均不在元素，分类讨论集合是否为空集，结合题意利用数学归纳法分析证明. 【详解】（1）定义，由题意可知， 若数列的通项公式为，可知， 所以， 因为2只能写成，不合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； ，符合题意，即； 所以. （2）因为，由题意可知：，且， 即， 因为，即存在不相同的项，使得 可知，所以. （3）因为， 令，可得，则，即， 即集合在内均不存在元素，此时我们认为集合在内的元素相同； （i）若集合A是空集，则B是空集，满足； （ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知， 由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且， 设存在，使得， 可知集合在内的元素相同, 可知，则， 因为，即，则， 可知， 且， 即集合在内的元素相同，可知集合在内的元素相同， 现证对任意，集合在内的元素相同， 当，可知集合在内的元素相同，成立； 假设，集合在内的元素相同， 可知集合在内的元素相同； 对于，因为，则， 若，则，可知， 可以认为集合在内的元素相同； 若，则， 若存在元素不属于集合C， 则元素属于集合A，且，可知元素属于集合B， 即数列中存在不相同的项，使得， 则，可知， 可知， 即集合在内的元素相同； 综上所述：对任意，集合在内的元素相同， 所以集合在内的元素相同，结合n的任意性，可知； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把新定义问题转化为已经学过的知识，常常利用数学归纳法分析证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合与常用逻辑用语 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 集合 （5年几考） 2020-2024一年一考：集合的交并补运算 1. 集合作为高中数学的预备知识内容,每年都是高考中的必考题，题型为选择题,以集合的运算为主,多与解不等式等内容交汇,新定义运算也有较小的可能出现,属于基础性题目，主要考查考生的运算求解能力,提升考生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。 2. 常用逻辑用语是数学学习和思维的工具，主要考查充分条件与必要条件,容易与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何内容交汇,基础性和综合性题目居多.本部分的出错原因主要是与其他知识交汇部分的信息在提取、加工上出现理解错误,主要考查考生的逻辑思维能力。提升考生的逻辑推理素养。 考点2 常用逻辑用语 （5年几考） 2020-2024一年一考：充分必要条件的综合判断 考点01 集合 1．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·北京·高考真题）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（2021·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2020·北京·高考真题）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 考点02 常用逻辑用语 6．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2020·北京·高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（    ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2024·北京西城·三模）设集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京西城·三模）对于无穷数列，定义（），则“为递增数列”是“为递增数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·北京顺义·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·山东淄博·模拟预测）“角与的终边关于直线对称”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2024·北京通州·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·北京通州·三模）已知为整数集，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 8．（2024·北京海淀·二模）设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，.则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2024·北京朝阳·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·北京朝阳·二模）已知是两个互相垂直的平面，是两条直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024·北京通州·二模）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·北京通州·二模）已知等差数列的前项和为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 15．（2024·北京海淀·一模）设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024·北京朝阳·一模）已知，则“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．（2024·北京朝阳·一模）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·北京朝阳·一模）设A，B为两个非空有限集合，定义其中表示集合S的元素个数.某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为，，，.已知{物理，化学，生物}，{地理，物理，化学}，{思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论： ①若，则{思想政治，历史，生物}； ②若，则{地理，物理，化学}； ③若{思想政治，物理，生物}，则； ④若，则{思想政治，地理，化学}. 其中所有正确结论的序号是 . 20．（2024·北京西城·三模）记集合.对任意，，记，对于非空集合，定义集合. (1)当时，写出集合；对于，写出； (2)当时，如果，求的最小值； (3)求证：. （注：本题中，表示有限集合A中的元素的个数.） 21．（2024·北京海淀·二模）设正整数，，，这里. 若，且，则称具有性质. (1)当时，若具有性质，且，，，令，写出的所有可能值； (2)若具有性质： ①求证：； ②求的值. 22．（2024·北京朝阳·二模）设为正整数，集合对于，设集合. (1)若，写出集合； (2)若，且满足令 ，求证： ； (3)若，且 ，求证： . 23．（2024·北京房山·一模）已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合．若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，使得，则称数列具有性质，记集合数列具有性质． (1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B； (2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：； (3)若满足，证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$