专题03 导数及其应用-【好题汇编】5年（2020-2024）高考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题03 导数及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 导数及其应用 （5年几考） 2020-2024：5年七考：利用导数研究函数的零点或方程根的个数；导数研究函数性质：单调性、最值、极值等；求切线方程；利用导数求解参数 1. 导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视. 2. 在备考时应注意以下两点: (1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论; (2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养.。 考点 导数及其应用 1．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 7．（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 1．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调逆增 C．存在实数，使得 D．有最小值 2．（2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 4．（2024·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京朝阳·一模）已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（    ） A．14 B．16 C．21 D．23 7．（2024·北京西城·三模）已知函数，下面命题正确的是 . ①存在，使得； ②存在，使得； ③存在常数，使得恒成立； ④存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点. 8．（2024·北京海淀·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 9．（2024·北京西城·三模）已知函数，其中a为常数且. (1)求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)当时，若过点的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值. 10．（2024·北京顺义·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：函数存在极小值； (3)求函数的零点个数. 11．（16-17高三上·北京海淀·期末）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）求证：当时，关于的不等式在区间上无解．（其中） 12．（2024·北京海淀·二模）已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 13．（2024·北京朝阳·二模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值； (3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 14．（2024·北京通州·二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 15．（2024·北京房山·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 16．（2024·北京海淀·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若函数存在最大值，求的取值范围. 17．（2024·北京朝阳·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数及其应用 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 导数及其应用 （5年几考） 2020-2024：5年七考：利用导数研究函数的零点或方程根的个数；导数研究函数性质：单调性、最值、极值等；求切线方程；利用导数求解参数 1. 导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视. 2. 在备考时应注意以下两点: (1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论; (2)不等式恒(能)成立问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养.。 考点 导数及其应用 1．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论： ①若，恰 有2个零点； ②存在负数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有3个零点； ④存在正数，使得恰有3个零点． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误. 【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确； 对于②，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，存在，使得只有一个零点，②正确； 对于③，当直线过点时，，解得， 所以，当时，直线与曲线有两个交点， 若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点， 直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解， 因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误； 对于④，考查直线与曲线相切于点， 对函数求导得，由题意可得，解得， 所以，当时，函数有三个零点，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 2．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】表示区间端点连线斜率的负数， 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题. 二、解答题 3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)3个 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 5．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【答案】(1) (2)在上单调递增. (3)证明见解析 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 6．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 7．（2020·北京·高考真题）已知函数． （Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程； （Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果； （Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为，所以， 设切点为，则，即，所以切点为， 由点斜式可得切线方程为：，即. （Ⅱ）[方法一]：导数法 显然，因为在点处的切线方程为：， 令，得，令，得， 所以， 不妨设时，结果一样， 则， 所以 ， 由，得，由，得， 所以在上递减，在上递增， 所以时，取得极小值， 也是最小值为. [方法二]【最优解】：换元加导数法   ． 因为为偶函数，不妨设，， 令，则． 令，则面积为，只需求出的最小值． ． 因为，所以令，得． 随着a的变化，的变化情况如下表： a 0 减 极小值 增 所以． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法 同方法二，只需求出的最小值． 令， 当且仅当，即时取等号． 所以当，即时，． 因为为偶函数，当时，． 综上，当时，的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法 同方法一得到 ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高. 1．（2024·北京顺义·三模）利用所学数学知识解决新问题是我们学习数学的一个重要目的，同学们利用我们所学数学知识，探究函数，，则下列命题不正确的是（    ） A．有且只有一个极值点 B．在上单调逆增 C．存在实数，使得 D．有最小值 【答案】C 【分析】由条件可得函数可以看作为函数与函数的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果. 【详解】由得，令， 则函数可以看作为函数与函数的复合函数， 因为为增函数，所以与单调性、图象变换等基本一致， ， 由得，列表如下： 0 由表知，在上单调递减，在上单调递增， 在时，取得极小值（最小值）， 所以在上单调递增，即B正确； 在时，取得唯一极值（极小值，也是最小值），即A、D都正确，C错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是找到已知函数的同构函数，由此即可顺利得解. 2．（2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知和共有3个不同的实数根，由的图象知，只有一个解为，从而与有两个不同的交点，作出与图象，即可得出答案. 【详解】因为函数， 其图象如下图，则 因为，， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为关于x的方程恰有3个不同的实数根， 即和共有3个不同的实数根， 由的图象知，只有一个解为， 所以有两个不同的解，且根中不含， 即与有两个不同的交点， 与的图象如下图所示： 所以. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键点是将题意转化为和共有3个不同的实数根，由的图象知，只有一个解为，从而与有两个不同的交点，作出与图象，即可得出答案. 3．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 【答案】A 【分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解. 【详解】， 令，则， 则函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 当时，， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 又当时，当时，， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可知函数的图象有且仅有一个交点， 所以函数零点的个数为个. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 4．（2024·北京海淀·一模）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助分段函数性质计算可得，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得. 【详解】令，即时，，解得， 时，，无解，故， 设过点与曲线相切的直线的切点为， 当时，，则有， 有，整理可得，即， 即当时，有一条切线， 当时，，则有， 有，整理可得， 令， 则， 令，可得， 故当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由， ，故在上没有零点， 又， 故在上必有唯一零点， 即当时，亦可有一条切线符合要求， 故. 故选：B. 5．（2024·北京海淀·一模）函数是定义在上的偶函数，其图象如图所示，.设是的导函数，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得. 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图象可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，即， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在定义域内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 故选：D. 6．（2024·北京朝阳·一模）已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（    ） A．14 B．16 C．21 D．23 【答案】D 【分析】构造函数，结合函数单调性可得，则有，即可得解. 【详解】由，且，，故，即， 令，， 故当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 由，即，故，， 又，故，即， 若，则有， 即，由，故. 故最大正整数为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助函数的性质，结合其单调性得到，从而得到，则有，即可得解. 7．（2024·北京西城·三模）已知函数，下面命题正确的是 . ①存在，使得； ②存在，使得； ③存在常数，使得恒成立； ④存在，使得直线与曲线有无穷多个公共点. 【答案】①③ 【分析】①函数求导，用，令，与同正负.研究正负即可，用来研究即可得出答案.；②，即两点间的斜率正负问题，也就是转化研究内的单调性.求导即可.③用三角函数的有界性可解.④借助函数单调性,数形结合可解. 【详解】函数，定义域. 由于知其为偶函数. ， 令，与同正负. . 对于①，当，，则单调递增， 则，故存在，， 即存在，使得.故①正确. 对于②，与①同理，当，，则单调递减， 则，故，，即，单调递减. 任意，，故②错误. 对于③，由于为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑即可. 令，则，即在上单调递减， 故，即，故， 故存在常数，使得，故③正确. 对于④，将代入，得，由于为偶函数，根据对称性，我们只需要考虑即可. 由①②知，，单调递减，，单调递减，，单调递增.一直往复下去. 图象如下. 则与不能有无数个交点， 即与不能有无穷多个公共点.故④错误. 综上所得，只有①③正确. 故答案为：①③. 【点睛】本题主要考查函数很多性质，如奇偶性、单调性、零点与方程，有界性等.综合性较强，有一定难度，关键是借助导数来研究性质，需要冷静分析，认真计算 . 8．（2024·北京海淀·一模）已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对与分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得. 【详解】对①：令，即有，即，故函数不是奇函数，故①错误； 对②：，即， 当时，有，故是该方程的一个根； 当，时，由，故，结合定义域可得， 有，即， 令，，有或（负值舍去），则， 故必有一个大于的正根，即必有一个大于的正根； 当，时，由，故，结合定义域有， 有，即， 令，， 有或（正值舍去）， 令，即，则， 即，故在定义域内亦必有一根， 综上所述，，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根，故②正确； 对③：令，则有，， 令，，， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又，，故恒成立，即，故，故③正确； 对④：当时，由，，故， 此时，，则， 当时，由与关于轴对称，不妨设，则有或， 当时，由，有，故成立； 当时，即有， 由③知，点与点在圆上或圆外， 设点与点在圆上且位于x轴两侧，则, 故； 综上所述，恒成立，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当、都小于零时，的情况. 9．（2024·北京西城·三模）已知函数，其中a为常数且. (1)求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调区间； (3)当时，若过点的切线l分别与x轴和y轴于，A，B两点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先对函数求导后，再求出，然后利用点斜式可求出切线方程； （2）求出函数的定义域，对函数求导后，分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）利用导数的几何意义求出切线l的方程，从而可求出A，B两点的坐标，则可表示出的面积，构造函数，利用导数可求出其最小值. 【详解】（1），. 因为，， 所以切线方程为. （2）定义域为， ，令，解得. 当时， ，的减区间为； ，的增区间为. 当时， ，的增区间为； ，的减区间为. （3）当时，，. 切线l：， 令，； 令，. . 设，. . ，在单调递减； ，在单调递增. 所以. 所以当时，S的最小值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数求解函数的单调区间，考查导数的综合应用，第（3）问解题的关键是求出切线方程后，求出切线与坐标轴的交点，从而可表示出三角形的面积，再构造函数，利用导数求解，考查计算能力，属于较难题. 10．（2024·北京顺义·三模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：函数存在极小值； (3)求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答. （2）讨论函数在区间和上的符号即可推理作答. （3）在时，分离参数，构造函数，再探讨在上的零点情况即可作答. 【详解】（1）由函数求导得：， 所以，因为， 所以曲线在点处的切线方程是. （2）函数的定义域为，由（1）知，， 因为，则当时，，，， 所以，有，函数在上递减， 当时，，，，则有，函数在上递增， 所以，当时，函数取得极小值， 所以，当时，函数存在极小值. （3）函数的定义域为，， 显然是函数的零点， 当时，函数的零点即为方程的解， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， ，， 所以，有，在，上都递减， 令，， 当时，，当时，， 所以，在上递增，在上递减，， 所以，，恒有，当且仅当时取“=”， 所以，当时，，当时，， 所以，在上单调递减，取值集合为， 在上递减，取值集合为， 所以，当或时，方程有唯一解， 当或时，此方程无解， 所以，当或时，函数有一个零点， 当或时，函数有两个零点. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 11．（16-17高三上·北京海淀·期末）已知函数． （1）当时，求函数的单调区间和极值； （2）求证：当时，关于的不等式在区间上无解．（其中） 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出导函数，求出不等式、的解集即可计算判断作答. （2）求出函数在区间上的最大值即可作答. 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 当时，，当或时，，当时，， 即在，上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以的递增区间为，，递减区间为，极大值为，极小值为. （2）由（1）知，由时，得，因， 当时，当时，，即函数在上单调递减，则， 因此不等式不成立，即不等式在区间上无解， 当时，当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 于是得在上的最大值为或，而，， ，即， 因此不等式不成立，即不等式在区间上无解， 所以当时，关于的不等式在区间上无解. 12．（2024·北京海淀·二模）已知函数. (1)若， ①求曲线在点处的切线方程； ②求证：函数恰有一个零点； (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可， （2）求导后构造函数，利用导数判断单调性，可得的最大值为，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，. ①. 所以. 所以曲线在点处的切线方程为. ②由①知，且. 当时，因为，所以； 当时，因为，所以. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减. 因为. 所以函数恰有一个零点. （2）由得. 设，则. 所以是上的减函数. 因为， 所以存在唯一. 所以与的情况如下： + 0 - 极大 所以在区间上的最大值是 . 当时，因为，所以. 所以. 所以，符合题意. 当时，因为，所以. 所以，不合题意. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 13．（2024·北京朝阳·二模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求a的值； (3)若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求导可得，易知当时不符合题意；当时，利用导数研究函数的单调性可得，设，利用导数研究函数的性质即可求解； （3）易知当时不符合题意，当时，易知不符合题意；若，由（2）可知只需，解之即可. 【详解】（1）由，得， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）， ①当时，，不符合题意. ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为. 所以； （3）当时，，在区间上单调递增， 所以f（x）至多有一个零点，不符合题意； 当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意； 若，则， 由（2）可知，只需，即，解得， 即a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 14．（2024·北京通州·二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)单调递减区间为和，单调递增区间为； (3)． 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． （3）在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 15．（2024·北京房山·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)设，求函数的极大值； (3)若，求函数的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，分，和三种情况讨论，再结合极大值的定义即可得解； （3）令，则，再分的正负讨论，当时，分离参数可得，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出其单调区间和极值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】（1）当时，，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2），则， 则， 当时，，此时函数无极值； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为； 当时，令，则或，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数的定义域为， 所以此时函数无极值. 综上所述，当时，函数无极大值； 当时，的极大值为； （3）令，则， 当时，， 所以时，函数无零点； 当时，由，得，所以， 则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，且，当时，， 如图，作出函数的大致图象，    又，由图可知，所以函数的图象只有个交点， 即当时，函数只有个零点； 综上所述，若，函数有个零点． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 16．（2024·北京海淀·一模）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若函数存在最大值，求的取值范围. 【答案】(1)的增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）对函数求导，得到，再求出和对应的取值，即可求出结果； （2）令，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出在上取值范围，从而将问题转化成成立，构造函数，再利用的单调性，即可求出结果. 【详解】（1）易知定义域为，因为，所以， 由，得到，当时，，当时，， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，则， 由（1）知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以在时取得最大值， 所以当时，，当时，， 即当时，， 所以函数在存在最大值的充要条件是， 即， 令，则恒成立， 所以是增函数，又因为， 所以的充要条件是， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数，利用函数单调性得到时，，从而将问题转化成，构造函数，再利用的单调性来解决问题. 17．（2024·北京朝阳·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，再分三种情况讨论的单调性； （2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论的取值，即可求解. 【详解】（1）， 当，得， 当时，时，，单调递增， 时，，单调递减， 当时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是， 时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是， 时，函数的增区间是，无减区间. （2）不等式，即， 设，， 设，，所以单调递增， 且，， 所以存在，使，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 因为，所以， 当时，，当时，， 不等式无整数解，即无整数解， 若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意， 若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，所以无整数解，符合题意， 当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意， 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形，第二个关键是确定函数的单调性，以及确定. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$