专题04 应用一元二次方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题04 应用一元二次方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【经典例题一 传播问题】 【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 1．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． （请你解此方程） 2．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？ 3．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）有一株月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出多少个小分支？ 4．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)某药房最近售出了普通医用口罩和医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于医用口罩的5倍，每盒医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（2024年辽宁省大连市初中学业水平第三次五区模拟考试数学试题）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 2．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 3．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 4．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为． (1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？ (2)若给定墙长为，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． (1)用含的代数式表示的长； (2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 4．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点C的坐标及的长； (2)直线分别交直线，于点，，直线与直线，交于点，，若，求的值； (3)在（2）的条件下，将△沿射线的方向以每秒个单位的长度匀速平移，设移动时间为秒．在△移动的过程中，点到直线，的距离相等，请求出此时点的坐标． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 1．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知三个连续正整数的平方和为194，求这三个正整数． 2．（20-21九年级上·重庆·期末）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：，因为，所以484是“方积数”． (1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”． (2)已知一个“方积数”（，其中，，为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，求满足条件的所有的值． 3．（21-22九年级上·福建福州·阶段练习）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤整怀古》：“而立之年东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”课文是：周瑜在而立之年（30-40岁）掌管东吴，英年早逝时的年龄是个两位数，十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄．请问，哪位学生算得快，周瑜逝世时的年龄是多少岁？请根据以上信息列出方程，并求解． 4、（2023·河北张家口·二模）发现：四个连续的整数的积加上是一个整数的平方． 验证：(1)的结果是哪个数的平方？ (2)设四个连续的整数分别为，试证明他们的积加上是一个整数的平方； 延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于元．据市场分析，若按每套元销售，一个月能售出套；销售单价每涨元，月销售量就减少套，针对这种商品的销售情况，解答下列问题： (1)当销售单价定为元时，该商品的月销售量为 套，月销售利润为 元； (2)若该商场想在月销售成本不超过的情况下，使每月销售利润达到元，则该商品的销售单价应定为每套多少元？ 2．（23-24八年级下·重庆·期末）2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒． (1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元； (2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值． 3．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元，为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． (1)专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ (2)为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台空调，60台空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店、考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店空调每台利润180元，空调每台利润160元；乙连锁店空调每台利润150元，空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的空调每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台空调利润，设调往甲连锁店的型空调台，总利润为元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要斤馅料和斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． (1)若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ (2)为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知，在直角梯形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向以的速度运动，、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)t为何值时，？为什么？ (2)当时，求t的值． 4．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． (1)求的面积； (2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； (3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 1．（2022·重庆·一模）某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 2．（20-21八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 3、（20-21九年级上·四川资阳·期末）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 4、（2020·福建厦门·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 【经典例题八 行程问题】 【例8】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 1．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 3．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 1、（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【经典例题十 其他问题】 【例10】（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 2．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？ 3．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则程可列为（ ） A． B． C． D． 3、（23-24八年级下·山东淄博·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（　　） A．42 B． C． D．21 4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若点在直线上，且为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，P、Q分别是上的动点，若点P、Q同时从M、N两点出发分别沿方向向点C匀速运动，它们的速度都是，要使的面积为面积的一半，则需经过的时间为（    ）    A．2或 B． C． D． 6．（2023·广西南宁·二模）为满足春节市场需求，某商场在节前购进大批某品牌童装，该品牌童装若每件盈利40元，平均每天可售出20件，经调查发现，若每件童装降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场希望该品牌童装日盈利为1200元，同时为了尽量减少库存，请问该童装应降价 元． 7．（23-24九年级上·河南周口·期末）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），若比赛共进行了28场，则参赛的班级有 个． 8．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，且．连接，将沿折叠，若点B的对应点落在矩形的边上，则m的值为 ． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是 尺． 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，那么出发后 秒时，线段的长度等于． 11．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； (2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元? 12．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 13、（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形．设边的长为（单位：米），矩形的面积为S（单位：平方米）． (1)求S与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若矩形的面积为54平方米，且，请求出此时的长． 14、（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 15．（23-24八年级下·福建厦门·期末）小张利用家里闲置的长方形硬纸板制作收纳盒（如图1），收纳玩具．已知，长方形硬纸板长为100cm，宽为40cm． (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图2），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，设小长方形的宽为xcm，长ycm．请求出y关于x的函数关系式，并判断家里一个玩具机械狗能否完全放入该收纳盒并合上盖子（不考虑倾斜放入）．若能，请写出一组x、y的值；若不能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 应用一元二次方程重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 传播问题 题型二 增长率问题 题型三 与图形有关的问题 题型四 数字问题 题型五 营销问题 题型六 动态几何问题 题型七 工程问题 题型八 行程问题 题型九 图表信息题 题型十 其他问题 知识点01 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有2解，但是，应检验方程的2个根是否都符合实际情况。 知识点02 一元二次方程应用题常见类型： 1）面积问题；2）平均变化率问题；3）销售利润问题；4）传播问题；5）循环问题；6）数字问题。 知识点03 平均变化率问题与一元二次方程的理论基础 1.增长率问题 a(1+x)2=b，其中a为增长前的量，x为增长率，2为增长次数，b为增长后的量. 2.降低率问题 a(1-x)2=b，其中a为降低前的量，x为降低率，2为降低次数，b为降低后的量.注意1与x位置不可调换. 总结：有关增长率和降低率的有关数量关系 增长率的问题在实际生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x，增长(或降低)前的量是a，增长(或降低)n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+” ，降低取“－”). 知识点04 传播问题实例探索 数量关系： 第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度） 第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2 知识点05 碰面问题（循环问题） （1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m= （2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。 ∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场 ∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m= 【经典例题一 传播问题】 【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 1．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人． （请你解此方程） 【答案】每轮传染中平均一个人传染了人． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及解二元一次方程，设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意得列出方程，即可求解，理解题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，由题意得： ， 整理得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 2．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？ 【答案】每天平均一个人传染了2人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，开始有一个人患了甲型流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，第一轮后共有人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有人患了流感，而此时这个人数是9，据此列出方程求解即可． 【详解】解：每天平均一个人传染了x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：每天平均一个人传染了2人． 3．（23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）有一株月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，每个枝干长出多少个小分支？ 【答案】每个枝干长出8个小分支． 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，注意能够熟练运用因式分解法解方程．由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程求得x的值． 【详解】试题解析：解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：， 解得：或（不合题意，应舍去）； 答：每个枝干长出8个小分支． 4．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)某药房最近售出了普通医用口罩和医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于医用口罩的5倍，每盒医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由． 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了6个人 (2)售出医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多 【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是找到等量(或不等量)关系，列方程或列不等式． （1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，列方程求解； （2）设售出的医用口罩的数量是a盒，普通医用口罩的数量是盒，根据题意得列不等式得到，设总销售额为y元，根据题意得到，根据一次函数的性质得到结论． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人． 由题意，得解得，．经检验，符合题意． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． （2）设售出医用口罩的盒数是a盒，则售出普通医用口罩的盒数是盒．总销售额为y元． 由题意，得，解得． ． ∵， ∴y随a的增大而增大． ∴当时，y有最大值，此时． 答：售出医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多． 【经典例题二 增长率问题】 【例2】（2024年辽宁省大连市初中学业水平第三次五区模拟考试数学试题）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键； （1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可； （2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 化简得：， 解得：（舍去）； 答：进馆人次月平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次； 由于进馆人次的月平均增长率为， 则第四个月的进馆人次为：； 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 1．（23-24八年级下·上海崇明·期末）某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（x） 1 2 3 利润数（y）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数y是月份数x的一次函数，求这个一次函数的解析式，并求出2月份的利润； (2)这个企业采取技术改革后，实现了利润大幅增长，4、5月份的利润增长率相同，5月份获得利润为121万元，求这个企业4、5月份的利润增长率． 【答案】(1)这个一次函数的解析式为，2月份的利润为98万元 (2)这个企业4、5月份的利润增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）由待定系数法求出关于的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数之间的函数关系式是，由待定系数法求出关于的函数关系式，再代入，即可求出2月份的利润； （2）设这个企业月份的利润增长率为，利用这个企业5月份的利润这个企业3月份的利润这个企业月份的利润增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设这个企业在2022年1至3月的利润数关于月份数的函数关系式是， 将代入得：， 解得：， ∴这个企业在2022年1至3月的利润数与月份数的函数关系式为， 当时，， 答：这个一次函数的解析式为月份的利润为98万元； （2）设这个企业月的利润增长率为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 答：这个企业月份的利润增长率为． 2．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？ 【答案】(1) (2)2592 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）（个）． ∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个． 3．（2024·江苏徐州·三模）用手机抢红包是大家春节期间进行交流联系、增强感情的一部分．下面是宁宁和她的妹妹在春节期间的对话 请问： (1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是多少？ (2)2024年除夕，宁宁和她妹妹用手机各抢到了多少元的红包？ 【答案】(1)2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是 (2)宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用．对于增长率问题，增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量． （1）设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x，由此可列出方程，求解即可． （2）设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元，则她妹妹收到微信红包为元，根据她们共收到微信红包576元列出方程并解答． 【详解】（1）解：设2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是x， 依题意得：， 解得：，（舍去）． 答：2022年到2024年宁宁和她妹妹除夕时用手机抢到红包的平均年增长率是． （2）解：设宁宁在2024年除夕用手机抢到的红包为y元， 依题意得：， 解得：， 所以， 答：宁宁和她妹妹2024年除夕用手机抢到红包分别为180元和396元． 4．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； (2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可； （2）设售价降低元，则每天可售出千克，根据题意列方程，解出值，结合问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为，依题意， 得， 解得，（不合题意，舍去）． 月平均增长率是； （2）解：设售价降低元，则每天可售出千克，依题意， 得， 整理得， 解得，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低3元． 【经典例题三 与图形有关的问题】 【例3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）东新社区为了解决社区停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型体车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路.已知铺花砖的面积（即阴影面积）为. (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位.当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10120元，同时尽可能让利于居民? 【答案】(1)米 (2)上涨元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积 (即阴影面积)为 ，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元，根据“该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可． 【详解】（1）道路的宽为米, 由题意得： 整理得： 解得： (不合题意，舍去)， 答：道路的宽是米； （2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入元, 由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利于居民， ， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 1．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）综合与实践： 主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒的底面的边的长； 任务二：若收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高． 【答案】任务一：边的长分别为，；任务二： 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务一：由题意知，，，，计算求解即可； 任务二：设该收纳盒的高为，则，，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】任务一：解：由题意知，（）， ∵，， 解得，， ∴该收纳盒的底面的边的长分别为，； 任务二：解：设该收纳盒的高为，则，， ∴， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴该收纳盒的高为． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，要建一个面积为的长方形花园，为了节省材料，花园的一边利用原有的一道墙，另三边用栅栏围成，边留有的门，如果栅栏的长为． (1)若墙足够长，则花园的长和宽各为多少？ (2)若给定墙长为，请直接写出围成的花园只有一种围法时，a的取值范围是 ． 【答案】(1)花园的长或，宽为或 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为，根据长方形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； （2）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 或． 答：花园的长为或，宽为或． （2）当时，不能围成花园，题目无解； 当时，围成的花园只有一种围法，题目只有一个解； 当时，围成的花园有二种围法，题目有两个解； 综上所述，当时，围成的花园只有一种围法， 即的取值范围是， 故答案为：． 3．（2024八年级下·浙江·专题练习）禽流感病毒是一种传染速度比较快的传染性病毒，一般多发生在每年春、冬两季．如图，在出现禽流感前，某农场主拟建了两间矩形饲养室，饲养室的一面靠墙，墙长为米，中间用一道墙隔开，并在如图所示的二处各留米宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长为米．设边长为米． (1)用含的代数式表示的长； (2)饲养室总占地面积可能为平方米吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练运用矩形的面积公式建立方程是解题的关键． （1）利用BC边长可建围墙的总长边长，可用含的代数式表示的长； （2）根据饲养室总占地面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合墙长为米，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵可建围墙（不包括门）的总长为米，且边长为米， ∴边长为：； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养室总占地面积能为平方米，此时的长为米． 4．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求点C的坐标及的长； (2)直线分别交直线，于点，，直线与直线，交于点，，若，求的值； (3)在（2）的条件下，将△沿射线的方向以每秒个单位的长度匀速平移，设移动时间为秒．在△移动的过程中，点到直线，的距离相等，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据解析式分别求出两点的坐标即可； （2）由题意得，进一步可得，，即可求解； （3）由题意得，可知点在直线上运动；根据题意可推出点在的角平分线上，结合进而可得，据此即可求解； 【详解】（1）解：，令，则； ∴ 由得： ∴ （2）解：∵直线分别交直线，于点，， ∴ ∵直线与直线，交于点，， ∴ 令，解得： ∴ ∴ ∵， ∴， 解得： （3）解：由（2）得： 由可知：当△沿射线的方向以每秒个单位的长度匀速平移，秒后，， ∵ 故点在直线：上运动 易知： ∵点到直线，的距离相等， ∴点在的角平分线上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由得： ∴ ∴ 解得：或 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了一次函数的解析式求解、角平分线的判定定理、勾股定理等知识点，综合性较强． 【经典例题四 数字问题】 【例4】（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）两个相邻偶数的平方和的平均数为，则一定是偶数．如：，，为偶数． (1)偶数12和14是否满足上述结论，请说明理由； (2)设两个相邻偶数为和，请论证上述结论； (3)若．求符合要求的偶数． 【答案】(1)满足上述结论，理由见详解 (2)见详解 (3)，；， 【分析】本题考查了整数规律问题及一元二次方程的应用； （1）根据已知条件进行运算，即可求解； （2）计算的结果是否能被整除，即可求解； （3）根据规律可得方程，解方程，即可求解； 理解规律，并能根据规律得到一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：满足上述结论； 理由如下： ， ， 为偶数； （2）解： ， 为偶数； 故上述结论正确； （3）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：，， ，， 或，， 故符合要求的偶数为，；，． 1．（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）已知三个连续正整数的平方和为194，求这三个正整数． 【答案】7,8,9 【分析】设出这三个连续正整数，根据它们的平方和为194列方程解答即可． 【详解】解：设这三个连续正整数依次为，，，其中为自然数，则， 依题意列方程得： ， 化简得： 解得：，（舍去）， ，． 答：这三个正整数为7，8，9． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据连续正整数的特点设出三个正整数是解决问题的关键． 2．（20-21九年级上·重庆·期末）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：，因为，所以484是“方积数”． (1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”． (2)已知一个“方积数”（，其中，，为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，求满足条件的所有的值． 【答案】(1)263不是方积数，121 (2)121，242，363，484 【分析】（1）由题意代入验证即可解答； （2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合方积数的定义即可得出答案 【详解】（1）∵62＝36，4×2×3＝24，36≠24 ∴263不是方积数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“方积数”是121； （2）∵k＝100a＋10b＋c是方积数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0， ∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根， ∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0， 将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0， ∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根， ∴m＝，即mn＝1， ∵m＋n＝﹣2， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b＋c＝0， ∴b＝a＋c， ∵b2＝4ac， ∴（a＋c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清方积数的定义． 3．（21-22九年级上·福建福州·阶段练习）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇·赤整怀古》：“而立之年东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”课文是：周瑜在而立之年（30-40岁）掌管东吴，英年早逝时的年龄是个两位数，十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄．请问，哪位学生算得快，周瑜逝世时的年龄是多少岁？请根据以上信息列出方程，并求解． 【答案】周瑜逝世时的年龄是36岁 【分析】设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，根据“十位数字刚好小个位数字三，个位数字的平方就是他逝世时的年龄”知10×十位数字+个位数字＝个位数字的平方，据此列出方程可得答案． 【详解】解：设周瑜逝世时年龄的十位数字是x，则个位数字为x+3， 根据题意可的：10x+（x+3）＝（x+3）2， 化为一般形式得：x2﹣5x+6＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 解得：x1＝2，x2＝3， 当x＝2时，（x+3）2＝25， 当x＝3时，（x+3）2＝36， 又∵周瑜的年龄在30-40岁之间， ∴周瑜逝世时的年龄是36岁． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4、（2023·河北张家口·二模）发现：四个连续的整数的积加上是一个整数的平方． 验证：(1)的结果是哪个数的平方？ (2)设四个连续的整数分别为，试证明他们的积加上是一个整数的平方； 延伸：(3)有三个连续的整数，前两个整数的平方和等于第三个数的平方，试求出这三个整数分别是多少． 【答案】(1)3×4×5×6＋1的结果是19的平方；(2)见解析；(3)这三个连续的整数分别是3、4、5或-1、0、1 【分析】(1)按照有理数的乘法计算出结果，即可判断是19的平方； (2)设出四个连续整数，根据题意得到式子，对式子进行转化，利用完全平方公式得到一个整数的平方； (3)设中间的整数是x，则另外两个整数分别为x-1、x+1，根据“前两个整数的平方和等于第三个数的平方”，列出方程求解即可． 【详解】(1)3×4×5×6＋1=361=192， 即3×4×5×6＋1的结果是19的平方； (2)设这四个连续整数依次为：n-1，n，n+1，n+2，则 (n-1)n(n+1)(n+2)+1， =[(n-1)(n+2)][n(n+1)]+1 =(n2+n-2)(n2+n)+1 =(n2+n)2-2(n2+n)+1 =(n2+n-1)2． 故四个连续整数的积加上1是一个整数的平方； (3)设中间的整数是x，则第一个是x-1，第三个是x+1，根据题意得 (x-1)2+x2=(x+1)2 解之得x1=4，x2=0， 则x-1=3，x+1=5， 或x-1=-1，x+1=1，x=0， 答：这三个整数分别是3、4、5或-1、0、1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，因式分解的应用；利用完全平方公式得到一个整数的平方是正确解答本题的关键． 【经典例题五 营销问题】 【例5】（2024·福建福州·模拟预测）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍， (1)求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元； (2)两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值． 【答案】(1)桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； (2)m的值为2 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出桂花鱼的单价，再将其代入中，即可得出大罗非的单价； （2）利用数量=总价÷单价，可求出第一次购买大罗非的数量，再利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元； （2）第一次购买大罗非的数量是（斤）． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：m的值为2． 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日至2月14日在哈尔滨举行，吉祥物正在热销中．某商场经销一种成本为每套元的吉祥物“滨滨和妮妮”，其中每套吉祥物的销售单价不低于元．据市场分析，若按每套元销售，一个月能售出套；销售单价每涨元，月销售量就减少套，针对这种商品的销售情况，解答下列问题： (1)当销售单价定为元时，该商品的月销售量为 套，月销售利润为 元； (2)若该商场想在月销售成本不超过的情况下，使每月销售利润达到元，则该商品的销售单价应定为每套多少元？ 【答案】(1)； (2)该商品的销售单价应定为每套元可使月销售利润达到元 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的运用，根据题意，列出方差，即可． （1）设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设月销售利润为，列出方程，当，解出方程，即可； （2）由（1）得，方程，解出方程，即可． 【详解】（1）解：设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设利润为， ∴， ∵当销售单价定为元，即， ∴月销售量就减少套， ∴该商品的月销售量为：（套）， ∴利润（元）． 故答案为：；． （2）解：设销售单价涨元，则月销售量就减少套，设利润为， ∵， ∵每月销售利润达到元， ∴， 解得：，； ∴当，则销售单价为元， ∴成本为：，故不符合题意， ∴当，则销售单价为元， ∴成本为：，符合题意； 答：该商品的销售单价应定为元． 2．（23-24八年级下·重庆·期末）2024年端午节小长假恰巧遇上高考，元祖食品店特别推出“冰淇淋粽”礼盒和“事事高中”礼盒．甲公司从元祖店购买了这两种部分礼盒发给员工作为福利，甲公司采购人员发现，购买“事事高中”礼盒的单价是“冰淇淋粽”礼盒单价的1.5倍，且花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒． (1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子礼盒的单价分别为多少元； (2)两种粽子礼盒在市场上颇受欢迎，元祖食品店决定对这两种礼盒进行进一步促销．其中每盒“冰淇淋粽”礼盒降价元，每盒“事事高中”粽子礼盒降价元．乙公司也决定购买以上两种礼盒发放给员工作为福利，乙公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量和甲公司购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量一样，乙公司购买“事事高中”礼盒的数量比甲公司购买“事事高中”礼盒的数量多盒，最后乙公司的总花费与甲公司的总花费相同，求m的值． 【答案】(1)“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元 (2)12 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为元，根据“花费6000元购买的“冰淇淋粽”礼盒的数量比花费7200元购买的“事事高中”礼盒的数量多5盒”列方程求解即可； （2）根据“乙公司的总花费与甲公司的总花费相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解∶ 设“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为x元，则“事事高中”粽子礼盒的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“冰淇淋粽”粽子礼盒的单价为240元，“事事高中”粽子礼盒的单价为360元； （2）解：由（1）知：甲公司购买“冰淇淋粽”粽子礼盒盒，“事事高中”粽子礼盒元， 根据题意，得， 整理得 解得或（舍去）， ∴m的值为12． 3．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）炎炎夏日即将到来，正是空调售卖的好时机，某空调专卖店推出新品空调，经统计，现在平均每天售出50台，每台盈利400元，为了推广市场，增加专卖店利润，专卖店决定采取适当降价的措施．经调查发现，如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台． (1)专卖店降价第一天，获利30000元．秉承扩大销量的原则，每台空调应降价多少元？ (2)为了响应国家家电下乡政策，该空调专卖店在乡村开设了两个连锁店，新进了40台空调，60台空调，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店、考虑到消费能力问题，对两种空调的利润进行了调整，其中甲连锁店空调每台利润180元，空调每台利润160元；乙连锁店空调每台利润150元，空调每台利润140元．专卖店最后决定又对甲连锁店的空调每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后甲连锁店每台空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台空调利润，设调往甲连锁店的型空调台，总利润为元，问该专卖店应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1)每台空调应降价元 (2)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）设每台空调应降价元，根据“如果每台空调每降价10元，每天可多售出5台，获利30000元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）设调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，求出函数表达式为，再结合题意求出，，根据一次函数的性质，分情况讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：设每台空调应降价元， 由题意得：， 解得：，， ∵秉承扩大销量的原则， ∴， ∴每台空调应降价元； （2）解：设调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台， 则， 由题意得：，， 解得：，， 当时，，函数随着的增大而增大，故当时，总利润最大，即调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台； 当时，的取值在内的所有方案利润相同； 当时，，函数随着的增大而减小，故当时，总利润最大，即调往甲连锁店的型空调台，则调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台． 综上所述：当时，调往甲连锁店的型空调台，调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，可使总利润达到最大； 当时，的取值在内的所有方案利润相同； 当时，调往甲连锁店的型空调台，调往甲连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，调往乙连锁店的型空调台，可使总利润达到最大． 4．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）农历五月初五端午节是中华民族传统的节日，这一天人们通过龙舟竞渡、吃粽子、喝雄黄酒等风俗，来纪念爱国诗人屈原．城郊的盼盼食品加工厂计划在端午节前用21天的时间生产袋装粽子进行销售，已知每袋粽子需要斤馅料和斤糯米，而工厂设备每天能生产馅料450斤或者糯米300斤，但因人手有限，工厂每天只生产馅料或糯米这两种原料中的一种． (1)若这21天生产的馅料和糯米恰好配套，且全部及时加工成袋装粽子，则总共生产这种粽子多少袋？ (2)为保证粽子的最佳风味，工厂原计划把生产的粽子在10天内全部售完．据统计，每袋粽子的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．工厂按售价25元销售了2天，余下8天进行降价促销，第10天结束后仍有未售出的粽子若干，工厂以15元/袋的价格将余下粽子打包卖给了市区某大型超市，最终获利40500元，则工厂促销时每袋应降价多少元？ 【答案】(1)总共生产了9000袋粽子 (2)工厂促销时每袋应降价元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论． （1）设总共生产了袋粽子，利用这21天生产的馅料和糯米恰好配套做等量关系列出方程即可； （2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可． 【详解】（1）解：设总共生产了袋粽子， 依题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， 答：总共生产了9000袋粽子； （2）解：设促销时每袋应降价元， 依题意得，前10天的利润为：， 第10天结束后将还未售出的粽子以15元袋的价格全部打包卖给了市区某大型超市的利润：， ， 解得，． 要促销， ， 即促销时每袋应降价4元． 【经典例题六 动态几何问题】 【例6】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，为矩形的四个顶点，，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止． (1)求四边形的面积； (2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)秒或秒或秒或秒 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴四边形的面积； （2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形， ∵， ∴， ①当时， 如图1，过作于， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，可有， ∴， 解得，； ②当时， 如图2，过作于， 由①可知四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得； ③当时， ∴， ∴， 在中，可有， ∴， ∴． 综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形． 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为，则，，则， 的面积等于， ，即， 解方程得，，， 经过或时，的面积等于． 2．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 3．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知，在直角梯形中，，，，，，动点从开始沿边向点以的速度运动，动点从点开始沿边向以的速度运动，、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)t为何值时，？为什么？ (2)当时，求t的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】 本题考查直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）四边形为平行四边形时， （2）分两种情形：如图1，过作于，如图2，过作于，分别利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1） 由题意知，，，， 当四边形为平行四边形时，， ， ，四边形为平行四边形， ， 解得：， 即当时，． （2） 如图1，过作于， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，，，， ， ， 解得：，（舍弃）； 如图2， 过作于， 则四边形是矩形， ，，， ， 在中，，，， ， ， 解得：（舍弃），； 综上所述，满足条件的的值为或． 4．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）在中，，，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，到达点停止运动，设运动时间为秒． (1)求的面积； (2)如图①，过点作、交于点、若与的面积和是的面积的，求的值； (3)如图②、点在射线上，且，以线段为边向上方作正方形．在运动过程中，若设正方形与重叠部分的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)， (3)t的值为或． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）根据三角形的面积公式求出的面积， （2）根据题意可得，，然后再与的面积和是的面积的，列出方程、解方程即可解答； （3）根据不同时间段分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）中，，， ∴， （2），， 与的面积和， 与的面积和是的面积的， ， 解得，； （3），， ， ①如图，当时，， 解得： ， 不合题意，舍去， ②如图，当时， 解得： 不合题意，舍去， 不合题意，舍去， ③如图，当时， ， 解得： ， 不合题意，舍去， 综上，的值为或时，重叠面积为． 【经典例题七 工程问题】 【例7】（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 1．（2022·重庆·一模）某公司主营铁路建设施工． (1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？ (2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a的值． 【答案】(1)4； (2)2． 【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米，利用隧道施工至少是桥梁施工的9倍，列不等式求解即可； （2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为千米， ∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍， ∴， 解之得：， ∴桥梁施工最多是4千米． （2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米， 设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x， ∵总成本为254亿元， ∴， 解之得：， 由题意可知：二季度平地施工里程为千米，隧道施工里程为千米，桥梁施工里程为千米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3， ∵二季度总成本与一季度相同， ∴， 即， 解之得：（舍去）或， 故． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程求解． 2．（20-21八年级下·浙江温州·期中）全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 3、（20-21九年级上·四川资阳·期末）2020年新冠疫情爆发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同，试回答下列问题： （1）求每天增长的百分率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减小50万个/天． ①现该厂要保证每天生产口罩6500万件，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ ②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万件，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】（1）20%；（2）①4条；②不能，理由见解析． 【分析】（1）设每天增长的百分率为x，根据开工第一天及第三天的产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天，根据题意列方程，即可得到结论； ②设应该增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天，根据每天生产口罩6500万个，即可得出关于a的一元二次方程，根据判别式的值可得出结论． 【详解】解：（1）设每天增长的百分率为x， 依题意，得：500（1+x）2=720， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每天增长的百分率为20%； （2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50m）万个/天， 依题意，得：（1+m）（1500-50m）=6500， 解得：m1=4，m2=25， 又∵在增加产能同时又要节省投入， ∴m=4． 答：应该增加4条生产线； ②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500-50a）万个/天， 依题意，得：（1+a）（1500-50a）=15000， 化简得：a2-29a+270=0， ∵△=（-29）2-4×1×270=-239＜0，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4、（2020·福建厦门·模拟预测）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12 ．经过三年治理，境内长江水质明显改善 ． （1）求的n值； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量； 【答案】（1）；（2），60家 【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，列出关于n的一元一次等式，从而求出答案； （2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，列出关于m的一元二次等式，从而求出m及第二年用乙方案新治理的工厂数量． 【详解】解：(1)由题意可得：， 解得； (2)由题意可得：， 解得：，（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：（家）． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的实际应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据所给条件，找出合适的等量关系，列出方程从而求解． 【经典例题八 行程问题】 【例8】（2024·福建龙岩·二模）运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． (1)求小美每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)小美每分钟跑360米 (2)小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 1．（23-24九年级上·山东枣庄·期中）小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）在物理中，沿着一条直线且加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，路程等于时间与平均速度的乘积．若一个小球以5米/秒的速度开始向前滚动，并且均匀减速，4秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动5米用了多少秒？（精确到0.1，，） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒，此时速度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 3．（22-23九年级下·重庆北碚·阶段练习）月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 【经典例题九 图表信息题】 【例9】（22-23九年级上·广东阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 (1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？ (2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票 【答案】(1)10% (2)2500000张 【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量=总结单价，即可求出结论； 【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每次累计票房增长的百分率是10%． （2）解： （张）． 答：10月11日卖出2500000张电影票． （或（张）．） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 1、（23-24八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【详解】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【经典例题十 其他问题】 【例10】（2024·广东东莞·三模）作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分．这个五一，我市举行“缤纷运动‘莞’精彩、‘篮’不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场比赛． (1)应邀请多少支球队参加比赛？ (2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？ 【答案】(1)设应邀请6支球队参加比赛 (2)实际共比赛22场 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设应该邀请支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用比赛总场次数该球队参加的场次数剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参加比赛， 由题意得： 解得：，（不合题意，舍去）． 答：设应邀请6支球队参加比赛． （2）解：（场） 答：实际共比赛22场． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）阅读下表：解答下列问题： 线段上的点数（包括、两点） 图例 线段总条数 3 4 5 6 (1)根据表中规律猜测线段总条数与线段上点数（包括线段的两个端点）的关系，用含的代数式表示，则___________． (2)2016年“欧洲杯足球赛”，第一轮小组赛共有24支球队分成6组（每组4个队），每组组内分别进行单循环赛（即每个队与本小组的其它队各比赛一场），求第一轮共要进行几场比赛？ (3)2016年“中国足球超级联赛”，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 【答案】(1) (2)36场 (3)16支 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，线段的定义，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，掌握从特殊向一般猜想的方法，得出线段的总条数与线段上的点数的关系式． （1）线段的总条数与线段上的点数的关系式； （2）先将代入（1）中的关系式求出每小组4个队单循环赛一共比赛的场数，再乘以组数6即可； （3）设共有几支球队参加比赛，根据所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得． 故答案为：； （2）解：每小组4个队单循环赛一共比赛：（场， 共6个组，（场． 答：第一轮共要进行36场比赛； （3）解：设共有几支球队参加比赛，根据题意得： ， 解得或（舍去）． 答：共有16支球队参加比赛． 2．（23-24八年级下·西藏日喀则·期中）为了喜迎全国藏文书法日，在2024年4月30日昂仁县中学党总支举行了筑牢中华民族共同体意识之迎4.30“全国藏文书法日”为主题的学生书法比赛，此次比赛中前50名学生每人发放一本笔记本或一支钢笔作为比赛的奖品，已知，笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元，本次活动中学校购买了多少本笔记本？ 【答案】20本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题中等量关系列出方程是解题的关键．设购买笔记本x本，钢笔为支，根据“笔记本的单价为12元，钢笔的单价为10元，购买奖品共花费了540元”列出方程求解即可． 【详解】解：设购买笔记本x本，钢笔为支，由题意得， 解得：． 答：本次活动中学校购买了20本笔记本． 3．（2024·北京昌平·二模）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的． 某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． (1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容： 方案一：采用一次漂洗的方式. 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________； 方案二：采用两次漂洗的方式. 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）； 通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好. (2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________． 【答案】(1)；；；二 (2)10； 【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键． （1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答： 实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断； （2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题． 【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式． 将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的； 方案二：采用两次漂洗的方式． 若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的， 若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 ，方案二效果更好； 故答案为：，，；二； （2）解：， 当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好， 第一次用 10斤清水，漂洗效果最好， 二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的 故答案为：二，． 1．（23-24八年级下·江苏南通·期末）某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人均收入的年平均增长率为，根据“某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设人均收入的年平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴人均收入的年平均增长率为， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）年月．锦绣中学组织七八年级学生到皖南研学游，同学们在学习徽文化同时，对黄山烧饼赞不绝口，据了解黄山烧饼月份销售额为万元，以后每月销售额按相同的增长率增长，预计月份可以累计销售收入达万．设月收入的增长率为，则程可列为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设月收入的增长率为，则四月份销售额为，五月份销售额为，列出方程，即可． 【详解】设月收入的增长率为， ∴四月份销售额为；五月份销售额为， ∴列出方程为：． 故选：D． 3、（23-24八年级下·山东淄博·期中）利用图形的分、和、移、补探索图形关系是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是（　　） A．42 B． C． D．21 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方应用，设小正方形的边长为，则矩形的长为，宽为，根据图1的面积列出关于、、的关系式，代入求出，即可得出矩形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为，则矩形的长为，宽为， 由图1可得：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：A． 4．（23-24八年级下·福建漳州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，若点在直线上，且为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图像上的点的特征、等腰三角形的定义、解一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．设，分、、三种情况，构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， 设，如下图， ①当时时，点在线段的垂直平分线上， 此时； ②当时时，可有， 整理可得， ∵， ∴该方程无解，即不符合题意； ③当时，可有， 整理可得， 解得或， ∴ 或． 综上所述，满足条件的点有3个， 故选：B． 5．（23-24九年级上·四川眉山·期末）如图，在中，，，，P、Q分别是上的动点，若点P、Q同时从M、N两点出发分别沿方向向点C匀速运动，它们的速度都是，要使的面积为面积的一半，则需经过的时间为（    ）    A．2或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设经过的时间为，则，，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设经过的时间为，则， ∴， 依题意得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 故选：B． 6．（2023·广西南宁·二模）为满足春节市场需求，某商场在节前购进大批某品牌童装，该品牌童装若每件盈利40元，平均每天可售出20件，经调查发现，若每件童装降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场希望该品牌童装日盈利为1200元，同时为了尽量减少库存，请问该童装应降价 元． 【答案】20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； 利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润，列出方程解答，再结合要尽量减少库存，即可得出结果． 【详解】解：设该童装每件降价x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 依题意得： ， 整理得： ， 解得：，． 又要尽量减少库存， ． 答：该童装应每件降价20元． 故答案为：20． 7．（23-24九年级上·河南周口·期末）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），若比赛共进行了28场，则参赛的班级有 个． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的实际运用，设参赛的班级有个，根据“每两班之间都赛一场，比赛共进行了28场，”列式求解，即可解题． 【详解】解：设参赛的班级有个， 由题意可得，， 整理得，解得，（不合题意，舍去）， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，且．连接，将沿折叠，若点B的对应点落在矩形的边上，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程；设， 由已知得，，由勾股定理得及，即可求解；掌握性质，能将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 设， ， ，， 由折叠得：， ， 四边形是矩形， ， ， 在中， ， ， 在中 ， 解得：，（舍去）， ； 故答案：． 9．（23-24九年级上·江苏扬州·期末）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何?译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图，则门的高度是 尺． 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程应用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高． 【详解】解：设门对角线的长为尺，则门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得： ， 即， 解得：（不合题意舍去），， （尺， 答：门高8尺． 故答案为：8 10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果点，分别从点，同时出发，那么出发后 秒时，线段的长度等于． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设出发后秒时，线段的长度等于，可列出方程，解方程即可求解，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设出发后秒时，线段的长度等于，依题意得， ， 整理得，， 解得（不符合题意，舍去），， ∴出发后秒时，线段的长度等于， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某体育用品店的“某品牌衬衫”每天销售20件，每件衬衫盈利40元．该体育用品店决定降价销售该品牌衬衫，经过市场调查发现：如果衬衫每降价1元，则每天多售出2件，设该品牌衬衫每件降价x元，每天销售y件． (1)直接写出y与x之间的函数关系式，不要求写出自变量的取值范围； (2)如果该体育用品店销售该品牌衬衫每天盈利1250元，那么衬衫每件降价了多少元? 【答案】(1) (2)衬衫每件降价了15元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系． （1）根据题意列出一次函数解析式即可； （2）根据该品牌衬衫每天盈利1250元列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵每天销售20件，每件衬衫盈利40元，衬衫每降价1元，则每天多售出2件， ∴该品牌衬衫每件降价x元，每天销售； （2）解：根据题意得：， 整理得:， 解得:， 答:衬衫每件降价了15元． 12．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计： (1)若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？ (2)小哲说的有道理吗？请通过计算说明； (3)他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数． 【答案】(1)10； (2)小哲说的有道理，理由见解析； (3)13． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由见详解； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得5个人需比赛的局数为； （2）小哲说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，小哲说的有道理； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，符合题意， ∴共有13名参赛者报名本次比赛． 13、（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）李大爷用30米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形．设边的长为（单位：米），矩形的面积为S（单位：平方米）． (1)求S与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若矩形的面积为54平方米，且，请求出此时的长． 【答案】(1) (2)9米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，对于长方形的面积公式要熟记．注意本题，因此可根据这个条件舍去不合题意的解． （1）根据长方形的面积公式求出与之间的函数关系式． （2）根据矩形的面积为54平方米，即，即可列出一元二次方程求解． 【详解】（1）四边形是矩形， ， ， ； （2）由题意可得，， 解得，， 当时，不符合题意舍去， ∴的长为9米． 14、（重庆市两江新区2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题）新高考采用“”的模式，对生物学科提出了更高的要求．某学校生物组为培养同学们观察、归纳的能力，组建了生物课外活动小组．在一次野外实践时，同学们发现一种水果黄瓜的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21． (1)这种水果黄瓜每个支干长出多少小分支？ (2)学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植这种水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为10米），其余部分需要用总长为22米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田的宽为米．若该种植田的面积为36平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽． 【答案】(1)4个 (2)6米 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设这种水果黄瓜每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是21，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． （2）设种植田的宽为米，则长为米，根据题意列一元二次方程组，解方程组，再根据对求出的根进行取舍． 【详解】（1）解：设这种水果黄瓜每个支干长出x个小分支， 由题意得：， 解得，（舍）， 即这种水果黄瓜每个支干长出4个小分支； （2）解：设种植田的宽为米，则长为米， 由题意得：， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 综上可知，该种植田的宽为6米． 15．（23-24八年级下·福建厦门·期末）小张利用家里闲置的长方形硬纸板制作收纳盒（如图1），收纳玩具．已知，长方形硬纸板长为100cm，宽为40cm． (1)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形（如图2），然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个长方体无盖收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图所示，若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，设小长方形的宽为xcm，长ycm．请求出y关于x的函数关系式，并判断家里一个玩具机械狗能否完全放入该收纳盒并合上盖子（不考虑倾斜放入）．若能，请写出一组x、y的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)剪去的小正方形的边长； (2)，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，合理将实际问题转化成方程是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可； （2）设小长方形的宽为，长，列出等式求得y关于x的函数关系式；再分两种情况讨论，判断玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ， 整理得： 解得：，（舍去）， 答：剪去的小正方形的边长； （2）解：设小长方形的宽为，长，由题意得： ，即， 当时，则，解得：， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒； 当，则， ∴ ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒； 综上，玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 学科网（北京）股份有限公司 $$