精品解析：福建省厦门市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期义务教育八年级期末质检试卷 数学 （满分150分；时长120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知y是x的函数，其图像经过点，则该函数的解析式可以是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在（　　） 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 70～90 90～110 110～130 130～150 150～170 人数 4 14 17 10 5 A. 第二组 B. 第三组 C. 第四组 D. 第五组 6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用身高为178和192的两队员分别换下场上身高为168和197的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数变大，方差变小 B. 平均数变大，方差变大 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 8. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 9. 在A、B两地之间有汽车站C（A、B、C三地在同一直线上），甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲、乙两车离C站的路程，（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 两车经过4.5小时后相遇 B. 甲车的速度是60千米/小时 C. 乙车11小时后到达终点 D. 乙车到达C站后，还要行驶360千米到达终点 10. 已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 学校举办“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加了比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为____________分． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____． 14. 如图，菱形中，对角线相交于点，点是中点，若，则______． 15. 已知直线，将直线向上平移5个单位后经过点，将直线向下平移5个单位后经过点，那么直线向__________（填“左”或“右”）平移__________个单位后过点． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数的图象上的一个动点，过点B作垂直于y轴的直线交函数的图象于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且，连接，．有如下四个结论： ①四边形是平行四边形； ②四边形不可能是菱形； ③四边形不可能是矩形； ④四边形不可能是正方形． 所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 一次函数的图象经过点和点，O为坐标原点． （1）求该一次函数的表达式，并画出图象； （2）点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由． 21. 李明为了解某品牌新能源乘用车的需求情况，从该品牌乘用车某4S店收集到以下信息： 材料一： 材料二： 该品牌某4s店2024年6月各级别新能源乘用车的平均销售单价统计表： 乘用车级别 微型 小型 紧凑型 中型 大型 超大型 平均单价/万元 8 10 15 20 30 58 （1）该品牌某4s店2024年6月所有销售的新能源乘用车平均单价是多少万元？ （2）该品牌汽车想通过调整投产计划以满足市场需求，请你运用所学的统计学知识向该品牌车企提出后续投产规划的合理建议？ 22. 如图，在中，D，E分别是，的中点，连接． （1）作出线段的中点F（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接，．若，，，求证：四边形是菱形． 23. 某早餐店售有鸡排三明治、猪排三明治和饮料，其中饮料单价为5元/杯．为回馈广大消费者，商家决定推出套餐：任意一款三明治和一杯饮料，只需10元． （1）请根据信息分别求出鸡排三明治和猪排三明治的单价； （2）小孟计划购买50个三明治和30杯饮料，其中鸡排三明治的数量不少于猪排三明治的数量且不多于猪排三明治数量的两倍．到店后，店员告知小孟为了促进三明治单品的销售量，现早餐店推出新活动：单独购买猪排三明治，单价降价a元．且店内套餐照旧．请你帮小孟设计一种购买方案，使总花费最低，并说明理由． 24. 定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线．例如：如图1，在凸四边形中，若，则四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． （1）【概念理解】下列图形中，属于对等四边形的是___________． A．有一对邻边相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．有一对邻角相等的四边形 D．平行四边形 （2）【探究升级】请你通过探究，写出对等四边形的一条性质，并利用定义证明； （3）【综合应用】如图2，在平面直角坐标系中，，若平面内存在一动点C，使得四边形为对等四边形，求点C的运动轨迹构成的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 25. 在正方形中，E为边上异于点A，B的一个动点，连接，点B关于的对称点为点F，与交于点M，延长，分别交直线于点G，H． （1）如图1，当点G在边上时，将点A关于对称，其对称点恰好与点F重合，交于点N． ①求证：四边形为矩形； ②连接并延长交于点K，若，，求正方形的面积； （2）如图2，若正方形的边长为9，随着长度的变化，探究点G的位置． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期义务教育八年级期末质检试卷 数学 （满分150分；时长120分钟） 注意事项： 1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡． 2．答案必须写在答题卡上，否则不能得分． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可得出答案． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B. 是最简二次根式，故该选项符合题意； C. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 已知y是x的函数，其图像经过点，则该函数的解析式可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，只需将点代入四个选项的函数解析式中，等号成立即可以作为该函数的解析式． 【详解】解：将点代入，得：，故不符合题意； 将点代入，得：，故符合题意； 将点代入，得：，故不符合题意； 将点代入，得：，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了函数图像上的点，掌握函数图像上的点满足函数解析式的关系是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算．根据二次根式的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算正确； C、不能合并，选项计算错误； D、，选项计算错误； 故选B． 4. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确； 一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 5. 某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在（　　） 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 70～90 90～110 110～130 130～150 150～170 人数 4 14 17 10 5 A. 第二组 B. 第三组 C. 第四组 D. 第五组 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据，可以计算出抽取的学生人数，然后即可得到中位数落在哪一组． 【详解】解：4＋14＋17＋10＋5＝50，偶数个数据中位数为中间两个数的平均值， 第25和26个数据在第三组， 中位数在第三组， 故选：B． 【点睛】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义及求法． 6. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为尺，则， 根据题意得：， 故选：D． 7. 某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）是：168，184，187，188，197．现用身高为178和192的两队员分别换下场上身高为168和197的队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A. 平均数变大，方差变小 B. 平均数变大，方差变大 C. 平均数变小，方差变小 D. 平均数变小，方差变大 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差．先根据公式分别求出原来数据和新数据的平均数和方差，然后比较即可得到答案． 【详解】解：原来数据的平均数：， 方差： 现在数据的平均数：， 方差：， ∴平均数变大了，方差变小了． 故选：A． 8. 如图，在矩形中，点B的坐标是，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点．根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过作轴于， 点的坐标是， ，，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ， ， 故选：C． 9. 在A、B两地之间有汽车站C（A、B、C三地在同一直线上），甲车由A地驶往C站，乙车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．甲、乙两车离C站的路程，（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 两车经过4.5小时后相遇 B. 甲车的速度是60千米/小时 C. 乙车11小时后到达终点 D. 乙车到达C站后，还要行驶360千米到达终点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根据函数图象获取信息进行求解及一元一次方程的应用．根据题意结合图象确定符合甲乙行驶路线的函数图象，然后依次进行求解判断即可得出 【详解】解：A、C两地相距：（千米），B、C两地相距：（千米）， 乙车到达C站后，还要行驶360千米到达终点，故D说法正确，不符合题意； A、B两地相距：（千米）， 甲车的平均速度：（千米小时），故B说法正确，不符合题意； 乙车的平均速度：千米小时， （小时）， 乙车行驶11小时后到达终点，故C正确，说法正确，不符合题意； 设t小时相遇，则有：， 解得：（小时）， 两车行驶4.4小时后相遇，故A说法错误，符合题意； 故选：A． 10. 已知一次函数的图象经过点，，，若，则下列一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．由可知随的增大而减小，然后利用一次函数的性质即可得到． 【详解】解：一次函数的图象经过点，，，若， 随的增大而减小， 时，，且， ， 故选：D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 学校举办“演说中国”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加了比赛，并在综合荣誉和现场演讲中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为____________分． 【答案】84 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数的计算，综合荣誉和现场演讲的成绩分别乘以权重，再相加即可． 【详解】解：小明的最终成绩为（分）， 故答案为：84． 13. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，则的长为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 14. 如图，菱形中，对角线相交于点，点是中点，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及三角形中位线定理，由菱形的性质可知点是的中点，，进而可知是的中位线，即可求解．正确得出是的中位线是解题关键． 【详解】解：∵菱形中，对角线相交于点， ∴点是的中点，， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：5． 15. 已知直线，将直线向上平移5个单位后经过点，将直线向下平移5个单位后经过点，那么直线向__________（填“左”或“右”）平移__________个单位后过点． 【答案】 ①. 左 ②. 4 【解析】 【分析】结合已知条件，根据一次函数的图象平移性质列得关于k,b的二元一次方程组，从而求得直线l的解析式，然后设它向左平移m个单位后过点，列得关于m的方程，解方程即可． 【详解】已知直线 则该直线向上平移个单位后对应的解析式为 ∵它过点 ∴ 原直线向下平移个单位后对应的解析式为 ∵它过点 ∴ 解方程组得， ∴ 设它向左平移m个单位后过点 过点 即 解得： 即直线向左平移个单位后过点， 故答案为：左，． 【点睛】本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是函数的图象上的一个动点，过点B作垂直于y轴的直线交函数的图象于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且，连接，．有如下四个结论： ①四边形是平行四边形； ②四边形不可能是菱形； ③四边形不可能是矩形； ④四边形不可能是正方形． 所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题一次函数与四边形的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定． ①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，可作判断； ②根据列方程，方程有解在之间，由此可作判断； ③当与的横坐标相等时，四边形是矩形，此种情况存在，可作判断； ④在矩形的基础上，计算与不相等，可作判断． 【详解】解：①如图1，轴， ∴， 又， 四边形是平行四边形，故说法①正确； ②设，则， ， 当时，四边形是菱形， ， ， 解得：（不符合题意），， 存在的情况， 即四边形可能是菱形，故说法②错误； ③如图2，点是函数的图象上的一个动点， 存在点的横坐标为3，此时四边形是矩形，故说法③错误； ④当时，， 此时，如图2所示， 四边形不为正方形，故说法④正确； 本题正确的结论有：①④． 故答案为：①④． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 18. 如图，在中，，垂足分别为E，F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，先根据平行四边形的性质和垂直定义得到，，，进而证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，, ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 20. 一次函数的图象经过点和点，O为坐标原点． （1）求该一次函数的表达式，并画出图象； （2）点在该函数图象的上方还是下方？请做出判断并说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）点在该函数图象的上方，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，画一次函数图象： （1）利用待定系数法求出对应的一次函数解析式，再画出对应的函数图象即可； （2）求出当时y的值，若该值大于，则点在一次函数图象下方，若小于，则点在一次函数图象下方，据此可得答案． 【小问1详解】 解：把点和点代入中得：， ∴， ∴该一次函数解析式为， 函数图象如下所示： 【小问2详解】 解：点在该函数图象的上方，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴， ∴点在该函数图象的上方． 21. 李明为了解某品牌新能源乘用车的需求情况，从该品牌乘用车某4S店收集到以下信息： 材料一： 材料二： 该品牌某4s店2024年6月各级别新能源乘用车的平均销售单价统计表： 乘用车级别 微型 小型 紧凑型 中型 大型 超大型 平均单价/万元 8 10 15 20 30 58 （1）该品牌某4s店2024年6月所有销售的新能源乘用车平均单价是多少万元？ （2）该品牌汽车想通过调整投产计划以满足市场需求，请你运用所学的统计学知识向该品牌车企提出后续投产规划的合理建议？ 【答案】（1）该品牌的新能源乘用车的平均单价是17万元； （2）见解析 【解析】 【分析】本题是统计综合题，主要考查条形统计图的认识. （1）根据条形统计图中2024年6月该品牌各级别新能源乘用车即可求出平均单价； （2）根据数据即可给出合理建议. 【小问1详解】 解：平均单价（万元）． 答：该品牌的新能源乘用车的平均单价是17万元； 【小问2详解】 解：从材料一数据可知，2024年6月销售数据中，销售量最大的车型为紧凑型车； 从材料一来看增长率最高的是紧凑型车，所以建议多生产紧凑型车． 22. 如图，在中，D，E分别是，的中点，连接． （1）作出线段的中点F（尺规作图，保留痕迹，不写作法）； （2）根据（1）中作图，连接，．若，，，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作线段的垂直平分线，即可得到线段的中点F； （2）利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，推出，根据对角相互垂直的平行四边形是菱形即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：如图，点F即为所作； 【小问2详解】 证明：连接． ∵D，E分别是，的中点， ∴，， ∵线段的中点是F， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且，即， ∵E是的中点，线段的中点是F， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查作图复杂作图，三角形中位线定理，勾股定理的逆定理，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 某早餐店售有鸡排三明治、猪排三明治和饮料，其中饮料单价为5元/杯．为回馈广大消费者，商家决定推出套餐：任意一款三明治和一杯饮料，只需10元． （1）请根据信息分别求出鸡排三明治和猪排三明治的单价； （2）小孟计划购买50个三明治和30杯饮料，其中鸡排三明治的数量不少于猪排三明治的数量且不多于猪排三明治数量的两倍．到店后，店员告知小孟为了促进三明治单品的销售量，现早餐店推出新活动：单独购买猪排三明治，单价降价a元．且店内套餐照旧．请你帮小孟设计一种购买方案，使总花费最低，并说明理由． 【答案】（1）鸡排三明治单价单价为6元，猪排三明治单价为8元； （2）鸡排三明治套餐买25份，剩余的25份猪排单独买，额外再买5杯饮料． 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，最优化选择问题； （1）设鸡排三明治单价为x元，猪排三明治单价为 y元，根据题干信息可得，再解方程组即可； （2）设鸡排三明治购买个，则猪排三明治购买个，则，求解的范围，再结合优惠方式进行选择即可． 【小问1详解】 解：设鸡排三明治单价为x元，猪排三明治单价为 y元， 由题意知： ， ∴ ， 即鸡排三明治单价单价为6元，猪排三明治单价为8元； 【小问2详解】 解：设鸡排三明治购买个，则猪排三明治购买个，则 ， 解得：，其中为整数，则鸡排三明治购买了； ∴，则鸡排三明治购买了， 鸡排套餐10元，单买鸡排和单买饮料为：（元）， 猪排套餐10元，单买猪排和单买饮料为：（元）， ∵ ∴猪排单独买，单买饮料比套餐便宜， ∴先全部买鸡排套餐便宜，剩余三明治：鸡排剩余个，猪排个， 则总花费为:， ∵， ∴当取得最小值时，取得最小值， 则， 所以鸡排三明治套餐买25份，剩余的25份猪排单独买，额外再买5杯饮料． 24. 定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线．例如：如图1，在凸四边形中，若，则四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线． （1）【概念理解】下列图形中，属于对等四边形的是___________． A．有一对邻边相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．有一对邻角相等的四边形 D．平行四边形 （2）【探究升级】请你通过探究，写出对等四边形的一条性质，并利用定义证明； （3）【综合应用】如图2，在平面直角坐标系中，，若平面内存在一动点C，使得四边形为对等四边形，求点C的运动轨迹构成的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1）D （2）在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；证明见解析 （3）的轨迹是线段；或的轨迹是射线； 【解析】 【分析】（1）根据对等四边形的定义结合平行四边形的性质可得结论； （2）先写出性质：在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；再画图，结合定义与全等三角形的判定与性质可得结论； （3）分两种情况讨论：如图，当对角线为对等对角线时，如图，当为对等对角线时，再结合对等四边形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：根据对等四边形的定义可得： 平行四边形是对等四边形；其余选项的四边形都不是对等四边形； 【小问2详解】 解：在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线； 已知四边形是对等四边形，对等对角线为，； 求证：； 证明：如图，过作于，过作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当对角线为对等对角线时， ∵，，， ∴在直线上， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 当时，， 解得：， ∴此时的横坐标范围为； 如图，当为对等对角线时， 由（2）可得，平分， ∴过的中点， 同理可得：直线为：， ∴的轨迹是射线； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，点的轨迹问题，难度较大，理解新定义是含义是解本题的关键． 25. 在正方形中，E为边上异于点A，B的一个动点，连接，点B关于的对称点为点F，与交于点M，延长，分别交直线于点G，H． （1）如图1，当点G在边上时，将点A关于对称，其对称点恰好与点F重合，交于点N． ①求证：四边形为矩形； ②连接并延长交于点K，若，，求正方形的面积； （2）如图2，若正方形的边长为9，随着长度的变化，探究点G的位置． 【答案】（1）①见解析；②正方形的面积为； （2）． 【解析】 【分析】（1）①利用对称的性质得，，，，求得，再由矩形的判定即可证明； ②由对称的性质可得，于是，再由平行四边形的判定和性质求得，得到，据此计算即可解答； （2）当和重合时，求得；当时，连接，设，，连接，设，则，由折叠的性质可得和，在直角中由勾股定理求得，于是可得，然后在直角和直角中利用勾股定理建立方程求得的表达式即可求解；当时，同理求解即可． 【小问1详解】 解：①如图， 由对称的性质可知是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； ②如图过点作，交正方形的两于点，， 由正方形的性质可知，，， ∴，， 由对称的性质可知，， ∴， ∵和等高， ∴， 由①结论和可得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵正方形的面积； 【小问2详解】 解：当和重合时， 同理，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， 如图，连接，设，，则， 由对称的性质可知，，， 直角中由勾股定理可得， ∴， 直角中由勾股定理可得， 直角中由勾股定理可得， ∴， 整理得， ∴． 当时， 如图，连接，设，，则， 由对称的性质可知，，， 直角中由勾股定理可得， ∴， 直角中由勾股定理可得， 直角中由勾股定理可得， ∴， 整理得， 综上，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识；熟练掌握勾股定理是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $