第09讲 实数（一）（2个知识点+4种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第09讲 实数（一）（2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【例1】（2024•闵行区三模）下列说法正确的是　　 A．无限小数都是无理数 B．没有立方根 C．正数的两个平方根互为相反数 D．没有平方根 【变式1】（2023秋•中牟县期中）把下列各数的序号写入相应的集合中： ①，②，③，④，⑤0，⑥（相邻两个5之间0的个数逐次加． （1）负数集合　　； （2）有理数集合　　； （3）无理数集合　　． 【变式2】（2023秋•铜山区期中）在实数，，0，，，0.5，3.14159，，中有理数的个数是 　　． 【变式3】（2023秋•农安县期中）已知实数，满足关系式． （1）求，的值； （2）判断是有理数还是无理数，并说明理由． 【变式4】（2024春•甘井子区月考）下面4个数：，其中是有理数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点2．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【例2】（2024春•无为市月考）下列四个实数中，不存在倒数的是　　 A．0 B．3.14 C． D．1.3333 【变式1】（2024•武汉模拟）实数5的相反数是　　 A． B． C． D．5 【变式2】（2023秋•溧阳市期末）的绝对值等于　　． 【变式3】（2024春•惠阳区校级期中）若，则的相反数是　　． 【变式4】（2024春•淮滨县期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　　； （2）若，则　　； （3）已知，且与互为相反数，求，的值． 经典题型汇编 题型一.实数概念理解 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·福建厦门·期中）若，，则= ． 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自把这个数按照下面的程序进行计算． (1)当输入的实数为时，求输出的值是多少． (2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确吗？请判断并说明理由． 题型二.实数的分类 4．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）不是（    ） A．实数 B．负数 C．无理数 D．有理数 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在实数，，，，中有理数的个数是 ． 6．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）将下列各数填入相应的集合内： ． (1)有理数集合：{           }； (2)无理数集合：{           }； (3)正实数集合：{           }； (4)负实数集合：{           }． 题型三.实数的性质 7．（2024·湖北宜昌·二模）实数的绝对值是（    ）． A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如果，且，那么 0．（填不等号） 9．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：已知，其中是一个整数，，． 题型四.实数的大小比较 10．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）在，，0，1，四个实数中，小于的实数是（    ）． A． B．0 C．1 D． 11．（24-25八年级上·安徽·假期作业）比较大小： ．（填“、、或”） 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图所示，点在数轴上，且．回答下列问题： (1)写出数轴上点A表示的数； (2)比较与的大小；（写出简要过程） (3)设点在数轴上，点表示的数是，且满足，如果是非零整数，直接写出符合条件的N点有几个？ 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）的相反数（    ） A． B． C． D．7 2．（23-24八年级上·广西来宾·期末）实数，，，，，中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）在下列各数中是无理数的有（   ）个． ，，，，，，（相邻的两个3之间0的个数逐次增加），（小数部分由相继的正整数组成） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24八年级上·江西九江·期末）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 5．（20-21八年级上·陕西西安·期末）实数的相反数是（    ） A． B．2 C． D． 6．（2024·天津南开·三模）比大，比小的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）若 x，y 为实数，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 9．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）在这些实数中，有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）请你写出一个无理数 （写出一个即可）． 12．（23-24八年级上·广东佛山·期中）比较大小： 2．（填“>”、“=”或“<”） 13．（22-23八年级上·广东清远·期中）若，则   ． 14．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）在实数：，0，，1.010010001，4.21，π，中，整数有 个． 15．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ， ，的相反数是 ． 16．（23-24八年级上·江苏·周测）下列实数：12，，，，，，中，有理数有 个． 17．（22-23八年级上·甘肃白银·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是 ．若点表示，则点在点的 边（填“左”、“上”、“右”） 三、解答题 19．（23-24八年级上·吉林长春·期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来： ，，0，，． 20．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……） (2)无理数集合：（        ……） (3)负实数集合：（        ……） 21．（21-22八年级·全国·假期作业）若m，n满足等式+＝0． (1)求m，n的值； (2)求4m﹣3n的平方根． 22．（22-23八年级上·江苏·单元测试）化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 23．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 负实数集合：{______}． 24．（22-23八年级上·山东青岛·期中）把下列各数填入相应的集合内： 0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）． (1)整数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)无理数集合{ …}． 25．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）下面是漯河某初中数学小组学完幂的运算后就大小比较问题展开的交流，请仔细阅读并完成任务． 小明：比较，，的大小，可以直接按照幂的运算比较，但是太麻烦了，有没有更好的方法． 小亮：可以按照下面的思路比较： ∵，同理，；且当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大． ∴，，的大小关系是______（用“＜”表示）． 小明：这个方法不错，很巧妙，多观察多发现． …… 任务： (1)请将小亮的过程补充完整； (2)请利用小亮的思路比较，，的大小． 26．（22-23八年级上·福建泉州·期中）已知材料1：三个内角相等的三角形为等边三角形． 材料2：在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边． 结合上述材料，解决下面的问题 如图（1），，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与的大小关系是_____；的度数是_____． (2)若点的运动时间，当时， ①设点Q的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②如图（2）延长与交于点，连结，为的角平分线，点为与的交点，点在运动的过程中，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 实数（一）（2个知识点+4种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数． （2）实数的分类： 实数： 或 实数： 【例1】（2024•闵行区三模）下列说法正确的是　　 A．无限小数都是无理数 B．没有立方根 C．正数的两个平方根互为相反数 D．没有平方根 【分析】根据无理数、立方根、平方根的定义解答即可． 【解答】解：、无限循环小数是有理数，故不符合题意； 、有立方根是，故不符合题意； 、正数的两个平方根互为相反数，正确，故符合题意； 、有平方根，故不符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了平方根、立方根及无理数的定义，以及实数和数轴的关系． 【变式1】（2023秋•中牟县期中）把下列各数的序号写入相应的集合中： ①，②，③，④，⑤0，⑥（相邻两个5之间0的个数逐次加． （1）负数集合　①④⑥　； （2）有理数集合　　； （3）无理数集合　　． 【分析】负数、有理数、无理数的定义逐一判断即可． 【解答】解：，， （1）负数集合①④⑥； （2）有理数集合①③④⑤； （3）无理数集合②⑥． 故答案为：①④⑥；①③④⑤；②⑥． 【点评】此题主要考查了实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0． 【变式2】（2023秋•铜山区期中）在实数，，0，，，0.5，3.14159，，中有理数的个数是 　6　． 【分析】根据无理数的定义进行解答即可． 【解答】解：，， ，，0，0.5，3.14159，是有理数，共6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查的是实数，熟知有理数和无理数统称实数是解题的关键． 【变式3】（2023秋•农安县期中）已知实数，满足关系式． （1）求，的值； （2）判断是有理数还是无理数，并说明理由． 【分析】（1）运用非负数的性质进行求解； （2）将，和，分别代入代数式进行讨论求解． 【解答】解：（1）． ，， 解得，； （2）当，时，是有理数，当，时，是无理数， 由（1）得，， 当，时， ， 是有理数， 当，时，是有理数； 当，时， ， 是无理数， 当，时，是无理数， 即当，时，是有理数，当，时，是无理数， 【点评】此题考查了实数的综合运算能力，关键是能准确理解并运用非负数和无理数的概念． 【变式4】（2024春•甘井子区月考）下面4个数：，其中是有理数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可得解． 【解答】解：， 有理数有，共3个， 故选：． 【点评】本题考查了实数，主要利用了有理数和无理数定义，熟记概念是解题的关键． 知识点2．实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数 乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 【例2】（2024春•无为市月考）下列四个实数中，不存在倒数的是　　 A．0 B．3.14 C． D．1.3333 【分析】根据倒数的定义，即可解答． 【解答】解：、0没有倒数，故符合题意； 、3.14的倒数是，故不符合题意； 、的倒数为，故不符合题意； 、1.3333的倒数是，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了实数的性质，关键是倒数定义的熟练掌握． 【变式1】（2024•武汉模拟）实数5的相反数是　　 A． B． C． D．5 【分析】根据互为相反数的定义即可判定选择项． 【解答】解：符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数， 的相反数是； 故选：． 【点评】此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数． 【变式2】（2023秋•溧阳市期末）的绝对值等于　　． 【分析】根据差的绝对值是大数减小数， 可得答案 ． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了实数的性质， 差的绝对值是大数减小数 ． 【变式3】（2024春•惠阳区校级期中）若，则的相反数是　2　． 【分析】根据所给条件，求出的值，代入所求式子即可求解． 【解答】解：， ， ， 的相反数是2． 故本题的答案是2． 【点评】本题考查了实数相反数的意义，实数相反数的意义与有理数相反数的意义相同，在一个数前面放上“”，就是该数的相反数．本题的关键是求出代数式的值． 【变式4】（2024春•淮滨县期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： （1）　　； （2）若，则　　； （3）已知，且与互为相反数，求，的值． 【分析】（1）根据题中的猜想得出的个位数与十位数，再取其相反数即可； （2）根据两数相加等于0列出关于的方程，求出的值；由求出的值； （3）再根据相反数的定义列出关于的方程，求出的值即可． 【解答】解：（1），， 是两位数． ，，，，，，，，；的个位数字是9． 将117649往前移动3位小数点后约为117，因为，，，所以的十位数字应为4， 的立方根是49，． 两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数， ． 故答案为：； （2）， ，解得； （3）， ， ，或，解得，1或3； 与互为相反数， ，即 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：3；时，；时，；时，． 【点评】本题考查的是实数的性质，熟知若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数是解题关键． 经典题型汇编 题型一.实数概念理解 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数； B、是整数，属于有理数； C、是无限不循环小数，属于无理数； D、，属于有理数； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 2．（20-21八年级上·福建厦门·期中）若，，则= ． 【答案】 【分析】根据积的乘方及幂的乘方可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查积的乘方及幂的乘方，熟练掌握积的乘方及幂的乘方是解题的关键． 3．（23-24八年级上·山西吕梁·期中）如图，一游戏规则如下：请同学们心里想一个非零的实数，然后各自把这个数按照下面的程序进行计算． (1)当输入的实数为时，求输出的值是多少． (2)小康说：“无论同学们心里想的是哪个实数，我都可以准确地说出计算结果．”你认为小康的说法正确吗？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)小康的说法正确，见解析 【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，根据流程图代入求解即可得到答案； （2）本题考查整式的四则混合运算，根据化简结果判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由流程图可得， ； （2）解：小康的说法正确，理由如下： 输出 ， ∴小康的说法正确． 题型二.实数的分类 4．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）不是（    ） A．实数 B．负数 C．无理数 D．有理数 【答案】D 【分析】 本题考查了实数，有理数，无理数，负数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有含的数，开不尽方的数，有规律但是不循环的数．根据实数，负数，有理数，无理数的定义，逐个判定即可． 【详解】解：不是有理数， 故选：D． 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在实数，，，，中有理数的个数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了实数的分类；先利用立方根的性质化简，再根据实数的概念进行判断． 【详解】解：因为， 所以有理数为，，，，，，有6个， 故答案为：6． 6．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）将下列各数填入相应的集合内： ． (1)有理数集合：{           }； (2)无理数集合：{           }； (3)正实数集合：{           }； (4)负实数集合：{           }． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查实数的分类： （1）根据分数和整数统称为有理数，作答即可； （2）根据无理数是无限不循环小数，作答即可； （3）根据大于0的实数，是正实数，作答即可； （4）根据小于0的实数，是负实数，作答即可． 【详解】（1）解： 有理数集合：{} （2）无理数集合：{} （3）正实数集合：{} （4）负实数集合：{} 题型三.实数的性质 7．（2024·湖北宜昌·二模）实数的绝对值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，利用绝对值的意义是解题关键．根据绝对值的意义，可得答案． 【详解】解：， 故选：A． 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如果，且，那么 0．（填不等号） 【答案】> 【分析】本题考查了同号得正，异号得负的逆运用：根据，得是异号，结合，即可作答． 【详解】解：∵ ∴是异号， ∵ ∴ 故答案为：> 9．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：已知，其中是一个整数，，． 【答案】，46 【分析】首先按照单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及多项式乘以多项式法则将原式化简，再结合题意可得，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵，其中是一个整数，， ∴，， ∴原式 ． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算−化简求值、实数等知识，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 题型四.实数的大小比较 10．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）在，，0，1，四个实数中，小于的实数是（    ）． A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较．根据负数都小于0，推出0最大，求出每个负数的绝对值，根据绝对值大的反而小，比较即可． 【详解】解：∵且， ∴， 小于的实数是， 故选：D． 11．（24-25八年级上·安徽·假期作业）比较大小： ．（填“、、或”） 【答案】 【分析】本题考查了比较无理数的大小，将两数平方后比较大小，可得答案． 【详解】解：，，， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图所示，点在数轴上，且．回答下列问题： (1)写出数轴上点A表示的数； (2)比较与的大小；（写出简要过程） (3)设点在数轴上，点表示的数是，且满足，如果是非零整数，直接写出符合条件的N点有几个？ 【答案】(1) (2) (3)四个 【分析】本题主要考查勾股定理，数轴上的点所对应的实数，无理数的估算，解题的关键是掌握勾股定理． （1）先利用勾股定理求出的长度，再根据即可得到的长度，从而得到A对应的数． （2）根据无理数的大小比较方法比较即可； （3）根据（2）的结果求解即可． 【详解】（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， （3） ∵，， ∴满足的非零整数有共四个． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）的相反数（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的相反数的含义，根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数为， 故选B 2．（23-24八年级上·广西来宾·期末）实数，，，，，中，有理数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查实数的分类，有理数包括整数和分数，无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，据此逐个判断即可． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； 是无限不循环小数，属于无理数， 综上，有理数的个数有4个， 故选D． 3．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）在下列各数中是无理数的有（   ）个． ，，，，，，（相邻的两个3之间0的个数逐次增加），（小数部分由相继的正整数组成） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的概念，即“无限不循环小数叫做无理数”，二次根式的化简计算等知识，常见的无理数有：含的最简式子，开不尽方的数，特殊结构的数（如相邻的两个之间0的个数逐次增加），由此即可求解． 【详解】解：是无限循环小数，属于有理数，， ∴无理数有：（相邻两个3之间0的个数逐次增加），（小数部分由相继的正整数组成），共5个， 故选：C． 4．（23-24八年级上·江西九江·期末）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的绝对值，根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：的绝对值是， 故选：C． 5．（20-21八年级上·陕西西安·期末）实数的相反数是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的含义以及求法，在实数的前边加上“-”，求出实数的相反数即可． 【详解】解：实数的相反数是． 故选：C． 6．（2024·天津南开·三模）比大，比小的整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，分别估算出和的取值范围即可． 【详解】解：，， 比大，比小的整数是2． 故选：B． 7．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）实数，中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，熟练牢记有理数的分类和无理数的概念是解题的关键． 【详解】解：由实数的分类可知，有理数分为分数和整数，无理数是无限不循环小数， ， ∴无理数有2个 故选：B． 8．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）若 x，y 为实数，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求得的值，然后代入代数式即可求解． 【详解】解：， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值，求得的值是解题的关键． 9．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）在这些实数中，有理数的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的分类，求一个数的算术平方根，立方根，实数分为有理数和无理数，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此求解即可． 【详解】解：， 在这些实数中，有理数有，共3个， 故选：B． 10．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）实数，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识．先估算出，，即可得到，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题 11．（21-22八年级上·江苏无锡·期末）请你写出一个无理数 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的概念只要写出一个无理数即可． 【详解】解：本题答案不唯一，如：、等， 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的概念：无限不循环的小数。熟练掌握无理数的概念是解决本题的关键． 12．（23-24八年级上·广东佛山·期中）比较大小： 2．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【分析】此题考查实数的大小比较．根据实数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（22-23八年级上·广东清远·期中）若，则   ． 【答案】2 【分析】根据非负数的性质列出方程求出 、 的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解： 解得： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出 ， 的值是解题关键． 14．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）在实数：，0，，1.010010001，4.21，π，中，整数有 个． 【答案】2 【分析】根据算术平方根、立方根的性质化简，再根据实数的分类即可求解． 【详解】解：，π，是无理数，不是整数， 1.010010001，4.21，，是分数或小数，不是整数， 0，，是整数，共2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根，实数的分类，是基础题，需熟练掌握． 15．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）的倒数是 ， ，的相反数是 ． 【答案】 / / 【分析】先求出，再根据乘积为1的两个数互为相反数可得的倒数；根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数可得的结果；根据只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0可得的相反数 【详解】解：∵， ∴的倒数是； ； 的相反数是； 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，倒数，相反数和绝对值的意义，灵活运用所学知识是解题的关键． 16．（23-24八年级上·江苏·周测）下列实数：12，，，，，，中，有理数有 个． 【答案】4 【分析】此题考查的是有理数和无理数的判断，掌握有理数和无理数的定义是解决此题的关键． 【详解】解：，，，， ∴12，，，，，，中有理数有12，，，共4个． 故答案为：4． 17．（22-23八年级上·甘肃白银·期中）的算术平方根是 ；的绝对值是 ；的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的运算和性质，根据算术平方根的定义，绝对值的意义，倒数的定义，进行求解即可． 【详解】解：的算术平方根是， 的绝对值是， 的倒数是； 故答案为：，，． 18．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，半径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是 ．若点表示，则点在点的 边（填“左”、“上”、“右”） 【答案】 右 【分析】本题主要考查了数轴，实数的大小比较．求出圆的周长，可得点表示的数，再根据，可得点在点的右边，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ∴点表示的数是； ∵ ∴， ∴点在点的右边． 故答案为：；右． 三、解答题 19．（23-24八年级上·吉林长春·期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来： ，，0，，． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于零，负数小于零；根据，即可进行比较求解． 【详解】解：∵， ， ∴ 20．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）已知下列9个数．①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨（两个2之间依次增加1个0）．请把这些数对应的编号，填入合适的集合中． (1)有理数集合：（        ……） (2)无理数集合：（        ……） (3)负实数集合：（        ……） 【答案】(1)①③④⑤⑥ (2)②⑦⑧⑨ (3)②⑤⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数，无理数和实数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数的无理数，有理数和无理数统称为实数． （1）根据有理数的定义，即可解答； （2）根据无理数的定义，即可解答； （3）根据实数和负数的定义，即可解答． 【详解】（1）解：，， 有理数集合：①③④⑤⑥， 故答案为： ①③④⑤⑥； （2）解：无理数集合：②⑦⑧⑨， 故答案为：②⑦⑧⑨； （3）解：负实数集合：②⑤⑦⑧， 故答案为：②⑤⑦⑧． 21．（21-22八年级·全国·假期作业）若m，n满足等式+＝0． (1)求m，n的值； (2)求4m﹣3n的平方根． 【答案】(1)m＝4，n＝﹣3 (2)4m﹣3n的平方根为±5 【分析】（1）根据实数的非负性，建立等式计算即可． （2）根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）∵m，n满足等式+＝0， ∴，2n+6＝0， 解得：m＝4，n＝﹣3． （2）根据题意，得 4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25． ∵25的平方根为±5， ∴4m﹣3n的平方根为±5． 【点睛】本题考查了实数的非负性，求一个数的平方根，正确理解实数的非负性是解题的关键． 22．（22-23八年级上·江苏·单元测试）化简求值： (1)已知a是的整数部分，，求的平方根． (2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根是； （2）由数轴可得：， 则， 则 ． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 23．（22-23八年级上·山东青岛·阶段练习）把下列各数分别填入相应的集合里： ，0，，，，，， 有理数集合：{______}； 无理数集合：{______}； 负实数集合：{______}． 【答案】见解析． 【分析】根据有理数、无理数、负实数的定义解答． 【详解】解∶ 在，0，，，，，， 中，，，， 有理数集合∶； 无理数集合∶ ； 负实数集合∶ ． 【点睛】本题考查了实数的定义，掌握实数的范围以及分类方法是解题的关键． 24．（22-23八年级上·山东青岛·期中）把下列各数填入相应的集合内： 0，，，，，，，3.1011，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）． (1)整数集合{ …}； (2)分数集合{ …}； (3)无理数集合{ …}． 【答案】(1)0，， (2)，，3.1011 (3)，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1） 【分析】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题关键． （1）先把各数化简，再根据实数的分类进行解答即可； （2）先把各数化简，再根据实数的分类进行解答即可； （3）先把各数化简，再根据实数的分类进行解答即可． 【详解】（1）解：是分数，是整数，是整数． 故整数集合{ 0，，,...}； （2）解：分数集合{，，3.1011,...}； （3）解：无理数集合{，，0.3737737773…（相邻两个3之间7的个数逐次加1）,...}． 25．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）下面是漯河某初中数学小组学完幂的运算后就大小比较问题展开的交流，请仔细阅读并完成任务． 小明：比较，，的大小，可以直接按照幂的运算比较，但是太麻烦了，有没有更好的方法． 小亮：可以按照下面的思路比较： ∵，同理，；且当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大． ∴，，的大小关系是______（用“＜”表示）． 小明：这个方法不错，很巧妙，多观察多发现． …… 任务： (1)请将小亮的过程补充完整； (2)请利用小亮的思路比较，，的大小． 【答案】(1)243，256，125， (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，实数的大小比较，正确理解题意、熟练掌握幂的乘方法则是解题关键． （1）利用幂的乘方逆运算法则解答即可； （2）根据幂的乘方逆运算法则解答． 【详解】（1）解：， 同理，， 当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大， ， ， 故答案为：243，256，125，； （2）解：，，， ∵当底数大于1，指数大于1且相同时，底数越大，幂就越大， ∴． 26．（22-23八年级上·福建泉州·期中）已知材料1：三个内角相等的三角形为等边三角形． 材料2：在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边． 结合上述材料，解决下面的问题 如图（1），，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与的大小关系是_____；的度数是_____． (2)若点的运动时间，当时， ①设点Q的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． ②如图（2）延长与交于点，连结，为的角平分线，点为与的交点，点在运动的过程中，求证：． 【答案】(1)， (2)，；见解析 【分析】（1）当时，，，则；根据，全等三角形的判定，得，则，，根据三角形内角和为，平角的性质，即可求出； （2）根据与全等，分类讨论则，，；，则，，即可；关于作的对称点，连接，，根据对称的性质，全等三角形的判定，得，，再根据三角形中大角对大边，即可． 【详解】（1）解：∵点的运动速度与点的运动速度相等 ∴当时，， ∵， ∴ ∴ ∴在和中 ∴ ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵点Q的运动速度为，点的运动速度为：且运动了秒 ∴， ∴当，， ∴， ∴ 当，则， ∴， ∴． 综上所述，存在或，与全等． 如图，关于作的对称点，连接， ∴ ∵是的角平分线， ∴ ∵是公共边 ∴ ∴ ∵在和中 ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，构造全等三角形，分类讨论思想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$