第09讲 等腰三角形 （1个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第09讲 等腰三角形 （1个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【例1】（2022秋•双峰县期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【变式1】（2023秋•海曙区期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是　　． 【变式2】（2023秋•台州期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•临海市校级期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 　　． 【变式4】（2022秋•拱墅区校级期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【变式5】（2022秋•拱墅区校级期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，为中点，求的长． 经典题型汇编 题型一.等边对等角 1．（2012·浙江衢州·一模）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　） A． B． C．或 D．或 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，则 ． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰是的外角． (1)尺规作图：作的平分线，与的延长线交于点； (2)在（1）条件下，设为为． ①求关于的函数表达式； ②若为等腰三角形，求的值． 题型二.根据等边对等角证明 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，点D是的边上一点（不含端点），，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求 ．    6．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在与中，在边上，，，， (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型三.三线合一 7．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，点在的边上，点在射线上（不与点重合），下列命题中，假命题是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，等腰三角形中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．    9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）判断命题：“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的真假，并说明理由． 题型四.根据三线合一证明 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 11．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图在钝角△ABC中，已知∠BAC=135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，则∠DAE= 12．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 题型五.等腰三角形的定义 13．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知等腰一边长为3，另一边长是化简的结果，则该三角形的周长是（    ） A．15 B．21 C．15或21 D．15或12 14．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，这个等腰三角形的腰长是 ． 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（    ） A．1，1，2 B．2，2，4 C．3，3，5 D．3，4，5 2．（23-24八年级上·浙江·期末）在中，是边上的高线，点D到，的距离相等，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 4．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）下列命题中是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．三角形三个内角的和等于 D．等腰三角形的两个底角相等 5．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，且，点E、F、M、N是上的四点，则图中阴影部分的总面积是（    ） A．6 B．8 C．4 D．12 6．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或．其中不正确的（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（   ）    A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，为的角平分线，P为上一点，且于D，，给出下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤四边形的面积是面积的2倍．其中正确的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 9．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．②以D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（） A． B． C． D． 二、填空题 11．（19-20八年级上·浙江衢州·期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝BE，BD⊥AE交AD于点D，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为 ． 12．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 cm． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 14．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，若依据“”证明，则需增加的一个条件是 ． 15．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 ． 16．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，平分，于点D．若，则的度数是 ． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点D，E在边上，连接．已知分别平分．求证：． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中线，于点G，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 20．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线上．如图所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且．    (1)若已经摆放了3根小棒，则____________，________________________（用含的式子表示） (2)若只能摆放4根小棒，求的范围． 21．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若是等腰三角形，求的周长． 22．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，点D，E在的边BC上，．    (1)求证：； (2)若，求证：． 23．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，， ，点恰好落在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 24．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，将的顶点放置在边的中点上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合），设，． (1)【发现】若． ①如图1，当点与点重合时， ______，______； ②如图2，当点，均不与点重合时，______； (2)【探究】如图3，当点不与点重合时，判断，和之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 等腰三角形 （1个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 【例1】（2022秋•双峰县期中）已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是　　 A． B． C．或 D．不能确定 【分析】此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为，可求出顶角的度数． 【解答】解：①若是顶角的外角，则顶角； ②若是底角的外角，则底角，那么顶角． 故选：． 【点评】当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和、三角形外角的性质求解． 【变式1】（2023秋•海曙区期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是　　． 【分析】由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，即可求解． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键． 【变式2】（2023秋•台州期末）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】注意三角形内角和定理的应用．在中可求得，在中可求得，可求出． 【解答】解：，， ， 又， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 【变式3】（2023秋•临海市校级期中）一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 　17　． 【分析】等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论． 【解答】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故答案为：17． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【变式4】（2022秋•拱墅区校级期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数． 【分析】根据三角形的内角和定理与，即可求得三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得的度数． 【解答】解：， ， ． 则． 又是边上的高， 则． 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是． 【变式5】（2022秋•拱墅区校级期末）如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，为中点，求的长． 【分析】（1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，即可解答． 【解答】（1）证明：， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，垂足为， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 的长为8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.等边对等角 1．（2012·浙江衢州·一模）若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 故选D． 2．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查等腰三角形的性质．根据可得，再根据等腰三角形的性质即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知等腰是的外角． (1)尺规作图：作的平分线，与的延长线交于点； (2)在（1）条件下，设为为． ①求关于的函数表达式； ②若为等腰三角形，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查作图一基本作图，角平分线的定义等腰三角形的性质等知识： （1）根据要求作出图形； （2）①利用角平分线的定义求解即可；②由， ∴或．分别构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即； ②∵， ∴或， 当时，， ， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 题型二.根据等边对等角证明 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期中）如图所示，点D是的边上一点（不含端点），，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，由得到，所以，则对各C、D选项进行判断；根据大边对大角可对A、B进行判断． 【详解】解：， ， ，所以C选项和D选项错误； ，所以A选项正确；B选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 5．（2020八年级·浙江杭州·专题练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求 ．    【答案】 【分析】根据角平分线和平行线的性质可得，，根据等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：由题意可得：平分，平分 ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，    ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在与中，在边上，，，， (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据即可证明． （2）先根据全等三角形的性质得到，则，根据平角的定义即可求出的度数． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）， ，即， 在和中，， ， （2）， ， 又， ∴， 又， ， ． 题型三.三线合一 7．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，点在的边上，点在射线上（不与点重合），下列命题中，假命题是（    ）    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，根据等腰三角形性质逐项判断即可求解，解题的关键是掌握等腰三角形的“三线合一”的性质． 【详解】解：若，，则是中点， ∴是的垂直平分线， ∴，故选项是真命题，不符合题意； 若，即， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴，故选项是真命题，不符合题意； 若，，则，是中点， ∴是的垂直平分线， ∴，故选项是真命题，不符合题意； 若，，不能得到，故选项是假命题，符合题意； 故选：． 8．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，等腰三角形中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】// 【分析】本题考查的是轴对称——最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，根据题意得，再结合三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的最小值为． 【详解】解：连接AD，如下图：    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为点A， ∴的最小值为， 即最小值为， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）判断命题：“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的真假，并说明理由． 【答案】真命题，理由见解析 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理作出图形，也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质，连接，由，是中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到为顶角的平分线由，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到，得证． 【详解】解：已知：如图，，是的中点，，， ， 求证：， 证明：连接， ，是的中点， 为的角平分线， ，， ． 题型四.根据三线合一证明 10．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，在中，内角与外角的平分线相交于点，，交于，交于，连接，下列结论：①；②；③垂直平分；④． 其中一定正确的有（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】D 【分析】此题主要考查了角平分线的性质和定义，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等．利用角平分线的性质以及已知条件对①②③④进行一一判断，是解决问题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， 则， ∴；故①正确； 过作于，于，于， ∴， ∴平分， ∵；故②不正确； ∵，平分， ∴垂直平分（三线合一），故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故④不正确． 本题正确的有：①③， 故选：D． 11．（20-21八年级上·浙江台州·期中）如图在钝角△ABC中，已知∠BAC=135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，则∠DAE= 【答案】90° 【分析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】解：连接DA、EA，如图， ∵∠BAC=135°， ∴∠B+∠C=180°-135°=45°， ∵DF是AB的垂直平分线，EG是AC的垂直平分线， ∴DA=DB，EA=EC， ∴∠B=∠DAB，∠C=∠EAC， ∴∠DAB +∠EAC =∠B+∠C=45°， ∴∠DAE=∠BAC –(∠DAB +∠EAC)=135°-45°=90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质． 12．（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的判定和性质． （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知，又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 题型五.等腰三角形的定义 13．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知等腰一边长为3，另一边长是化简的结果，则该三角形的周长是（    ） A．15 B．21 C．15或21 D．15或12 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【详解】解：， ∵等腰三角形的一边长为3，另一边长为9， ∴有两种情况： ①3为底，9为腰，那么， 则三角形的周长； ②9为底，3为腰，那么，不符合题意， ∴该三角形的周长是21． 故选：B． 14．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）一个等腰三角形的周长是20，若其中一条边长为8，这个等腰三角形的腰长是 ． 【答案】6或8 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，根据已知的等腰三角形的周长和一边的长，先分清三角形的底和腰，再计算腰长． 【详解】解：等腰三角形的周长为20， 当腰长时，底边， 当底边时，腰长，且， 故答案为：6或8． 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是． (1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长． (2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长． 【答案】(1) (2)与，或与 【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可； （2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可； 【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得：， 解得： ∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，， 即各边长分别是； （2）当腰为时，底边长为： ， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 当底为时，腰长为：， ∴其余两边分别为，此时能构成三角形； 综上所述：其余两边分别为与，或与． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）下列各组线段中，能构成等腰三角形的是（    ） A．1，1，2 B．2，2，4 C．3，3，5 D．3，4，5 【答案】C 【分析】此题组要考查了三角形三边之间的关系，等腰三角形的判定．首先根据三角形三边之间的关系判断每个选项中的三条线段能否构成三角形，进而再判定能否构成等腰三角形即可． 【详解】解：， 长度为1，1，2的三条线段不能构成三角形， 故选项A不符合题意； ， 长度为2，2，4的三条线段不能构成三角形， 故选项B不符合题意； ， 长度为3，3，5的三条线段能构成等腰三角形， 故选项C符合题意； ，， 长度为3，4，5的三条线段不能构成等腰三角形， 故选项D不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·浙江·期末）在中，是边上的高线，点D到，的距离相等，则一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定及等腰三角形的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键D到的距离相等，得出平分，根据是边上的高线，证明，可得，即可得证． 【详解】解：如图， ∵D到的距离相等， ∴平分， ∴， ∵是高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴一定是等腰三角形， 故选：B． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握和运用等腰三角形的性质是解决本题的关键．根据等腰三角形的性质，即可一一判定． 【详解】解：在中，， ，平分，，故B、C、D选项正确； ，故A选项错误； 故选：A． 4．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）下列命题中是假命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．三角形三个内角的和等于 D．等腰三角形的两个底角相等 【答案】B 【分析】分别根据平行线的性质、全等三角形的判定、三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质逐项判断即可作出选择． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，正确，是真命题，不符合题意； B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，错误，是假命题，符合题意； C、三角形三个内角的和等于，正确，是真命题，不符合题意； D、等腰三角形的两个底角相等，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查判断命题的真假，涉及平行线的性质、全等三角形的判定、三角形的内角和定理以及等腰三角形的性质，熟知相关数学知识是解答的关键． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，且，点E、F、M、N是上的四点，则图中阴影部分的总面积是（    ） A．6 B．8 C．4 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知同底等高的三角形面积相等是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出的长，再根据同底等高的三角形面积相等可知，，故可得出，由此即可得出结论． 【详解】解：在中，，，是边上的中线，， ∴，， ∵同底等高的三角形面积相等， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）下列说法：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②等腰三角形的两腰上的中线长相等；③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；④等腰三角形的一边长为，一边长为，那么它的周长是或．其中不正确的（　　） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形中三线合一，腰上的高线，全等三角形的判定和性质，三边长的关系等知识是解题的关键． 根据等腰三线合一即可判定结论①；运用等腰三角形的性质，中线的性质，全等三角形的判定和性质，即可判定结论②；根据等腰三角形的性质，腰上的高线，即可判定结论③；根据等腰三角形的性质，三边的关系可判定结论④． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线，三线合一， ∴①错误； 如图1， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴②正确； 如图2， 当为等腰直角三角形时，等腰三角形的腰等于其腰上的高， ∴③错误； ∵等腰三角形的一边长为，一边长为， ∴只能三边是， ∴它的周长是， ∴④错误； 故选：． 7．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在四边形中，平分，于点E，，有下列结论：①；③；③；④．其中正确的是（   ）    A．② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键． 在上截取，连接，根据“平分”和“”证明出，故选项①正确；由①可知，，再根据线段间的和差关系可得：，由三角形面积公式及等量代换可得，故选项②④正确． 【详解】在上截取，连接，    ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据已知条件无法证明，故③错误； ∵， ∴， ∴， 即，故④正确． 其中正确的是①②④． 故选：C． 8．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，为的角平分线，P为上一点，且于D，，给出下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤四边形的面积是面积的2倍．其中正确的有（    ）个 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】过点P作，垂足为点K．连接，证明，，利用全等三角形的性质、角平分线的定义等知识即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义、等边对等角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，过点P作，垂足为点K．连接， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴ 即，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵, ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为的角平分线， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∴．故⑤正确． 综上可得：①②③④⑤均正确． 故选：A． 9．（23-24八年级上·浙江温州·阶段练习）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画弧，交于点C，连接．②以D为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，由作图步骤①，可知，利用等边对等角，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由作图步骤②，可知，利用等边对等角，可求出的度数，由是的外角，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数，根据作图的步骤，找出是解题的关键． 【详解】由作图步骤①可知：， ∴． 在中，， ∴． 由作图步骤②可知：， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． 故选：B． 10．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得， 设，得出，再由等腰三角形的性质得．再由直角三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：与关于对称， ， 设． ， 在中，， ． 又， ， ， 故选：A 二、填空题 11．（19-20八年级上·浙江衢州·期中）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB＝BE，BD⊥AE交AD于点D，若△ABC的面积为2，则△CDE的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据三线合一证明AD=DE,再根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵AB＝BE，BD⊥AE， ∴AD＝DE， ∴S△CDE＝S△ACE， ∵点E是BC的中点， ∴S△ACE＝S△ABC＝1， ∴△CDE的面积＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，正确的识别图形是解题的关键． 12．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为 cm． 【答案】3或 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，等腰三角形的定义．本题分两种情况讨论：是腰长时，是底边时，再作答即可． 【详解】解：是腰长时，底边为， ∵， ∴、、能组成三角形； 是底边时，腰长为， ∵， ∴、、能够组成三角形； 综上所述，它的腰长为或． 故答案为：3或． 13．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）定义：若三角形满足其中两边之和等于第三边的三倍，则称该三角形为“三倍三角形”．若等腰三角形是三倍三角形，且其中一边长为，则的周长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，设等腰三角形的腰长为，底长为，分两种情况讨论：当时；当时． 【详解】设等腰三角形的腰长为，底长为． （1）当时，分两种情况： ①若，解得． 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． （2）当时，分两种情况： ①若，解得， 则三角形的三边长为，，，不符合题意． ②若，解得， 则的三边长为，，，符合题意． 的周长为． 综上所述，的周长为或． 14．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，若依据“”证明，则需增加的一个条件是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定．根据等边对等角的性质，得到，再根据全等三角形的判定定理，即可得到答案．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【详解】解：， ， ， 若依据“”证明，则需增加的一个条件是， 故答案为：． 15．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，点、分别在边和上，且，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等边对等角，等角对等边；正确确定相等关系列出方程是解题的关键． 设，，根据，即可列出方程，从而求解． 【详解】解：设，， ， 又， ， 则， 又， ， 解得， 的度数是． 故答案为：． 16．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，平分，于点D．若，则的度数是 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形“三线合一”可得，根据等边对等角可得，根据可得，通过等量代换即可求解． 【详解】解：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知等腰三角形的三边长分别为，求这个等腰三角形的周长． 【答案】这个等腰三角形的周长为25或19 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边长关系；在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论． 【详解】解：∵等腰三角形边长分别为， ∴①当时，则， ∴等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形， 这个等腰三角形的周长为：； ②当时，则， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，则， 等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形， 这个等腰三角形的周长为：； 综上所述，这个等腰三角形的周长为25或19． 18．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点D，E在边上，连接．已知分别平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，根据角平分线的定义证明，根据等边对等角证明，进而证明，即可得出． 【详解】证明：分别平分， ，， ． 又， ， 在和中， ， ． ． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，如图，在中，是边上的中线，于点G，． (1)求证：． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质，证明即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）证明：∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴的面积． 20．（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线上．如图所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且．    (1)若已经摆放了3根小棒，则____________，________________________（用含的式子表示） (2)若只能摆放4根小棒，求的范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键． （1）本题需先根据，得出和相等，即可得出的值，同样道理得出、的值； （2）根据（1）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由题意得：， ∴． 21．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）已知在中，，，． (1)求的取值范围； (2)若是等腰三角形，求的周长． 【答案】(1) (2)20或22 【分析】（1）根据三角形三边关系“在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，列出不等式即可求解； （2）分两种情况：为腰或为底，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，， 即 ， ∴的取值范围为； （2）若是等腰三角形， 则当为腰时，， 此时，的周长为， 当为底时，， 此时，的周长为． 综上所述，的周长为20或22． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 22．（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图，点D，E在的边BC上，．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形等边对等角的性质可以得到，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等有，再根据等边对等角的性质即可证明． （2）利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理，求得， ，即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 在和中， ， ， ， ． （2）证明：∵， ∴， ∴， 由(1)知∶ ， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，，， ，点恰好落在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由可得，进而由即可证； （）由可得，又根据可得，进而由全等三角形的性质可得，再利用角的和差即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）在中，，，将的顶点放置在边的中点上，使的两边分别与边，交于点，（点不与点重合，点不与点重合），设，． (1)【发现】若． ①如图1，当点与点重合时， ______，______； ②如图2，当点，均不与点重合时，______； (2)【探究】如图3，当点不与点重合时，判断，和之间满足怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①105，60②165 (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的定义和性质，理解并掌握相关知识是解题关键． （1）①首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，易得，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，由，即可求得的值；②当点，均不与点重合时，连接，根据三角形外角的性质可得，，即可获得答案； （2）当点不与点重合时，连接，根据三角形外角的性质可得，，即可获得答案． 【详解】（1）解：①当点与点重合时， ∵，， ∴，即， ∵， ∴； ②当点，均不与点重合时，如下图，连接， ∵，， ∴ ， 即． 故答案为：①105，60；②165； （2），和之间的数量关系为：， 理由如下： 当点不与点重合时，如下图，连接， ∵，， ∴ ， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$