第09讲 圆周角（2个知识点+6种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第09讲 圆周角（2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【例1】（2024•常州二模）如图，、是为直径的半圆上的点，且是弧的中点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•赣榆区二模）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•东台市期中）如图，是半圆的直径，，点是上的一点，则　 　度． 【变式3】（2024•靖江市一模）已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接． （1）如图1，当的延长线恰好经过点时，求的值； （2）如图2，作，垂足为点，连结．试判断与的大小关系，并证明你的结论． 【变式4】（2024•盱眙县校级模拟）如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则　　． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【例2】（2024•丹徒区二模）如图，是内接四边形的一个外角，连接、，若，则的度数为 　　． 【变式1】（2023•鼓楼区校级三模）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•建邺区期末）如图，在的内接四边形中，，直径，垂足为点． （1）当时，求的度数； （2）当，时，求的长． 【变式3】（2023•海州区校级三模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是 　　． 【变式4】（2023秋•玄武区校级月考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 经典题型汇编 题型一.圆周角的概念辨析 1．下列四个图中，∠x是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 3．（19-20九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 题型二.圆周角定理 4．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，已知四边形内接于，，、的延长线相交于点E，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，其两条边分别交于，两点，连接，，．若弦，则的半径为 ． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型三.同弧或等弧所对的圆周角相等 7．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是的内接四边形，点为弧的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若点O是的外心，且，则为 ． 9．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，，都是圆中的弦，连接，，且，求证：． 题型四.半圆（直经）所对圆周角是直角 10．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数． 题型五.90度的圆周角所对的弦是直径 13．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图所示，每一张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的两条弦，且，，，则的半径长为 ．    15．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 题型六.已知圆内接四边形求角度 16．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，点是的中点，点是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）在半径为2的中，弦的长度为2，点C为上异于A、B两点的一个动点，则 ． 18．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三个点可以确定一个圆 B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧 2．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点，，，，在圆上，弧的度数为，则（    ）    A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（    ）    A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 7．（2023九年级上·江苏·专题练习）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，作于点，连接，则线段长度的最小值为(   ) A．3 B． C． D．1 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为     A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2023九年级上·江苏·专题练习）直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，是的内接三角形，若，则的直径 ． 13．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C、D在上，，，则 °． 15．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 16．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，经过点，，，与相交于点，连接，，若，则 °． 17．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 18．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，点在射线上运动，连接交外接圆于，则的最小值为 ． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 20．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      21．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）尺规作图：在下面两张图中分别用两种不同方法作出已知圆的一条直径． （不要求写作法，保留作图痕迹，并在图中标注适当的字母．）    24．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A、、在上，用无刻度的直尺画图． (1)在图①中，画一个与互补的圆周角（并用铅笔在图①上标记出来）； (2)在图②中，画一个与互余的圆周角（并用铅笔在图②上标记出来）． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作，依次交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，为的直径，于点E，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，如图2，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 圆周角（2个知识点+6种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 【例1】（2024•常州二模）如图，、是为直径的半圆上的点，且是弧的中点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，由圆周角定理推出，，即可得到． 【解答】解：连接， 是圆的直径， ， 是弧的中点， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出，． 【变式1】（2024•赣榆区二模）如图，是的直径，，是上的两点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可求出，从而利用同弧所对的圆周角相等，即可解答． 【解答】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【变式2】（2022秋•东台市期中）如图，是半圆的直径，，点是上的一点，则　125　度． 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余求出，然后利用圆内接四边形对角互补进行计算即可解答． 【解答】解：是半圆的直径， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 故答案为：125． 【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式3】（2024•靖江市一模）已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接． （1）如图1，当的延长线恰好经过点时，求的值； （2）如图2，作，垂足为点，连结．试判断与的大小关系，并证明你的结论． 【分析】（1）利用垂径定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质解答即可； （2）延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，利用垂径定理，三角形的中位线定理得到，利用垂径定理得到，再利用四边形的内角和定理和邻补角的性质得到，再利用相等的圆心角所对的弧相等的性质，等弧对等弦的性质得到，则结论可得． 【解答】解：（1）当的延长线经过点时， ， ，． ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （2）与的大小关系为：．理由： 如图2，延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，， ， ． 为直径，， ． 为的中位线， ． 为直径，， ． ，， ． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，添加适当的辅助线解答是解题的关键． 【变式4】（2024•盱眙县校级模拟）如图，是的直径，弦垂直平分，点在上，连接，，则　　． 【分析】设垂直平分于点，连接，根据可知，则，进而求出，推出，根据圆周角定理求出． 【解答】解：设垂直平分于点，连接， 是的直径，弦垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理以及垂径定理，解直角三角形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 知识点2．圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质： ①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）． （2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【例2】（2024•丹徒区二模）如图，是内接四边形的一个外角，连接、，若，则的度数为 　72　． 【分析】根据圆周角定理计算，再根据圆内接四边形的性质求出． 【解答】解：由圆周角定理得，， ， 四边形内接于， ， ， 故答案为：72． 【点评】本题考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式1】（2023•鼓楼区校级三模）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：四边形是的内接四边形， ， 由圆周角定理得，， 故选：． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式2】（2023秋•建邺区期末）如图，在的内接四边形中，，直径，垂足为点． （1）当时，求的度数； （2）当，时，求的长． 【分析】（1）根据题意得到关于和的二元一次方程组求解即可， （2）根据题意，利用勾股定理及两个三角形相似的判定定理求解即可． 【解答】解：（1）连接，，， ， 所以， ， ， ，，，在同一个圆上， ， ， ， 且， ， 为等腰三角形， ， ， 联立， 解得：， ． （2）延长，过作，于， 设， 由（1）知，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 的长为． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【变式3】（2023•海州区校级三模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是 　　． 【分析】根据圆周角定理得出，求出，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可． 【解答】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键． 【变式4】（2023秋•玄武区校级月考）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，． （1）求证平分，并求的大小； （2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【分析】（1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出； （2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4． 【解答】（1）证明：，， ， 平分， 平分， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是圆的直径， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ， ，， ， 是圆的直径， 圆的半径长是4． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形． 经典题型汇编 题型一.圆周角的概念辨析 1．下列四个图中，∠x是圆周角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，因此，∠x是圆周角的为C．故选C． 2．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝18°， AE交⊙O于点B，且AB＝OD．则∠EOD＝ 【答案】54° 【分析】根据圆的基本性质，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，从而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，继而得到∠BOE=108°，即可求解． 【详解】解：∵CD是⊙O的直径， ∴OD=OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE， ∵AB=OD， ∴AB=OB， ∴∠AOB=∠A， ∵∠A＝18°， ∴∠AOB=18°， ∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°， ∴∠BOE=108°， ∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°． 故答案为：54° 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 3．（19-20九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数. 【答案】 【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解． 【详解】连接OD， ∵CD=OA=OD, ， ∴∠ODE=2， ∵OD=OE， ∴∠E=∠EDO=， ∴∠EOB=∠C+∠E=. 【点睛】此题考查了半径相等和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键. 题型二.圆周角定理 4．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，已知四边形内接于，，、的延长线相交于点E，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，关键是由圆周角定理求出的度数．由圆周角定理推出，，得到，由三角形内角和定理求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：为圆的直径， ，， ∵， ∴， ， ， ， ， ． 故选：． 5．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，其两条边分别交于，两点，连接，，．若弦，则的半径为 ． 【答案】3 【分析】 本题考查了圆周角定理，连接、，如图，先根据圆周角定理得到，则可判断为等边三角形，从而得到． 【详解】 解：，， ， ， 为等边三角形， ， ， 即的半径为3． 故答案为：3． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． （2）解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 题型三.同弧或等弧所对的圆周角相等 7．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，四边形是的内接四边形，点为弧的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，根据三角形的内角和可得，最后再利用同弧或等弧所对的圆周角相等可得结果. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，点为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：. 8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若点O是的外心，且，则为 ． 【答案】50或130/130或50 【分析】 本题考查的是同弧所对的圆心角和圆周角之间关系，根据题意分类讨论是解题关键． 根据点Ａ与点O在边同侧或两侧，分类讨论，按照同弧所对的圆心角和圆周角的关系解答即可． 【详解】解：分两种情况： （1）点Ａ与点O在边同侧时，如下图： ， ； （2）点Ａ与点O在边两侧时，如下图： ，即所对的圆心角为 ， ∴所对的圆心角为： ， ∴ 故答案为：50或130 9．（22-23九年级上·江苏常州·期中）如图，，都是圆中的弦，连接，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理和等腰三角形的判定等．连接，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】 证明：连接， ， ， ， ． 题型四.半圆（直经）所对圆周角是直角 10．（21-22九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键． 连接， 由圆周角定理推论得到，由圆周角定理得到，从而得到． 【详解】连接，如图， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 11．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是半圆的直径，点在半圆上，，，是弧上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点移动的过程中，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆外一点到圆上最小距离问题，勾股定理，圆周角定理，根据得到点在为直径的圆上，连接圆心与点交于一点即为最小距离点，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴点在为直径的圆上， ∴连接圆心与点交于一点即为最小距离点，如图所示， ∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点E．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了半圆（或直径）所对的圆周角是直角，圆周角定理；根据圆周角定理得到，，由得到，然后根据三角形外角的性质计算的度数． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型五.90度的圆周角所对的弦是直径 13．（22-23九年级上·江苏盐城·期末）如图所示，每一张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的圆周角所对的弦是直径，画出两条直径即可解决问题． 【详解】解：如图所示，选项A中，， 线段和线段是直径， 线段与的交点为圆心． 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理以及推论，解题的关键是灵活运用的圆周角所对的弦是直径解决问题． 14．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的两条弦，且，，，则的半径长为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理，的圆周角所对的弦是直径，根据的圆周角所对的弦是直径得到是直径，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】连接， ∵， ∴是的直径， 又∵， ∴的半径长为， 故答案为：．    15．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，在中，，以为直径的分别交于点． (1)求证：点是的中点； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质： （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角得到，再根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质可得，再由圆周角定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， 即点E为的中点； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型六.已知圆内接四边形求角度 16．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，点是的中点，点是上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形性质．点是的中点，则，通过圆内接四边形对角互补求出即可． 【详解】解：∵，点是的中点， ， ∴， ∴， 故选：B． 17．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）在半径为2的中，弦的长度为2，点C为上异于A、B两点的一个动点，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意得到，是等边三角形，进而得到，由点所在位置进行分类讨论，根据圆周角定理及圆内接四边形的性质，分别计算，即可求解， 本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是：根据点所在位置进行分类讨论． 【详解】解： 根据题意得：， ∴是等边三角形， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：或 18．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数； （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到，进而求解． 【详解】解：（1）如图，    ， ∴以点A为圆心，长为半径画圆，点B、C、D必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案为：； （2）如图2，取的中点O，连接，    ， ∴点共圆， ， ， ； （3）如图3，作的外接圆，过圆心作于点于点E，作于点F，连接，    ， ， 在中，， ， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．三个点可以确定一个圆 B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．长度相等的弧是等弧 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、圆周角定理等有关圆的知识．根据垂径定理、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、确定一个圆的条件判断各选项即可． 【详解】解：A、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意； B、半圆或直径所对的圆周角是直角，故本选项符合题意； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项不符合题意； D、同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点A、B、C在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查的是圆周角定理，根据圆周角定理即可求解． 【详解】 解：，是的两条半径，点在上，， ． 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点，，，，在圆上，弧的度数为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵弧的度数为， ∴， ∵四边形为内接四边形， ∴， ∴， 故选：B． 4．（21-22九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，弦交于点，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，连接，先由直径所对的圆周角是直角得到，进而得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可利用三角形外角的性质得到． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 5．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 6．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（    ）    A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，矩形的性质．四边形是扇形的内接矩形，根据矩形的性质半径，所以长度不变． 【详解】解：连接，    ∵四边形是扇形的内接矩形， ∴半径， ∴， ∴当点P在上移动时，的值保持不变， 故选：C． 7．（2023九年级上·江苏·专题练习）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D，由圆周角定理得到为圆O的直径，勾股定理得到米，则圆的半径米，由中位线定理得到米，即可得到改造后门洞的最大高度米． 【详解】解：如图所示，连接矩形门洞的对角线交于点O，过点O作于点D，    ∴点O为线段的中点，， ∴为圆O的直径， ∵宽为米，高为2米， ∴（米）， ∴圆的半径（米）， ∵， ∴点D为的中点， 又∵点O为线段的中点， ∴是的中位线， ∴（米）， 则改造后门洞的最大高度（米）； 故选：A． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、中位线定理、矩形的性质等知识，求出圆的半径是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，作于点，连接，则线段长度的最小值为(   ) A．3 B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的基本性质，圆周角定理以及勾股定理连接，如图，先根据等腰三角形的性质得到，再根据圆周角定理，由为直径得到，接着由得到点在以为直径的上，于是当点、、共线时，最小，如图，在中利用勾股定理计算出，从而得到的最小值 【详解】，，， ， ， 点在以为直径的上， 连接， ， 在中， ，， ， 由于，是定值， 点在线段上时，最小，如图2， ，即线段长度的最小值为， 故选：B． 9．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形为矩形， ， 为的直径，， 的半径为， ， 点为的中点， ， ， ，， ，， 设，，其中， 则， 解得：或 舍去， 即，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 故选：A． 10．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，正方形的边长是，点是边的中点，点是边上的一个动点，以为直径作，连接交于点，连接，则线段的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，连接，取的中点，连接， ，根据圆周角的性质可知点在正方形 内以为直径的上，可推出 ，由勾股定理可得 ，再结合三角形三边关系得出当且仅当、、三点共线时，线段取得最小值，解题的关键是判断出点的运动轨迹，找到使线段取最小值的位置． 【详解】解：连接，取的中点，连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上， ∵正方形的边长是，点是边的中点， ∴，， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴当且仅当三点共线时，线段取得最小值， ∴线段的最小值为， 故选：． 二、填空题 11．（2023九年级上·江苏·专题练习）直角三角形的三个顶点在上，则圆心O在 ． 【答案】斜边的中点 【分析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半即可． 【详解】解：∵由三角形斜边的中线等于斜边的一半， ∴圆心O斜边上的中点到各顶点的距离相等． 故答案为：斜边的中点． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键． 12．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是的直径，是的内接三角形，若，则的直径 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，连接，根据弧、弦、圆周角之间的关系以及圆周角定理证明是等腰直角三角形，即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）在四边形中，，⊙O是△ABD的外接圆，若，则= ． 【答案】5 【分析】根据已知条件得到点A，B，C，D四点共圆，推出点C在上，然后利用勾股定理可得，于是得到结论． 【详解】解：∵如图，在四边形ABCD中，， ∴点A，B，C，D四点共圆， ∵是的外接圆， ∴点C在上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 14．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点A、B、C、D在上，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和，平行线性质，等腰三角形性质，连接，根据圆周角定理得到，利用平行线性质求出的度数，根据等边对等角，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏·期末）如图，在正方形中，，点是对角形上的一个动点，且不与端点重合，连接，过点作，垂足为，连接．则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角所对的弦是直径，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在为直径的上运动，进而勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∴的最小值为， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，经过点，，，与相交于点，连接，，若，则 °． 【答案】105 【分析】本题考查了平行四边形的性质和圆内接四边形的性质，根据平行四边形的性质求出，根据圆内接四边形的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：105． 17．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知，如图，，点A，B为射线，上的动点，且，在的内部、的外部有一点P，且，，则线段的取范围 ． 【答案】 【分析】如图，由条件可以得出四点共圆，当是圆的直径时的值最大，当点与点或点重合时的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论． 【详解】解：，， ， 四边形四点共圆． 当为直径时，最大， ． ， ，，， ， ． ， 在中，由勾股定理，得 ， ． ， ， ． 当点与顶重合时，最小．作于点．    ， ． ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， 即． 的取值范围是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键． 18．（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，中，，，点在射线上运动，连接交外接圆于，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】如图，连接，首先证明，由此推出点在以为圆心，为半径的上运动（是等腰直角三角形，，），连接交于，此时的值最小． 【详解】连接，则， ∵， ∴点在以为弦的一段圆弧上运动，圆心角为， 设圆心为，连接， 则为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（当且仅当是与圆弧的交点时取等号）， ∴线段的长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题 19．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理的推论； 由弦相等得到，推出，得到，再利用等腰三角形的判定得出结论． 【详解】证明：， ， ，即， ， ． 20．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知四边形中，，，，试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上，并说明理由．      【答案】在，见解析 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可证得． 【详解】连接，    在中，， ∴， 在中， ， ∴ ∴， ∴A、B、C、D四点在同一个圆上． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的三个顶点在以斜边为直径的圆上． 21．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1，是的直径、C、D是上的两点，若，弧弧． 求：①的度数； ②求的度数； （2）如图2，的弦垂直平分半径，若的半径为4，求弦的长． 【答案】（1）①； ；（2） 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）①根据圆周角定理得到，可得，根据圆内接四边形的性质即可求出；②根据得到，利用等腰三角形的性质计算即可； （2）连接，根据弦垂直平分半径，可求出的长，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：（1）①∵是直径， ∴， ∵， ∴． ∵四边形是的圆内接四边形， ∴， ∴， ②∵， ∴， ∴； （2）连接， ∵弦垂直平分半径，， ∴． ∵，即， 解得， ∴． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，以及矩形的外接圆： （1）由根的判别式列出不等式，解不等式可得m的取值范围； （2）由根与系数的关系可得，，该矩形外接圆的直径是矩形的对角线，根据勾股定理可得，即可得到，解方程即可． 熟练掌握根与系数的关系和进行变形是解题的关键． 【详解】（1）解：因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 所以 故； （2）解：由题可知： ∵该方程的两个实数根分别是矩形的长和宽，该矩形外接圆的半径为2， ∴，，， 则， ∴， 由（1）知 ∴． 23．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）尺规作图：在下面两张图中分别用两种不同方法作出已知圆的一条直径． （不要求写作法，保留作图痕迹，并在图中标注适当的字母．）    【答案】见解析 【分析】本题考查了基本作图经过一点作垂线，垂径定理和圆周角定理．根据垂径定理和圆周角定理作图即可． 方法一：先任意画一条弦，再作这条弦的垂直平分线交圆于点C、D ，线段即为所作； 方法二 ：先任意画一条弦，再过过点F，作交圆于G，再连接，线段即为所作． 【详解】解：方法一：如图，线段即为所求； 由作图可知：垂直平分，根据垂径定理可得，必过圆心， ∴线段为圆的直径； 方法二 ：如图，线段即为所求． 由作图可知：， ∴ 根据90度的圆周角所对的弦是直径，可得线段是圆的直径．      24．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A、、在上，用无刻度的直尺画图． (1)在图①中，画一个与互补的圆周角（并用铅笔在图①上标记出来）； (2)在图②中，画一个与互余的圆周角（并用铅笔在图②上标记出来）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主考查了圆内接四边形，圆周角定理推论．熟练掌握圆内接四边形的对角互补. 直径所对的圆周角是直角，是解决问题的关键． (1)根据圆内接四边形的对角互补在上取一点D（不包括A、C），连接，，即得； (2)根据直径所对的圆周角是直角作直径，连接，即得． 【详解】（1）在上任取一点D（不包括A、C）连接，，即为所求作，如图①； （2）过点A作直径，连接，即为所求作，如图②． 25．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，以边为直径的交于点，作，依次交于点，交于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，根据等角的余角相等得，由圆周角定理得出，可得； （2）证出，得出，由勾股定理得出，即，解得或，由题意得出，，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）解：由（1）得：， ∵， 是等腰直角三角形， ， ， ，， ，即， 解得：或， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式等知识；熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，为的直径，于点E，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)连接，，如图2，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由为的直径，于点得，又由，得到，从而得到，即，即可得证； （2）连接，由（1）得：，，从而得到，则，设，则，在中，，即，即可得到答案； （3）连接交于，则，通过证明，得到，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可得到，最后由，即可得到答案． 【详解】（1）证明：为的直径，于点， ， ， ， ，即， ； （2）解：如图所示：连接， 由（1）得：， ， ， 为的直径，于点， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 的长为； （3）解：如图所示：连接交于， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为半径， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，添加恰当的辅助线是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$