第09讲 线段、角的轴对称性（二） （1个知识点+5种经典题型+试题练习）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第09讲 线段、角的轴对称性（二） （1个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【例1】（2022秋•常州期中）如图，为内一点，过点的线段分别交、于点、，且、分别在、的中垂线上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•邗江区期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则　 　． 【变式2】（2023秋•姜堰区期末）如图，的垂直平分线分别交，于点，，，，则点到点的距离是　　． 【变式3】（2023秋•宿城区期末）如图所示，和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 经典题型汇编 题型一.线段垂直平分线的性质 1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，中，的垂直平分线交于P点，若，的周长为，则的长是 ．    3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？ 题型二.线段垂直平分线的判定 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）纸片上有一点P，量得，则点P一定是（    ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 5．（21-22八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是 ． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，与相交于点O，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 题型三.作已知线段的垂直平分线 7．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的 ． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行．“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地，若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 9．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）    题型四.作垂线（尺规作图） 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如下图是四种基本尺规作图，其中图①是作一个角的平分线；图②是作一条线段的垂直平分线；图③是过直线外一点P作已知直线的垂线；④过直线上一点P作已知直线的垂线．比较这些作图的方法，发现有一个共同点，原图（角、线段和直线）都是轴对称图形，而所作的图形都是原图形的 ． 11．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，点是的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧交于，直线交于点，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 12．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，，． (1)用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，，，求的长． 题型五.轴对称综合题（几何变换） 13．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，为，点、分别为射线、上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B．2 C． D．4 14．（20-21八年级上·江苏南通·期中）如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 ． 15．（20-21八年级上·江苏盐城·期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求画出下列图形，并标注相应的字母． （1）画出关于直线对称的； （2）在对称轴直线上确定一点，使得最小． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（    ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知中，（），用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，观察图中作图的痕迹，可知的度数为(　　)    A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（    ）    A．0 B．6 C．7 D．9 6．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为(     ) A．40° B．35° C．60° D．70° 7．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 8．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的角平分线，于点E，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④． 正确的有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   10．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①根据作图过程可知，判定的依据是“”；②是的平分线；③；④点在的中垂线上； A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（20-21八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为点A、B．下列结论中，一定成立的是 （填序号） ①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP 12．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，当斜边的垂直平分线分别交线段、于点D,E时，需满足的取值范围为 ． 13．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为 ． 14．（20-21八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，则的长为 ． 15．（22-23八年级上·江苏·周测）△ABC中，BC=14，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于D、E，连接AD、AE，且DE=6，则AD+AE= ． 16．（八年级上·江苏南京·期中）已知∠MON=51°，点P在∠MON的内部，点D是边ON上任意一点，点C是边OM上任意一点，连接PD、PC，当△PCD的周长最小时，∠CPD的度数为 ． 17．（20-21八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点O．下列三个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③AE+DF=AF+DE．其中，一定正确的是 （填序号）． 18．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 20．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，的垂直平分线分别交于点E、F，若，则为多少度？ 21．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，在某条笔直的公路的同侧有两座村庄，为方便居民出行，政府决定在公路上修建一个公交站台，使得村庄到公交站台的距离相等，请用尺规作图的方法确定公交站台的位置．（保留作图痕迹，并在图形上标注点，不要求写出作法） 22．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平行线是一条灌溉渠道的两岸，是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，那么此桥应该架在何处？请你用直尺和圆规作出桥的位置．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 23．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图1，红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，因园内著名古建筑——红梅阁而得名园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应，园内八景吸引无数游客前往．现将公园北侧小东门路与西侧红梅路看成两条线段，天宁宝塔与文笔塔看成两个点，如图2.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等，且到这两座塔的距离也近似相等，请在图2中用直尺和圆规找到红梅阁的位置，标注为点 P(保留作图痕迹，不要求写作法）． 24．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 25．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； (2)的面积= ； (3)在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． 26．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 线段、角的轴对称性（二） （1个知识点+5种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 【例1】（2022秋•常州期中）如图，为内一点，过点的线段分别交、于点、，且、分别在、的中垂线上．若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可． 【解答】解：， ， 、分别在、的中垂线上， ，， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【变式1】（2023秋•邗江区期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则　45　． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：45． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【变式2】（2023秋•姜堰区期末）如图，的垂直平分线分别交，于点，，，，则点到点的距离是　6　． 【分析】连接．根据垂直平分线的性质可得，求出即可解决问题． 【解答】解：如图，连接． ，， ，， 垂直平分， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线． 【变式3】（2023秋•宿城区期末）如图所示，和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，代入数据进行计算即可得解； （2）根据等边对等角的性质可得，，根据三角形内角和定理求出，再求解即可． 【解答】解：（1）和分别垂直平分和， ，， 的周长， 的周长为12， ； （2），， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键． 经典题型汇编 题型一.线段垂直平分线的性质 1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，掌握线段垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等是解决问题的关键． 【详解】解：    ∵在的垂直平分线上， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即是到三角形三个顶点的距离相等的点， 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，中，的垂直平分线交于P点，若，的周长为，则的长是 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．先根据是线段的垂直平分线，可以得到，根据的周长是，得出，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线，    ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？ 【答案】的周长是13 【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，并结合三角形周长的定义即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 答：的周长是13． 题型二.线段垂直平分线的判定 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）纸片上有一点P，量得，则点P一定是（    ） A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定定理．熟练掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点P一定是三条边垂直平分线的交点， 故选：C． 5．（21-22八年级上·江苏南京·期末）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．下列结论：①BD垂直平分AC；②BD平分∠ADC；③ABCD；④ABD≌CBD．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据垂直平分线及全等三角形的判定和性质依次对各个结论进行判断即可得． 【详解】解：∵，， ∴BD垂直平分AC，①正确； 在与中， ， ∴，④正确； 由可得： ， ∴BD平分，②正确； ③无法证明； 故正确结论有：①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】题目主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，与相交于点O，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型三.作已知线段的垂直平分线 7．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）三名同学在玩抢凳子游戏，他们分别站在一个三角形三个顶点处，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的 ． 【答案】三边垂直平分线交点 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；根据三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等可得答案． 【详解】解：依题意，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边垂直平分线交点， 故答案为：三边垂直平分线交点． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）第三届“一带一路”国际合作高峰论坛于2023年10月17日至18日在北京举行．“一带一路”正在成为惠及各国人民的“发展带”“幸福路”．如图，若记北京为地，莫斯科为地，雅典为地，若想建立一个货物中转仓，使其到、、三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质即可得出答案． 【详解】根据线段垂直平分线的性质可知，三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，所以中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点． 故选：A． 9．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）    【答案】见解析 【分析】的垂直平分线上的点到A，B两点的距离相等，以点为圆心，为半径的圆上任意一点到点C的距离等于线段的长．据此即可作图． 【详解】解：如图所示，点P即为所求．    【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作图．掌握相关作图方法即可． 题型四.作垂线（尺规作图） 10．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如下图是四种基本尺规作图，其中图①是作一个角的平分线；图②是作一条线段的垂直平分线；图③是过直线外一点P作已知直线的垂线；④过直线上一点P作已知直线的垂线．比较这些作图的方法，发现有一个共同点，原图（角、线段和直线）都是轴对称图形，而所作的图形都是原图形的 ． 【答案】对称轴 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：一个角的平分线所在的直线是角的对称轴，线段的垂线平分线是线段的对称轴，一条直线的垂线是这条直线的对称轴，所以所作的图形都是原图形的对称轴． 故答案为：对称轴． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 11．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，点是的中点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧．两弧交于，直线交于点，连接，若，的周长为，则的周长为（    ） A．16 B．17 C．18 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段中点的定义可得，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为，可得，从而求出的周长，即可解答．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】∵点是的中点， ∴， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：C． 12．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，如图，，． (1)用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及作垂线，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段的端点的距离相等，据此即可作答． （2）先根据直角三角形两个锐角互余，得，结合等边对等角，得，列式，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，连接 在中，∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 题型五.轴对称综合题（几何变换） 13．（19-20八年级上·江苏苏州·期中）如图，，为内部一条射线，点为射线上一点，为，点、分别为射线、上的动点，则周长的最小值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】如图，分别作点D关于OA、OB的对称点D1、D2，连接D1D2，交OA于E，OB于F，连接OD1、OD2，根据轴对称的性质可得∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，ED1=ED，FD2=FD，OD1=OD=OD2，可得ED1+EF+FD2=DE+EF+DF= D1D2，可知D1D2为△DEF周长的最小值，根据∠AOB=45°可得∠D1OD2=2∠AOB=90°，根据根据勾股定理求出D1D2的长即可得答案． 【详解】如图，分别作点D关于OA、OB的对称点D1、D2，连接D1D2，交OA于E，OB于F，连接OD1、OD2， ∴∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，ED1=ED，FD2=FD，OD1=OD=OD2， ∴ED1+EF+FD2=DE+EF+DF= D1D2，即D1D2为△DEF周长的最小值， ∵∠EOD1=∠EOD，∠FOD=∠FOD2，∠AOB=45°，∠AOB=∠EOD+∠FOD， ∴∠D1OD2=2∠AOB=90°， ∵OD=， ∴OD1=OD=OD2=， ∴D1D2==2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题及勾股定理，正确作出辅助线，确定E、F的位置并得出∠D1OD2=90°是解题关键． 14．（20-21八年级上·江苏南通·期中）如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 ． 【答案】45° 【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案． 【详解】∵S△PBC＝S△ABC， ∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上， ∴l∥BC， 作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示： 则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小， 作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD， ∵AD⊥BC，AD＝BC， ∴BB'＝BC，BB'⊥BC， ∴△BB'C是等腰直角三角形， ∴∠B'＝45°， ∵PB＝PB'， ∴∠PBB'＝∠B'＝45°， ∴∠PBC＝90°−45°＝45°； 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 15．（20-21八年级上·江苏盐城·期中）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求画出下列图形，并标注相应的字母． （1）画出关于直线对称的； （2）在对称轴直线上确定一点，使得最小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）作点A、B、C关于直线l的对称点、、，得； （2）连接交直线l于点P，此时最小． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示：连接交直线l于点P， 根据轴对称，得，此时最小． 【点睛】本题考查画轴对称图形和利用轴对称的性质求线段和最小，解题的关键是掌握轴对称的性质和轴对称图形的画法． 试题练习 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为，且三个小区不在同一直线上，要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．这所中学应建在（    ） A．的三条中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”判断即可． 【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 则学校应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：B． 2．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）如图，已知中，（），用尺规在线段上确定一点，使得，则符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查作图．根据题意不难知道，题中需要作线段的垂直平分线，再结合题意，可以得到答案． 【详解】A，只能得到,此选项不符合题意； B，只能得到,此选项不符合题意； C，只能得到,此选项不符合题意； D，能得到，进而得到． 故选：D． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，，，观察图中作图的痕迹，可知的度数为(　　)    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， 又， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，直角三角形的两个锐互余，熟练掌握基本作图是解题的关键． 4．（22-23八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，是中边上的垂直平分线，如果，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，得到，从而得到的周长等于． 【详解】解：∵是中边上的垂直平分线，， ∴， ∵的周长等于，， ∴的周长等于， 故选：C． 5．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，E为的中点，连接，，延长交的延长线于点F．若，则的长为（    ）    A．0 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，证明是本题的关键． 6．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB的度数为(     ) A．40° B．35° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC=∠B'AC，∠DAE=∠B'AE，即可得出∠CAE= ∠BAD，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB=∠ACB'=90°-∠BAD． 【详解】 解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上， ∴AC垂直平分BB'， ∴AB=AB'， ∴∠BAC=∠B'AC， ∵AB=AD， ∴AD=AB'， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE=∠B'AE， ∴∠CAE=∠BAD=55°， 又∵∠AEC=90°， ∴∠ACB=∠ACB'=35°， 故选B． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 7．（19-20八年级上·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（　　） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P在AC上时，AP+BP有最小值，此时△ABP周长有最小值. 【详解】∵EF垂直平分BC， ∴B、C关于EF对称， 设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长， 由勾股定理得：AC＝＝＝4， ∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，明确点A、P、C在一条直线直线上时，AP+PB有最小值是解题的关键. 8．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的角平分线，于点E，于点，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④． 正确的有（    ）个．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由“”可证,可得 , 由三角形的三边关系可得,由不一定是，可得不一定等于，由线段垂直平分线的判定方法可得垂直平分，由三角形的面积公式可得, 即可求解. 【详解】∵平分, ∴, 在和中 ， ∴, ∴, 在中,, ∴, 故①正确; ∵不一定是, ∴不一定等于, ∴不一定等于, 故②错误; ∵, ∴垂直平分, 故③正确； ， ∴, 故④正确； 故选：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键. 9．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由点到点、点的距离相等可得点在线段的垂直平分线上，由此即可得到答案． 【详解】解：点到点、点的距离相等， 点在线段的垂直平分线上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质以及尺规作图． 10．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（　　） ①根据作图过程可知，判定的依据是“”；②是的平分线；③；④点在的中垂线上； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据作图的过程可知，，根据“”判定，从而判定①；②根据全等三角形的性质可以判定是的角平分线；③利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；④利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由线段的垂直平分线的性质可以证明点在的中垂线上． 【详解】解：①如下图，连接PM、PN， 根据作图的过程可知，，根据“”判定，故①错误； ②∵， ∴, ∴是的平分线, 故②正确； ③在中，，， ． 又是的平分线， ， ，即故③正确； ④， ， 点在的中垂线上, 故④正确． 综上所述，正确的结论是：②③④，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图，熟练掌握掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 二、填空题 11．（20-21八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为点A、B．下列结论中，一定成立的是 （填序号） ①PA＝PB；②OA＝OB；③OP垂直平分AB；④AB垂直平分OP 【答案】①②③ 【分析】直接根据角平分线的性质定理及垂直平分线的性质定理求解即可． 【详解】解： OP平分∠AOB，PAOA，PBOB， AP=PB，故①正确； OP=OP， ， OA=OB，故②正确； OP垂直平分AB，故③正确； 则AB垂直平分OP不一定成立，故错误； 所以正确的有①②③． 故答案为①②③． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、垂直平分线的判定及直角三角形的全等，关键是根据角平分线的性质定理得到线段的等量关系． 12．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，当斜边的垂直平分线分别交线段、于点D,E时，需满足的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据题意分两种情况进行讨论，一是当E点无限靠近A点时，二是当E点与C点重合时，分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：根据题意分两种情况进行讨论，（1）当E点无限靠近A点时， 此时无限接近， ， （2）当E点与C点重合时， 此时是等腰直角三角形， ， 综上所述需满足的取值范围为， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，，，则的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长为． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴周长， 故答案为：11． 14．（20-21八年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交于点D，连接．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了基本作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是掌握线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质即可得到，求得的长，进而可得到的长． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 15．（22-23八年级上·江苏·周测）△ABC中，BC=14，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于D、E，连接AD、AE，且DE=6，则AD+AE= ． 【答案】8或20/20或8 【分析】根据题意，分两种情况，当与无重合，当与有重合解答即可得到结论． 【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点，， ，， 分两种情况： 当与无重合时，如图所示： ，， ， 当与有重合时，如图所示： ，， ， 综上所述：的值为：8或20， 故答案为：8或20． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 16．（八年级上·江苏南京·期中）已知∠MON=51°，点P在∠MON的内部，点D是边ON上任意一点，点C是边OM上任意一点，连接PD、PC，当△PCD的周长最小时，∠CPD的度数为 ． 【答案】78° 【分析】先找到当△PCD的周长最小时的情况，即线段AB的长度，则∠PDC=2∠A，∠PCD=2∠B，然后得到∠A+∠B的度数，由∠MON+∠APB=180°，代入计算，即可求出∠CPD的度数. 【详解】解：如图，过点P作关于OM、ON的对称点B、A，连接AB，与OM、ON相交于点C、D，则此时△PCD的周长最小，为线段AB的长度； ∴PD=PA，PC=BC， ∴∠A=∠APD，∠B=∠BPC， ∴∠PDC=2∠A，∠PCD=2∠B， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 故答案为：78°. 【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理、三角形外角性质，解题的关键是正确作出辅助线，确定△PCD的周长最小时的位置是关键所在. 17．（20-21八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于点O．下列三个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③AE+DF=AF+DE．其中，一定正确的是 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确；②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF；③根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立． 【详解】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，没有说∠A=90°，不符合题意，故①错误； ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠EAD=∠FAD， 在△AED和△AFD中， ， ∴△AED≌△AFD（AAS）， ∴AE=AF，DE=DF， ∴AE+DF=AF+DE，故③正确； ∵在△AEO和△AFO中， ， ∴△AEO≌△AFO（SAS）， ∴EO=FO， 又∵AE=AF， ∴AO是EF的中垂线， ∴AD⊥EF，故②正确；OA不一定等于OD，故①不一定正确； 故答案为：②③． 【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握；此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握；此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握． 18．四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为 ． 【答案】70° 【分析】延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N，此时△AMN周长最小，推出∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)，进而得出∠MAN的度数． 【详解】解：延长AB到A′使得BA′=AB，延长AD到A″使得DA″=AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N． ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称， 此时△AMN的周长最小， ∵BA=BA′，MB⊥AB， ∴MA=MA′，同理：NA=NA″， ∴∠A′=∠MAB，∠A″=∠NAD， ∵∠AMN=∠A′+∠MAB=2∠A′，∠ANM=∠A″+∠NAD=2∠A″， ∴∠AMN+∠ANM=2(∠A′+∠A″)， ∵∠BAD=125°， ∴∠A′+∠A″=180°﹣∠BAD=55°， ∴∠AMN+∠ANM=2×55°=110°． ∴∠MAN=180°﹣110°=70°， 故答案为：70°． 【点睛】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）根据直接证明； （2）根据，，即可得证垂直平分． 【详解】（1）证明：在与中， ∴； （2）∵，， ∴点、点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 20．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，的垂直平分线分别交于点E、F，若，则为多少度？ 【答案】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂直平分线的性质成为解题的关键． 根据三角形内角和定理可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等边对等角可得，最后根据角的和差、等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点E、F， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 21．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，在某条笔直的公路的同侧有两座村庄，为方便居民出行，政府决定在公路上修建一个公交站台，使得村庄到公交站台的距离相等，请用尺规作图的方法确定公交站台的位置．（保留作图痕迹，并在图形上标注点，不要求写出作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，根据线段的垂直平分线的性质作图． 【详解】解：如图所示，连接，作线段的垂直平分线交于点， ∴点即为所求． 22．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，平行线是一条灌溉渠道的两岸，是位于渠道两旁的两个村庄，今要在渠上架一座与岸垂直的桥梁，且使得两个村庄到桥头的距离相等，那么此桥应该架在何处？请你用直尺和圆规作出桥的位置．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】详见解析 【分析】 本题考查了作垂直平分线，作轴对称图形，垂直平分线的性质，根据题意，先平移至点，作关于的对称点，进而作的垂直平分线交于点，过点作于点，即可求解． 【详解】解：如图，线段即为所求作桥梁    文字说明：过点作的垂线，并在此垂线上截取等于渠道的宽度， 作关于直线的对称点 连接，并做的垂直平分线，交直线于点 过点作直线的垂线，交直线于点 线段即为所求桥梁． 23．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图1，红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，因园内著名古建筑——红梅阁而得名园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应，园内八景吸引无数游客前往．现将公园北侧小东门路与西侧红梅路看成两条线段，天宁宝塔与文笔塔看成两个点，如图2.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等，且到这两座塔的距离也近似相等，请在图2中用直尺和圆规找到红梅阁的位置，标注为点 P(保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．作的角平分线，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求．    24．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，详见解析； (2)详见解析． 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质定理、垂直平分线的判定定理等知识点， （1）根据可得，利用，进而证明； （2）由则A在的垂直平分线上，再证明可得，故F在的垂直平分线上，则垂直平分； 正解理解题意是解决此问题的关键． 【详解】（1）与全等； 理由：∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）如图：连接， 由（1）∵， ∴A在的垂直平分线上， ∵， ∴， 在与， ， ∴， ∴， ∴F在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 25．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格的格点上）． (1)在图中画出关于直线l对称的（要求：点A与点、点B与点、点C与点相对应）； (2)的面积= ； (3)在网格中仅用无刻度的直尺找一点O，使． 【答案】(1)见解析 (2)18 (3)见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、轴对称的作图、网格中求面积等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）作出点A、B、C的对应点、、，顺次连接即可； （2）利用网格特点画出的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）的面积 故答案为：18 （3）如图，点O即为所求， 26．（23-24八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题： (1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等； (2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等； (3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析，13 【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即作的平分线交于一点，即为点D，即可作答． （2）根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，即作线段的垂直平分线与相交于一点，即为点，即可作答． （3）作点F关于射线的对称点，连接，交射线于一点P，此时，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：点D如图所示： （2）解：点E如图所示： （3）解：点P如图所示： ∵， ∴， 即在中，， 即， 即． 【点睛】本题考查了作角平分线，作垂直平分线，轴对称性质，勾股定理等知识内容：难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$