专题01 绝对值化简的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（人教版2024）

专题01 绝对值化简的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用数轴化简绝对值 1 类型二、分类讨论化简 2 类型三、几何意义化简绝对值 3 类型四、非负性化简绝对值 4 压轴能力测评（13题） 5 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 类型一、利用数轴化简绝对值 【典例1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”连接这四个数：，，，； (2)填空： ， 填入“”、“”或“”； (3)化简：． 【变式1-1】数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知的大致位置如图所示：化简． 【变式1-3】如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 类型二、分类讨论化简 【典例2】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【变式2-1】如果a，b，c为非零有理数且a + b + c = 0，那么的所有可能的值为（　　 A．0 B．1或- 1 C．2或- 2 D．0或- 2 【变式2-2】已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【变式2-3】如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 类型三、几何意义化简绝对值 【典例3】阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【变式3-1】同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【变式3-2】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 【变式3-3】在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 类型四、非负性化简绝对值 【典例4】若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【变式4-1】若则 ． 【变式4-2】若与互为相反数，则 ． 【变式4-3】已知，求的值为 ． 1．有理数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 2．若，，则 (   ) A．1 B． C．0 D．3 3．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 4．下列说法中正确的是（   ） A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|=|b|，则a，b互为相反数 C．a的绝对值一定是负数D．若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数 5．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．的最小值是（    ） A．1 B．1010 C．1021110 D．2020 7．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 8．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 9．综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (3)若表示一个有理数，且位于到之间，求的值； (4)的最小值是 10．【阅读理解】 （1）如图所示，或可以表示在同一条数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上信息，在同一条数轴上有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为________（只写一种）． 【探索发现】 （2）若有理数，，在同一条数轴上所对应的点分别为，，，求的值，当的值最小时，点在什么位置？ 【联系拓广】 （3）直接写出的最小值________． 11．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_______和_______，B，C两点间的距离是________； (2)若点A表示的整数为x，则当x为__________时，与的值相等； (3)要使代数式取最小值，相应的x的取值范围是_____________． 12．若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 13．阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 绝对值化简的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、利用数轴化简绝对值 1 类型二、分类讨论化简 3 类型三、几何意义化简绝对值 6 类型四、非负性化简绝对值 10 压轴能力测评（13题） 11 1. 绝对值的意义 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作． 2. 绝对值的性质 绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性≥0，即：． 互为相反数的两个数绝对值相等． 3. 绝对值与数的大小 1. 正数大于0，0大于负数． 1. 理解：绝对值是指距离原点的距离． 所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大． 类型一、利用数轴化简绝对值 【典例1】有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”连接这四个数：，，，； (2)填空： ， 填入“”、“”或“”； (3)化简：． 【答案】(1) (2)， (3)0 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值： （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小即可判断； （2）根据数轴和相反数的性质可得答案； （3）利用绝对值的性质即可解决问题． 解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：根据数轴得：； （2）解：由数轴可得，，， ，； 故答案为：，； （3）解：由图可知：，，，， 原式 ， ． 【变式1-1】数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 先确定的符合以及大小，然后再取绝对值即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， 故选：B． 【变式1-2】已知的大致位置如图所示：化简． 【答案】 【分析】 此题考查绝对值，关键是根据数轴和绝对值化简解答．先根据各点在数轴上的位置，确定它们所表示的数的和的大小关系，再根据有理数的加减法法则判断正负，利用绝对值的意义化去绝对值符号，加减得结论． 【详解】解：由数轴可得：， ， ． 【变式1-3】如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查数轴上两点距离关系，根据终端两线段列式求解即可得到答案； （2）本题根据数轴化简绝对值，根据数轴得到数字关系得到式子的正负，化简绝对值即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ， 故答案为：； （2）解：由数轴可得， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 类型二、分类讨论化简 【典例2】请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 【变式2-1】如果a，b，c为非零有理数且a + b + c = 0，那么的所有可能的值为（　　 A．0 B．1或- 1 C．2或- 2 D．0或- 2 【答案】A 【分析】根据题意确定出a，b，c中负数的个数，原式利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：∵a、b、c为非零有理数，且a+b+c=0 ∴a、b、c只能为两正一负或一正两负． ①当a、b、c为两正一负时，设a、b为正，c为负， 原式=1+1+（-1）+（-1）=0， ②当a、b、c为一正两负时，设a为正，b、c为负 原式1+（-1）+（-1）+1=0， 综上，的值为0， 故答案为：0． 【点睛】此题考查了绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2-2】已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故选：D． 【变式2-3】如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 类型三、几何意义化简绝对值 【典例3】阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识， （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到x在到2之间，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 【变式3-1】同学们都知道，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 试探索： (1)求______． (2)找出所有符合条件的整数，使得这样的整数是______． (3)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有写出最小值（请写清楚过程），如果没有说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有最小值，最小值是． 【分析】 本题考查了数轴与绝对值，数轴上两点间的距离，理解用绝对值表示两点间的距离是解题的关键． （）根据绝对值的性质即可求解； （）由可得表示到的距离与到的距离之和，根据即可得到一定在到之间，进而可求解； （）由可得表示的是到的距离与到的距离之和，进而可得当位于和之间时，的值最小，即为到的距离，即可求解； 【详解】（1） 解：， 故答案为:； （2） 解：∵， ∴表示到的距离与到的距离之和， ∵， ∴一定在到之间， ∴符合条件的整数有， 故答案为：； （3）解：有最小值，最小值是． 理由如下： ∵， ∴表示的是到的距离与到的距离之和， 当位于和之间时，的值最小，即为到的距离， ∴ 有最小值为． 【变式3-2】点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合的思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和10两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ； (3)若表示一个有理数，有最小值吗？若有，请求出最小值，若没有写出理由． (4)若表示一个有理数，求的最小值． 【答案】(1)8；12 (2) (3)有最小值，最小值为4 (4)11 【分析】本题主要考查的是数轴、绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （2）依据在数轴上A、B两点之间的距离求解即可； （3）根据题意可得表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和，即可； （4）根据题意可得表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和，即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：8；12． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：． （3）解：有最小值， 根据题意得：表示数轴上x和1的两点之间与x和的两点之间距离和， ∵， ∴有最小值，最小值为4； （4）解：根据题意得：表示数轴上x和的两点之间，x和5的两点之间与x和的两点之间距离和， ∴当时，有最小值，最小值为． 【变式3-3】在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： 应用一：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和6的两点之间的距离表示为__________；数轴上表示和的两点之间的距离表示为__________． (2)若表示一个有理数，则的最小值__________，满足条件的所有整数的和为__________． (3)请写出当__________时，有最小值为__________． (4)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件相应该放在工作__________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是__________米． 【答案】(1)； (2)5， (3)，8 (4)E，40 【分析】本题考查有理数在数轴上对应的点、绝对值： （1）根据数轴上A、B两点之间的距离计算便可； （2）当x在表示数与1的两点及两点之间时，的值最小，求出此时的值便可； （3）根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值40； 【详解】（1）解：数轴上表示和6的两点之间的距离表示为； 数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （2）解：当时，取最小值， 其最小值为：， 满足条件的整数x的和为 故答案为：5，； （3）解：表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8， 故答案为：，8； （4）以E点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E、F、G、H、I依次在数轴上排列， 则A点表示的数为，B点表示的数为，C点表示的数为，D点表示的数为，F点表示的数为2，G点表示的数为4，H点表示的数为6，I点表示数为8， 设配件箱应该放在数轴上表示x的数的位置， 当有最小值时，工作台上的工作人员取配件所走的路程最短， ∴当时，有最小值40， ∴配件箱应该放在工作台E处，最短路程为40米， 故答案为：E，40； 类型四、非负性化简绝对值 【典例4】若有理数m，n满足，则等于（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查了非负数性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．先运用非负数的性质求得m，n的值，再代入求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式4-1】若则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值非负性的知识，解题的关键是掌握绝对值非负性的应用，根据题意，则，解出，，即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的概念及绝对值的知识．根据互为相反数的两个数的和为0，可得与的和为0，再根据绝对值和偶次方的非负性即可分别求出，． 【详解】 与互为相反数 ， ， ， ． 故答案为：． 【变式4-3】已知，求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，代入求值，先根据绝对值得非负性求出，的值，然后代入解题即可． 【详解】解：由题可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 1．有理数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值是解题的关键． 由数轴可知，，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．若，，则 (   ) A．1 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用以及绝对值的化简问题. 【详解】解：∵，且， ∴三个数中有两个正数一个负数， ∴， 故选：． 3．若与互为相反数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性等知识点，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据相反数的定义及非负数的性质列出方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴． 故选B． 4．下列说法中正确的是（   ） A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|=|b|，则a，b互为相反数 C．a的绝对值一定是负数D．若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数 【答案】D 【分析】由绝对值的含义结合相反数的特点可判断A，B，由绝对值的非负性可判断C，D，从而可得答案． 【详解】解：若|a|=|b|，则，故A不符合题意；B不符合题意； a的绝对值一定是非负数，故C不符合题意； 若一个数小于它的绝对值，则这个数一定是负数，描述正确，故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，绝对值非负性的理解，有理数的大小比较，掌握“绝对值的含义”是解本题的关键． 5．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题，在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号，解题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式 ， ， 故选：． 6．的最小值是（    ） A．1 B．1010 C．1021110 D．2020 【答案】C 【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可． 【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）； 所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020； 当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；… 当x=1011时，|x-1011|有最小值0． 综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值， 最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021| =1010+1009+…+0+1+2+…+1010 =1011×1010 =1021110． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键． 7．若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 8．已知有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示： (1) 1，b 2，______________2（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了根据数轴比较大小，化简绝对值，合并同类项，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义； （1）根据数轴上确定各个有理数的大小关系，然后比较即可； （2）确定绝对值符号内代数式的正负情况再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解． 【详解】（1）由数轴可知：，，且， ，， 故答案为：，，； （2）由（1），得． 又， 所以， 所以 ． 9．综合与探究：已知点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (2)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和的两点之间的距离为 ； (3)若表示一个有理数，且位于到之间，求的值； (4)的最小值是 【答案】(1)， (2)， (3) (4) 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义，熟练掌握数轴和绝对值的特征是解题的关键． （1）根据题意，可以解答本题； （2）由题意可以得到，数轴上表示和的两点之间的距离和数轴上表示和两点之间的距离； （3）根据的值，去掉绝对值符号，进行化简，即可解答本题； （4）利用数轴的特点和绝对值的意义可以解答本题． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离是； 故答案为：，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为，数轴上表示和的两点之间的距离表示为； 故答案为：，； （3）解：若表示一个有理数，则的最小值； （4）解：根据点在数轴上的位置可知，当时，有最小值， 最小值为：， 故答案为：． 10．【阅读理解】 （1）如图所示，或可以表示在同一条数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．根据以上信息，在同一条数轴上有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为________（只写一种）． 【探索发现】 （2）若有理数，，在同一条数轴上所对应的点分别为，，，求的值，当的值最小时，点在什么位置？ 【联系拓广】 （3）直接写出的最小值________． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）当点在线段上的时候，的值最小（3）12 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题及数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离问题是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）把原式转化看作是数轴上表示的点与表示与的点之间的距离最小值，进而问题可求解； （）根据题意画出相应的图形，然后根据数轴可直接进行求解； 根据原式的最小值为，得到表示的点的左边和右边，且到距离为的点即可． 【详解】解：（）有理数所对应的点与所对应的点之间的距离可表示为； 故答案为：； （）①，表示到与到的距离之和， 当点在线段上，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， ∴当取最小值时，点在线段上； （）， ∴的最小值表示与，，，之间的距离最小， ∴的最小值为． 故答案为：． 11．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)如图，先在数轴上画出表示点的相反数的点B，再把点A向左移动个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_______和_______，B，C两点间的距离是________； (2)若点A表示的整数为x，则当x为__________时，与的值相等； (3)要使代数式取最小值，相应的x的取值范围是_____________． 【答案】(1)，，8； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离、用数轴表示有理数、解绝对值方程、化简绝对值等知识点，掌握数轴与绝对值的相关知识是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可确定点B表示的数，再根据数轴确定点C表示的数先，然后根据两点间的距离公式求得B、C两点之间的距离； （2）根据题意得到，解绝对值方程即可解答； （3）根据绝对值的意义即可解答． 【详解】（1）解：的相反数是，即点B表示的数为； 点C表示的数为，B、C两点间的距离是． 故答案为：，，8． （2）解：∵与的值相等， ∴①，此种情况等式不成立； ②，解得：． 故答案为：． （3）解：∵值最小， ∴在数轴上可以看作表示x的到的距离与x到2的距离和最小， ∴x只能在与2之间，包括与2两个端点， ∴． 故答案为：． 12．若数轴上两点分别表示数与数，则两点之间的距离是，例如表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．    (1)已知点在数轴上表示的数分别为，且． ①______，______． ②是数轴上任意一点，且点表示的数是，求的最小值． (2)某条街上有3家新开的自习室．小东的哥哥小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点．如图，小东家在处，自习室在小东家西边50米处，在小东家东边150米处，在小东家东边200米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值为多少？ 【答案】(1)①，；②3 (2)点在之间（包含在点或上）时，的值最小，最小值为400米 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，绝对值的意义， （1）①根据几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0可求出a，b， ②由的几何意义可求其最小值； （2）本题考查了数轴上两点间的距离，判断出点P在之间时，取最小值，设表示的数为，有最小值，得到当时求解即可． 【详解】（1）①∵ ∴， ∴，； ②表示在数轴上对应的到两点之间的距离之和． 当在左边时，． 当在2右边时，． 当在之间时（包含在和2这两个点上时），． ∴的最小值是3． （2）由（1）②可知，点在之间（包含在点或上）时，的值最小， 设表示的数为，则有当在0至150（包含0和150）时，有最小值， 当时， 原式 （米） 答：的最小值为400米． 13．阅读下面的材料： 根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是_________；数轴上表示x与2的两点之间的距离是_______． (2)若，则_______． (3)满足的整数x有_______个． (4)当_______时，代数式的最小值是3． 【答案】(1)15； (2)0或6 (3)6 (4)或 【分析】本题考查数轴上两点间距离计算； （1）根据两点间距离公式计算； （2）根据数轴上两点间距离公式的定义，结合数轴求解； （3）由数轴上两点间距离公式，可判断x在与3之间，即可； （4）由数轴上两点间距离公式，由题意得当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是； 数轴上表示x与2的两点之间的距离是． 故答案为：15； （2）解：表示x与3的距离为3， ∴或6． 故答案为：0或6 （3）解：表示x与的距离与它与3的距离之和为5， ∴x在与3之间， ∴这样的整数x有，共6个． 故答案为：6 （4）解：的值为“表示x的点与表示的点的距离”与“表示x的点与表示的点的距离”之和． 当表示x的点在表示的点与表示的点之间（含两点）时，取最小值． ∴表示的点与表示的点的距离为3． 若，即， 则， ∴． 若，即， 则， ∴． 综上，当a取或时，原式的最小值是3． 故答案为：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$