预习11 单调性与最大（小）值（九大考点）-2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019）

2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习11 单调性与最大(小)值 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 考点01 函数单调性的判断与证明 【方法点拨】证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 【例1】（多选）已知的定义域是区间， 则“是单调函数”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递增. 【变式1-1】（多选）下列关于单调性的表述中，错误的是（   ） A．，若，则函数在区间上单调递增 B．且，若，则函数在区间上单调递增 C．且，若，则函数在区间上单调递增 D．，若，则函数在区间上单调递增 【变式1-2】函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【变式1-3】已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 考点02 求函数的单调区间 【方法点拨】（1）求函数单调区间的2种方法：①定义法：先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 【例3】函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【例4】已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【变式2-1】函数，的单调递减区间为 ． 【变式2-2】已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【变式2-3】已知函数．      (1)的值； (2)记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）； 考点03 复合函数的单调性 【方法点拨】利用复合函数的单调性性质——“同增异减” 【例5】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【例6】已知函数在定义域上单调递减，则的定义域是 ，单调递减区间是 ． 【变式3-1】（多选）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【变式3-2】函数的单调递减区间是 ． 【变式3-3】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 考点04 已知函数单调性求参数 【方法点拨】已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 【例7】“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8】已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 ． 【变式4-2】已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 考点05 利用单调性求解不等式 【方法点拨】利用单调性脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 【例9】已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例10】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【变式5-1】已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 考点06 根据单调性（图象）求最值或值域 【方法点拨】利用所学函数或型画出图象，从图象中看出最值或值域 【例11】如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【例12】已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【变式6-1】函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-2】已知函数在区间上的最小值是1，则（　　） A．或 B． C． D．或 【变式6-3】已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 考点07 二次函数（含参）的最值 【方法点拨】求解二次函数最值问题的顺序：①确定对称轴与抛物线的开口方向、作图； ②在图象上标出定义域的位置；③观察单调性写出最值． 【例13】已知是二次函数，满足，且最小值为. (1)求的解析式； (2)，的最大值为，求的表达式. 【例14】已知二次函数． (1)记的最小值为，求的解析式； (2)记的最大值为，求的解析式． 【变式7-1】已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)设函数，当时，求的最小值. 【变式7-2】已知为实数，设的二次函数的最小值为，求在上的最大值与最小值. 【变式7-3】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12． (1)求的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 考点08 实际应用中的最值 【方法点拨】（1）解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围． （2）实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决． 【例15】某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【例16】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【变式8-1】在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论： ①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆； ④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ． 【变式8-2】湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感．它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点．由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为千元．，且生产的成本包括固定成本4千元，材料等成本2千元/千件．记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为千元． (1)求函数的解析式； (2)该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物？最大利润为多少？ 【变式8-3】某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完. (1)求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； (2)当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 考点09 不等式恒成立问题 【方法点拨】转化为函数值域问题,即已知函数的值域为, 则恒成立,即;恒成立,即. 【例17】若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【例18】已知二次函数的最小值为，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 【变式9-1】对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式9-2】已知函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是 ． 【变式9-3】设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； 一、单选题 1．函数的单调增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞） 2．已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，设，则函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．0 5．已知则满足不等式的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列说法中，正确的是（ ） A．若对任意，，，则在上单调递增 B．函数的递减区间是 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 7．已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 三、填空题 8．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 . 9．已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 10．已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 11．已知函数是定义在上的函数且． (1)确定的解析式； (2)用定义证明：在区间上是减函数； (3)解不等式． 12．已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 13．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 14．已知函数． (1)若函数在上是减函数，求的取值范围； (2)当时，设函数的最小值为，求函数的表达式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年新高一数学暑假预习手册（人教A版2019） 预习11 单调性与最大(小)值 一、函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 二、最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 考点01 函数单调性的判断与证明 【方法点拨】证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 【例1】（多选）已知的定义域是区间， 则“是单调函数”的充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当，则是单调递增函数； 也即， 是单调递增函数； 当，则是单调递减函数； 也即，是单调递减函数；故AB正确； 对C，令，，但不是单调函数，故C错误， 对D,令,定义域为,满足， 但在不单调，故D错误. 故选：AB 【例2】已知函数，且. (1)求函数的解析式； (2)证明：在上单调递增. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）且，解得. 所以函数的解析式为. （2）证明：，且， 则 因为，所以， 又，所以， 则， 则，即，即 所以函数在上单调递增. 【变式1-1】（多选）下列关于单调性的表述中，错误的是（   ） A．，若，则函数在区间上单调递增 B．且，若，则函数在区间上单调递增 C．且，若，则函数在区间上单调递增 D．，若，则函数在区间上单调递增 【答案】AB 【详解】对于A：仅有两个特殊函数值的大小关系，不满足两个自变量的任意性，故错误； 对于：不满足两个自变量的任意性，故B错误； 对于C：与单调递增的定义吻合，故C正确； 对于：，得，或， 则函数在区间上单调递增，故D正确， 故选:. 【变式1-2】函数，判断函数在上的单调性，并加以证明. 【答案】函数在上单调递减，证明见解析 【详解】函数在上单调递减，证明如下： 函数， 任取，设， 则， 因为，， 所以， 故，即， 故函数在上单调递减. 【变式1-3】已知定义域为R，对任意都有，且当时，.试判断的单调性，并证明； 【答案】在上为减函数，证明见解析 【详解】任取，且， 因为，， 所以，故， 因为，所以，又因为当时，，所以， 所以，所以，即，所以在上为减函数. 考点02 求函数的单调区间 【方法点拨】（1）求函数单调区间的2种方法：①定义法：先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间． （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 【例3】函数y＝的单调递减区间为（　　） A．（－∞，＋∞） B．（0，＋∞） C．（－∞，0）∪（0，＋∞） D．（－∞，0），（0，＋∞） 【答案】D 【详解】由反比例函数的性质可得函数的单调递减区间为（－∞，0），（0，＋∞）. 故选：D. 【例4】已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【详解】由图象知：该函数的单调增区间为和. 故选：B 【变式2-1】函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. 【变式2-2】已知函数，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【详解】因为函数的对称轴为直线， 由可得或，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的单调递增区间为和. 故选：C. 【变式2-3】已知函数．      (1)的值； (2)记，画出函数的图象，写出其单调递减区间（无需证明）； 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递减区间， 【详解】（1）因为，则，所以. （2）因为，当时，，所以的单调递减区间为， 当时，，所以的单调递减区间为，因此函数的单调递减区间为，. 函数的图象如图所示      考点03 复合函数的单调性 【方法点拨】利用复合函数的单调性性质——“同增异减” 【例5】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得， 解得或， 由图象的对称轴为， 则在上单调递增， 故的单调递减区间为， 故选：C 【例6】已知函数在定义域上单调递减，则的定义域是 ，单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】∵的定义域为，∴，即，解得． 故函数的定义域为． 令，则． 当时，单调递减，则单调递增； 当时，单调递增，则单调递减． 故的单调递减区间为． 故答案为：；. 【变式3-1】（多选）已知是上的增函数，是上的偶函数，且在上单调递减，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AD 【详解】因为函数是上的偶函数，且在上单调递减， 所以在区间上单调递增， 根据复合函数单调性“同增异减”的判断方法， 可知，在上单调递增，故A正确，B错误； 在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：AD 【变式3-2】函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上为减函数，在上为增函数，且， 外层函数在上为减函数， 所以，函数的单调递减区间为. 故答案为：. 【变式3-3】函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】要使函数有意义，须使，解得， 即函数的定义域为. 令，， 则. 因为函数在上单调递增，在上单调递减；为上的增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，. 又因为，， 所以函数的值域为. 故选：D 考点04 已知函数单调性求参数 【方法点拨】已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 【例7】“”是“函数在上单调递减”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为函数的图象开口向上，对称轴为， 若函数在上单调递减，等价于， 显然是的真子集， 所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 【例8】已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 【变式4-1】已知函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 由函数在区间上具有单调性， 可得或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-2】已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，在上单调递增， 当时，由于和均在单调递增函数， 故在上单调递增， 所以，解得， 当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增， 则，解得， 当时，，此时，显然满足在上单调递增， 综上，． 故选：B 【变式4-3】若函数在上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】的对称轴为， 由题意得，解得， 故实数的取值范围为 故答案为： 考点05 利用单调性求解不等式 【方法点拨】利用单调性脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 【例9】已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，故在上单调递增， 由，有，即. 故选：A. 【例10】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用函数单调性的定义判断得在上单调递减，从而分类讨论即可得解. 【变式5-1】已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在定义域上是增函数，且， 则有，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【变式5-2】已知函数，若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，作图如下：    显然函数在上单调递增，由，则， 整理可得，解得. 故选：A. 【变式5-3】已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减， 所以，可得，解得， 故实数m的取值范围是． 考点06 根据单调性（图象）求最值或值域 【方法点拨】利用所学函数或型画出图象，从图象中看出最值或值域 【例11】如图是函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．在和上单调递减 B．在区间上的最大值为3，最小值为-2 C．在上有最大值2，有最小值-1 D．当直线与函数图象有交点时 【答案】A 【详解】A选项，由函数图象可得，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，故A正确； B选项，由图象可得，函数在区间上的最大值为，无最小值，故B错； C选项，由图象可得，函数在上有最大值，有最小值，故C错； D选项，由图象可得，为使直线与函数的图象有交点，只需，故D错. 故选：A. 【例12】已知函数. (1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析； (2) 【详解】（1）在上单调递增. 证明：任取，且， ， ，且， ，即， 在上单调递增. （2）由（1）可知在上单调递增， ， 所以在上的值域为. 【变式6-1】函数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】由已知时是减函数，，此时， 时，是增函数，且， 所以， 故选：A． 【变式6-2】已知函数在区间上的最小值是1，则（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【详解】， 当，即时，，则； 当，即时，，则； 当，即时，，无解. 所以. 故ABC错误；故D正确. 故选：D. 【变式6-3】已知奇函数的图象过点. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)求在上的值域. 【答案】(1)在上单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意可得解得 当时，函数是奇函数，所以. 在上单调递减，证明如下： ，且. 因为，所以. 所以，即， 所以在上单调递减. （2）由（1）得在上单调递减. 因为为奇函数，所以在上单调递减， 所以在上单调递减. ， 故在上的值域为. 考点07 二次函数（含参）的最值 【方法点拨】求解二次函数最值问题的顺序：①确定对称轴与抛物线的开口方向、作图； ②在图象上标出定义域的位置；③观察单调性写出最值． 【例13】已知是二次函数，满足，且最小值为. (1)求的解析式； (2)，的最大值为，求的表达式. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，， ∵，∴① 又， ∴对称轴为， ② 由①②，，， ∴； （2）由题知，最大值在或取得， ，， 当，即，解得； 当，即； 综上，. 【例14】已知二次函数． (1)记的最小值为，求的解析式； (2)记的最大值为，求的解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线， （）当，即时，此时在区间上单调递增，所以的最小值； （）当，即时，此时在区间上单调递减，所以的最小值； （）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时的最小值； 综上所述，. （2）二次函数的图像抛物线开口向上，对称轴为直线， （）当，即时，右端点距离对称性较远，此时的最大值； （）当，即时，左端点距离对称轴较远，此时的最大值； 综上所述，. 【变式7-1】已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)设函数，当时，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设， 因为，且， 即， 所以，解得，所以. （2）解：由题意知， 可得二次函数的对称轴为直线， ①当时，即时，函数在上单调递增， 可得； ②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 综上可得，. 【变式7-2】已知为实数，设的二次函数的最小值为，求在上的最大值与最小值. 【答案】最大值；最小值 【详解】， 所以. 因为的对称轴， 所以当时，有最大值；当时有最小值. 【变式7-3】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12． (1)求的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【详解】（1）设， 因为不等式的解集是， 所以且方程的根为， 则，所以， 所以，其对称轴为， 故在区间上的最大值为， 所以，解得， 所以； （2）由（1）得，其对称轴为， 当时，， 当，即时，， 当，即时，， 综上所述，， 当时，，当时取等号， 当时，，当时取等号， 当时，， 综上所述，当时，取最小值． 考点08 实际应用中的最值 【方法点拨】（1）解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围． （2）实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决． 【例15】某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价为元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（    ） A．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 B．当生产万件时，当月能获得最大总利润万元 C．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 D．当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元 【答案】D 【详解】由题意可得， 故当时，取得最大值， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，当生产万件时，当月能获得最大总利润万元， 当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元. 故选：D. 【例16】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2． (1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式； (2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？ 【答案】(1)， (2)当投资稳健型产品的资金为6万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元 【详解】（1）由题意可设，， 由图知，函数和的图象分别过点和， 代入解析式可得，， 所以， . （2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元， 年收益为万元， 则，， 有， 则当，即万元时，的最大值为， 所以当投资稳健型产品的资金为6万元， 风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元． 【变式8-1】在早高峰，某路口通过的车辆与时间的关系近似地符合，在早高峰这段时间内．给出下列四个结论： ①通过该路口的车辆数随着时间逐渐增多； ②早上6时和早上7时通过该路口的车辆数相等； ③在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆； ④在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆． 依据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】对于①，因为， 令； 则在内单调递减，在内单调递增， 所以先增后减，命题①错误； 对于②，因为是二次函数，函数图象的对称轴是，所以， 所以，命题②正确； 对于③，因为的最小值是， 所以的最大值是， 即在任意时刻，通过路口的车辆不会超过35辆，命题③正确； 对于④，因为， ，且，所以的最小值为， 即在任意时刻，通过路口的车辆不会低于14辆，命题④正确. 综上，所有正确结论的序号是②③④. 故答案为：②③④. 【点睛】结论点睛： （1）函数在区间上单调，函数在区间上单调，并且在上函数值集合包含于区间，则函数在区间上单调； （2）如果与单调性相同，那么是增函数，如果与单调性相反，那么是减函数. 【变式8-2】湖北省孝感市第六届运动会于2023年10月18日在孝感市体育馆开幕，市六运会有两个吉祥物孝孝、感感．它们是以少年董永、七仙女的故事为蓝本，融合了运动、微笑、奔跑等创意元素而创造出的可爱运动卡通形象，寓意运动员敢于拼搏，微笑面对胜负，体现了深厚的孝感文化底蕴和地域文化特点．由市场调研分析可知，当前该吉祥物的产量供不应求，某企业每售出x千件该吉祥物的销售额为千元．，且生产的成本包括固定成本4千元，材料等成本2千元/千件．记该企业每生产销售x千件该吉祥物的利润为千元． (1)求函数的解析式； (2)该企业要使利润最大，应生产多少千件该吉祥物？最大利润为多少？ 【答案】(1)； (2)该企业应该生产11千件，最大利润为154千元 【详解】（1）依题意可知总成本为，即， 又， 则， 即； （2）当时，， 其图象为开口向上的抛物线的一部分，该抛物线对称轴为， 则函数在为增函数， 所以当时，函数取最大值136， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为154＞136，所以当时，取得最大值154． 所以该企业应该生产11千件，最大利润为154千元 【变式8-3】某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产件该工艺品，需另投入成本万元，且假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完. (1)求出每天的利润（元）关于日产量（件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； (2)当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 当时，， 若时，则， 当且仅当，即时，等号成立，此时. 因为，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元. 考点09 不等式恒成立问题 【方法点拨】转化为函数值域问题,即已知函数的值域为, 则恒成立,即;恒成立,即. 【例17】若不等式对一切成立，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】若不等式对一切成立，则， 当时，取最大值，故，故的最小值是. 故选：D． 【例18】已知二次函数的最小值为，且． (1)求的解析式； (2)当时，恒成立，试确定实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数的对称轴为， 又由最小值为，可设， 又，即，解得， 所以函数的解析式为. （2）因为当时，恒成立， 即当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设函数，， 则在区间上单调递减， ∴在区间上的最小值为， ∴， 故实数的取值范围为：. 【变式9-1】对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意对任意恒成立， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式9-2】已知函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由于函数图象的对称轴为直线， 函数在上单调递减，所以. 在区间上，0距对称轴最远，故要使对任意的，都有， 只要即可，即， 解得. 又，所以. 故答案为： 【变式9-3】设函数，其中. (1)若，求函数在区间上的值域； (2)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则，， 由二次函数的对称性知：当时，的最小值为1； 当时，的最大值为10； 所以在区间值域的为. （2）“对任意的，都有”等价于“在区间上”. 由（1）知时，， 由二次函数的性质知函数的图象开口向上， 所以在上的最大值为或， 则，即，解得， 故实数的取值范围为区间. 一、单选题 1．函数的单调增区间为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞） 【答案】D 【详解】解：∵函数1，定义域为{x|x≠0}， 且y的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）， 故函数的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）， 故选：D． 2．已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 3．已知函数在区间上单调递减，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 因为在区间上单调递减，所以，即. 故选：A 4．已知，设，则函数的最大值是（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【详解】当即时，； 当即或时，； 所以， 当时，单调递增，所以； 当时，单调递增，所以； 当时，单调递减，所以； 综上，当时，函数有最大值是0. 故选：D 5．已知则满足不等式的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解析式可知， 在为常函数，在上单调递增， 且，故在R上连续， 若， 则，得； 或，得； 综上，， 故选：C. 二、多选题 6．下列说法中，正确的是（ ） A．若对任意，，，则在上单调递增 B．函数的递减区间是 C．函数在定义域上是增函数 D．函数的单调减区间是和 【答案】ABD 【详解】对于A：若对任意，，，显然， 当时，则有；当时，则有； 由函数单调性的定义可知在上是增函数，故A正确． 对于B：作出函数的图象，如图所示， 由图象可知：函数的递减区间是，故B正确； 对于C：由反比例函数单调性可知，在和上单调递增，故C错误； 对于D：由反比例函数单调性可知，单调减区间是和，故D正确． 故选：ABD． 7．已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（    ） A． B．任意给定， C． D．若，则 【答案】ABD 【详解】任意给定，都有，则函数关于对称， 又任意，，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取最大值，B正确； ，C错误； ，所以，A正确； 若，则，解得，D正确， 故选：ABD. 三、填空题 8．已知函数是定义在上的增函数，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 且函数在上单调递增； 又函数在上是增函数， 需满足，解得； 所以的取值范围是. 故答案为：. 9．已知函数，函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，则函数在上为增函数，则，即，所以函数的值域是．又在上的值域是，若存在，使得成立，则．若，则或，即或，所以实数的取值范围是． 答案： 四、解答题 10．已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值是1，最大值是 【详解】（1）证明：，且，则 由，得，， 所以，即. 所以函数在区间上单调递增. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间的两个端点上分别取得最小值和最大值， 即时取得最小值，最小值为， 时取得最大值，最大值为. 故的最小值是1，最大值是 11．已知函数是定义在上的函数且． (1)确定的解析式； (2)用定义证明：在区间上是减函数； (3)解不等式． 【答案】(1)且； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由题设，则且； （2）令，则 ， 由，则， 所以，即在区间上是减函数，得证. （3）由，结合题设及函数单调性知： ，原不等式解集为. 12．已知函数 (1)求的值； (2)在坐标系中画出的草图； (3)写出函数的单调区间和值域． 【答案】(1)5 (2)作图见解析 (3)减区间为，增区间为；值域为 【详解】（1）因为，所以， 所以． （2）草图如下： （3）由图可知，减区间为，增区间为； 当时，； 当时，为减函数，所以； 当时，为增函数，所以； 所以的值域为． 13．已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 因为不等式的解集为， 所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上， 则可设，， 即， 由的图象过点，可得，解得， 所以，即. （2） 因为，对称轴， 因为在上是单调函数，所以或，解得或， 即实数的取值范围. 14．已知函数． (1)若函数在上是减函数，求的取值范围； (2)当时，设函数的最小值为，求函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数对称轴为，开口向上， 又函数在上是减函数，所以. （2）函数对称轴为，开口向上， ①当时，函数在上单调递增，所以； ②当时，函数在上先单调递减后单调递增， 所以； ③当时，函数在上单调递减，所以． 故； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$