1.1 空间向量及其运算（九大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019）

1.1空间向量及其运算 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 3 【典型例题】 7 题型一：空间向量的有关概念 7 题型二：空间向量的加减运算 7 题型三：空间向量的数乘运算 9 题型四：共线向量定理的应用 10 题型五：共面向量及应用 11 题型六：空间向量的数量积 13 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 14 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 17 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 19 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【典型例题】 题型一：空间向量的有关概念 【典例1-1】（2024·高二·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【典例1-2】（2024·高二·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【方法技巧与总结】 空间向量的概念与平面向量的概念类似，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的概念． 【变式1-1】（2024·高二·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 题型二：空间向量的加减运算 【典例2-1】（2024·高二·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【典例2-2】（2024·高二·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【方法技巧与总结】 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式． 【变式2-1】（2024·高二·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：.    题型三：空间向量的数乘运算 【典例3-1】（2024·高二·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）在空间四边形中，为△的重心，分别为和的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量． 【方法技巧与总结】 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 【变式3-1】（2024·高二·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若，其中，，为已知向量，则未知向量 . 题型四：共线向量定理的应用 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【典例4-2】（2024·高二·陕西·阶段练习）在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    【方法技巧与总结】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式4-1】（2024·高二·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 题型五：共面向量及应用 【典例5-1】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【方法技巧与总结】 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【变式5-1】（2024·高二·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-2】（2024·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高二·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【变式5-4】（2024·高二·河北沧州·阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 题型六：空间向量的数量积 【典例6-1】（2024·高二·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【典例6-2】（2024·高二·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【方法技巧与总结】 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【变式6-1】（2024·高二·上海·课后作业）如图，棱长为的正四面体中，点为棱的中点，求与．    【变式6-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 . 【变式6-3】（2024·高二·贵州遵义·阶段练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．    (1)设，，，用表示； (2)若，求． 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【典例7-1】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.    (1)用，，表示，； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 【典例7-2】（2024·高二·四川遂宁·期中）如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 (1)求证：，，为共面向量； (2)求与平面所成角的正弦值. 【方法技巧与总结】 本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【变式7-1】（2024·高二·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【变式7-2】（2024·高二·四川成都·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)用空间的一个基底表示，并求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式7-3】（2024·高二·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 【典例8-1】（2024·高二·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【典例8-2】（2024·高二·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【方法技巧与总结】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零. 【变式8-1】（2024·高二·河南周口·阶段练习）如图，正方体的棱长为a． (1)求和的夹角； (2)求证：． 【变式8-2】（宁夏育才中学2023-2024学年高二期末考试数学试题）如图，空间四边形中，.求证：. 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 【典例9-1】（2024·高二·浙江·期中）平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.    (1)用向量，，表示向量； (2)求线段的长度． 【典例9-2】（2024·高二·宁夏·阶段练习）如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【方法技巧与总结】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【变式9-1】（2024·高二·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【变式9-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）在如图所示的斜三棱柱中，.    (1)设，，，用，，表示，； (2)若，，求的长. 【变式9-3】（2024·高二·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【变式9-4】（2024·高二·浙江宁波·期末）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1空间向量及其运算 目录 【题型归纳目录】 3 【思维导图】 3 【知识点梳理】 4 【典型例题】 8 题型一：空间向量的有关概念 8 题型二：空间向量的加减运算 9 题型三：空间向量的数乘运算 12 题型四：共线向量定理的应用 14 题型五：共面向量及应用 17 题型六：空间向量的数量积 20 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 24 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 29 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 32 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识点诠释： （1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 2、几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b 知识点二：空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同； 当λ<0时，λa与向量a方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a. 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 知识点诠释： （1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： 因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 知识点三：共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题： （1）存在唯一实数，使得； （2）存在唯一实数，使得，则． 注意：不可丢掉，否则实数就不唯一． （3）共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ②证明三点共线。 注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点四：向量共面问题 共面向量 (1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. （4）共面向量定理的用途： ①证明四点共面 ②线面平行（进而证面面平行）。 知识点五：空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0. ②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2. ③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 知识点诠释： （1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同． （2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点六：利用数量积证明空间垂直关系 当a⊥b时，a·b＝0. 知识点七：夹角问题 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：， 那么空间两个向量、的夹角的余弦。 知识点诠释： （1）规定: （2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 2、利用空间向量求异面直线所成的角 异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到。 在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角。 知识点八：空间向量的长度 1、定义： 在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 2、利用向量求线段的长度。 将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 【典型例题】 题型一：空间向量的有关概念 【典例1-1】（2024·高二·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 【典例1-2】（2024·高二·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 【方法技巧与总结】 空间向量的概念与平面向量的概念类似，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的概念． 【变式1-1】（2024·高二·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误. 综上所述，②③正确. 故选：B． 题型二：空间向量的加减运算 【典例2-1】（2024·高二·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【解析】（1）； （2）； （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示， 【典例2-2】（2024·高二·新疆·阶段练习）如图E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，化简下列表达式： (1)； (2)； (3)； (4). 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）因为E，F分别是棱AB，CD的中点， 所以. 【方法技巧与总结】 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式． 【变式2-1】（2024·高二·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 【变式2-2】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在长方体ABCD一A1B1C1D1中，，E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CC1，C1D1，D1A1，A1A的中点，求证：.    【解析】， 则， 则. 题型三：空间向量的数乘运算 【典例3-1】（2024·高二·河南开封·期末）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 【典例3-2】（2024·高二·全国·课后作业）在空间四边形中，为△的重心，分别为和的中点，试化简，并在图中标出化简结果的向量． 【解析】∵为△的重心，是边上的中线， ∴，又， ∴. 标注的向量如图所示. 【方法技巧与总结】 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 【变式3-1】（2024·高二·河南·阶段练习）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】, 故选:A 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）若，其中，，为已知向量，则未知向量 . 【答案】 【解析】由题设，则，故. 故答案为： 题型四：共线向量定理的应用 【典例4-1】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【解析】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线． 【典例4-2】（2024·高二·陕西·阶段练习）在正四棱台中，，，，，，若平面，则 ．    【答案】/0.75 【解析】如图所示： 连接，设，平面平面， 因为平面，且平面， 所以； 因为四棱台底面为正方形，且，， 所以，， 从而， 又因为，， 所以， ， 因为， 所以. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【变式4-1】（2024·高二·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【解析】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 【变式4-2】（2024·高二·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【解析】设的中点为，连接GB，GD，，， ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 题型五：共面向量及应用 【典例5-1】（2024·高二·河南洛阳·阶段练习）在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由F为BE 的中点，得 又 所以，由 得 即所以 故选：D 【典例5-2】（2024·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 【方法技巧与总结】 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【变式5-1】（2024·高二·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误， 故选：C 【变式5-2】（2024·高二·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 【变式5-3】（2024·高二·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【解析】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. 【变式5-4】（2024·高二·河北沧州·阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【解析】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 题型六：空间向量的数量积 【典例6-1】（2024·高二·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【解析】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 【典例6-2】（2024·高二·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； (2)求. 【解析】（1）根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 . 【方法技巧与总结】 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【变式6-1】（2024·高二·上海·课后作业）如图，棱长为的正四面体中，点为棱的中点，求与．    【解析】因为， 所以 ； 因为， 所以 . 【变式6-2】（2024·高二·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意可得点在以为球心，为半径的球上， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以的最小值为， 故答案为： 【变式6-3】（2024·高二·贵州遵义·阶段练习）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．    (1)设，，，用表示； (2)若，求． 【解析】（1）如图所示，连接，可得， 因为为的中点，则， 所以， 所以 . （2）因为， 所以 ， 因为平面，平面，且平面,平面， 所以， 又因为， 所以， 所以. 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 【典例7-1】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.    (1)用，，表示，； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 【解析】（1）因为点，分别在棱，上，且，， 所以，， 所以， ； （2）因为，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以， 即异面直线，所成角的余弦值为. 【典例7-2】（2024·高二·四川遂宁·期中）如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 (1)求证：，，为共面向量； (2)求与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为M，N，P分别是，，的中点， 故， 所以，，为共面向量； （2）四面体的每条棱长都相等，设为2， 连接，因为均为等边三角形， 又N是的中点，所以⊥，⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 所以平面的法向量为， 其中，， 故 ， 又 ， 故， ， 故， 设与平面所成角的大小为， 则. 【方法技巧与总结】 本题用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【变式7-1】（2024·高二·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求： (1)的长； (2)与夹角的余弦值． 【解析】（1）设，，，由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 【变式7-2】（2024·高二·四川成都·期中）如图，平行六面体的底面是菱形，且 (1)用空间的一个基底表示，并求的长； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由题，，，构成空间的一个基底． 因为， 所以 ， 所以． （2）又，， 所以 ∴ ∴异面直线与所成的角为，余弦值为0． 【变式7-3】（2024·高二·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，． (1)求的长． (2)求异面直线与所成的角的余弦值． 【解析】（1） ， 所以， 即的长为. （2） ， 又由余弦定理得， 所以设所求异面直线所成角为，. 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 【典例8-1】（2024·高二·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【解析】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 【典例8-2】（2024·高二·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【解析】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 【方法技巧与总结】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零. 【变式8-1】（2024·高二·河南周口·阶段练习）如图，正方体的棱长为a． (1)求和的夹角； (2)求证：． 【解析】（1），，． 由于正方体的棱长为a， ，且，，． ，， ． 又，， ． 又， ， 与的夹角为60°． （2）证明：由（1）知，， ， ， ． 【变式8-2】（宁夏育才中学2023-2024学年高二期末考试数学试题）如图，空间四边形中，.求证：. 【解析】∵，∴. ∵，∴. ∴（1） 同理:由得（2） 由（1）－（2）得 ∴， ∴， ∴， ∴. 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 【典例9-1】（2024·高二·浙江·期中）平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.    (1)用向量，，表示向量； (2)求线段的长度． 【解析】（1）因为为中点，为中点， ，，， 所以 （2）因为平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且， 所以，，， 所以 所以，即线段PM长为 【典例9-2】（2024·高二·宁夏·阶段练习）如图，在四面体中，，，，设.    (1)求的值； (2)已知是线段中点，点满足，求线段的长. 【解析】（1）由，，可得 , 所以 （2）由于是线段中点，点满足， 所以, 故, 所以, 所以 【方法技巧与总结】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【变式9-1】（2024·高二·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【解析】（1）因为， 根据空间向量的运算法则，可得. （2）因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 【变式9-2】（2024·高二·安徽·阶段练习）在如图所示的斜三棱柱中，.    (1)设，，，用，，表示，； (2)若，，求的长. 【解析】（1）在三棱柱中，侧面为平行四边形， 则， 所以. （2）由，，， 所以，， 所以 ， 即， 所以的长为. 【变式9-3】（2024·高二·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【解析】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 【变式9-4】（2024·高二·浙江宁波·期末）如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，BD=7，则的长为 . 【答案】 【解析】由已知，，,， 所以 ， 所以, 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1.1空间向量及其运算 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 知识点一：空间向量的有关概念 1、空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母，，，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 知识梳理 知识点一：空间向量的有关概念 2.空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有 和 的量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 长度 而方向 的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 或 的向量 共面向量 平行于 的向量 大小 方向 相同 相等 相等 相反 平行 重合 同一个平面 知识梳理 知识点一：空间向量的有关概念 3.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x，y)，使p＝ . (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ .{a，b，c}叫做空间的一个基底. a＝λb 唯一 xa＋yb xa＋yb＋zc 知识梳理 知识点一：空间向量的有关概念 4.空间向量的数量积 (1)向量的夹角 ∠AOB (2)平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 . |a||b|cos θ a·b 03 典型例题 【例1】（2024·高二·全国·单元测试）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】空间任意两个非零向量，， ，包括向量和同向共线和反向共线两种情况， 即当时，有或，不能得到，充分性不成立． ，则和方向相同，有，必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件．故选：B 题型一：空间向量的有关概念 【方法技巧与总结】 空间向量的概念与平面向量的概念类似，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的概念． 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·陕西咸阳·阶段练习）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示的长方体中， A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确； C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确， 故选：B 题型一：空间向量的有关概念 典型例题 【变式1-2】（2024·高二·全国·课后作业）给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】对于①，，故①为真命题； 对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题； 对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题； 对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题； 对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题． 故假命题的个数为4．故选：C 题型一：空间向量的有关概念 典型例题 【例2】（2024·高二·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以， 故D错误．故选：D 【方法技巧与总结】 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式． 题型二：空间向量的加减运算 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则， 所以. 故选：C 题型二：空间向量的加减运算 典型例题 【变式2-2】（2024·高二·全国·课堂例题）如图，已知平行六面体，化简下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1）因为，， 所以． （2）因为，所以 ． 题型二：空间向量的加减运算 典型例题 【例3】（2024·高二·全国·课后作业）化简 ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 【方法技巧与总结】 利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． 题型三：空间向量的数乘运算 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）若，其中，，为已知向量，则未知向量 ． 【答案】 【解析】由题设，则， 故． 故答案为： 题型三：空间向量的数乘运算 典型例题 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知是三个不共面向量，已知向量则 ． 【答案】 【解析】， ， 故答案为： 题型三：空间向量的数乘运算 典型例题 【例4】（2024·高二·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【解析】由于，所以四点共面， 由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）． 所以A选项正确，BCD选项错误．故选：A 【方法技巧与总结】 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 题型四：共线向量定理的应用 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【解析】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以． 故选：C． 题型四：共线向量定理的应用 典型例题 【变式4-2】（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以． 故选：C 题型四：共线向量定理的应用 典型例题 【例5】（2024·高二·河北石家庄·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，因为，故不共面，A错误； B选项，设，故，无解，故不共面，B正确； C选项，设，则，解得，故共面，C错误； D选项，，则，解得，故共面，D错误．故选：B 【方法技巧与总结】 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 题型五：共面向量及应用 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，可化简为：，即， 由于，，，四点共面，则，解得：； 故选：C 题型五：共面向量及应用 典型例题 【变式5-2】（2024·高二·福建厦门·阶段练习）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，，与平面交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设， 因为， 所以， 又因为四点共面，所以， 解得，即． 故选：A． 题型五：共面向量及应用 典型例题 【例6】（2024·高二·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ． 【答案】 【解析】 正四面体的棱长为1， ， 又点是的中点，， 又， ． 故答案为：． 题型六：空间向量的数量积 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·江苏连云港·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 【答案】 【解析】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， ． 故答案为：． 题型六：空间向量的数量积 典型例题 【变式6-2】（2024·高二·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 【解析】（1），， 故 ∵点E为AD的中点，故． （2）由题意得，故， 故 ． 题型六：空间向量的数量积 典型例题 【例7】（2024·高二·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．侧棱的长为4，且． （1）求的长； （2）求直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）由图，可得． 则 （2）注意到， 则 ，，． ． 则与所成角的余弦值为． 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·广东广州·阶段练习）如图，在空间四边形OABC中，E是线段BC的中点． （1）设，，，试用，，表示向量； （2）若，，，，，求OE和AB所成角的余弦值． 【解析】（1）， （2）由（1）知，，，， ，， ， ， ， ，所以， 所以，故和所成角的余弦值为． 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 典型例题 【变式7-2】（2024·高二·全国·课堂例题）如图，长方体的棱长， ，． （1）求； （2）求与所夹角的余弦值． 【解析】（1）设，，，则，，， ，． 因为 ，所以． （2）因为， 所以．因为， 所以与所夹角的余弦值为． 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 典型例题 【例8】（2024·高二·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【解析】因为，，所以，； 因为，， 所以 ． ． 所以． 【方法技巧与总结】 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零. 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 典型例题 【变式8-1】已知空间有A，B，C，D四个点，满足，空间中还有四点，满足，求证：． 【解析】根据题意，有， 根据余弦定理，有， 从而， 故即， ， ． 命题得证． 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 典型例题 【变式8-2】（2024·高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． （1）求； （2）判断与是否垂直． 【解析】（1）正方体中，， 故． （2）由题意， ， ， 故与垂直． 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 典型例题 【例9】（2024·高二·甘肃酒泉·期中）如图所示，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为 ．    【答案】 【解析】记，则， 所以， 由于，故 ， 故，即的长为． 【方法技巧与总结】 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 ． 【答案】或 【解析】如图所示，在矩形中，，可得， 则， 在四面体中，设与的夹角为， 因为异面直线与所成角为，则或， 由 ，所以或． 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 典型例题 【变式9-2】（2024·高二·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【解析】依题意，， 则 ， ． 故答案为：． 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 典型例题 【变式9-3】（2024·高二·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则 【答案】 【解析】因为， 所以 ， 故． 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（山东省日照市2024届高三校际联考（二模）数学试题）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学押题卷（五））已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（江苏省南通市2023-2024学年高二期末数学考试）已知平行六面体中， ，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024南通名师高考原创卷（六））在棱长为2的正方体中，已知，截面与正方体侧面交于线段，则线段的长为（    ） A．1 B． C． D．   B A B C 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. $$