1.3 空间向量及其运算的坐标表示 （7大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 （7大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：空间向量的坐标表示 2 题型二：空间向量的直角坐标运算 2 题型三：空间向量的共线与共面 3 题型四：空间向量模长坐标表示 4 题型五：空间向量平行坐标表示 5 题型六：空间向量垂直坐标表示 6 题型七：空间向量夹角坐标表示 6 拓展培优练 7 题型一：空间向量的坐标表示 1．（2024·高二·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 2．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 3．（2024·高二·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 4．（2024·高三·全国·课后作业）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为 ． 5．（2024·高二·全国·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则 ． 题型二：空间向量的直角坐标运算 6．（2024·高二·青海海东·阶段测试）已知空间向量，则 . 7．（2024·高二·江西景德镇·期末）已知，则 ． 8．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段测试）已知，则 ． 9．（2024·高二·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 10．（2024·高二·海南·期中）在空间直角坐标系中，，，则 ． 11．（2024·高二·广东茂名·期中）已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 题型三：空间向量的共线与共面 12．（2024·高二·青海西宁·阶段测试）已知，，若与共线，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 13．（多选题）（2024·高二·河南郑州·阶段测试）已知向量，则与共线的单位向量（    ） A． B． C． D． 14．（2024·高二·山东威海·期末）已知向量，，，若共面，则 . 15．（2024·高二·河南·阶段测试）若空间向量 共面， 则实数 16．（2024·高二·辽宁沈阳·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为 ． 17．（2024·高二·江苏扬州·阶段测试）已知空间三点，，． (1)求以和为邻边的平行四边形的面积； (2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 18．（2024·高二·湖南常德·开学考试）已知空间向量，，． (1)若向量与向量垂直，求x的值； (2)在（1）的条件下判断向量，，是否共面? 题型四：空间向量模长坐标表示 19．（2024·高二·贵州六盘水·期中）已知，.则 . 20．（2024·高二·河南·阶段测试）已知向量，，若，则 ． 21．（2024·高二·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 23．（2024·高二·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 24．（2024·高二·四川绵阳·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D． 题型五：空间向量平行坐标表示 25．（2024·高二·河南平顶山·阶段测试）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·高二·福建·期中）已知且，则（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 27．（2024·高二·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 28．（2024·高二·四川成都·阶段测试）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（2024·高一·北京顺义·阶段测试）与向量平行的一个向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 30．（2024·高二·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 31．（2024·高二·江苏扬州·阶段测试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（    ） A．0 B．7 C． D．3 题型六：空间向量垂直坐标表示 32．（2024·高二·江苏泰州·期末）已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 33．（2024·高二·江苏常州·期中）向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．0 34．（2024·高二·江西上饶·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 35．（2024·高一·重庆黔江·阶段测试）由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若， 则，等.非零向量，若.若，，则与、向量垂直的单位向量的坐标是（写出一个即可） 36．（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，已知，，，若对角线上存在一点，使得，则的最大值是 ．    37．（2024·高二·湖北·开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ． 题型七：空间向量夹角坐标表示 38．（2024·高二·辽宁大连·阶段测试）已知，，则最大值为 . 39．（2024·高二·江苏淮安·期中）已知向量，，则向量与的夹角为 40．（2024·高二·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 41．（2024·高二·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 42．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 43．（2024·高二·广东珠海·阶段测试）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 44．（2024·高二·吉林·阶段测试）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 45．（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知点，，，则向量与的夹角为 ． 1．（2024·高二·江苏徐州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，则四面体ABCD外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·山东烟台·阶段测试）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高二·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·福建·期中）在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 6．（2024·高二·江西吉安·期末）在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 8．（2024·高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高二·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 10．（多选题）（2024·高二·河北石家庄·期末）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2024·高二·陕西咸阳·阶段测试）如图，在直三棱柱中，，棱分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 12．（2024·北京东城·二模）如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则 .该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 . 13．（2024·高二·江苏扬州·阶段测试）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 14．（2024·高二·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 15．（2024·高二·江西九江·期末）如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .    16．（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 17．（2024·高二·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 18．（2024·高二·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 19．（2024·高二·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，． (1)求的余弦值； (2)求三角形的面积． 20．（2024·高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且． (1)用向量方法求的长； (2)对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 （7大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：空间向量的坐标表示 2 题型二：空间向量的直角坐标运算 3 题型三：空间向量的共线与共面 6 题型四：空间向量模长坐标表示 8 题型五：空间向量平行坐标表示 10 题型六：空间向量垂直坐标表示 13 题型七：空间向量夹角坐标表示 16 拓展培优练 19 题型一：空间向量的坐标表示 1．（2024·高二·上海·期中）如图所示，以长方体的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 ． 【答案】 【解析】在长方体中，，为坐标原点，则， 因此，所以. 故答案为： 2．（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，是的中点，，则向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因为在正方体中，是的中点，， 根据题中所建的空间直角坐标系，可得，，所以. 故答案为： 3．（2024·高二·江苏·课后作业）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为 ． 【答案】 【解析】因为是空间的一个单位正交基底，则有. 所以向量用坐标形式表示为. 故答案为： 4．（2024·高三·全国·课后作业）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，因为四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以，所以，即. 故答案为：. 5．（2024·高二·全国·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，则 ． 【答案】 【解析】 故答案为： 题型二：空间向量的直角坐标运算 6．（2024·高二·青海海东·阶段测试）已知空间向量，则 . 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为： 7．（2024·高二·江西景德镇·期末）已知，则 ． 【答案】 【解析】依题意，. 故答案为： 8．（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段测试）已知，则 ． 【答案】 【解析】因为， 所以. 故答案为：. 9．（2024·高二·海南·期中）如图，在长方体中，，分别为，的中点，是线段上一点，满足，若，则 ． 【答案】/. 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设， 因为，分别为，的中点，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，， 所以，所以，解得，所以， 故答案为： 10．（2024·高二·海南·期中）在空间直角坐标系中，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，则， 所以. 故答案为： 11．（2024·高二·广东茂名·期中）已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 【答案】 【解析】因为点P在线段AB上，且， 所以，所以， 得， 因为，， 所以， 所以， 故答案为： 题型三：空间向量的共线与共面 12．（2024·高二·青海西宁·阶段测试）已知，，若与共线，则实数（    ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【解析】∵，， ∴，. ∵与共线， ∴，即. 故选：B. 13．（多选题）（2024·高二·河南郑州·阶段测试）已知向量，则与共线的单位向量（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】依题意，， 即或. 故选：AC 14．（2024·高二·山东威海·期末）已知向量，，，若共面，则 . 【答案】2 【解析】由题意设，所以，解得. 故答案为：2. 15．（2024·高二·河南·阶段测试）若空间向量 共面， 则实数 【答案】1 【解析】由题可知 ， 即 ， 所以，故 ． 故答案为：1. 16．（2024·高二·辽宁沈阳·期中）在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为 ． 【答案】 【解析】，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以． 故答案为: . 17．（2024·高二·江苏扬州·阶段测试）已知空间三点，，． (1)求以和为邻边的平行四边形的面积； (2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 【解析】（1）由已知可得，，， ， 又，. 所以以为邻边的平行四边形的面积为. （2）由题，，，， 假设存在实数，使得， 则解得. ，即与是共面向量， 所以点与点共面. 18．（2024·高二·湖南常德·开学考试）已知空间向量，，． (1)若向量与向量垂直，求x的值； (2)在（1）的条件下判断向量，，是否共面? 【解析】（1）由题可得，若向量与垂直， 则，即，解得. （2）由（1）， 假设共面，则存在实数，使得， 即， ，，矛盾， 故不存在实数，即向量不共面. 题型四：空间向量模长坐标表示 19．（2024·高二·贵州六盘水·期中）已知，.则 . 【答案】 【解析】根据题意，， 所以. 故答案为： 20．（2024·高二·河南·阶段测试）已知向量，，若，则 ． 【答案】/ 【解析】，，，. 故答案为：. 21．（2024·高二·甘肃兰州·期中）若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得, 则 , , 所以， 所以. 故选:A. 22．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【解析】由， 由，. 所以. 故选：D 23．（2024·高二·北京·期中）已知点，为坐标原点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又，即， 所以， 所以， 故选：D. 24．（2024·高二·四川绵阳·期末）已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点是点在坐标平面内的射影，则，则， 因此，. 故选：B. 题型五：空间向量平行坐标表示 25．（2024·高二·河南平顶山·阶段测试）已知，则下列向量中与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D不正确． 故选：B． 26．（2024·高二·福建·期中）已知且，则（   ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】因为，所以存在实数，使得，又, 所以，所以，解得， 所以. 故选：C. 27．（2024·高二·甘肃兰州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】A 【解析】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 28．（2024·高二·四川成都·阶段测试）已知，若，则实数等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，得，又，且， 则，所以. 故选：B 29．（2024·高一·北京顺义·阶段测试）与向量平行的一个向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，若向量与向量共线， 则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以向量与向量共线，故A不符； 对于B，若向量与向量共线， 则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以向量与向量共线，故B不符； 对于C，因为， 所以向量与向量共线，故C符合； 对于D，若向量与向量共线， 则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以向量与向量共线，故D不符. 故选：C. 30．（2024·高二·广东中山·期中）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 因为，所以，解得. 故选：A. 31．（2024·高二·江苏扬州·阶段测试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（    ） A．0 B．7 C． D．3 【答案】B 【解析】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 则，解得， 所以. 故选：B. 题型六：空间向量垂直坐标表示 32．（2024·高二·江苏泰州·期末）已知，，且，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且，所以， 解得. 故选：D 33．（2024·高二·江苏常州·期中）向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】B 【解析】若，则，解得. 故选：B. 34．（2024·高二·江西上饶·期末）已知空间向量，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意可得， 因为，所以， 解得. 故选：D. 35．（2024·高一·重庆黔江·阶段测试）由二维平面向量可以类比得到三维空间向量一些公式，比如若， 则，等.非零向量，若.若，，则与、向量垂直的单位向量的坐标是（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】设向量与、垂直，则，取得， 所以，与共线的单位向量的坐标为或. 故答案为：（答案不唯一） 36．（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，已知，，，若对角线上存在一点，使得，则的最大值是 ．    【答案】 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，. 在上，所以设，， 所以，所以. 所以，. 因为，所以， 即，令，则 令，则，所以， 所以二次函数开口向下，对称轴为：， 所以在处取得最大值为：. 所以的最大值是. 故答案为： 37．（2024·高二·湖北·开学考试）已知，，其中，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，故即， 故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故答案为：. 题型七：空间向量夹角坐标表示 38．（2024·高二·辽宁大连·阶段测试）已知，，则最大值为 . 【答案】 【解析】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 39．（2024·高二·江苏淮安·期中）已知向量，，则向量与的夹角为 【答案】 【解析】设向量与的夹角为， 则， 故. 故答案为： 40．（2024·高二·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为空间向量与夹角为钝角， 所以，得到，即， 由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 41．（2024·高二·江西九江·期末）已知向量.若，则与的夹角为 . 【答案】 【解析】， 又，， 而，故与的夹角为， 故答案为： 42．（2024·高二·江苏盐城·期末）已知，，点在直线上运动，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设， 则， 所以， 既然求最大值，必有，令， 则 ， 当，即时取等号，所以的最大值为. 故答案为：. 43．（2024·高二·广东珠海·阶段测试）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【解析】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 44．（2024·高二·吉林·阶段测试）在空间直角坐标系中，向量满足，且与向量的夹角的余弦值为，请写出一个向量的坐标： . 【答案】（答案不唯一） 【解析】设，由，得 则向量的一个坐标为：.（答案不唯一，坐标满足即可） 故答案为：.（答案不唯一） 45．（2024·高二·浙江嘉兴·期中）已知点，，，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【解析】由，，， 则， 则， 所以向量与的夹角为. 故答案为：. 1．（2024·高二·江苏徐州·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 2．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）在空间直角坐标系中，已知，则四面体ABCD外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据已知4个点的空间直角坐标可得，平面，， 所以四面体ABCD可以补成长、宽、高分别为4，3，2的长方体， 所以四面体ABCD外接球的半径， 所以四面体ABCD外接球的表面积为． 故选：A 3．（2024·高二·山东烟台·阶段测试）在正方体中，点在线段上，且.当为锐角时，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则， 则，所以， 所以， ， 由图可知，， 所以为锐角等价于， 所以 又，解得. 故选：C. 4．（2024·高二·广东茂名·期末）如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 5．（2024·高二·福建·期中）在棱长为2的正方体中，若点P是棱上一点(含顶点)，则满足的点P的个数为（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【解析】如图所示：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴， 以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系. 则点，，考虑P在上底面的棱上，设点P的坐标为， 则由题意可得，. 所以， 故，即， 因为点P是棱上一点（含顶点），所以与正方形切于4个点， 即上底面每条棱的中点即为所求点； 同理P在右侧面的棱上，也有4个点，设点， ， 即与正方形切于个点， 即右侧面每条棱的中点即为所求点； 同理可得：正方体每条棱的中点都满足题意，故点的个数有个. 故选：C 6．（2024·高二·江西吉安·期末）在三棱锥中，平面，为正三角形，，，点在线段上，且，当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图所示， ∵，， ∴，，，， ∴，， 已知是棱上一点，（）， 则， ∵，∴，解得． 故选：C 7．（2024·高二·重庆长寿·期末）已知空间四点，，，，且，则满足条件点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，，且设， 所以得，故，逐项检验后A正确. 故选：A. 8．（2024·高三·全国·专题练习）在空间直角坐标系中，已知点，，点C，D分别在x轴，y轴上，且，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，，且，， ∴，，又， ∴，即． ∵， ∴， 当且仅当时等号成立. 故选：B 9．（多选题）（2024·高二·甘肃兰州·期中）已知四边形是平行四边形，，，，则（    ） A．点的坐标是 B． C． D．四边形的面积是 【答案】ABD 【解析】设，则，由，且， 可得，所以点的坐标是，故A正确； 因为，则，故B正确； 因为，，所以， 且，， 则，故C错误； 由C可知， 则四边形的面积为，故D正确； 故选：ABD 10．（多选题）（2024·高二·河北石家庄·期末）如图，长方体中，，，点为线段上一点，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则， ， 所以，， 因为，则，所以，， 所以，， 故选：BD． 11．（多选题）（2024·高二·陕西咸阳·阶段测试）如图，在直三棱柱中，，棱分别是的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】以为坐标原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 由题意得,0,,,1,，．A正确 ,0,,,1,,,0,,,1,,,0,,． ,,,,1,，, 故，B正确， ．，，所以．D正确 ,故C错误， 故选：ABD 12．（2024·北京东城·二模）如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则 .该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 . 【答案】 6 【解析】因为平面，且平面，则， 且，即两两垂直， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则； 要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值，只需考虑各体对角线的距离， 则， 所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为. 故答案为：；6. 13．（2024·高二·江苏扬州·阶段测试）已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 【答案】/ 【解析】由题设，，则，， 令，则，所以，则， 故， 所以 ， 故当时，取得最小值，此时坐标为. 故答案为： 14．（2024·高二·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 15．（2024·高二·江西九江·期末）如图，正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且相等，为的中点，为平面内一动点，则的最小值为 .    【答案】/ 【解析】设的中心为，则底面，延长至， 使得，则， 由三条侧棱两两垂直且相等， 故可以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，则、，, 有， 由对称性可设，则有， 解得，故， ， 的最小值为. 故答案为：. 16．（2024·高二·江苏宿迁·期中）已知，向量，且满足 (1)求点的坐标； (2)若点在直线（为坐标原点）上运动，当取最小值时，求点的坐标． 【解析】（1）设，则， 因为． 所以，解得． 所以； （2）因为点在直线为坐标原点）上运动， 所以． 所以， ． 所以 ． 当时，取得最小值． ． 17．（2024·高二·甘肃·期中）设O为坐标原点，． (1)求； (2)若点P为直线OC上一动点，求的最小值． 【解析】（1）由题意可知， 所以， 则； （2）由题意可设，则， 易知， 所以 ， 当时，取得最小值. 18．（2024·高二·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 【解析】（1）因为为等腰直角三角形，，， 所以， 又，，所以， 而，，故， 因，平面，故平面， 又平面，所以； （2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 设，而，所以， 所以，所以，又， 因为，故， 所以，解得， 所以． 19．（2024·高二·广东梅州·期末）在空间直角坐标系中，． (1)求的余弦值； (2)求三角形的面积． 【解析】（1）因为， 所以，，， 由余弦定理得，. （2）由（1）知，， 所以. 20．（2024·高三·全国·专题练习）正四棱柱中，底面是边长为4的正方形，与交于点与交于点，且． (1)用向量方法求的长； (2)对于个向量，如果存在不全为零的个实数，，使得，则称个向量叫做线性相关，否则称为线性无关．试判断是否线性相关． 【解析】（1）设长为，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，， ， 由，故，即有， 解得(负值舍去)，即； （2）由，故， 设实数，使得成立． 则有，解得时，即当且仅当时 ∴线性无关． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$