1.1 空间向量及其运算（9大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算（9大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：空间向量的有关概念 2 题型二：空间向量的加减运算 2 题型三：空间向量的数乘运算 4 题型四：共线向量定理的应用 6 题型五：共面向量及应用 7 题型六：空间向量的数量积 8 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 10 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 12 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 13 拓展培优练 16 题型一：空间向量的有关概念 1．（2024·高二·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 2．在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 4．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：空间向量的加减运算 5．在长方体中，（    ） A． B． C． D． 6．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 7．（2024·高二·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 8．（2024·高二·全国·课后作业）在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．      题型三：空间向量的数乘运算 9．（2024·高二·全国·课堂例题）化简：． 10．化简：． 11．化简下列算式： (1)； (2). 12．（2024·高二·湖南·课后作业）如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 13．（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面外任意一点，且平面中的小方格均为单位正方形，在图中标出点P，Q，R，S，使得，. 题型四：共线向量定理的应用 14．（2024·高二·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 15．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 16．（2024·高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 17．（2024·高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 18．（2024·高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 题型五：共面向量及应用 19．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 20．（2024·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 21．（2024·高二·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 22．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 23．如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 题型六：空间向量的数量积 24．（2024·高二·贵州·期中）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 25．（2024·高二·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 26．（2024·高二·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 27．有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 28．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 30．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·高二·甘肃兰州·期末）如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 32．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求： (1)BD1的长； (2)直线BD1与AC所成角的余弦值. 33．（2024·高二·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 34．已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 35．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    36．（2024·高二·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 37．（2024·高二·江苏·课后作业）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 38．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 39．（2024·高二·江苏·课后作业）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为.求的长. 40．（2024·高二·湖南怀化·期中）如图，在平行六面体中，，且， (1)试用表示向量. (2)若，，，求的长. 41．如图，棱长为1的正四面体OABC中，，点M满足，点N为BC中点，    (1)用表示； (2)求. 42．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 43．如图所示，已知是平行六面体，，求的长． 1．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 2．（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8．（2024·高二·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 9．（多选题）（清华大学2024年强基计划数学试题）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 10．（多选题）（2024·辽宁丹东·二模）在正方体中，过对角线的平面与，分别交于，且，，则（    ） A．四边形一定是平行四边形 B．四边形可能是正方形 C． D．四边形在侧面内的投影一定是平行四边形 11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则（    ） A．直线与平面有一个交点 B． C． D．三棱锥的体积为 12．（2024·贵州·模拟预测）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 13．（2024·高二·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 14．（2024·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 15．（2024·高二·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 16．（2024·高二·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 17．已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 18．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，.    (1)用，，表示； (2)求，所成角的余弦值. 19．（2024·高二·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算（9大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：空间向量的有关概念 2 题型二：空间向量的加减运算 4 题型三：空间向量的数乘运算 8 题型四：共线向量定理的应用 10 题型五：共面向量及应用 12 题型六：空间向量的数量积 14 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 18 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 22 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 24 拓展培优练 28 题型一：空间向量的有关概念 1．（2024·高二·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，可知是的相反向量. 故选：A 2．在长方体中，下列向量与是相等向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示的长方体中， A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确； C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确； D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确， 故选：B 3．（2024·高二·全国·课后作业）已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（　　） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【解析】 对于①，，，， 与是一对相反向量，①正确； 对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， , 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 4．给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个球面，故①为假命题； 对于②，向量相等即模相等和方向相同，故②为假命题； 对于③，根据正方体的定义，上下底面的对角线必定相等，结合向量的方向，所以，，故③为真命题； 对于④，根据向量相等的定义，明显成立，故④为真命题. 对于⑤，向量相等即模相等和方向相同，故空间中任意两个单位向量必相等是假命题，故⑤为假命题 故选：C 题型二：空间向量的加减运算 5．在长方体中，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 6．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【解析】（1）， 向量如图所示， （2）； 向量如图所示， （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示， 7．（2024·高二·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【解析】（1）； （2）； （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示， 8．（2024·高二·全国·课后作业）在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．      【解析】在正六棱柱中，四边形是平行四边形，所以． 同理，，由正六棱柱性质可知， 所以， 所以化简结果如下图所示： 题型三：空间向量的数乘运算 9．（2024·高二·全国·课堂例题）化简：． 【解析】原式． 10．化简：． 【解析】 . 11．化简下列算式： (1)； (2). 【解析】（1）. （2）. 12．（2024·高二·湖南·课后作业）如图，在空间四边形中，，，分别是，，的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）因为是的中点，所以， 所以，； （2）因为是的中点,所以， 所以，； （3）因为，分别，的中点，所以， 又是的中点，， 所以， . 13．（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面外任意一点，且平面中的小方格均为单位正方形，在图中标出点P，Q，R，S，使得，. 【解析】如图，，则， 设，则，点即为 Q 点， 令，则点即为 R 点，， 令，则即为 S 点，. 题型四：共线向量定理的应用 14．（2024·高二·江苏·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【解析】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 15．已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【解析】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 16．（2024·高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【解析】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 17．（2024·高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【解析】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 18．（2024·高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则 ． 【答案】/ 【解析】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 题型五：共面向量及应用 19．已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【解析】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 20．（2024·高二·浙江杭州·期末）对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 【答案】B 【解析】由，可得， 即，根据平面向量的基本定理，可得共面， 又因为三个向量有公共点，所以四点共面. 故选：B. 21．（2024·高二·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误， 对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误， 对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使， 所以三个向量共面， 因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面， 所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确， 对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误， 故选：C 22．如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点． (1)试用向量表示向量； (2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面． 【解析】（1） 因为， 而， 又D为的中点，所以， 所以 ． （2）因为， ， 所以， ，所以． 所以四点共面． 23．如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面． 【解析】设，则， 为的中点，， 又，， ， 为共面向量， 又三向量有相同的起点，四点共面． 题型六：空间向量的数量积 24．（2024·高二·贵州·期中）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．    (1)用表示向量； (2)若，，，求． 【解析】（1）由向量的线性运算法则，可得： ． （2）由向量的数量积的运算法则，可得： ． 25．（2024·高二·福建龙岩·期中）如图，在斜三棱柱中，，，，则（    ） A．48 B．32 C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 26．（2024·高二·江苏常州·期中）如图，在正三棱柱中，，P为的中点，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由正三棱柱可得，， 而， 故 ， 故选：A. 27．有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，，， 所以， 所以， 故选：C． 28．（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：A 29．在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 题型七：利用空间向量的数量积求两向量的夹角 30．（2024·高二·安徽芜湖·期中）已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设与的夹角为， 由得，两边平方得 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 31．（2024·高二·甘肃兰州·期末）如图，正三棱柱中，底面边长为. (1)设侧棱长为，求证：； (2)设与的夹角为，求侧棱的长． 【解析】（1）由已知得，， 平面， ，， 又是正三角形， , ； ； （2）由（1）得， 又， ， ， 解得， 即侧棱长为. 32．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA1的长度为4，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°.用向量法求： (1)BD1的长； (2)直线BD1与AC所成角的余弦值. 【解析】（1）∵， ＝24， ∴的长为， （2）∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴＝， 所以直线BD1与AC所成角的余弦值为． 33．（2024·高二·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【解析】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 34．已知平行六面体，，. (1)求的长度； (2)求异面直线与BC所成角的余弦值. 【解析】（1）由题意易知， 所以， 因为，， 所以，， 所以， 即； （2）由（1）可知， 所以异面直线与BC所成角的余弦值为. 题型八：利用空间向量的数量积证垂直 35．（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．    【解析】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则， ∴ ， ∴，即． 36．（2024·高二·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【解析】因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 37．（2024·高二·江苏·课后作业）已知：如图，OB是平面α的斜线，O为斜足，，A为垂足，，且．求证：． 【解析】因为，所以， 因为，，所以，． 又，所以， 故． 38．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【解析】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 题型九：利用空间向量的数量积求线段的长度 39．（2024·高二·江苏·课后作业）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条边的长度都为1，且两两夹角为.求的长. 【解析】由已知可得，且， 由空间向量数量积的定义可得， 所以，， 因此，，即的长为. 40．（2024·高二·湖南怀化·期中）如图，在平行六面体中，，且， (1)试用表示向量. (2)若，，，求的长. 【解析】（1） （2） 即，∴. 41．如图，棱长为1的正四面体OABC中，，点M满足，点N为BC中点，    (1)用表示； (2)求. 【解析】（1）连接，如图所示： 因为，， 所以. （2）因为正四面体的棱长为1，所以， 所以 ， 所以. 42．如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．    (1)试用 表示向量； (2)若，，，求线段的长． 【解析】（1）因为， 根据空间向量的运算法则，可得. （2）因为，，， 可得且， 则 ，所以， 即线段的长． 43．如图所示，已知是平行六面体，，求的长． 【解析】由已知可得不共面，而且 ， 而且 ， ， ， 又因为 ， 所以 ， 因此，即所求长为． 1．（2024·高二·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【解析】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 2．（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令是正四棱锥底面正方形中心，则平面，而， 则，正四棱锥的体积， 正四棱锥的表面积， 显然球的球心在线段上，设球半径为，则，即， 在中，，于是，又EF是球O的一条直径， 因此， 显然，则，， 所以的取值范围为. 故选：A 3．（2024·高二·江苏连云港·期中）已知平行六面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 所以， . 故选：B. 4．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为四棱柱为直四棱柱，， 故平面平面，而平面平面， 平面平面，故， 又，则，故∽， 故，又，，则， 则，故，则， 故选：C 5．（2024·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径， 则有，， 点在圆锥的侧面上运动， 则， 最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离， 中，，，则，点到的距离， 则的最小值为，的最小值为. 故选：A 6．（2024·高二·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 7．（2024·高二·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 8．（2024·高二·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 9．（多选题）（清华大学2024年强基计划数学试题）正四面体中，棱长为．点满足，则的（    ） A．最小值为． B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【解析】设的中点，则，即， 又，所以， 即点落在以为球心，以1为半径的球上. 因为，所以. 由正四面体的棱长为，得， 所以， 设，则， 又，所以， 即的最大值为，最小值为. 故选：BC 10．（多选题）（2024·辽宁丹东·二模）在正方体中，过对角线的平面与，分别交于，且，，则（    ） A．四边形一定是平行四边形 B．四边形可能是正方形 C． D．四边形在侧面内的投影一定是平行四边形 【答案】AC 【解析】对于A中，在正方体，平面平面， 又因为平面平面，且平面平面， 所以，同理可证，所以四边形是平行四边形，所以A正确； 对于B中，四边形是平行四边形，不妨设， 当为中点时，，，所以，所以B不正确； 对于C中，因为，， 由A知，，所以，即，所以C正确． 对于D中，当点与重合时，且点 与重合（或）时， 直线在平面内的射影为，此时，即为， 所以四边形在侧面内的投影是一条线段或者是平行四边形，所以D不正确． 故选：AC. 11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则（    ） A．直线与平面有一个交点 B． C． D．三棱锥的体积为 【答案】BD 【解析】取PC的中点Q，连接EQ，DQ， 因为E是棱PB的中点，则， 因为，则，即A、D、E、Q四点共面，则直线l为直线EQ， 因为平面，平面，， 则平面，即平面，故A错； 因为底面，平面，则， 又底面为正方形， 所以，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，所以是等腰直角三角形， 又PC的中点Q，所以， 因为，平面，，， 则平面，又平面，所以，故B对； 设，， 平面，所以四点共面， 则，得，即，故C错； 由，故D对； 故选：BD 12．（2024·贵州·模拟预测）已知正方体的顶点均在半径为1的球表面上，点在正方体表面上运动，为球的一条直径，则正方体的体积是 ，的范围是 ． 【答案】 【解析】设正方体的棱长为，由题意，，则正方体体积， 因为 ， 因为点在正方体表面上运动， 所以，故范围为 故答案为：，． 13．（2024·高二·上海·期中）如图，圆柱的底面半径为2，高为分别是上、下底面圆周上的两个点，若，则 . 【答案】 【解析】因为分别是圆柱的上下底面的中心， 所以, 又因为圆柱的底面半径为2，高为5，， 且， 所以， ， ， 所以， 故答案为：. 14．（2024·山东·模拟预测）已知三棱锥，空间内一点满足，则三棱锥与的体积之比为 ． 【答案】 【解析】由空间内一点满足， 可得， 因为，根据空间向量的基本定理，可得在平面内存在一点， 使得，所以，即点为的中点， 可得，所以三棱锥和的体积比值为. 故答案为：. 15．（2024·高二·河北·期中）如图，在正四棱锥中，E，F分别为的中点，．    (1)证明：B，E，G，F四点共面． (2)记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求的值． 【解析】（1）证明：设为空间的一组基底，因为E，F分别为PA，PC的中点，所以，． 又，所以 ． 故B，E，G，F四点共面． （2）由正四棱锥的对称性知，，． 设点E到平面PBG的距离为，点A到平面PBD的距离为，由E是PA的中点得． 由，得，则． 16．（2024·高二·湖北十堰·期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 【解析】（1）因为，∴点在平面上， 如图，分别取，，的中点， 连接 因为分别为，的中点，故， 又由正方体可得，，，， 故，，故四边形为平行四边形，故， 故，故四点共面，同理可证四点共面， 故五点共面，同理可证四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形． 故点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为， 所以点的轨迹围成图形的面积是． （2）如图，根据向量数量积的几何意义可得 当位于时，此时在上的投影最大， 故 ， ∴的最大值为12． 17．已知不共面的三个单位向量两两之间的夹角均为，，． (1)求证：； (2)求． 【解析】（1）因为， 所以 ， 所以，即． （2）因为， 所以，， 所以． 所以，． 所以． 18．如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，.    (1)用，，表示； (2)求，所成角的余弦值. 【解析】（1） ∵为平行六面体，为的中点， ∴，， ∴. （2）由题意得，， ， ， ， ∴， 所以，所成角的余弦值为. 19．（2024·高二·浙江温州·期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【解析】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$