专题1.11 勾股定理（全章专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.11 勾股定理（全章专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）下列是勾股数的是（    ） A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8 2．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形网格中，为上任意一点，的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点D、B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古赤峰·三模）汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为．则围成的小正方形与大正方形面积的比为（    ）      A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·广东广州·期中）《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值的范围是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图1是中央红军长征集结出发地的新地标集结大桥，它是单塔双索面斜拉景观大桥．图2是其截面示意图，已知，，，则拉索的长是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·山西太原·期中）在学习勾股定理时，小明利用右图验证了勾股定理．若图中，，则阴影部分直角三角形的面积为（    ）    A．5 B． C． D． 9．（2024·山西临汾·一模）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，它不仅在初等数学中有重要的作用，在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，勾股定理在许多书中都有记载、下列书中没有记载勾股定理的是（    ） A．《九章算术》 B．《海岛算经》 C．《几何原本》 D．《周髀算经》 10．（22-23七年级下·陕西西安·期末）图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（    ）      A．10 B．17 C．14 D．13 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，，则阴影部分的面积是 ． 12．（22-23八年级下·山西大同·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边上，则的值为 ．    13．（23-24八年级下·河南商丘·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 14．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 15．（23-24八年级下·河北沧州·期中）如图，淇淇由A地沿北偏东方向骑行至B地，然后再沿北偏西方向骑行至C地，则A，C两地之间的距离为 ． 16．（23-24八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，这是证明勾股定理的另一种方法．梯形的面积等于两个全等的直角三角形的面积加上一个等腰直角三角形的面积，用等式表示是 ． 17．（2024八年级下·北京·专题练习）如图，地上有一圆柱，在圆柱下底面的A点处有一蚂蚁，它想沿圆柱表面爬行，吃到上底面与A点相对的B点处的食物，当圆柱的高厘米，底面半径厘米时，蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是 ． 18．（23-24七年级下·全国·假期作业）能够成为直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，观察下面的几组勾股数： 由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． 可以发现，在一组勾股数中，当最小的数为奇数时，它的平方恰好等于另外两数之和，用关于的代数式表示第组的勾股数应为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路．如图，现从A地分别向，，三地修了三条笔直的公路，和，地、地、地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路，的长度； (2)若修公路每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 20．（8分）（23-24八年级下·河南驻马店·期中）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题： (1)如图是著名的“赵爽弦图”， 由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理； (2)若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求的值． 21．（10分）（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图四边形中，，求四边形的面积． 22．（10分）（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，按图中所示方法将沿折叠，使点C落在边的点． (1)求的长； (2)求的面积． 23．（10分）（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在气象站台的正西方向320的处有一台风中心，该台风中心以每小时20的速度沿北偏东60°的方向移动，在距离台风中心200内的地方都要受到其影响． (1)台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离是多少？ (2)台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？ 24．（12分）（19-20八年级下·全国·课后作业）（1）探索：请你利用图（1）验证勾股定理．   （2）应用：如图（2），已知在中，，，分别以AC，BC为直径作半圆，半圆的面积分别记为，，则______.（请直接写出结果）． （3）拓展：如图（3），MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为千米，千米，且千米．现要在CD之间建一个中转站O，求O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】此题主要考查了勾股数．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、三边长，，不都是正整数，不是勾股数，不合题意； B、，则11，12，23不是勾股数，不合题意； C、，则9，40，41能构成直角三角形，符合题意； D、三边长，则6，7，8不是勾股数，不合题意； 故选：C． 2．D 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 先根据勾股定理用表示出，用表示出，再把代入进行计算即可． 【详解】解：∵与是直角三角形，， ， ． 故选：D． 3．B 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力． 【详解】 解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了勾股定理，设直角三角形短直角边长为，长直角边长为，则中间空白部分的正方形面积为，由勾股定理可得大正方形边长的平方为，即大正方形的面积为，据此可得答案． 【详解】解：设直角三角形短直角边长为，长直角边长为， ∴中间空白部分的正方形边长为， ∴中间空白部分的正方形面积为， 由勾股定理得大正方形边长的平方为，即大正方形的面积为， ∴围成的小正方形与大正方形面积的比为， 故选：A． 5．D 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为 ． 故选：D 6．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．如图，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围． 【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ， 如图2所示，当筷子的底端在点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ， 此时， 的取值范围是． 故选：B． 7．A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得到即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查勾股定理，根据图形及勾股定理求出c，再利用三角形面积公式求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 9．B 【分析】本题考查了勾股定理，由《海岛算经》没有记载勾股定理，即可求解． 【详解】解：只有《海岛算经》没有记载勾股定理， 故选：B． 10．D 【分析】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，再根据勾股定理求解即可． 【详解】作点C关于的对称点，连接，连接，交于E，过点D作，交的延长线于F，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，能够根据题意找出点E是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积的计算；由勾股定理求得的长度，由扇形面积公式即可计算． 【详解】解：，，， ， 即半圆的半径为； 则阴影部分面积为：． 故答案为：． 12．8 【分析】根据常见的“手拉手全等模型”，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    因为和都是等腰直角三角形，， 即 故 故答案为： 【点拨】本题综合考查全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．掌握相关几何知识是解题的关键． 13．625 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 14． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 15．10 【分析】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键．根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 16． 【分析】根据面积公式计算即可，本题考查了图形的面积，正确计算是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 17． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先画出圆柱的平面展开图，求出长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：圆柱的展开图如下：连接， 由题意得：， ， ∴． 故答案为：． 18．     【分析】本题主要考查了勾股数问题，数字类的规律探索，观察可知当最小的数为奇数时，其可表示为，则第二小的数可以表示为，最大的数表示为，据此可得答案． 【详解】解：由勾股数3、4、5有； 由勾股数5、12、13有； 由勾股数7、24、25有 由勾股数9、40、41有． ……， 以此类推可得，由勾股数，，有， 故答案为：    ． 19．(1)千米，千米 (2)修建公路的费用为万元 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用三角形的等面积方法即可求解． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴（千米）． ∵千米， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：∵， ∴， 解得千米， ∴修建公路的费用为（万元） 20．(1)见解析 (2)的值为25． 【分析】（1）大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，整理得； （2）解：∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，，如图1所示： ∴，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴，即的值为25． 【点拨】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 21．36 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理说明为直角三角形，然后根据四边形的面积等于两个三角形的面积和求出答案即可. 【详解】∵，， ∴根据勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 即四边形的面积是36. 22．(1) (2) 【分析】（1）在中，根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得：，即可求解； （2）由折叠的性质可得：，，设，则，在中，根据勾股定理求出x，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）解：由折叠的性质得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴的面积为． 【点拨】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 23．(1)台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离是； (2)台风影响气象台的时间会持续12小时． 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）过作于，则的长就是与气象台的最短距离； （2）确定受影响的范围，从而求得的长，已知速度，则可以求得所需的时间． 【详解】（1）解：如图，过作于，由题意知，， 又因为，故， 故台风中心在移动过程中，与气象台的最短距离是； （2）解：设台风中心位于点C时，气象台开始受影响，台风中心位于点D时，影响结束， 连接，，则， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴（小时）． 答：台风影响气象台的时间会持续12小时． 24．（1）见解析；（2）；（3）O应建在离C点52.5千米处． 【分析】（1）此直角梯形的面积由三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理即可； （2）根据半圆面积公式以及勾股定理，知S1+S2等于以斜边为直径的半圆面积； （3）设CO=xkm，则OD=（80-x）km，在Rt△AOC和Rt△BOD中，利用勾股定理分别表示出AO和BO的长，根据AO=BO列出方程，求解即可． 【详解】（1）由面积相等可得， ∴， ∴， ∴． （2），， ∴． 故答案为： （3）设千米，则千米． ∵到A，B两个城市的距离相等， ∴，即， 由勾股定理，得， 解得． 即O应建在离C点52.5千米处． 【点拨】本题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，两边相等求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$